高等数学典型习题及参考答案

第八章典型习题

一、 填空题、选择题

1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离就是

2、平行于向量}1,2,1{a -=ϖ

的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为

且与平面过点=--+-z y x

4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线⎩⎨

⎧==++Γ2

10222

5、()==-=+=+=-δ

λ

δλ则平行与设直线,z y x :l z y x :

l 1111212121

()23A ()12B ()32C ()21

D

6、已知k 2j i 2a ϖϖϖϖ+-=,k 5j 4i 3b ϖ

ϖϖϖ-+=,则与b a 3ϖϖ-平行的单位向量为 ( )

(A )}11,7,3{(B )}11,7,3{- (C )}11,7,3{1291-±

(D )}11,7,3{179

1-± 7、曲线⎩⎨⎧==++2

z 9

z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为( )

(A )⎩⎨⎧==+2z 5y x 22 (B )⎩⎨⎧==++0z 9z y x 222(C )⎩⎨⎧==+0

z 5y x 22 (D )5y x 22=+

8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ,当0==D A 时,该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9

、

设

空

间

三

直

线

的

方

程

分

别

为

251214:

1+=+=+z y x L ,67313:2+=+=z y x L ,4

1312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L

10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ,当0==B A 时,该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面

11、方程05

z 3y 3x 2

22=-+所表示的曲面就是( )

(A )椭圆抛物面 (B )椭球面 (C )旋转曲面 (D )单叶双曲面

二、解答题

1、设一平面垂直于平面0=z ,并通过从点)1,1,1(-P 到直线⎩⎨⎧=+-=0

10

z y x 的垂线,求该平面方程。

2、的平面且平行于直线求过直线

2

1

724532423-=-=+--=+=-z y x z y x .方程 3、()的且平行于直线求过点⎩⎨

⎧=+-+=--+-0

120

12121z y x z y x ,,.直线方程 4、已知平面022:=-+x y π与直线⎩⎨⎧=+-=--0

2230

22:z y y x L ,求通过L 且与π垂直的平面方程。

5、求过球面0z 4y 2x 2z y x 222=-+-++的球心且与直线

1

z

22y 33x -=-+=-垂直的平面方程。 6、求经过直线

1

z

23y 54x =+=-与直线外的点)4,5,3(-所在的平面方程。 第九章典型习题

一、填空题、选择题 1、y x z +=

1的定义域为 ;1

1112

2

--

-=

y x

z 的定义域为 。

2、1

1lim

0-+→→xy xy

y x ;()xy

y x xy 1

01lim +→→;()x xy y x tan lim

2

0→→。 3、设()xy z ln =,

x z ∂∂= ;设⎪⎭

⎫ ⎝⎛=x y xf z , x z

∂∂= ;设xy z 3=, x z ∂∂= ;

设()22y x f z -=,()u f 就是可微函数,其中22y x u -=,求

y

z

∂∂。 4、设y e z x

sin =,求dz ;设y

x

z arctan =,求dz ;设x y

e z =,求dz 。

5、设03=--z xy z ,求x z ∂∂;由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=,求x

z ∂∂。 6、求曲线32,,

t z t y t x ===在2=t 处的切线方程;

7、求函数()()224,y x y x y x f ---=的驻点。8、设()222,,zx yz xy z y x f ++=,求()1,0,0xx

f ''。 9、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ,()00,y x f y 存在,则()y x f ,在该点( )

A 、连续

B 、不连续

C 、不一定连续

D 、可微 10、求曲面1232222=++z x y 在点(1,-2,1)处的切平面方程;

求曲面xy z =在点(1,1,1)处的切平面方程。

11、()()y x y x f +=2sin 2,在点(0,0)处()A 、无定义 B 、无极限 C 、有极限,但不连续 D 、连续 12、设22v u z +=,而y x v y x u -=+=,,求

x z ∂∂,y

z ∂∂; 13、如果()00,y x 为()y x f ,的极值点,且()y x f ,在()00,y x 处的两个一阶偏导数存在,则()00,y x 必为()y x f ,

的( )A 、最大值点 B 、驻点 C 、连续点 D 、最小值点 14、函数()y x f ,在()y x ,处的偏导数连续就是它在该点可微的( )

A 、充分条件

B 、必要条件

C 、充要条件

D 、以上均不对 15、函数()y x f ,在()y x ,处的偏导数存在就是它在该点可微的( )

A 、必要条件

B 、充分条件

C 、充要条件

D 、既非必要又非充分条件

16、如果函数()y x f ,在()00,y x 的某邻域内有连续的二阶偏导数,且()()()0,,,0000002

<-y x f y x f y x f yy xx xy ,

则()00,y x f ( )A 、必为()y x f ,的极小值 B 、必为()y x f ,的极大值

C 、必为()y x f ,的极值

D 、不一定为()y x f ,的极值

二、解答题

1、求曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)的切平面方程与法线方程。

2、为可微函数，，其中已知　f x y y x f z ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

=,2y z x z ∂∂∂∂,求。

3、设()y x z z ,=就是由方程

y z z x ln =确定,求x z ∂∂,y

z

∂∂。 4、求函数22y x z +=在条件22=+y x 下的极值。

5、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱,问长、宽、高如何选取,才能使铁箱的容积为最大。

6、将正数a 分成三个数之与,使它们的乘积为最大。

7、设⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=y x x f z ,,求dz ;设0=-xyz e z

,求dz 。 第十章、第十一章典型习题

一、填空题、选择题

1、将二重积分()dxdy y x f D

⎰⎰,化为二次积分,其中积分区域D 就是由0,,42≥==x x y y 所围成,下列各式中

正确的就是( )A 、()dy y x f dx x

⎰⎰20

4,2 B 、()dy y x f dx ⎰⎰4

40

,

C 、()dx y x f dy y ⎰⎰

4

, D 、()dx y x f dy y

⎰

⎰0

40

,