2015年河北中考数学总复习课件(第7课时_一元二次方程)
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2015年河北省地区中考数学总复习课件 第7讲 一元二次方程
－3± 17 －3－ 17 －3＋ 17 x ＋3x－2＝0， x＝ ，∴ x1＝ ，x2＝ 2 2 2× 1
教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确
的是( A ) A．3000(1＋x)2＝5000 B．3000x2＝5000 C．3000(1＋x%)2＝5000
7．(2014· 河北)嘉淇同学用配方法推导一元一次方程 ax 2＋bx＋c ＝0(a≠0)的 求根公式时，对于 b2－4ac>0 的情况，她是这样做的： 由于 a≠0，方程 ax2＋bx＋c＝0 变形为： b c x2＋ x＝－ ，第一步 a a b b c b x2＋ x＋( )2＝－ ＋( )2 第二步 a 2a a 2a b 2 b2－4ac (x＋ ) ＝ 第三步 2a 4a2 b2－4ac 2 b x＋ ＝ (b －4ac>0)第四步 2a 4a －b＋ b2－4ac x＝ 第五步 2a
河 北 省
数 学
第七讲 一元二次方程
1．定义 只含有__一个未知数__，并且未知数的最高次数是__2__，这 样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式： __ax2＋bx＋c＝0( a，b，c 是已知数 ，a≠0)__，其中 a，b，c 分别 叫做二次项系数、一次项系数和常数项． 2．解法 首先考虑__直接开平方法__，__ 因式分解法__；其次考虑__ 配方法__，__公式法__． 3．公式 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)的求根公式： －b± b2－4ac 2 x＝ (b －4ac≥ 0)． 2a
5．(2012·河北)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程
是( A )
A．(x＋2)2＝3 C．(x－2)2＝5 B．(x－2)2＝3 D．(x＋2)2＝5
中考数学复习课件：第7课时 一元二次方程及其应用(共35张PPT)
考点演练
考点四 一元二次方程根与系数的关系
误区警示
在解决根的判别式和根与系数的综合题时，必须注意以下两个 方面：
(1) 一元二次方程的二次项系数不为0. (2) 用根与系数的关系的前提是根的判别式是非负数，这往往
是最容易被忽略的．
第7课时 一元二次方程及其应用
考点演练
考点五 一元二次方程的实际应用
根的倒数恰好是它本身，则m的值为( C )
A.
5 2
1 B. 2
C.
5 2
1 或2
D.1
思路点拨
根据“方程的一个实数根的倒数恰好是它本身”求出这个实数 根，再根据方程根的定义代回方程求解．
第7课时 一元二次方程及其应用
考点演练
解：设这个实数根是x，则
1 x
＝x，解得x1＝±1.
1
将x＝1代入原方程，得1＋(m＋1)＋ 2 ＝0，解得m＝－ 1
5. 能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理．
第7课时 一元二次方程及其应用
知识梳理
1. 一元二次方程的定义：
只含有___一_____个未知数，并且未知数的最高次数是___2_____的
_整__式_____式方程叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式是 ax2＋bx＋c＝0 做
(a__≠__0)，其中ax2叫
思路点拨
(1)根据一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根，可得 Δ≥0，据此求出m的取值范围．
(2) 根据根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2的值，代入
x
2 1
x
2 2
＝6x1x2求解即可．
第7课时 一元二次方程及其应用
考点演练
考点四 一元二次方程根与系数的关系
考点四 一元二次方程根与系数的关系
误区警示
在解决根的判别式和根与系数的综合题时，必须注意以下两个 方面：
(1) 一元二次方程的二次项系数不为0. (2) 用根与系数的关系的前提是根的判别式是非负数，这往往
是最容易被忽略的．
第7课时 一元二次方程及其应用
考点演练
考点五 一元二次方程的实际应用
根的倒数恰好是它本身，则m的值为( C )
A.
5 2
1 B. 2
C.
5 2
1 或2
D.1
思路点拨
根据“方程的一个实数根的倒数恰好是它本身”求出这个实数 根，再根据方程根的定义代回方程求解．
第7课时 一元二次方程及其应用
考点演练
解：设这个实数根是x，则
1 x
＝x，解得x1＝±1.
1
将x＝1代入原方程，得1＋(m＋1)＋ 2 ＝0，解得m＝－ 1
5. 能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理．
第7课时 一元二次方程及其应用
知识梳理
1. 一元二次方程的定义：
只含有___一_____个未知数，并且未知数的最高次数是___2_____的
_整__式_____式方程叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式是 ax2＋bx＋c＝0 做
(a__≠__0)，其中ax2叫
思路点拨
(1)根据一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根，可得 Δ≥0，据此求出m的取值范围．
(2) 根据根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2的值，代入
x
2 1
x
2 2
＝6x1x2求解即可．
第7课时 一元二次方程及其应用
考点演练
考点四 一元二次方程根与系数的关系
中考数学专题《一元二次方程》复习课件(共18张PPT)
一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax 2
2
b 4ac
2
bx c 0a 0根的判别式是: ax bx c 0a 0
定理与逆定理
一元二次方程
判别式的情况
根的情况
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
a, b, c能构成等腰三角形。
综上所述，m 4或3。
活动五 相信我 我是最棒的
若a为方程
的解，则 x x 5 0 2 3a 3a 5 的值为（ 20 ）
2
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
m 3
且把m 3代入方程，
且把m 4代入方程， 得x 2 4 x 4 0
16 4m 0, m 4
得x 2 4x 3 0，x1 3, x2 1。
三边分别为3、3、1
x1 x2 2
即b cb, c能构成等腰三角形。
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
例2、已知m为非负整数，且关于x的一元二次方程
(m 2) x (2m 3) x m 2 0
2
有两个实数根，求m的值。
解：∵方程有两个实数根 2
∴
[ ( 2 m 3 )] 4 ( m 2 )( m 2 ) 0
√ ×
1 3、x2+ ＝１ x
2一元二次方程PPT课件(冀教版)
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般情势.
2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方 程的解(或根).
3.列一元二次方程的解题步骤:
（1）审：审题要弄清已知量、未知量及问题中的等 量关系； （2）设：设未知数；
（3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全 部含义的相等关系，列代数式表示等量关系中的各 个量，即列出方程.
x2-3x+2=0 (x1=1 x2=2 x3=3) x1=1 x2=2是方程的根； x3=3不是方程的根.
问题3 构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（2）有一根为2.
x2-2x=0 （答案不唯一）.
典例精析 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32-2x 32
当堂练习
1.下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？
x+2=5x-3
x2=4
不是，最高项系数为1
2x2-4=(x+2)2
是
是
1 x2
10x
900
0
不是，是分式方程
2.方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
解：∵方程式是一元二次方程，∴2a-4≠0，∴a≠2.
一般情势：ax+b=0 (a≠0) 3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际 问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗? ◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
讲授新课
一 一元二次方程的定义及一般情势
问题1 列表填空：
方程
一般情势 二次项系数 一次项系数 常数项
2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方 程的解(或根).
3.列一元二次方程的解题步骤:
（1）审：审题要弄清已知量、未知量及问题中的等 量关系； （2）设：设未知数；
（3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全 部含义的相等关系，列代数式表示等量关系中的各 个量，即列出方程.
x2-3x+2=0 (x1=1 x2=2 x3=3) x1=1 x2=2是方程的根； x3=3不是方程的根.
问题3 构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（2）有一根为2.
x2-2x=0 （答案不唯一）.
典例精析 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32-2x 32
当堂练习
1.下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？
x+2=5x-3
x2=4
不是，最高项系数为1
2x2-4=(x+2)2
是
是
1 x2
10x
900
0
不是，是分式方程
2.方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
解：∵方程式是一元二次方程，∴2a-4≠0，∴a≠2.
一般情势：ax+b=0 (a≠0) 3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际 问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗? ◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
讲授新课
一 一元二次方程的定义及一般情势
问题1 列表填空：
方程
一般情势 二次项系数 一次项系数 常数项
冀教版初中数学九年级上册一元二次方程精品课件
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小试牛刀
当m取何值时，方程（m-1）x3m+2+2mx+3=0 是关于x的一元二次方程？
解：由题意得，
3m+2=2, 解得m=0，且m-1≠0 所以，当m=0时此方程是一元二次方程
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程精 品课件
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方
程
解（根）：使一元二次方程两边相 等的未知数的值
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1.
拓展提高
若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 你能通过观察,求 出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
课堂小结
一 元
定义：只含有一个未知数，并且未 知数的最高次数都是2的整式方程
二
次
一般形式：ax2 + bx + c =0（a≠0）
个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得
a 12 b 1 c 0,
即a b c 0.
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拓展提高
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
解：由题意得
a b c 0,
即a 12 b 1 c 0.
பைடு நூலகம்x 1
• （4） x 2 4 (x 2)2
?
冀教版初中数学九年级上册一元二次 方程精 品课件
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例题讲解
中考数学总复习考点知识讲解课件30---一元二次方程及其应用
C．x2－x＋1＝0
D．x2＝1
百变四：已知方程系数关系，判断方程根的情况 4．(2016·河北)a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2 ＋bx＋c＝0的根的情况( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0
【解析】 ∵(a－c)2＝a2＋c2－2ac＞a2＋c2，∴ac＜0.∴在方程ax2＋bx＋ c＝0中，b2－4ac≥－4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数 根．故选B.
【自主解答】 解：(1)四 x＝ (2)x2－2x－24＝0， 移项，得x2－2x＝24， 配方，得x2－2x＋1＝24＋1， 即(x－1)2＝25， 两边开平方，得x－1＝±5， ∴x1＝6，x2＝－4.
解一元二次方程的注意点
(1)在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，再确定 a，b，c的值，否则易出现符号错误； (2)用因式分解法确定一元二次方程的解时，一定要保证等号的右边化为 0，否则易出现错误； (3)如果一元二次方程的常数项为0，不能在方程两边同时除以含有未知数 的相同因式； (4)对于含有不确定量的方程，需要把求出的解代入原方程检验，避免增 根．
知识点二 一元二次方程的解法
x＝b b2 4ac 2a
知识点三 一元二次方程根的判别式
b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．判别式 的符号决定了方程根的情况，即
(1)b2－4ac>0⇔方程有两个 _不__相__等__的实数根；
(2)b2－4ac_＝__0⇔方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程__没__有___实数根．
【分析】由每个月的平均增长率相同，可分别表示二月份和三月份的工业 产值，再结合第一季度总产值为175亿元列方程即可． 【自主解答】由平均每月增长的百分率为x，则二月的工业产值为50(1＋x) 亿元，三月的工业产值为50(1＋x)2 亿元，则根据题意可得方程：50＋ 50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175，故选D.
2015秋冀教版数学九上24.2《解一元二次方程因式分解法》ppt课件
解，则m的值是( A )
A．－3
B．3
C．0
D．0或3
11．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(x－2)(x
－4)＝0的根，则这个三角形的周长是( C )
A．11 B．11或13
C．已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x ＋1的值为____7____．
数学核心素养
一、什么是数学核心素养 二、如何在数学教学活动中体现数学核心素养 三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
一、什么是数学核心素养 文件《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务》
提到核心素养。明确要求：修改课程标准，要把学科核心素养贯穿始终。 北师大研究小组定义核心素养：是指学生应具备的、能够适应终
A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
(2)x1＝176，x2＝43
24．2 解一元二次方程 因式分解法
15．(10分)用恰当的方法解下列方程． (1)(x＋3)(x－4)＝－12；
(1)x1＝0，x2＝1 (2)(2x－1)2－4(2x－1)＝12.
(2)x1＝72，x2＝－12
24．2 解一元二次方程 因式分解法
16．(8分)已知关于x的一元二次方程(a＋4)x2＋3x＋a2＋3a－4＝0 的一个根为0，求a的值．
初中数学《一元二次方程》教育教学课件
方程解法 之 基本方法 • 开平方法
【之一 开平方法】
（1）形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二 次方程 。
（2）如果方程化成x2=p(p≥0)的形式，那么可得x=± p 。 （3）如果方程能化成(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么mx+n=± p ，进而得出方程的根。
（x-2)(x+2)=0
即 x+2=0或x-2=0 ∴ x1=-2，x2= 2
方程解法 之 基本方法 • 因式分解法
十字相乘法
十字相乘法是因式分解法解 一元二次方程中一个重要的部分。 一元二次方程左边为二次三项式， 形如x²+(p+q)x+pq=0，可化为 (x+p)(x+q)=0，从而得出：
x1=-p;x2=-q。
方程解法 之 基本方法 • 配方法
配方法的口诀
二次系数化为一， 分开常数未知数； 一次系数一半方， 两边加上最相当。
【例题】
1、解方程 x²+2x－3=0 解：把常数项移项得：x²+2x=3 等式两边同时加1（构成完全平方式）得：
x²+2x+1=4 配方得：（x+1)²=4 ∴ x1=-3 , x2=1
根据题意，得 [100(1+x)-50](1+ x)=63. 整理，得 50x2+125x-13=0. 解得x1=0.1 ，x2=-2.6 . ∵x2=-2.6 不合题意， ∴x= 10%. 答:第一次存款时的年利率为10%。
解应用题 之 精选例题
概念解析 之 四种形式
【一般形式】
ax²+bx+c=0（a≠0）
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 8、若9am2-4m+4与5a9是同类项，则m= ___
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
2015中考数学全景透视复习课件第07讲一元二次方程
程 x2－52ax＋a2＝0 的一个根，则 a 的值为(
)
A．1 或 4
B．－1 或－4
C．－1 或 4
D．1 或 －4
第14页，共69页。
【点拨】把 x＝－2 代入 x2－52ax＋a2＝0，得(－2)2 －52a·(－2)＋a2＝0，解得 a1＝－1，a2＝－4.故选 B.
【答案】 B
第15页，共69页。
得(m－1)＋1＋1＝0，解得 m＝－1，
此时 m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选 B.
第27页，共69页。
2．用配方法解一元二次方程 x2－4x＝5 时，此方
程可变形为( D )
A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝1
C．(x＋2)2＝9
D．(x－2)2＝9
解析：∵x2－4x＝5，∴x2－4x＋4＝5＋4，
第10页，共69页。
考点五 一元二次方程的应用 1．列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程 (组)解应用题的步骤相同，即审、设、找、列、解、检、 答七步． 2．列一元二次方程解应用题常见的问题 (1)增长率问题 对于正的增长率问题，设 a 为原来的量，x 为平均 增长率，m 为增长次数，b 为增长后的量，则 a(1＋x)m ＝b；对于负的增长率问题，则 a(1－x)m＝b.
第41页，共69页。
6．(2014·菏泽)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ax
＋b＝0 有一个非零根－b，则 a－b 的值为( A )
A．1
ห้องสมุดไป่ตู้
B．－1
C．0
D．－2
解析：把 x＝－b 代入 x2＋ax＋b＝0，得(－b)2＋
a·(－b)＋b＝0，b2－ab＋b＝0，即 b(b－a＋1)＝0.
【数学课件】2015年人教版中考数学总复习：一元二次方程
考点聚焦 归类探究 回归教材
第6课时┃ 一元二次方程
－b± b2－4ac 解：(1)四 x＝ 2a (2)方程 x2－2x－24＝0 变形，得 x2－2x＝24. x2－2x＋1＝24＋1. (x－1)2＝25. x－1＝± 5. x＝1± 5. 所以 x＝－4 或 x＝6.
考点聚焦
归类探究
回归教材
2
2 ∴x1＝3，x2＝ . 3
考点聚焦 归类探究 回归教材
第6课时┃ 一元二次方程
解
析
可用因式分解Leabharlann 或公式法．失分盲点 解一元二次方程易漏根 利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知 数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果 约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零 ，则方程会失去一个根，出现漏根错误，所以对于此类问 题应通过移项，利用提取公因式的方法求解．
解 析 (1)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的 值大于 0，列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可得 到 k 的取值范围； (2)找出 k 的取值范围中的正整数解， 确定出 k 可能的取 值，经检验即可得到满足题意的 k 值．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第6课时┃ 一元二次方程
探究四
第6课时┃ 一元二次方程
探究三
一元二次方程根的判别式
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围．
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第6课时┃ 一元二次方程
例 4 [2013· 北京] 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋2k －4＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
第6课时┃ 一元二次方程
－b± b2－4ac 解：(1)四 x＝ 2a (2)方程 x2－2x－24＝0 变形，得 x2－2x＝24. x2－2x＋1＝24＋1. (x－1)2＝25. x－1＝± 5. x＝1± 5. 所以 x＝－4 或 x＝6.
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2
2 ∴x1＝3，x2＝ . 3
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第6课时┃ 一元二次方程
解
析
可用因式分解Leabharlann 或公式法．失分盲点 解一元二次方程易漏根 利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知 数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果 约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零 ，则方程会失去一个根，出现漏根错误，所以对于此类问 题应通过移项，利用提取公因式的方法求解．
解 析 (1)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的 值大于 0，列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可得 到 k 的取值范围； (2)找出 k 的取值范围中的正整数解， 确定出 k 可能的取 值，经检验即可得到满足题意的 k 值．
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探究三
一元二次方程根的判别式
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围．
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第6课时┃ 一元二次方程
例 4 [2013· 北京] 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋2k －4＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
冀教版九年级数学上《一元二次方程》PPT课件
感悟新知
例 3 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
知3－练
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未 知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边 相等的数就是方程的根．
解： －1，2.
感悟新知
归纳
知3－讲
检验一个数是否为方程的解或根，只要把这个 数分别代入方程的左右两边算出数值，看它们是否 相等．在找解时注意使一元二次方程左右两边相等 的未知数的值不一定只有一个．
感悟新知
知1－讲
如图，一个长为离为8 m. 如果梯子的顶端沿 墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距 离是多少米？
如果设梯子的底端 B在地面上滑动的距离 为xm，请列出方程， 并谈谈所列方程的特征.
感悟新知
在上面的问题中，我们得到方程： x2－90x＋1400=0，x2 －45x＋350=0， x2 ＋12x－15=0.
知1－讲
感悟新知
归纳
知1－讲
x2－90x＋1400=0，x2 －45x＋350=0，
x2 ＋12x－15=0.
它们都是关于未知数x的整式方程，且x的最高
次数都为2. 像这样，只含有一个未知数，并且未
知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方
程(quadratic equation in one variable).
＝1－ac，N＝(ax0＋1)2，则M与N的大小关系
正确的为( B )
A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．不确定
点拨：把x0代入方程ax2＋2x＋c＝0得ax02＋2x0＝－c，
再利用作差法比较可得．
类型 5 利用一元二次方程的根的定义解决探究性问题
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
2015秋冀教版数学九上24.2《解一元二次方程公式法》ppt课件
身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。 高中数学课标修订组定义数学核心素养：是具有数学基本特征的
、适应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力与 思维品质。
后天习得的、与特定情境有关的、通过人的行为所表现出来的 知识、能力和态度，涉及人与社会、人与自己、人与工具。
高中阶段的数学核心素养 数学抽象、逻辑推理、数学建模 直观想象、数学运算、数据分析
A．1－ 5 C．－1＋ 5
1－ 5 B. 2
－1＋ 5 D. 2
5．(3分)用公式法解方程4y2＝12y＋3，得到( C ) A．y＝－32± 6 B．y＝3±2 6 C．y＝3±22 3 D．y＝－3±22 3
24．2 解一元二次方程 公式法
6．(3分)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根， 则有___b_2_－__4_ac＝0 ；若有两个不相等的实数根，则有_b_2_－__4_a_c_＞0 ；
24.2 解一元二次方程
公式法
24．2 解一元二次方程 公式法
1．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的
根是x＝__－_b_±__b_2－_ 4ac
，这个式子称为一元二次方程的___求__根___公
式．用求根公式2a 解一元二次方程的方法，叫做__公__式__法__．
(2)x1＝2＋ 5，x2＝2－ 5
24．2 解一元二次方程 公式法
(3)(3x－1)(x＋2)＝11x－4. (3)x1＝3＋3 3，x2＝3－3 3
x＋1＜3x－3，
16．(10分)(2013·杭州)当x满足条件 时，求出方程x2－2x－4＝0的根．
12（x－4）＜13（x－4）
x＋1＜3x－3， 由12（x－4）＜13（x－4）
、适应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力与 思维品质。
后天习得的、与特定情境有关的、通过人的行为所表现出来的 知识、能力和态度，涉及人与社会、人与自己、人与工具。
高中阶段的数学核心素养 数学抽象、逻辑推理、数学建模 直观想象、数学运算、数据分析
A．1－ 5 C．－1＋ 5
1－ 5 B. 2
－1＋ 5 D. 2
5．(3分)用公式法解方程4y2＝12y＋3，得到( C ) A．y＝－32± 6 B．y＝3±2 6 C．y＝3±22 3 D．y＝－3±22 3
24．2 解一元二次方程 公式法
6．(3分)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根， 则有___b_2_－__4_ac＝0 ；若有两个不相等的实数根，则有_b_2_－__4_a_c_＞0 ；
24.2 解一元二次方程
公式法
24．2 解一元二次方程 公式法
1．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的
根是x＝__－_b_±__b_2－_ 4ac
，这个式子称为一元二次方程的___求__根___公
式．用求根公式2a 解一元二次方程的方法，叫做__公__式__法__．
(2)x1＝2＋ 5，x2＝2－ 5
24．2 解一元二次方程 公式法
(3)(3x－1)(x＋2)＝11x－4. (3)x1＝3＋3 3，x2＝3－3 3
x＋1＜3x－3，
16．(10分)(2013·杭州)当x满足条件 时，求出方程x2－2x－4＝0的根．
12（x－4）＜13（x－4）
x＋1＜3x－3， 由12（x－4）＜13（x－4）
《一元二次方程》一元二次方程PPT课件
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
新知探究
跟踪训练 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系
数、一次项系数和常数项．
（1） x 2 2 4；
x2 4x 0 1 -4 0
（2）2 x 3 x 4 x2 10 ；
x2 2x 14 0 1 2 -14
（3）x2 x 1 1． 32
2x2 3x 9 0 2 -3 -9
新知探究 知识点3
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
对接中考
关于 x 的一元二次方程 x2-(a2-2a)x+a-1=0 的两个实数根互为相反数，
则 a 的值为( B )
A.2
B.0
C.1
D.2或0
已知x1，x2是一元二次方程 x2−2x＝0 的两个实数根，下列结论错误的是 (D )
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
新知探究
一般的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 中，二次项系数 a 未必是1，它的两个 根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
新知探究
由求根公式知
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
x1 x2 b
中考数学 第一部分 教材知识梳理 第二单元 第7课时 一元二次方程及其应用课件
例2 （’15河南）已知关于x的一元二次方程 (x-3)(x-2)＝|m|. （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不 相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的 另一个根.
（1）【思路分析】先化简整理一元二次方程 ,列 出根的判别式，再根据绝对值的非负性 ,判断根的 判别式与0的大小关系，即可得证 ．
设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则
x1+x2=
⑥__ _ba___,x1·x2=
⑦
c
_a __.
考点4 一元二次方程的应用 1. 用一元二次方程解实际问题的一般步骤
实际问题
找等量关系
列一元二次方程 设未知数
解一元二次方程
检验 答
一元二次方程的根
2.一元二次方程实际问题的常见类型
关系求代数式的值，常用到的几个关系式：
（ 1 ） x 1 2 x 2 2 (x 1 x 2 )2 2 x 1 x 2 ;
（2）1 1 = x1+x2 ; x1 x2 x1 x2
（3） x112 x122=（x1（ +xx21） x22-） 22x1x2;
（4） x2 x1=（x1+x2） 2-2x1x2;
解：把 x=１代入原方程，得(1-3)(1-2)=|m|,即 |m|=2，∴m=±2， 把|m|＝2代入原方程，得 x2-5x+4=0， ∴ x1=1,x2 =4， ∴m的值为±2，方程的另一根是4.
拓展2 （’15连云港）已知关于x的方程x2-2x+3k
=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( A )
（2）由题意得： x1+x2=4 , 解得 x1= -2 ,
（1）【思路分析】先化简整理一元二次方程 ,列 出根的判别式，再根据绝对值的非负性 ,判断根的 判别式与0的大小关系，即可得证 ．
设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则
x1+x2=
⑥__ _ba___,x1·x2=
⑦
c
_a __.
考点4 一元二次方程的应用 1. 用一元二次方程解实际问题的一般步骤
实际问题
找等量关系
列一元二次方程 设未知数
解一元二次方程
检验 答
一元二次方程的根
2.一元二次方程实际问题的常见类型
关系求代数式的值，常用到的几个关系式：
（ 1 ） x 1 2 x 2 2 (x 1 x 2 )2 2 x 1 x 2 ;
（2）1 1 = x1+x2 ; x1 x2 x1 x2
（3） x112 x122=（x1（ +xx21） x22-） 22x1x2;
（4） x2 x1=（x1+x2） 2-2x1x2;
解：把 x=１代入原方程，得(1-3)(1-2)=|m|,即 |m|=2，∴m=±2， 把|m|＝2代入原方程，得 x2-5x+4=0， ∴ x1=1,x2 =4， ∴m的值为±2，方程的另一根是4.
拓展2 （’15连云港）已知关于x的方程x2-2x+3k
=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( A )
（2）由题意得： x1+x2=4 , 解得 x1= -2 ,
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将 x＝－1 代入方程解出 m＝1， 再将 m＝1 代入方程中并解这个一元二次方程即可．
解 析
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第7课时┃ 一元二次方程
考 点 聚 焦
考点1 一元二次方程的概念
ax2＋bx＋c＝0 a≠0)． 一元二次方程的一般形式为_______________(
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第7课时┃ 一元二次方程
例 4 解下列一元二次方程： (1)[2014· 遂宁] x2＋2x－3＝0； (2)2(x－3)＝3x(x－3)．
解：(1)∵x2＋2x－3＝0， ∴(x＋3)(x－1)＝0， ∴x1＝1，x2＝－3. (2)∵2(x－3)＝3x(x－3)， ∴2(x－3)－3x(x－3)＝0， ∴(x－3)(2－3x)＝0， 2 ∴x1＝ ，x2＝3. 3
考点聚焦 冀考探究
第7课时┃ 一元二次方程
课 前 热 身
1．下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 ( C ) 1 2 A．x ＋ 2＝0 x B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0 解 析 根据一元二次方程的定义：只含有一个
未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元 二次方程．
解 析
方程的一般形式为 2x2－2x＋2＝0，故选 B.
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第7课时┃ 一元二次方程
例 2 [2014· 菏泽] 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ax＋b ＝0 有一个非零根－ b， 则 a－b 的值为 ( A ) A．1 B．－1 C．0 D．－2
解 析 将 x＝－b 代入方程得 b2－ab＋b＝0， 方程 左边因式分解为 b(b－a＋1)＝0.因为－b 为非零根，所以只 能 b－a＋1＝0，b－a＝－1，所以 a－b＝1.
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第7课时┃ 一元二次方程
探究二 一元二次方程的解法
命题角度： 一元二次方程的各种解法及应用．
例 3 (1)把方程 x2－ 10x－ 11＝ 0 化为 (x＋ m)2＝ n 的形式， (x－5)2＝36 ． 结果为 ______________ － b± b2－ 4ac (2)用公式 x＝ 解方程 3x－ 1－ 2x2＝ 0 的过 2a 程中， a， b， c 的值分别是 ( C ) A． 3，－ 1，－ 2 B．－ 2，－ 1， 3 C．－ 2， 3，－ 1 D．－ 1， 3，－ 2
第7课时 一元二次方程
第7课时┃ 一元二次方程
冀 考 解 读
考点梳理 一元二次 方程的概念 一元二次 方程的解法 一元二次方程 根的判别式 一元二次方程 根与系数的关系
冀考解读 课前热身
常考题型 选择、填空
年份
2015 热度 预测 ☆☆ ☆☆☆☆ ☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆
选择、 填空、 2012 解答 2014 选择、 填空、 解答 选择、 填空、 解答
冀考探究
第7课时┃ 一元二次方程
考点2 一元二次方程的解法
常用解法 适用范围 直接开平方法 形如 a(mx＋n)2＝ b 的方程(a≠ 0) 配方法 一次项系数为二次项系数的偶数倍 公式法 一元二次方程的一般形式 因式分解法 一般形式左侧易于因式分解
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第7课时┃ 一元二次方程
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冀考探究
第7课时┃ 一元二次方程
2．[2013· 来宾] 已知关于 x 的一元二次方程 x2－ x＋ k＝ 0 的一个根是 2， 则 k 的值是 ( A ) A．－ 2 B． 2 C． 1 D．－ 1
解 析
将 x＝2 代入方程即可．
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冀考探究
第7课时┃ 一元二次方程
冀 考 探 究
探究一 一元二次方程的有关概念
命题角度： 1．一元二次方程的概念及其一般形式的运用； 2．用一元二次方程的解的概念确定系数．
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考点聚焦
冀考探究
第7课时┃ 一元二次方程
例 1 方程－ 2x2＝ 2(1－ x)化为一般形式后二次项系数、 一次项系数、常数项分别为 ( B ) A． 2， 2, － 1 B． 2，－ 2， 2 C． 2，－ 2， 1 D． 2， 2， 1
3．用配方法解一元二次方程 x2＋4x－5＝0，此方程可变形 为 ( A ) A．(x＋2)2＝9 B．(x－2)2＝9 C．(x＋2)2＝1 D．(x－2)2＝1 4． [2014· 唐山市丰润区二模 ] 方程 x2－x＋3＝0 的根的情况 是 ( D ) A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
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第7课时┃ 一元二次方程
考点4 一元二次方程根与系数的关系
设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为 b c － x1，x2，则 x1＋x2＝________ ． a ；x1·x2＝________ a
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第7课时┃ 一元二次方程
考点3 一元二次方程根的判别式
根的判别 关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0) 式的定义 的根的判别式为 b2－ 4ac 两个不相等 的实数根； 一元二 (1)b2－ 4ac>0⇔ 方程有 ___________ 次方程 判别式与 (2)b2－ 4ac＝ 0⇔方程有 ___________ 两个相等 的实数 根的判 根的关系 根； (3)b2－ 4ac<0⇔方程 ___________ 没有 实数根 别式 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项 防错提醒 系数中含有字母，要加上二次项系数不为零 这个限制条件
判断方程根的情况用 b2－4ac.当 b2－ 4ac>0 时 方程有两个不相等的实数根；当 b2－ 4ac＝0 时方程有两个 相等的实数根；当 b2－4ac<0 时方程没有实数根．故选 D.
冀考解读 课前热身 考点聚焦 冀考探究
解 析
第7课时┃ 一元二次方程
5．若关于 x 的一元二次方程 x2－ mx－ 2＝ 0 的一个根为 － 1，则另一个根为 ( C ) A． 1 B．－ 1 C． 2 D．－ 2