2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

2018本一试题解答与评分标准

一．填空题（ 每小题4分，共20分）

(1) 设()()()()12ln arctan ,,,1u x

f u x y f x u x

ϕϕ-+===+则

1

d d x y

x

==

.

(2) ()

2

2

sin cos2d x x x π+=

⎰ .

(3) ()

2

20

1

d 1x x +∞

=

+⎰ .

(4) 已知函数

()

,,F u v w 可微，()()0,0,01,0,0,02,u v F F ''==()0,0,03,w F '=函数

()

,z f x y =由()

2

2223,4,0

F x y z x y z x y z -+-+=确定，满足

()1,20,f =则

()1,2x f '=

.

(5) 设Γ是区域(){}

2

2,4,0x y x y y x +≤≤≤｜的边界曲线，取

()()()()()3

3

1e d e d y

y

x y y x x y xy y Γ

-+-+++=⎰

解 (1) 记 ()()

2

222

221321,

242n

n a

n ⋅⋅⋅-=

⋅⋅

⋅因为()()

()

2

212112k k k -⋅+<()*

,k ∈N （1分）所以

()()()

()()2

2

222

2

2321133557

21210,2462222n n n n n a n n n -⋅-⋅⋅⋅--<=

⋅⋅⋅⋅

⋅<-（2分）

因为 ()

2

21

lim 0,2n n n

→∞

-=应用夹逼准则得 lim 0.

n

n a →∞

= （2分）

(2) 应用不等式的性质得

(

)

222222442222,2,

x xy y x y xy x y x y x y ++≤++≤++≥（2分） ()

()22224444

22

22211

0sin 2x y x xy y x y

x y x y

y x

+++≤⋅+≤=

++，（1分）

因为

2

211lim 0,x y y

x →∞→∞⎛⎫

+= ⎪⎝⎭应用夹逼准则得 ()

2244

44lim sin 0.x y x xy y x y x y →∞

→∞

++⋅+=+（2分）

三.（10分）已知函数()f x 在x a =处可导()a ∈R ,数列{}{},n

n

x y 满足:

(),,

n x a a δ∈-()

,n y a a δ∈+

()0,

δ>且

lim ,n n x a →∞=lim ,n

n y a →∞= 试求 ()()

lim .n

n

n

n

n n

n x f y y f x y x

→∞

-- 解 由

()

f x 在

x a

=处可导得

()()()lim ,

x a

f x f a f a x a

→-'=- ( 2分)

()()()()lim ,

n n n f x f a f a f a x a

-→∞

-''==-

()()()()lim ,

n n n f y f a f a f a y a

+→∞

-''==- ( 2分)

应用极限的性质得

()()()()()(),0,n n n n n f x f a f a x a x a n αα'=+-+⋅-→→∞( 1分) ()()()()()(),0,

n n n n n f y f a f a y a y a n ββ'=+-+⋅-→→∞( 1分)

代入原式得

()()

()()()()

lim lim n n n n n n n n n n n n

n n

n n x f y y f x x y a y a x f a a f a y x y x βα→∞

→∞

--+⋅-'=-++--

( 2分)

()()lim lim n n n n

n

n

n n n n

n n y a a x f a a f a x y y x y x βα→∞→∞--'=-+++--

lim lim 0,01,01n n n n

n n

n n n n n n y a a x x y y x y x βα→∞→∞⎛⎫--==<<<< ⎪--⎝⎭

因为

()()()()00.

f a a f a f a a f a ''=-+++=-+ ( 2分)

四. (10分) 已知()()()111sin cos 1001;200x x x f x x x

x ⎧

--≤<<≤⎪=⎨⎪=⎩

或，

试判别:

(1) ()f x 在区间[]1,1-上是否连续? 若有间断点,判断其类型;

(2) ()f x 在区间[]1,1-上是否存在原函数?若存在,写出一个原函数;若不存在, 写出理由; (3)

()

f x 在区间[]1,1-上是否可积? 若可积,求出

()11

d ;f x x -⎰若不可积, 写出理由.

解 (1) ()f x 在区间[]1,1-上不连续. (1分)