空间解析几何-第5章 正交变换与仿射变换
仿射变换
或
a11 a12 x a13 x' . ka y ' 21 a22 y a23
其中(x, y)与(x', y')为φ的任一对对应点P, P'的坐标, 矩阵
a11 a12 A 称为的矩阵, 满足AA ' A ' A E,即A为二阶正交矩阵. a21 a22
{
A为非异矩阵 存在k>0, A可化为k乘以一个正交阵, A为正交矩阵
仿射变换 相似变换. 正交变换
其中(x, y)与(x', y')为φ的任一对对应点P, P'的坐标, 矩阵
a11 a12 A 称为的矩阵, 满足AA ' A ' A E,即A为二阶正交矩阵. a21 a22
几何变换
二 相似变换
设 φ 为平面上的一个点变换，平面上任意的相异两点 P，Q在φ下的像分别为P’,Q’，满足
几何变换
三种几何变换 对于平面上取定的直角坐标系, 如下点变换φ x ' a11 a12 x a13 a y ' 21 a22 y a23
a11 a12 设A ,若 a 21 a22
或
a11 其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P'的坐标, 矩阵 A a21
满足|A|≠0, 称为仿射变换φ的矩阵.
a12 a22
注：1.仿射变换是平面上的一个双射. 2.仿射变换使共线点变为共线点, 不共线点变为不 共线点, 平行直线变为平行直线； 3.仿射变换保持共线三点简单比不变, 但是不能保 持距离、夹角不变. 定理1.13(i). 平面上两个仿射变换的积是一个仿射变换； (ii). 平面上的恒同变换是一个仿射变换； (iii). 任一个仿射变换的逆变换是一个仿射变换.
空间解析几何的正交变换正交变换的性质与计算
空间解析几何的正交变换正交变换的性质与计算正交变换是一类在空间解析几何中具有重要地位的变换。
它是指在空间中既保持长度不变，又保持两向量之间的夹角不变的变换。
在此文章中，我们将探讨正交变换的性质与计算方法。
一、正交变换的定义与性质正交变换在空间解析几何中被广泛运用。
它是指一个线性变换，使得空间中的任意向量经过该变换后，向量的长度保持不变，并且向量之间的夹角也保持不变。
具体而言，设给定空间中的两个向量A和B，经过正交变换T后，它们的长度和夹角分别为A'和B'。
则有以下性质：1. 长度不变：经过正交变换T后，向量的长度保持不变，即|A|=|A'|，|B|=|B'|。
2. 夹角不变：经过正交变换T后，向量之间的夹角保持不变，即∠(A,B)=∠(A',B')。
3. 内积不变：经过正交变换T后，向量之间的内积保持不变，即A·B=A'·B'。
4. 正交性：若经过正交变换T后的向量A'与向量B'垂直（即A'⊥B'），则原始向量A与B也一定垂直（即A⊥B）。
二、正交变换的计算方法根据上述性质，我们可以利用矩阵来计算正交变换。
设空间中的向量A=[a₁, a₂, a₃]，我们可以构造一个正交矩阵T，满足以下性质：1. T的行、列是正交单位向量2. T的行、列是长度为1的向量有了正交矩阵T，我们可以通过矩阵乘法来计算变换后的向量A'：A' = T·A计算变换后的向量B'时，同样可以使用上述公式。
对于特定的正交变换，我们可以使用不同的矩阵来进行计算。
例如：1. 旋转变换：设给定一个旋转轴n和一个旋转角度θ，对于任意向量n，它的旋转变换可以表示为：R(θ) = [cosθ+nₓ²(1-cosθ), nₓnᵧ(1-cosθ)-n n sinθ, nₓn_z(1-cosθ)+n_ssinθ][nₓnᵧ(1-cosθ)+n_sn_z, nᵧ²(1-cosθ)+n n sinθ, nᵧn_z(1-cosθ)-n_ssinθ][nₓn_z(1-cosθ)-n_ssinθ, nᵧn_z(1-cosθ)+n_ssinθ, n_z²(1-cosθ)+nnsinθ]其中n = [nₓ, nᵧ, n_z]为旋转轴的单位向量，θ为旋转角度。
空间几何的仿射变换
空间几何的仿射变换几何学是研究图形、空间、数量等概念的学科。
其中，空间几何是研究空间运动和空间图形之间的关系的学科。
空间几何中有一个重要的概念叫做仿射变换，它在空间几何中有着广泛的应用，尤其是在计算机图形学和计算机视觉中。
一、什么是仿射变换先来看下什么是仿射变换。
简单地说，仿射变换是保持点之间的“比例关系”的变换，它是一种线性变换和平移变换的组合。
在二维平面中，一个仿射变换可以用一个$3\times3$的矩阵表示如下：$$\begin{bmatrix}s_{x}&r_{x}&t_{x}\\r_{y}&s_{y}&t_{y}\\0&0 &1\end{bmatrix}$$其中，$s_{x}$和$s_{y}$表示水平方向和垂直方向的缩放因子，$r_{x}$和$r_{y}$表示水平方向和垂直方向的倾斜，$t_{x}$和$t_{y}$表示水平方向和垂直方向的平移。
在三维空间中，一个仿射变换可以用一个$4\times4$的矩阵表示如下：$$\begin{bmatrix}s_{x}&r_{x}&p_{x}&t_{x}\\r_{y}&s_{y}&p_ {y}&t_{y}\\r_{z}&p_{z}&s_{z}&t_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$其中，$s_{x}$、$s_{y}$和$s_{z}$表示三个方向的缩放因子，$r_{x}$、$r_{y}$和$r_{z}$表示绕三个坐标轴的旋转角度，$p_{x}$、$p_{y}$和$p_{z}$表示绕三个坐标轴的旋转中的剪切因子，$t_{x}$、$t_{y}$和$t_{z}$表示三个方向的平移量。
二、仿射变换的应用1. 计算机图形学在计算机图形学中，仿射变换可以用来实现图形的旋转、缩放、平移、剪切等操作。
比如，平移可以通过使用平移矩阵来实现：$$\begin{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix} $$缩放可以通过使用缩放矩阵来实现：$$\begin{bmatrix}s_{x}&0&0\\0&s_{y}&0\\0&0&1\end{bmatrix} $$旋转可以通过使用旋转矩阵来实现：$$\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$等等。
仿射变换原理解析
平移仿射变换涉及将图形在二维平面内沿某一方向进行移动，而不改变图形之 间的相对位置和形状。这种变换通常由一个平移矩阵表示，其中包含平移向量 和单位矩阵。平移向量决定了图形移动的距离和方向。
旋转仿射变换
总结词
旋转仿射变换是围绕某一点旋转图形，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。
详细描述
旋转仿射变换涉及将图形围绕某一点进行旋转，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。这种变换通常由一个 旋转矩阵表示，其中包含旋转角度和旋转中心点坐标。旋转角度决定了图形旋转的角度，而旋转中心点坐标决定 了旋转的基准点。
缩放仿射变换
总结词
缩放仿射变换是改变图形的大小，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。
详细描述
缩放仿射变换涉及将图形的大小进行缩放，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。这种变换通常 由一个缩放矩阵表示，其中包含缩放因子和缩放中心点坐标。缩放因子决定了图形缩放的程度，而缩 放中心点坐标决定了缩放的基准点。
03
图像校正
通过仿射变换，可以将倾 斜的图像进行校正，使其 恢复水平或垂直状态。
图像拼接
在图像拼接过程中，可以 使用仿射变换将多张图像 进行对齐，实现无缝拼接。
特征点匹配
通过仿射变换，可以将不 同视角下的图像进行对齐， 便于特征点匹配和计算。
计算机图形学中的仿射变换
3D模型渲染
在3D模型渲染过程中，可以使用 仿射变换对模型进行旋转、缩放 和平移等操作，以实现各种视觉
THANKS.
仿射变换的基本性质
仿射变换不改变图形间的相对 位置和大小关系，即保持平行 性和等比例性。
仿射变换可以分解为一系列基 本变换的组合，如平移、旋转、 缩放等。
仿射变换可以保持直线的性质， 如直线的平行性和垂直性。
解析几何中的仿射与相似变换
解析几何中的仿射与相似变换解析几何是数学中一个重要的分支，研究的是平面和空间中的几何图形，其中涉及到各种各样的变换。
在解析几何中，仿射变换和相似变换是两个常见的变换类型，它们在几何图形的研究和应用中发挥着重要的作用。
一、仿射变换仿射变换是指保持直线平行性和直线上的点的比例关系的变换。
形式上，对于平面上的点P(x, y)，经过仿射变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = a1x + a2y + a3y' = b1x + b2y + b3其中a1、a2、a3、b1、b2、b3是常数，且a1b2 - a2b1 ≠ 0。
对于仿射变换，我们可以将其分解成平移、旋转、缩放和剪切四个基本变换的组合。
具体而言：1. 平移变换：平移变换将点P(x, y)移动到新的位置P'(x', y')，其中新位置与原位置的坐标之差为一个常量向量(v1, v2)。
对于平面上的点P(x, y)，经过平移变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = x + v1y' = y + v22. 旋转变换：旋转变换将点P(x, y)绕一个固定的点O(x0, y0)逆时针旋转θ弧度。
对于平面上的点P(x, y)，经过旋转变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = (x - x0)cosθ - (y - y0)sinθ + x0y' = (x - x0)sinθ + (y - y0)cosθ + y03. 缩放变换：缩放变换将点P(x, y)绕一个固定的点O(x0, y0)按照比例因子k进行缩放。
对于平面上的点P(x, y)，经过缩放变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = k(x - x0) + x0y' = k(y - y0) + y04. 剪切变换：剪切变换通过把点P(x, y)沿着某个方向按照比例因子k进行剪切。
仿射变换.
| AB | | BC || AC | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
| AB | | BC || AC | | AB | | BC || AC |
即A', B', C'仍然为不共线三点.
x y
' '
a11x a21x
a12 a22
y y
a13 a23
或
x' y'
a1
a13 a23
.
(1.1)
其中(x, y)与(x', y')为的任一对对应点P, P'的坐标, 矩阵
A
a11 a21
a12
a22
称为的矩阵, 满足AAT=ATA=E, 为二阶正交矩阵.
注. 仿射变换的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
仿射变换
定义 设为平面上的一个点变换, 满足 (1) 为一个使共线点变为共线点的双射； (2) 使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比； (3) 使得相互平行的直线变为相互平行的直线, 则称为上的一个仿射变换.
注 对于正交变换的矩阵A, 显然有A1=AT, 且|A|=1.
x
OPx OEx
( Px ExO)
y
OPy OEy
(PyEyO)
uuur OP xex yey.
仿射变换原理解析
注2. , '的交线称为透视仿射b的轴. 若//'则没有轴.
1
仿射变换
2. 仿射变换
定义 对于空间中一组平面, 1, 2, …, n, ', 设以下对应均为
透视仿射对应：
0:1, 1:1 2, ..., n:n '
则称这n个透视仿射的积为到'的一个仿射对应. 若', 则称 为平面上的一个仿射变换.
换的定义有
|A B | |B C | |A C | |A 'B '| |B 'C '| |A 'C '| .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
|A B | |B C | |A C | |A B | |B C | |A C |
||A A ''B B ''|| ||B B ''C C ''|| ||A A ''C C ''||
且|AB|=|A'B'|, |BC|=|B'C'|, |AC|=|A'C'|. 即ABCA'B'C', 于是,
B =B', 即正交变换保持两直线的夹角不变.
推论 (1) 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使 得任何平面图形变为可以与其叠合(合同)的图形.
仿射变换
仿射变换
1. 透视仿射对应
定义 对于空间中两平面, ',
解析几何 仿射变换
解析几何是数学中的一个分支，研究了几何图形在坐标系中的表示和性质。
而仿射变换是解析几何中的一个重要概念，它描述了几何图形在平移、旋转、缩放等变换下的性质和关系。
仿射变换是指在二维或三维空间中，通过平移、旋转、缩放、错切等操作，将一个几何图形映射到另一个几何图形的变换。
它保持了几何图形的平行性、共线性和比例性质，因此在很多几何问题的研究和应用中具有重要作用。
在二维空间中，仿射变换可以用矩阵表示。
设原始图形的坐标为(x, y)，经过仿射变换后的坐标为(x', y')，则可以表示为如下的矩阵形式：```[x'] [a b] [x] [e][y'] = [c d] * [y] + [f][1 ] [0 0] [1] [1]```其中，矩阵的左上角2x2部分表示旋转、缩放、错切等线性变换；右侧的列向量表示平移变换。
仿射变换具有许多重要的性质和应用。
首先，仿射变换可以保持几何图形的形状、大小和相对位置关系。
例如，通过平移可以将一个图形移动到另一个位置，通过旋转可以改变图形的朝向，通过缩放可以调整图形的大小。
其次，仿射变换可以用来解决许多几何问题。
例如，通过仿射变换可以计算两个几何图形之间的距离、角度、相交关系等。
它也可以用来生成各种特殊形状的图形，如椭圆、双曲线等。
此外，仿射变换还在计算机图形学、计算机视觉等领域中得到广泛应用。
通过仿射变换，可以实现图像的旋转、平移、缩放等操作，从而实现图像的处理和变换。
在计算机视觉中，仿射变换可以用来进行图像的校正、配准等操作。
总之，仿射变换是解析几何中的一个重要概念，它描述了几何图形在平移、旋转、缩放等变换下的性质和关系。
通过仿射变换，我们可以研究和解决许多几何问题，实现图形的处理和变换。
在实际应用中，仿射变换在计算机图形学、计算机视觉等领域中具有广泛的应用价值。
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目录中文题目 (1)中文摘要关键词 (1)英文摘要关键词 (1)引言 (2)一、正交变换 (2)（一）正交变换的定义 (2)（二）正交变换在数学中的应用 (3)二、仿射变换 (10)（一）仿射变换的定义及其性质 (10)（二）仿射变换在数学中的应用 (11)三、射影变换 (14)（一）射影变换的定义 (14)（二）射影变换在数学中的应用 (16)四、近似变换 (19)（一）近似变换的定义 (19)（二）近似变换在数学中的应用 (20)结束语 (22)参考文献 (22)数学中的变换————几种常见变换在数学中的应用王鸾凤（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要：数学中的数学变换有很多种，本文对几种常见的数学变换——正交变换、仿射变换、射影变换、相似变换的定义及其在数学中的应用做了总结。
正交变换是欧氏空间中的一类重要的变换，是保持向量内积不变的变换，正因为它有这一特征，使正交变换在高等代数中起着重要的作用。
不仅如此，正交变换在多元函数积分中、多元Tarlor 公式中也有独到的应用。
仿射变换是几何中的一个重要变换，它是从运动变换到射影变换的桥梁。
灵活的运用仿射变换，能使一些初等几何问题由繁到简。
射影变换中二维射影变换定理及其应用非常重要。
相似变换可以把求一个较复杂的函数()F x 迭代根转化为求一个较简单的函数()G x 迭代根的问题。
关键词：正交变换，仿射变换，射影变换，相似变换。
Transformation in mathematics----------------Several common transformations in the application of mathematicsWang Luanfeng(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract: There are many mathematical transformations in mathematics. In this paper, it summarizes the definition of the orthogonal transformation, affine representation, projective transformation and similar transformation. It also summarizes the application of problem-solving in mathematics. Orthogonal transformation is a major transformation in Euclidean space ，it maintains the measure of the transformation. Precisely because of this character, orthogonal transformation plays an important role in advanced algebra. Moreover, orthogonal transformation also has unique applications in the integration of multi-function, multi-formula, and so on. Affine transformation plays an important role in geometry, it is the transition from the movement to transform projective transform. Flexible usage of affine transformation makes some complex elementary geometry problems simple. The tow-dimensional projection transform theorem and its application is very important in the projective transformation. Similar transformation can make a complex problem of Gen-function iteration become simpler.Keywords: Orthogonal transformation ，Affine representation ，Projective transformation ， Similar transformation.引言我们在大学中学习了许多数学变换，接触了数学中的正交变换、仿射变换、射影变换、相似变换等，它们在数学中的应用非常广泛，正交变换在数学分析、高等几何、高等代数等学科中的解题有着很重要的应用，仿射变换、射影变换在高等几何中的图形变换的解题非常重要，相似变换在高等代数中的多项式解题有着非常灵活的应用，下面就这些数学变换的应用做出总结。
第5章正交变换与仿射变换
系
根O据';性e1' ,质e2'6可,并知且σ把Ouu直'uPur角' 坐x标e1'系
O;e1, e2 变到直角坐标
ye2' ,即P’在直角坐标系
O';e1' , e2' 下的坐标与P在直角坐标系 O;e1, e2 下的坐标
一
致。
设
uuuur OO'
ae1
be2 ,
er1'
a11e1
第五章 正交变换与仿射变换
迄今为止,我们把几何图形都看成是静止的、不变的,对几何图 形的性质也是孤立地进行研究,没有联系图形位置的改变与形状的变 化。然而万事万物总是在不停地运动和变化着，物体的位置和形状 也是如此。对物体位置和形状的各种变化规律进行研究,并给以数学 描述,很有必要。例如:一物体被搬动了,如果其形状不改变的话,这是 一种运动。又如长方形的窗格被阳光斜投影到地面上,得到一个平行 四边形的影子,这是形状的变化。初步探讨图形在运动或变化下的性 质是本章的任务。这里将介绍图形的两种简单形变:正交变换与仿射 变换，讨论二次曲线和二次曲面在这两种变换下的性质。我们借助 于坐标,用解析的方法(代数方法)来描述变换,并讨论图形在变换下的 不变性质。在几何学中,研究图形在各种几何变换下的不变性质和不 变量是极其重要的。
由性质3知道,正交变换的逆变换存在,且逆变换也是正交变
换。因此,由以上三个性质知道平面上全体正交点变换构成 平
面上的一个变换群,称为正交变换群。
性质4 正交变换把直线变到直线,并保持共线三点P,Q,R的
简单比P,Q, R
PR RQ
不变。其中PR，RQ表示有向线段PR, RQ
的有向长度uu(u或r 代数长),即若u在uur直线PQ上取一单位向量e ,则
M正交变换和仿射变换
如果保持所有的点不动，即是一个恒等变换
那 么 就 有 = ， 这 和 不 是 刚 体 运 动 矛 盾 .所 以
所以不能保持所有的点不动.
设 P 是 的 动 点 , 记 P ' = ( P ).
由 于 是 正 交 变 换 ， 所 以 的 不 动 点 都 会 位 于 PP ' 的 垂 直 平 分 面 P上 .
设 P1 , P2 , P3 是 直 线 l 上 的 三 点 ， 经 过 仿 射 变 换 变 成 直 线 l ' 上 ' ' ' ' ' ' ' ' 的 三 点 P1 , P2 , P3 .如 果 P1 P 2 P2 P3 , P1 P2 P2 P3 , 要 证 明 = '
，
那 么 是 一 个 保 持 A ' B ' C ' 不 变 的 正 交 变 换
A ' B ' C ' A ' B ' C '.
同 时 , ( P ) ( ( P ))
-1
正交变换
( ( P )) ( P ),
这 表 明 = .
例 题 2： 分 别 对 于 两 个 相 交 平 面பைடு நூலகம்的 两 个 反 射 的 乘 积 是一个旋转.
作业
7，10，11
复习：坐标变换
旧 坐 标 系 [ O , e1 , e 2 , e 3 ]
O ( a1 , a 2 , a 3 )
'
新 坐 标 系 [ O , e1 , e 2 , e 3 ] ' O O a 1 e1 a 2 e 2 a 3 e 3 .
空间中的几何变换与仿射变换
空间中的几何变换与仿射变换空间中的几何变换与仿射变换是几何学中重要的概念，它们描述了物体在空间中的平移、旋转、缩放和扭曲等变化。
本文将对这两种变换进行介绍，并探讨它们在计算机图形学和计算机视觉中的应用。
一、几何变换几何变换是指物体在空间中的位置和形状发生变化的操作。
常见的几何变换包括平移、旋转和缩放。
这些变换可以通过矩阵运算来表示。
1. 平移变换平移变换是物体在空间中沿着某一方向移动一定的距离。
它可以用一个平移向量来描述，即将物体的每个点坐标都加上平移向量的分量。
设物体上的一个点P坐标为 (x, y, z)，平移变换的平移向量为(dx, dy, dz)，则物体经过平移变换后的坐标为 (x+dx, y+dy, z+dz)。
2. 旋转变换旋转变换是物体围绕某一中心点旋转一定的角度。
它可以用旋转矩阵来表示，旋转矩阵的元素根据旋转轴和旋转角度的不同而有所变化。
对于二维空间，以原点为中心，逆时针旋转角度θ的旋转变换可以表示为以下矩阵形式：| cosθ -sinθ || si nθ cosθ |对于三维空间，旋转变换涉及到欧拉角和四元数等复杂的数学概念，这里不做详细讨论。
3. 缩放变换缩放变换是物体的每个点坐标根据缩放因子进行放大或缩小的操作。
它可以用一个缩放矩阵来表示。
设物体上的一个点P坐标为 (x, y, z)，缩放变换的缩放因子为(sx, sy, sz)，则物体经过缩放变换后的坐标为 (sx * x, sy * y, sz * z)。
二、仿射变换仿射变换是一种保持了直线、平行线和比例关系的变换。
它是几何变换的一种扩展，包含了平移、旋转、缩放和剪切等操作。
仿射变换可以用一个仿射矩阵来表示，仿射矩阵对应了一个线性变换和一个平移变换。
线性变换可以用矩阵乘法表示，而平移变换可以用平移向量加法表示。
1. 线性变换线性变换是指一个向量在空间中经过旋转和缩放等变换后的结果。
它可以用一个线性变换矩阵来表示。
设物体上的一个点P的坐标为 (x, y, z)，线性变换矩阵为 A，则物体经过线性变换后的坐标为 A * P。
仿射变换 方程怎么解
仿射变换方程怎么解以仿射变换方程怎么解引言：仿射变换是一种常见的几何变换方法，可以用于对图像进行旋转、平移、缩放和错切等操作。
本文将介绍仿射变换方程的解法，帮助读者更好地理解和应用仿射变换。
一、什么是仿射变换？仿射变换是指在平面上对点进行旋转、平移、缩放和错切等操作的变换方式。
它可以通过一个线性变换和一个平移向量来表示。
具体而言，对于平面上的点 (x, y)，经过仿射变换后的点 (x', y') 可以通过以下公式计算得出：x′=xx+xx+xx′=xx+xx+x其中，a、b、c、d、e 和 f 是仿射变换的参数。
二、仿射变换方程的解法1.已知三对点坐标的情况下当给定三对点的坐标时，我们可以利用这些已知点来求解仿射变换方程的参数。
假设已知的点分别为 (x1, y1) -> (x1', y1')，(x2, y2) -> (x2', y2') 和 (x3, y3) -> (x3', y3')，则可以得到以下三个方程：x1′=xx1+xx1+xx1′=xx1+xx1+xx2′=xx2+xx2+xx2′=xx2+xx2+xx3′=xx3+xx3+xx3′=xx3+xx3+x通过解这个方程组，我们可以求解出a、b、c、d、e 和f 的值，从而得到仿射变换的参数。
2.已知变换矩阵的情况下除了通过已知点来求解仿射变换方程的参数，我们还可以通过已知变换矩阵的方式来解方程。
假设已知的变换矩阵为 M，即[x′1 x′1] = [x1 x1 1] x其中，[x′1 x′1] 是经过仿射变换后的点的坐标，[x1 x1 1] 是原始点的齐次坐标。
则根据仿射变换的定义，可以得到以下方程：x′1=x1x+x1x+xx′1=x1x+x1x+x通过解这个方程组，我们可以求解出仿射变换的参数。
三、应用实例仿射变换在计算机图形学和计算机视觉领域有着广泛的应用。
空间解析几何-第5章正交变换与仿射变换
合,即σ(P)=P'。
由性质3知道,正交变换的逆变换存在,且逆变换也是正交变
换。因此,由以上三个性质知道平面上全体正交点变换构成
平
面上的一个变换群,称为正交变换群。
xy''aa1211aa1222xyba.
设 a a ',a u e 1 v e 2 ,a u ' e 1 v ' e 2 .由性质6得
a' u'e1' v'e2' .
我们容易得到 u',v'与u,v之间的关系
u' v'
aa1211aa1222vu.
（2．4）
考虑正交矩阵A的条件：
a
P'
坐标变换中的移轴公式类似, 但是含意却完全不同:点的平 移公式中,(x,y)和(x’,y’)是不同
oP
x
的两个点在同一坐标系中的坐标;而移轴公式中,(x,y)和 (x',y')是同一个点在两个不同的坐标系中的坐标。
5
例5 平面上的旋转 S是平面上所有点的集合,在平面上取定
一个直角坐标系｛O;e 1 , e 2 ｝,令点P(x,y)和P’(x’,y’)的对应
20
§3 平面的仿射变换
比正交变换较为广泛的一种点变换就是本节将要讨论的
仿射变换。在这里为了简单起见,不同于前节用几何特征来 定
义正交变换,我们直接用变换公式给出仿射变换的定义，并 用
这公式研究仿射变换的一些性质。
1. 仿射变换的定义和例子
仿射变换理论及其在几何中的应用
仿射变换理论及其在几何中的应用仿射变换理论在儿何中地位非常重要，它比正交变换解决的问题范围更广.本文中我们将看到仿射坐标系，在仿射坐标系中我们了解仿射变换和仿射变换的基本性质，例如包括仿射变换将直线变为直线，将平行的两条直线变为半行的两直线。
本文中还介绍单比，利用它证明了梅内劳斯(Menelaus)定理。
后來本文介绍了仿射不变性质，例如两个三角形面积的比是仿射不变量。
最后本文介绍了利用本文的有关性质解决一些问题。
这样使得读者更好的了解这篇文章。
欧式儿何就是研究正交变换下图形的不变性质与不变量，因此在初等平面儿何中都是讨论图形的那些与距离，角度,面积，等有关的性质，如三角形全等，平行，垂直等•但是图形的各种变形中，保持任意两点之间的距离不变的变换是十分特殊.例如，图形的放大，物体在阳光照射下变成它们的影子等，都不具有这种性质，即都不是正交变换•因此，我们考虑较正交变换广泛一点的点变换，即仿射变换.本文讨论了仿射变换的槪念及其性质，同时给出了其在儿何中的应用.1平面上的仿射坐标系与仿射变换我们引进仿射坐标系：在半面上任取一点。
及两个不共线的向量5 二O 瓦,=OE2(不一定是单位向量，EG,.不一定垂直的)这样我们就建立了仿射坐标系如图1对于平面上任一点尸，则向量。
户可唯一地表示为OP = xei + yei数组&y)称为关于仿射坐标系仁由,/},的仿射坐标.定理1. 0在仿射坐标系下，直线方程一定是关于仿射坐标系的一次方程Ax+By+C = 0,(1. 00)反之也真.证明在直线上任取两点小演，乂)，2(9,%),对于直线上任一点P幺有联II鹤，即&-演K-K'或(工一占)(治一必)一(丁一九)(毛一%)二。
，这是关于X,y的一次方程.反之，在(1.00)±取£ (公弘)及《(毛用)的坐标适合方程，即Ar. + B\,+C = 0, (1. 02)A V3 + By： + C = 0. (1. 03)只要证明任一坐标适合方程的点P' 3, y') 一定与共线即可，由TAx + By + C = Q, (1. 04)因A, B,C不全为零,(1.02), (1.03), (1.04)可理解为关于A, 5, C ,的齐次线性方程组，由于A,民。
空间直角坐标转换之仿射变换
空间直角坐标转换之仿射变换一、仿射变换仿射变换是空间直角坐标变换的一种，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直线”和“平行性”，其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。
此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。
该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：[x'] [m00 m01 m02] [x] [m00*x+m01*y+m02][y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12][1 ] [ 0 0 1 ] [1] [ 1 ]如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：x’= m00*x+m01*y+m02；y’= m10*x+m11*y+m12；其示意图如下：几种典型的仿射变换：1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：[ 1 0 tx ][ 0 1 ty ][ 0 0 1 ]（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。
同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。
）2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：[ sx 0 0 ][ 0 sy 0 ][ 0 0 1 ]3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)剪切变换，变换矩阵为：[ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 0 1 ]相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合[ 1 0 0 ][ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 1 0 ][ 0 0 1 ][ 0 0 1 ]（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。
第5章几何变换
–操纵长方形象素数组的光栅功能
• 象素值的块移动(bitBlt)
–将一块象素从一个位置移到另一位置
• 典型光栅功能：
–copy 将象素块从一个光栅区域移到另一区域； –read 将一个象素块存入设定的数组中； –write 将象素数组传送到帧缓冲器中的某位置。
• 组合象素值的方法
–replace模式 –布尔操作(与、或和异或)
• 连续两次平移 • 连续两次缩放 • 连续两次旋转 • 绕任意选择的基准点(x,y)的旋转 • 通用固定点缩放 • 通用定向缩放 • 复杂任意变换
tx=tx2+tx1 ty=ty2+ty1
连续两次平移
X’
1 0 tx2 1 0 tx1 X 1 0 tx1+tx2 X
Y’ = 0 1 ty2 0 1 ty1 Y = 0 1 ty1+ty2 Y
二维缩放
以原点为基准点的缩放
缩放 x’ y’
sx 0 X 0 sy Y
P(x,y)
P’(x’,y’)
矩阵表示和齐次坐标
齐次坐标表示：(X,Y)
(Xh,Yh,h)
(hX,hY,h) (X,Y,1)
平移 旋转 缩放 • 逆变换
X’
1 0 dx X
Y’ = 0 1 dy Y
1
001 1
X’
cosa -sina
1
仿射变换
• 形式为 x′=axx x + axy y + bx y′=ayx x + ayy y + by
的坐标变换称为二维仿射变换。
• 平行线转换成平行线,有限点转换成有限点
• 平移、旋转、缩放、反射和错切是二维仿射变 换的特例
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例7 设σ是平面上由 v =(a,b)决定的平移,τ是平面上的
转角为θ的绕原点的旋转,
τσ:P(x,y)
P″(x″,y″)
P'(x',y'),则τσ的公式为：，
x' cos sin x cos sin x a
y'
sin
cos
y
sin
cos
y
b
cos sin x a cos bsin
单射又是满射的映射称为双射(或1—1对应）。
定义1.2 设映射 1 :S→S’, 2 :S’→S″,则定义乘积映射
为 21 : S S, 21 a 2 1 a, a S
对于S到S’的双射σ,我们可以定义它的逆映射 1 ：
若σ(a)=a’∈S’,a∈S,则定义 1 (a) a ,显然,
(1) 恒等1变换GI,∈G2 ; G, 1 2 G;
(2) 若
则 1 G.
(3) 若σ∈G,则它的逆变换
。
则称G为S的一个变换群。
§2 平面的正交变换
1.平面的正交变换 在§1中我们介绍了平面上的三种点变换:平移、旋转和反
射。它们有一个共同的特点:保持点之间的距离不变。 定义2.1 平面上的一个点变换,如果保持点之间的距离不 变,
面上以 l 为轴的反射。若取 l 为x轴建立平面y直角坐标系,设
P(x,y),P'(x',y'),则此反射表示为
x' y'
1 0
01
x y
o (1.3)
P P x
设σ:S→S S’,我S '们用σ(S)表示S中的点在σ下的象的全体,
显然有
。
当σ(S)=S'时,则称σ是满射或到上的。如果在映射σ
下,S中不同元素的象也不同,则称σ是单射(或1—1的)。既是
第5章 正交变换和放射变换
• §1 变换 • §2 平面的正交变换 • §3 平面的仿射变换 • §4二次曲线的度量分类与仿射分类 • §5 空间的正交变换与仿射变换
§1 映射与变换 定义1.1 设S与S’是两个集合,对S中任一元素a,按某一法 则在S'中有唯一的元素a'与之对应,我们称此法则(即对应关 系) 为S到S'的一个映射。记作
x' y'
cos sin
sin cos
x y
(1.2)
y
P'
其中，θ是一确定的实数,
P
则τ是S上的一个变换,称
o
x
为平面绕原点的旋转,转角为θ。
(1.2)称为平面上转角为θ的旋转公式。
例6 平面上的反射。设l 是平面上一条定直线,平面上任 一
点P关于l 的对称点为 P’。这种从P点到P’点的映射,称为平
τ(n)=4n,n∈S，也是S到S'中的一个映射。
例2 设S是无数个点的集合,A是S的子集,S’=｛0，1｝。
则定义为
a
1 0
a A
aA
的法则σ是S到S'上的一个映射。
例3 设S = S ',法则 I 定义为 a a, a∈S,则 I 是S到自身
的一个变换,此映射称为恒等变换。
例4 平面上的平移 设S是平面上所有点的集合,取定一个直
角坐标系,给定uu一ur个向量v =(a, b)。令点P(x,y)与P’(x’,y’)的 对应关系为 PP' v
则有
x' x a
y
'
yb
(1.1)
这是S到自身的一个变换,称为由 v 决定的平移。公式(1.1)
称为平面上的点的平移公式。
yv
注：在形式上平移公式与点的
P'
坐标变换中的移轴公式类似, 但是含意却完全不同:点的平 移公式中,(x,y)和(x’,y’)是不同
则称它是正交(点)变换(或等距变换)。 平面上的运动与反射都是正交变换。 从定义立即得到性质1和性质2。 性质1 恒等变换是正交变换。 性质2 正交变换的乘积是正交变换。
性质3 正交变换是双射。 证明 设σ是正交变换,把不同的两点P,Q分别变为P’和Q’。
由于P,Q不相同,所以 PQ 0,根据σ保持距离不变,应有 P'Q' | PQ | 0 , 因此，P',Q'也是不同的两点,即σ为单射。
sin
cos
y
a
sin
b
cos
: P x, y P"
x", y"
P'
x', y'
则στ的公式为：由
x' 1
y'
0
0 x" a 1
1
y"
b
0
0 cos 1 sin
sin x acos Nhomakorabeay
b
cos sin x a
sin
cos
y
b
此可见στ≠τσ。
oP
x
的 两 个 点 在 同 一 坐 标 系 中 的 坐 标 ; 而 移 轴 公 式 中 ,(x,y) 和 (x',y')是同一个点在两个不同的坐标系中的坐标。
例5 平面上的旋转 S是平面上所有点的集合,在平面上取定
一个直角坐标系｛O;e1 , e2｝,令点P(x,y)和P’(x’,y’)的对应
关系τ为
σ:S→S',
a a'. 或者记作:a’=σ(a),a∈S。a’称为a在映射σ下的象,a称为 a'在σ下的一个原象。 集合S到S'的两个映射σ和τ称为相等,如果对于任意a∈S, 都有σ(a)=τ(a)。 集合S到自身的一个映射叫做S的一个变换。
例1 设S是全体自然数集,S’=｛±n|n∈S｝,则
σ(n)=2n,n∈S，是S到S’中的一个映射。
下证σ是满射。即对平面上任何一点P’,都存在P，使
σ(P)=P’。为此,在平面上任取不共线的三点 Pi(i=1,2,3),设
σ(P)i= Pi('i=1,2,3)。由σ是单射并保持距离不变,易知 P构i' 成
一个三角形,且⊿ P1 P2 P3 ≌⊿ P1'P2'P3'
平面上点变成点的变换也叫点变换。
一个线性点变换
x' y'
a11 a21
a12 a22
x y
a b,
当它的变换矩阵
A
a11 a12
a21
a22
的行列式|A|≠0时,称为满秩线
性点变换或非退化线性点变换。往后将看到,正交变换和仿 射
变换在代数上均表现为非退化的线性变换。
定义1.4 设G=｛σ:S→S|σ是S上的变换｝,如果G满足：
1 Is; S S;1 Is' ; S' S'.
易证,1—1对应的逆映射也是1—1对应,1—1对应的乘积 也是 1—1对应,映射的乘法满足结合律。
定义1.3 设σ:S→S是一变换,若对a∈S,满足σ(a)=a,则称 a是σ的不动点,｛a∈S|σ(a)=a｝称为σ的不动点集。
平面上的平移与旋转的乘积称为平面上的运动(即刚体运 动),它是平面到自身上的1—1变换。