课题 二阶与三阶行列式,全排列及其逆序数,n阶行列式的定义,对换
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 , t1 t2 10 ,
所以，a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数.
证明 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记
D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于 D 中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
第一节 二阶与三阶行列式
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
n 阶行列式定义
将n2个数排成n行n列的数表，按下列规
则计算出的数，即
D ( 1) a1 p1 a 2 p2 a np n n! a n1 a nn
2 D1 ( 1) ( 1) 1 x1 , 2 D ( 1) ( 2) 2
( 1) D2 x2 2 ( 1) ( 2) D
2
1 , 2
2 2 ( 1) ( 1) D3 x3 2 D ( 1) ( 2)
ci 2 ai 1b12 ai 2b22 ainbn 2 , (i 1,2,, n)
D
a11 a 21 a n1 1
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn 1 1
再证唯一性.假设
x j c j , j 1,2,, n 也是(1)的解.
在(2)两端同时乘以cj
a11 a1 j c j a1n cjD an1 anj c j ann
a11 (a11c1 a1 j c j a1n cn ) a1n an1 (an1c1 anj c j anncn ) ann
例6.2 问λ在什么条件下,方程组
ì λx1 + x2 = 0, ï ï í ï ï î x1 + λx2 = 0
有非零解？
解 由定理6.5知，若方程组有非零解，则其系数行列
式必为零.
D
1
1
0 2 1 0,
线性代数ppt课件
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
5
第一章 行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222代数和a11a22a12a21
解： 1 3 … （2n-1） 2 4 … 2k… （2n)
D3x24x189x2x212x25x6
即x25x60
x2或x3
值得注意的是：四阶及四阶以上行列式没有像二、三阶 行列式那样的对角线法则
13
第一章 行列式 §1-2 全排列及其逆序数
[引例]用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的 三位数？
[解依] 次选定百位数、十位数、个位数。 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 132 213 231 312 321
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
3
第一章 行列式
莱布尼茨：历史上少见的通才，被誉为 十七世纪的亚里士多德。在数学上，他 和牛顿先后独立发明了微积分。在哲学 上，莱布尼茨的“乐观主义”最为著名 。 他对物理学的发展也做出了重大贡献 。
并称它为三阶行列式。
10
第一章 行列式
2、行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 3、三阶行列式的计算 （对角线法则或沙路法则 ）
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
第一讲 二阶、三阶、N阶行列式
第一讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.1 二阶、三阶行列式；§1.2 n 阶行列式 Ⅱ 教学目的与要求：理解排列的概念，以及逆序数的计算方法；了解行列式的定义和性质，会用行列式的定义及性质计算一些较简单的行列式； 掌握二、三阶行列式的计算法；Ⅲ 教学重点与难点：重点：n 阶行列式的定义 难点：n 阶行列式的定义 Ⅳ 讲授内容： §1.1 二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元一次方程组的代入消元解法：⎩⎨⎧=+=+)2.....()1.....(2222111211b y a x a b y a x a 1211a a 、不可能同时为0，不妨设011≠a ，则： )()1(1121a a -⨯得：)3.........(1121111211221a ab y a a a x a -=-- )3()2(+得（消去x ）：112111121121122211a ab a b y a a a a a -=-即：)4( (21)122211211211a a a a a b b a y --=将(4)代入(1)得：21122211212221a a a a b a a b x --=可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数22211211,,,a a a a 以及常数项21,b b 表示出来⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=2112221121121121122211212221a a a a a b b a y a a a a b a a b x ，如果规定记号2112221122211211a a a a a a a a -=，则有：222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-因此二元一次方程组的解可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==2221121122111122211211222121a a a a b a b a y a a a a a b a b x定义1. 1 记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。
线性代数2
L a1n L a2n O M L ann
a11 a21 a12 a22 T D = M a1n a2n
L an1 L an2 O M L ann
行列式D 称为行列式D的转置行列式. 行列式 T称为行列式 的转置行列式 性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 性质1: 行列式与它的转置行列式相等 即DT = D. 说明: 行列式中行与列具有同等的地位, 说明 行列式中行与列具有同等的地位 因此行列 式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 式的性质凡是对行成立的结论 对列也同样成立
0 0 L 0 1 0 0 0 L 2 0 0 L L L L Dn = L n−1 0 L 0 0 0 0 0 L 0 0 n
由于行列式D 每行每列中仅有一个非零元素, 解: 由于行列式 n每行每列中仅有一个非零元素 所以 Dn =(–1)t a1 n-1 a2 n-2 ···an-1 1 an n
利用性质 行列式的第 乘以数k, 性质 列 乘以数 利用性质3行列式的第 i 行(列)乘以数 记作 ri × k ( ci × k ); 利用性质 性质6把行列式的第 利用性质 把行列式的第 j 行(列)的各元素乘以同 列 的各元素乘以同 对应的元素上去, 一数 k 然后加到第 i 行(列)对应的元素上去 记作 列 对应的元素上去 ri + rj × k ( ci + cj × k );
引入记号: 引入记号 用 ri 表示第 i 行, ci 表示第 i 列. 在计算行列式时, 我们经常利用性质 性质2,3,6对行列 在计算行列式时 我们经常利用性质 对行列 式进行变换. 式进行变换 性质2交换行列式的第 两行(列 利用性质 利用性质 交换行列式的第 i, j 两行 列), 记作 ri ↔ rj ( ci ↔ cj );
线性代数1-3n阶行列式的定义
行列式的值具有可消性，即 行或列中某些元素为0时，其 对应的因子也为0。
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线性代数1-3n阶行列式的定义
• 1阶行列式 • 2阶行列式 • 3阶行列式 • n阶行列式
01
1阶行列式
定义
1阶行列式表示为|a|，其中a是一个数。
它表示数a的绝对值。
计算方法
计算方法很简单，直接取绝对值即可 。
如果a是正数，则|a|=a；如果a是负数， 则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
计算方法
01
按照定义，三阶行列式是由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
计算三阶行列式时，需要按照定义展开，即按照行优先的顺序展开。
03
具体计算方法为：将第一行的元素与第二行对应元素的代数余子式相乘，加上 第一行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘，最后加上第二行的元素与 第三行对应元素的代数余子式相乘。
03
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元 素之积。
计算方法
01
计算二阶行列式，需要先计算出矩阵中各元素的代数余子式。
02
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素
之积。
如果行列式中存在0元素，则可以简化计算过程。
03
性质
01
行列式的值与矩阵的转置无关 。
02
行列式的值与矩阵的行变换或 列变换无关。
03
行列式的值是非负的，且等于0 当且仅当矩阵是奇异的（即行列 式中至少有一个元素为0）。
03
3阶行列式
式的扩展，由三个行组成的矩阵，每 个行有3个元素。
02
三阶行列式通常表示为3|a b c|，其中a、b、c分别表示三个 行中的元素。
2004-2015年考研线代试题整理(数三)(学生复印)
c1， c2， c3 ， c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（
（A） 1 ， 2， 3 （C） 1 ， 3， 4 （B） 1 ， 2， 4 （D） 2， 3， 4
2010 年每小题 4 分(5) 设向量组Ⅰ： 1， 2， 下列命题正确的是 （A）若向量组Ⅰ线性无关，则 r s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则 r s
2 1 0 (A) 1 1 0 . 0 0 2 2 0 0 (C) 0 1 0 . 0 0 2
1 1 0 (B) 1 2 0 . 0 0 2 1 0 0 (D) 0 2 0 . 0 0 2
*
O A | A | 2,| B | 3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为 B O
(A)
O 2A O 2B
* *
3B* . O 3 A* . O
2
(B)
O 3A O 3B
* *
2 B* . O 2 A* . O
(A) a , d
)
(B) a , d
(C) a , d (D) a , d
1 2 3 4 2014 年（20） （本题满分 11 分）设 A 0 1 1 1 ， E 为 3 阶单位矩阵。 1 2 0 3
4.3 向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构
1 1 1 1 2015 年每小题 4 分(5)设矩阵 A 1 2 a , b d .若集合 1, 2 ，则线性方程组 1 4 a 2 d2
Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 (
1 （A） 2 1 2 （C） 1 2
1.1n阶行列式1.1.1二阶、三阶行列式n阶行列式的概念来源
此行列式可简记 (aij) 或 D 。aij n
记一阶行列式 a11 ；a11
例1.5 三角形行列式（或对角形行列式）等于 主对角线上n个元素的乘积。
a11 a12 a1n
0 D
a22
a2n
a11a22 ann ；
0 0 ann
例1.6 负三角形行列式
j1 j2 jn
(1) (i1i2 in )
； (1) a a a ( j1 j2 jn )
i1 j1
i2 j2
in jn
j1 j2 jn
D aij n (1) ( j1 j2 i jn )
(1) a a a (i1i2 in )
i1 j1
i2 j2
in jn
i1i2 in
定义: 称
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
为三阶行列式。
例如
304 112 210 0 0 411 41 2 3 21 0 . 10
例如:自然数1，2，3的排列共有六种：
123，132，213，231，312，321．
为了方便起见，今后把自然数 1,2,视为n n个不
同的元素的代表。用 表示这np个i 不同的元素中
的一个
，(且pi 1,2时,, n于) 是 i j 便是pi p j
的一个p1排p2列p3 。 pn
1,2, n
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
二阶、三阶、n阶行列式
三,二阶行列式
a11 x1 + a12 x2 = b1 (1) 1,用消元法解二元线性 一次 方程组 一次)方程组 ,用消元法解二元线性(一次 a21 x1 + a22 x2 = b2 (2)
( a11 a 22 a12 a 21 ) x1 = b1a 22 b2 a12 ( a11 a 22 a12 a 21 ) x2 = b2 a11 b1a 21
b1 b2
a 12 a 22
a 12 a 22
主对角线 副对角线
主对角线的乘积- 主对角线的乘积-副对角线的乘积
行,列
两行两列故为二阶行列式
D1 = b1a 22 b2 a12 =
D2 = b2 a11 b1a 21 =
系数行列式
a 11 a 21
b1 b2
∵ D ≠ 0 ∴ 二元一次方程组有唯一解 x1 =
a11
-
a12 a22 a32
a13 a23 a33
+
a21 a31
对角线法则
沙路法则: 沙路法则:
a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a13 a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a33
a11 a21 a31
- -
a12 a22 a32
2,几种特殊的行列式 , (1),对角行列式—非主对角线上元素全为 的行列式. ,对角行列式 非主对角线上元素全为0的行列式 非主对角线上元素全为 的行列式.
λ1
D= 0 0 D= 0
λ2
= (1) N (12n ) λ1λ2 λn = λ1λ2 λn
λn
λ1 λ2
= ( 1) N ( n ( n 1)21) λ1λ2 λn = ( 1)
线性代数_课件
2020/3/1
22
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项
(1) a1p1...aipi ...a jpj ...anpn
(1)
其中 1...i... j...n为自然排列， 为列下标排
列 p1...pi...p j... pn 的逆序数。对换 (1) 中元
素a
与
ip i
a jp
j
成：
(1) a1p1...a jpj ...aipi ...anpn
解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的逆序
数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数的组合
数即 ：
(
p1 p2... pn )
(
pn
pn1... p1)
Cn2
n(n 1) 2
(
pn
pn1... p1)
n(n 1) 2
k
2020/3/1
9
例4 求排列(2k)1(2k 1)2(2k 2)...(k 1)k
a22 ...
... a2n ... ...
a11a22...ann
0 0 ... ann
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16
3) 次上三角行列式
a1,1 ... a1,n1 a1,n
a2,1 ... a2,n1 ... ... ...
0 ...
n ( n 1)
(1) 2 a1,na2,n1...an,n
例6 若 a13a2ia32a4k , a11a22a3ia4k , ai2a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号， 后一项带负号。
第一章(第一节) 行列式
对分子的观察结果与对分母的观察结果一样。 为了更加方便写出三元线性方程组的解，更好 记忆解的解构，就提出了三阶行列式的定义。 三阶行列式的定义 给出32=9个数，排成三行三列的数表
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
[6]
a11 a12
a13
D a21 a22 a23 a31 a32 a33
（1）每项都是三个元素的乘积，且三个元素来 自不同行、不同列，且每行一个元素，每列也是 一个元素，共3！=6项； （2）6项中三项为正，与主对角线平行的方向 的三个元素的乘积为正，与副对角线平行的方 向的三个元素的乘积为负。
b1 b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 a33
b1a22 a33 a12 a23b3 a13b2a32 a13a22b3 b1a23a32 a12b2a32
D
a11
a12
a21 a22
, D1
b1 b2
a12 a22
, D2
a11
b1
a21 b2
当D≠0时，有
b1 b2 D1 x1 a11 D a21 a12 a11 a22 a21 D2 , x2 a12 a11 D a22 a21 b1 b2 a12 a22
可以看出，求x1的解时，x1所在系数列被右端 常系数列替换，其余不变，求x2时，x2所在系 数列被右端常系数列替换，其余不变。这样更 加方便写出二元线性方程组的解，更好记忆。
首先定义：a11,a22,a33三个元素的连线称为主对 角线，用实线表示，a13,a22,a31三个元素的连线 称为副对角线，用虚线表示。
对分母的观察结果：
线性代数 第一章 行列式
a22
an 2 ann
思考题
已知 f x
x 1 3 1
1 x
1 1
2 1 1 1
2 x 1 2x
，求 x 3的系数.
33
解
含 x 3的项有两项，即
f x
x 1 3 1
1 x
1 1
2 1 1 1
2 x 1 2x
对应于
(1) (1)t (Fra bibliotek234)a11a22a33a44 (1)t 1243 a11a22a34a43 a11a22a33a44 x ,
线性代数（第五版）
第一章
•
行列式
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
2
§1
二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项．
2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 a3 p3 （正负号除外），其中 p1 p2 p3 是1、2、3的某个排列.
4. 当 p1 p2 p3 是偶排列时，对应的项取正号；
当 p1 p2 p3 是奇排列时，对应的项取负号.
其中
p1 p2 p3
表示对1、2、3的所有排列求和.
二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.
二、n 阶行列式的定义
D a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
线代_第1章行列式(知识点汇总)
对换改变排列的奇偶性
在排列中,将任意2个元素对调,
其余元素不动----对换
9
3.n 阶行列式
n阶行列式的定义
a11 a12 L
a21 a22 L
a1n
a2n
1
a a t 1 p1 2 p2
L
anpn
L L L L L L L
an1 an2 L ann
(1)t aq1 a1 q2 2 L aqnn
3
第1章行列式----知识结构
3.展开式：余子式Mij，代数余子式Aij ，
Aij 1 i j Mij
| A |
a A n
j1 kj kj
a A n
k 1 kj kj
a A n j1 ij kj
0(i
k)
a A n i 1 ik ij
0(k
j)
4.行列式计算：利用性质及展开定理
4
1.二阶与三阶行列式
二阶行列式： a11 a21
三阶行列式：
a12 a22
a11a22 a12a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
----大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆6序
全排列及逆序数(续)
逆序数: 一个排列中所有逆序的总数称为 此排列的逆序数. 排列的奇偶性
奇排列：逆序数为奇数的排列; 偶排列：逆序数为偶数的排列.
7
计算排列逆序数的方法
设P1P2…Pn是1,2,…,n这n个自然数的任一排 列，并规定由小到大为标准次序.
线性代数课件第一章
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
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课题1 二阶与三阶行列式；全排列及其逆序数；
n 阶行列式的定义；对换.
1、二阶行列式
把二元线性方程组11112212112222
a x a x
b a x a x b +=⎧⎨+=⎩ （1）
的四个系数按它们在方程组（1）中的位置，排成二行二列的数表
111221
22
a a a a （2）
其运算表达式11221221a a a a -称为数表（2）的二阶行列式，
记为
11121122122121
22
a a D a a a a a a =
=- （3）
理解：（1）数(1,2;1,2)ij a i
j ==称为行列式（3）的元素
或元，即行列式（3）的元素可表为(1,2;1,2)ij a i j ==，
其中i 为行标，j 为列标。
元素ij a 位于该行列式（3）的第i 行
第j 列或称为行列式（3）的第(,
)i j 元.
（2）把11a 到22a 的联线称为主对角线，12a 到21a 的联线称为副对角线，二阶行列式等于各元素主对角线之积减去副对角线各元素之积.
（3）行列式表示按某种法则运算的结果.
利用行列式的概念，二元线性方程组（1）的求解过程
可写为
111221
22
0a a D a a =
≠，11212
22
b a D b a =
，
111222
2
a b D a b =
.
所以 11D x D =，2
2D x D
=.
自学P 2例1. 2、三阶行列式
定义：设有9个数排成3行3列的数表
11
1213
21222331
3233a a a a a a a a a （4） 记为
11
1213
21
222311223312233131
32
33
a a a D a a a a a a a a a a a a ==+ 132132132231112332122133a a a a a a a a a a a a +---. （5）
（5）式称为数表（4）所确定的行列式.
例1 计算三阶行列式
2
2
21
11a b c a
b
c
. 解 原式=2
22222bc
ca ab ba cb ac ++---
=()()()a b b c c a ---. □ 自学P 3例2。
例2 求解方程
2
11123
049x x =.
解 方程左端的三阶行列式可化为 2223418921256x x x x x x ++---=-+，
由
2
560x x -+=，解得 2x =或3x =. □
3、全排列及其逆序数
逆序数：对于n 个不同的元素，先规定各元素之间有一
个标准次序（通常规定由小到大为标准次序），然后由这n 个元素所组成的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，得到一个逆序，所有这些逆序的总数称为这个排列的逆序数，用字母t 表示.
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例3 求排列32514的逆序数.
解 规定标准次序为123450.于是在排列32514中，首位元素3的逆序数是0，第2位元素2的逆序数是1，第3位元素5的逆序数是0，第4位元素1的逆序数是3，末位元素4的逆序数是1. 所以它的逆序数为
t =0+1+0+3+1=5. □
例4 按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数. 13
(21)24(2)n n -
解 在这个排列中有2n 个元素，其中前n 个元素组成的排列13
(21)n -的逆序数是0.第1n +位元素2与它前面
除元素1外的其它1n -个元素都构成逆序对，故它的逆序数是1n -.同理，第2n +位元素4的逆序数是1n +，…， 末位元素2n 的逆序数是0. 所以它的逆序数为
t =1
(1)(2)0(1)2
n n n n -+-+
+=-. □
根据逆序数，三阶行列还可以改写为
123111213
21222312331
32
33
(1)t p p p a a a a a a a a a a a a =-∑ （6） 其中，1p 、2p 、3p 在1～3中任取三个不同的数，t 为排列123p p p 的逆序数，∑表示对123123(1)t
p p p a a a -取代数
和.
4、n 阶行列式的定义
我们把（6）式推广到一般情形，得到n 阶行列式的定义
定义：设有2
n 个数，排成n 行n 列的数表
11121212221
2
n n n n nn
a a a a a a a a a
记
12
1112121222121
2
(1)n n n t p p np n n nn
a a a a a a D a a a a a a =
=-∑.
称为n 阶行列式，简记为det()ij a ，其中数ij a 为行列式D 的
(,)i j 元.
例 5 证明n 阶主对角行列式
1
2
12n n
λλλλλλ=.
证明
(1,2,,)i i n λ=为行列式的(,)i i 元，于是记为
i ii a λ=，所以
1
11
2
22
n
n n
a a a λλλ=
1112
12
(1)(1)t
t
nn n a a a λλλ=-=-，
其中t 为排列12
n 的逆序数，显然t =0. □
练习1 证明n 阶副对角行列式
1
(1)2
2
12(1)
n n n n
λλλλλλ-=-.
例6 证明行列式
1121221122
1
2
nn n n nn
a a a D a a a a a a =
=.
证明 由于当j i >时，0ij a =，所以在D 中不为0的
元素i
ip a ，其下标必有i p i ≤，即11p ≤，22p ≤，…，n p n ≤.
从而1
1p =，22p =，…，n p n =. 所以
12
n p p p =12…n ，此时，0t =.
所以 D 11221122(1)
t
nn nn a a a a a a =-=. □
注：主对角线以下（上）的元素都为0的行列式称为上（下）三角形行列式，它的值等于主对角线所有元素的积. 练习2 证明上三角形行列式
11
12122211220
n n nn nn
a a a a a D a a a a =
=.
5、对换
（1）定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换. （2）关于对换的几个重要结论
结论1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
结论2 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.
结论3 行列式依副对角线翻转、旋转180°
所得到行列式的值不变.
6、作业 P 25-27 1、2（2）（4）（6）、5（1）.。