空间解析几何-第5章 正交变换与仿射变换

1 Is; S S;1 Is' ; S' S'.
易证,1—1对应的逆映射也是1—1对应,1—1对应的乘积 也是 1—1对应,映射的乘法满足结合律。
定义1.3 设σ:S→S是一变换,若对a∈S,满足σ(a)=a,则称 a是σ的不动点,｛a∈S|σ(a)=a｝称为σ的不动点集。
平面上的平移与旋转的乘积称为平面上的运动(即刚体运 动),它是平面到自身上的1—1变换。
oP
x
的 两 个 点 在 同 一 坐 标 系 中 的 坐 标 ; 而 移 轴 公 式 中 ,(x,y) 和 (x',y')是同一个点在两个不同的坐标系中的坐标。
例5 平面上的旋转 S是平面上所有点的集合,在平面上取定
一个直角坐标系｛O;e1 , e2｝,令点P(x,y)和P’(x’,y’)的对应
关系τ为
σ:S→S',
a a'. 或者记作:a’=σ(a),a∈S。a’称为a在映射σ下的象,a称为 a'在σ下的一个原象。 集合S到S'的两个映射σ和τ称为相等,如果对于任意a∈S, 都有σ(a)=τ(a)。 集合S到自身的一个映射叫做S的一个变换。
例1 设S是全体自然数集,S’=｛±n|n∈S｝,则
σ(n)=2n,n∈S，是S到S’中的一个映射。
下证σ是满射。即对平面上任何一点P’,都存在P，使
σ(P)=P’。为此,在平面上任取不共线的三点 Pi(i=1,2,3),设
σ(P)i= Pi('i=1,2,3)。由σ是单射并保持距离不变,易知 P构i' 成
一个三角形,且⊿ P1 P2 P3 ≌⊿ P1'P2'P3'
角坐标系,给定uu一ur个向量v =(a, b)。令点P(x,y)与P’(x’,y’)的 对应关系为 PP' v
则有
x' x a
y
'
yb
(1.1)
这是S到自身的一个变换,称为由 v 决定的平移。公式(1.1)
称为平面上的点的平移公式。
yv
注：在形式上平移公式与点的
P'
坐标变换中的移轴公式类似, 但是含意却完全不同:点的平 移公式中,(x,y)和(x’,y’)是不同
第5章 正交变换和放射变换
• §1 变换 • §2 平面的正交变换 • §3 平面的仿射变换 • §4二次曲线的度量分类与仿射分类 • §5 空间的正交变换与仿射变换
§1 映射与变换 定义1.1 设S与S’是两个集合,对S中任一元素a,按某一法 则在S'中有唯一的元素a'与之对应,我们称此法则(即对应关 系) 为S到S'的一个映射。记作
例7 设σ是平面上由 v =(a,b)决定的平移,τ是平面上的
转角为θ的绕原点的旋转,
τσ:P(x,y)
P″(x″,y″)
P'(x',y'),则τσ的公式为：，
x' cos sin x cos sin x a
y'
sin
cos
y
sin
cos
y
b
cos sin x a cos bsin
平面上点变成点的变换也叫点变换。
一个线性点变换
x' y'
a11 a21
a12 a22
x y
a b,
当它的变换矩阵
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A
a11 a12
a21
a22
的行列式|A|≠0时,称为满秩线
性点变换或非退化线性点变换。往后将看到,正交变换和仿 射
变换在代数上均表现为非退化的线性变换。
定义1.4 设G=｛σ:S→S|σ是S上的变换｝,如果G满足：
面上以 l 为轴的反射。若取 l 为x轴建立平面y直角坐标系,设
P(x,y),P'(x',y'),则此反射表示为
x' y'
1 0
01
x y
o (1.3)
P P x
设σ:S→S S’,我S '们用σ(S)表示S中的点在σ下的象的全体,
显然有
。
当σ(S)=S'时,则称σ是满射或到上的。如果在映射σ
下,S中不同元素的象也不同,则称σ是单射(或1—1的)。既是
则称它是正交(点)变换(或等距变换)。 平面上的运动与反射都是正交变换。 从定义立即得到性质1和性质2。 性质1 恒等变换是正交变换。 性质2 正交变换的乘积是正交变换。
性质3 正交变换是双射。 证明 设σ是正交变换,把不同的两点P,Q分别变为P’和Q’。
由于P,Q不相同,所以 PQ 0,根据σ保持距离不变,应有 P'Q' | PQ | 0 , 因此，P',Q'也是不同的两点,即σ为单射。
(1) 恒等1变换GI,∈G2 ; G, 1 2 G;
(2) 若
则 1 G.
(3) 若σ∈G,则它的逆变换
。
则称G为S的一个变换群。
§2 平面的正交变换
1.平面的正交变换 在§1中我们介绍了平面上的三种点变换:平移、旋转和反
射。它们有一个共同的特点:保持点之间的距离不变。 定义2.1 平面上的一个点变换,如果保持点之间的距离不 变,
sin
cos
y
a
sin
b
cos
: P x, y P"
x", y"
P'
x', y'
则στ的公式为：由
x' 1
y'
0
0 x" a 1
1
y"
b
0
0 cos 1 sin
sin x a
cos
y
b
cos sin x a
sin
cos
y
b
此可见στ≠τσ。
单射又是满射的映射称为双射(或1—1对应）。
定义1.2 设映射 1 :S→S’, 2 :S’→S″,则定义乘积映射
为 21 : S S, 21 a 2 1 a, a S
对于S到S’的双射σ,我们可以定义它的逆映射 1 ：
若σ(a)=a’∈S’,a∈S,则定义 1 (a) a ,显然,
x' y'
cos sin
sin cos
x y
(1.2)
y
P'
其中，θ是一确定的实数,
P
则τ是S上的一个变换,称
o
x
为平面绕原点的旋转,转角为θ。
(1.2)称为平面上转角为θ的旋转公式。
例6 平面上的反射。设l 是平面上一条定直线,平面上任 一
点P关于l 的对称点为 P’。这种从P点到P’点的映射,称为平
τ(n)=4n,n∈S，也是S到S'中的一个映射。
例2 设S是无数个点的集合,A是S的子集,S’=｛0，1｝。
则定义为
a
1 0
a A
aA
的法则σ是S到S'上的一个映射。
例3 设S = S ',法则 I 定义为 a a, a∈S,则 I 是S到自身
的一个变换,此映射称为恒等变换。
例4 平面上的平移 设S是平面上所有点的集合,取定一个直