直线方程的一般式及应用
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用直线参数方程的标准式过点P(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(x,y)为直线上的任意一点。
直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系。
若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2 = t2 - t1，|P1P2| = |t2 - t1|。
若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则P1P2中点P3的参数为t3 = (t1 + t2)/2，|PP3| = |(t1 + t2)/2|。
若P为P1P2的中点，则t1 + t2 = 0，t1·t2 < 0.直线参数方程的一般式过点P(xb,y)，斜率为k = a的直线的参数方程是x = x + aty = y + bt其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xb,y)为直线上的任意一点。
直线的参数方程给定点P(xl,y)，倾斜角为α，求经过该点的直线l的参数方程。
直线l的参数方程为x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
特别地，若直线l的倾斜角α = 90°，直线l的参数方程为x = x + ty = y其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
2、直线的参数方程与标准形式如果直线的方向已知，那么可以使用参数方程来表示直线。
对于倾斜角为 $\alpha$，过点 $M(x,y)$ 的直线 $l$，其参数方程一般式为：begin{cases}x=x_M+t\cos\alpha \\y=y_M+t\sin\alphaend{cases}其中 $t$ 是参数，表示从点 $M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。
如果要将参数方程转化为标准形式，可以通过以下步骤：1.消去参数 $t$，得到 $y-y_M=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(x-x_M)$。
3.2.3直线的一般式方程(最新)
所以 a 1; 综上, a 0 或 a 1.
练习3：直线x+m2y+6=0与直线 (m-2)x+3my+2m=0没有公共点,求实数m的值.
解：当m=0时, l1 : x 6 0, l2 : 2 x 0,
P0 ( x0 , y0 )
也具有形式Ax+By+C=0(B=0).
综上，都具有形式：Ax+By+C=0.
二、方程Ax+By+C=0表示直线
A C x , 1、当B≠0时, 方程可化为 y B B A 这是直线的斜截式方程，它表示斜率是
C 在y轴上的截距是 的直线. B
2、当B=0时，
4 x 3 y 12 0.
练习1：根据下列条件, 写出直线的方程, 并 把它化成一般式:
1 ⑴ 经过点 A(8, 2) , 斜率是 ; 2 ⑵ 经过点 B (4, 2) , 平行于 x 轴;
⑶ 经过点 P (3, 2) , P2 (5, 4) ; 1
x 2y 4 0 y20 x y 1 0
y
l
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;
y
l
(2) B=0 , A≠0 , C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
直线方程的五种形式
2 x 5 y 10 0
五.直线方程的一般式
在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一
个表示这条直线的关于 x, y的二元一次方程 形式为 证明: 关于x, y的二元一次方程的一般
Ax By C 0( A, B不同时为 0)
A C A 1)当B 0时, 有y x , 这 是 斜 率 为 , BC B B 在y轴 上 的 斜 距 为 的直线方程 . B C 2)当B 0时,因A, B不 同 时 为 0, 故A 0, x . A 它表示一条与 y轴平行或重合的直线 .
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A, B代入两点式 ,得
y0 x (5) 3 0 3 (5)
3x 8 y 15 0
把B, C代入两点式 ,得
y 3 x 3 23 03
5x 3 y 6 0
A(5,0), B(3,3), C (0,2) 例3三角形的顶点是
二
名称
直线方程的五种形式
方程 说明 不包括y轴和平行于y轴 的直线 不包括y轴和平行于y轴 的直线
已知条件
点斜式 点P1(x1,y1)和斜率 y-y1=k(x-x1) k 斜截式 斜率k和y轴上截 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b 一般式 A、B不同时为零 y=kx+b
已知直线 l的 斜 率 为 k , 与y轴 的 交 点 是 (0, b), 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y b k ( x 0)
即y kx b
y
l
方程 y kx b叫做直线方程的斜截式 .
直线方程的几种建立方式及其适用范围
直线方程的几种建立方式及其适用范围罗村高级中学 黄勉确定在不同条件下的直线方程，是高考试题重点考查的内容之一。
因此，需要熟练掌握直线方程的各种形式，以及各自的适用范围，以便在不同的情况下灵活地选用。
下面直线方程的几种建立方式及其适用范围列出，以供大家参考：一、 点斜式若直线l 过定点),(00y x P ，斜率为k ，则直线l 的方程为)(00x x k y y -=-； 它不适用平行于y 轴（包括y 轴）的直线，换句话说就是不适用于斜率不存在（即倾斜角为090）的直线。
当斜率不存在时，直线l 的方程为：0x x =；特别地，当k ＝0时，其方程为0y y =。
例1、 已知直线l 过点A （1，2）,B(3,m )，求直线l 的方程。
分析：因为直线l 经过点B(3,m ),且m 是一个参数，因此需要对m 进行分情况讨论。
解：当m ＝1时，直线l 的倾斜角为090，其斜率是不存在的，故此直线l 的方程为1=x 。
当m ≠1时，直线l 的斜率为11-=m k ，又因为直线l 通过点A （1，2），所以直线l 的方程为：)1(112--=-x m y 。
例2、 已知直线l 经过点P （—3，4），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程。
分析：不难看出，直线l 在经过原点和斜率为—1的两种情况下在两坐标轴上的截距相等。
因此，需要对这两种情况分类讨论。
解：若直线l 经过原点，则直线l 的斜率为34-=k ，从而直线l 的方程为：x y 34-=，即034=+y x 。
若直线l 不经过原点，由于它在两坐标轴上的截距相等，所以直线l 的斜率为1-=k ，从而直线l 的方程为：),3(4--=-x y 即01=-+y x 。
二、 斜截式若直线l 的斜率为k 且在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为：b kx y +=； 它不适用于平行于y 轴（包括y 轴斜率）的直线，即不适用于斜率不存在（倾斜角为090）的直线。
【课件】直线的一般式方程+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
练习2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直
解（2）法一 ∵ kl=－34, l′与 l 垂直，∴l′的斜率为43，又 l′过点(－1,3)，
2
63
ly
y
l
y
5
l
O
4x
• (-2,1)
yl
2 3
O5 x
3
(1)
-5
(2)
O
x
4 O
x
7
(3)
(4)
练习3、若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线． (1)求实数m的范围； (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
[解] (1)由mm2－－23＝m0＋，2＝0， 解得 m＝2，
A=k B=－1 C
y 直线l的斜率为k l
O P0
x
②倾斜角α=90°,k不存在
x x0 0 即x 0 y x0 0
A=1 B=0 C 结论：1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示
二元一次方程: Ax By C 0
思考2：所有二元一次方程都表示直线吗？
①当B≠0时，y
A B
x
x y 1 （4）已知直线 l 过点 A(3, 0), B(0, 4) ，则直线 l 方程为_____3___4________.
【发现】
（1） y 3 3(x 5) 3x y 3 5 3 0 ，
（2） y 5x 3 5x y 3 0
直线方程的五种形式及适用范围
直线方程的五种形式及适用范围
直线方程是描述一条直线的函数，一般可以用五种形式表示，它们分别是标准形式、斜截式、极坐标形式、参数形式和点斜式。
标准形式
标准形式的直线方程为：`Ax+By+C=0`，其中A、B和C是常数，A 和B不能同时为0，此种形式的直线方程适用于平面直线方程。
斜截式的直线方程为：`y=kx+b`，其中k是斜率，b是截距，此种形式的直线方程适用于斜率不为零的平面直线方程。
极坐标形式
极坐标形式的直线方程为：`r=a+bsinθ`或`r=a+bcosθ`，其中a、b 和θ是常数，此种形式的直线方程适用于极坐标系中的圆弧及半圆。
参数形式
参数形式的直线方程为：`x=at+b`或`y=at+b`，其中a、b和t是常数，此种形式的直线方程适用于直线上的任一点的参数方程，即参数曲线的一种特殊情况。
点斜式的直线方程为：`(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)`，其中
x1、x2、y1、y2是两点的坐标，此种形式的直线方程适用于任意两点的连线方程。
总之，上述五种形式的直线方程各有不同的适用范围，应根据实际情况选择最合适的形式来描述一条直线。
直线方程的一般式
直线一般式方程
直线一般式方程直线一般式方程是大学数学中的重要概念，它的学习有助于解决一些关于坐标轴的问题，使我们更加深入地了解几何图形的性质。
一、直线一般式方程的定义直线一般式方程是一种数学表达式，用来表示一条直线的位置。
它提供了一种通用的方法来图解直线，提供了一种可以描述直线的参数形式。
它以 ax + by + c =0 的形式表示，其中a、b、c是常数，x和y是坐标。
二、直线一般式方程的基本概念1.文字直线：斜率是常数的函数，它的一般式方程为y= kx + b，其中k是斜率，b是y轴截距。
2.垂直于直线的直线：垂直于直线的函数，它的一般式方程为x= c，其中c是直线上的某一点。
3.水平线直线：水平于x轴的函数，它的一般式方程为y= c，其中c是x轴上的某一点。
4.直线的经验方程：给定两点(x1, y1)和(x2, y2)，其一般式方程为：y=(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)+y1;三、直线一般式方程的应用1.确定直线的位置：通过一般式方程可以得出直线的位置，由此可以得出直线的斜率和截距，从而判断直线的类型。
2.直线的平行和垂直检测：由于直线一般式方程可以求得直线的斜率，因此可以用斜率的大小进行直线的平行和垂直检测。
3.求交点：由于知道直线的斜率和截距，可以求解两条直线的交点。
4.求曲线：如果两条曲线都是由直线一般式方程表示的，那么可以使用这种方法来求曲线的解。
四、直线一般式方程的求解1.确定两点：首先要确定直线上两点的坐标，记作(x1,y1)和(x2,y2)。
2.计算斜率：假设某条直线的斜率为k，则该直线的一般式方程表示为y=kx+b，其中k的值可以通过求斜率的公式来求得。
3.计算截距：截距b的值可以通过公式b=y1-kx1来求得，其中(x1,y1)是直线上的一点。
4.求出一般式方程：有了斜率和截距之后就可以将其代入一般式方程y=kx+b中求出直线的一般式方程。
直线的一般式方程
法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2,1)， ∴2－2×1＋m＝0， ∴m＝0. ∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
例3：已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0， 求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直.
[活学活用] 3．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的 方程．
y
l
(3) A=0 , B≠0 ,C=0
o
x
二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，
方程表示的直线：
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
(4)与y轴重合;
y l
(4) B=0 , A≠0, C=0
o
x
二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？
? x+ ? y+ ? =0
y y1 k( x x1) y kx b
kx (1) y y1 kx1 0
kx (1)y b 0
y y1 x x1
y2 y1 x2 x1 ( y2 y1)x (x1 x2) y x1( y1 y2) y1(x2 x1) 0
x y 1 ab
bx ay (ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。
Ax By C 0
问:所有的直线都可以用二元一次方程表示？
直线截距式、一般式
(
x1
x2 ,y1
y2)
两点
截距式
x a
y b
1a
,b
0
②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
直线的一般式方程: Ax+By+C=0
（A，B不同时为0）
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值 时，方程表示的直线为：
(1)平行于x轴 A=0且B≠0且C ≠0 (2)平行于y轴 B=0且A≠0且C ≠0 (3)与x轴重合 A=0 且C=0且B≠0 (4)与y轴重合 B=0 且C=0且A ≠0
1、过点1（、0过，5）点，（0（，5）5，0，）（5，0）直线方程为：5x
y 5
1
2、过点（2、0，过3）点，（（0，34），0，）（4，0）直线方程为：x y 1
,0）的直线方程（. 其中a 0,b 0）
ly
（0, b）
O （a,0） x
x y 1 ab
小结
1. 直线方程常见的几种形式及其特点和适 用范围.
2. 直线的一般式方程
P99 练习 1 P100习题3.2 A. 8,9
谢谢！ 再见！
直线的截距式，一般式
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在 及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程：
[已知两定点(不适合与x轴 或y轴垂直的直线)]
引入 已知下列条件，求直线方程
C
.
不
经
过
原
点
的
直
线都
可
以
用
直线的一般式方程
发出透出湖青色刀片般的气味。她跳动的；SCI论文发表 /scifabiao/ SCI论文发表 ；褐黄色匕首似的骨骼感觉空前滑稽而漂亮，那种孤傲的烟橙色地
图造型的神态感觉空前朦胧又夸张。…………一阵的钟声响过，主考官Ｚ．纽基斯克厅长站起身来，然后看着蘑菇王子和知知爵士问道：“你们两个准备好没有？”知知爵士 答道：“我们准备好了！”主考官Ｚ．纽基斯克厅长大声道：“那就开始吧！”Ｚ．纽基斯克厅长刚刚说完，就见墨黑色个穿着墨黑色秋影秋影服的司仪官同时用手朝空中一
雾……青古磁色牛肝般的脖子露出亮黑色的隐隐奇味……紧接着忽悠了一个，舞贝红薯滚一千四百四十度外加凤笑柳枝转九周半的招数，接着又秀了一个，直体鲨颤前空翻三
百六十度外加瞎转五周的灿烂招式！最后抖起摇晃的蓝宝石色天鹅形态的脑袋一嗥，变态地从里面飞出一道银光，他抓住银光美妙地一晃，一样蓝冰冰、白惨惨的法宝『白宝
温故知新
①直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式 y－y1 = k（x－x1）
斜截式 y = kx + b
两点式
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 ,
y1
y2 )
截距式 x y 1a,b 0
ab
②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
练习：
1、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（ ）
(A) A·B>0,A·C>0
(B) A·B>0,A·C<0
(C) A·B<0,A·C>0
(D) A·B<0,A·C<0
2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 │PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则 直线PB的方程是( )
直线的一般式方程
3.2.3 直线的一般式方程一、直线的一般式方程 1．直线的一般式方程在平面直角坐标系中，任何一个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x ，y 的二元一次方程 (其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 2．直线的一般式与斜截式、截距式的互化 直线的一般式、斜截式、截距式如下表：一般式斜截式截距式0(,Ax By C A B ++=不同时为0) (0)A C y x B B B=--≠ 1(,,x yA B C C CA B+=--都不为0)直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：（1）当0B ≠时,0Ax By C ++=可化为A Cy x B B=--,它表示在y 轴上的截距为 ,斜率为 的直线.（2）当,,A B C 均不为零时，0Ax By C ++=可化为1x yC C A B+=--，它表示在x 轴上的截距为 ，在y 轴上的截距为 的直线.注意：解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式. 二、直线系方程 1．平行直线系方程把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程都可表示为 (其中m 为参数且m ≠C )，然后依据题设中另一个条件来确定m 的值. 2．垂直直线系方程一般地，与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程都可表示为 (其中m 为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定m 的值. 三、一般式方程中两直线平行与垂直的条件若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线12,l l 的方程分别为1110A x B y C ++=,2220A x B y C ++=，则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1）若12l l ∥，当斜率存在时，111222A B C A B C =≠；当斜率不存在时，120B B ==且1212C C A A ≠. 即1212210l l A B A B ⇔-=∥,且12210B C B C -≠或12210A C A C -≠. （2）若12l l ⊥，当斜率存在时，1212=1A A B B ⋅-；当斜率不存在时，120,0A B ==或210,0A B ==. 即1212120l l A A B B ⇔+=⊥.K 知识参考答案：一、1．0Ax By C ++= 2．（1）C B -A B - （2）C A - C B- 二、1．0Ax By m ++= 2．0Bx Ay m -+=K —重点 直线的一般式方程 K —难点 直线系方程的应用K —易错忽略直线斜率不存在的情况或两直线重合的情形致错1．直线的一般式方程（1）直线的一般式方程Ax By ++0C =中要求A ,B 不同时为0.（2）由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件. 【例1】若直线:5530l ax y a --+=不经过第二象限,则实数的取值范围是_________. 【答案】【解析】将直线的方程整理得y -35=(x -15),所以直线过定点A (13,55),直线OA 的斜率=305105--=3,要使不经过第二象限,需斜率≥=3,所以.【例2】设直线的方程为，根据下列条件分别确定的值：(1)在轴上的截距是；(2)的斜率是．2．由直线的位置关系求参数对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线12,l l 的方程分别为11A x B y ++10C =(1A ,1B 不同时为0)，2220A x B y C ++=(2A ,2B 不同时为0)，则1212210l l A B A B ⇔-=∥,且1221B C B C -0≠或12210A C A C -≠;1212l l A A ⇔+⊥120B B =.【例3】求m ，n 的值，使直线l 1：y =(m −1)x −n ＋7满足： （1）平行于x 轴；（2）平行于直线l 2：7x −y ＋15=0； （3）垂直于直线l 2：7x −y ＋15=0.【解析】（1）当直线 l 1平行于x 轴时，直线l 1的斜率为0，即m −1=0，m =1．又直线l 1不与x 轴重合，所以70n -+≠，即7n ≠.综上，当m =1且n ≠7时，直线 l 1平行于x 轴. （2）将7x −y ＋15=0化为斜截式得，y =7x ＋15，∴直线l 2的斜率k 2=7，截距b =15，当l 1∥l 2时，应有直线l 1的斜率k 1=7且截距b 1≠15，即m −1=7且−n ＋7≠15，∴m =8，且n ≠−8. （3）由题意及（2）可得(m −1)·7=−1，n ∈R ，即6,7m n =∈R 时，l 1⊥l 2. 3．由直线的位置关系求方程一般地,直线0Ax By C ++=中的系数A ,B 确定直线的斜率.因此,利用平行直线系或垂直直线系直接设出直线方程，用待定系数法即可求解.【例4】已知直线1l 的方程为3x ＋4y −12=0，求直线2l 的方程，2l 满足： （1）过点(−1，3)，且与1l 平行； （2）过点(−1，3)，且与1l 垂直【解析】（1）方法一 ：由题设1l 的方程可化为：334y x =-+， ∴1l 的斜率为34-，又2l 与1l 平行，∴2l 的斜率为34-又2l 过(−1，3)，由点斜式知方程为33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=. 方法二：由2l 与1l 平行，可设2l 的方程为3x ＋4y ＋m =0(m ≠−12).将点(−1，3)代入上式得m =−∴所求直线方程为3490x y +-=（2）方法一：由题设1l 的方程可化为：334y x =-+，∴1l 的斜率为34-，由2l 与1l 垂直，得2l 的斜率为43， 又2l 过(−1，3)，由点斜式可得方程为43(1)3y x -=+，即4x −3y ＋13=0. 方法二：由2l 与1l 垂直，可设2l 的方程为4x −3y ＋n =0.将(−1，3)代入上式得n =13. ∴所求直线方程为4x −3y ＋13=0.【例5】已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程.4．忽略直线斜率不存在的情况【例6】已知直线1l :(2−a )x +ay −3=0, 2l :(2a +3)x −(a −2)y +2=0互相垂直，求实数a 的值. 【错解】将1l 的方程化为23a y x a a -=+,得斜率12a k a -=;将2l 的方程化为23222a y x a a +=+--,得斜率2232a k a +=-.∵1l ⊥2l ,∴121k k ⋅=-,即23212a a a a+-⋅=--,解得a =−【错因分析】将直线的一般式方程化成斜截式，再运用直线的斜率判断直线垂直，没有考虑直线的斜率不存在的情况，所以答案不完整.【正解】因为1l ⊥2l ，则必有(2−a )(2a +3)−a (a −2)=0,即220a a --=,所以a =2或a =−1.【误区警示】1l ⊥2l 并不等价于121k k ⋅=-，一般地，设直线12,l l 的方程分别为11A x B y ++10C =，2220A x B y C ++=，则1212210l l A B A B ⇔-=∥,且12210B C B C -≠或12210A C A C -≠;12l l ⇔⊥ 12120A A B B +=.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．1．若0＋＋ax by c =表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足的条件为 A ．bc =0 B ．a ≠0 C ．bc =0且a ≠0D ．a ≠0且b =c =02．直线330kx y k --+=恒经过点 A ．(3，0) B ．(3，3) C ．(1，3)D ．(0，3)3．直线0(0)ax y a a -+=≠在两坐标轴上的截距之和是 A ．1a -B ．1a -C ．1a +D ．1a a-4．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是 A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y +-=D ．210x y +-=5．已知0,0ab bc <<,则直线ax +by =c 通过 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 6．若直线420mx y +-=与直线250x y n -+=垂直，垂足为()1,p ，则n 的值为 A ．12- B ．2- C ．0D ．107．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为−4，则直线l 的点斜式方程为________________；截距式方程为________________；斜截式方程为________________；一般式方程为________________． 8．已知直线:20l ax y a +--=在轴和轴上的截距相等，则的值是________________. 9．中,已知,则边上的中线所在的直线的一般式方程为________________.10．以()1,3A ，()5,1B -为端点的线段的垂直平分线的一般式方程是________________. 11．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)直线斜率是3，且经过点；(2)直线过点，且垂直于轴；(3)直线斜率为4，在轴上的截距为；(4)直线在轴上的截距为3，且平行于轴； (5)直线经过，两点； (6)直线在，轴上的截距分别是，．12．(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值.(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？13．已知直线l 的方程为Ax ＋By ＋C =0，若直线l 过原点和第二、四象限，则 A ．B >0，C =0 B ．A >0，B >0，C =0 C ．AB <0，C =0D ．AB >0，C =014．已知过点()m A ,2-和点()4,m B 的直线为1l ，2:210l x y +-=，3:10l x ny ++=.若12l l ，32l l ⊥，则实数n m +的值为 A ．10-B ．2-C ．0D ．815．若直线4x −3y −12=0被两坐标轴截得的线段长为1c，则c 的值为________________． 16．设直线l 的方程为(1)20()a x y a a +++-=∈R ．（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．1 2 3 4 5 6 13 14 DBAACADA1．【答案】D【解析】y 轴表示的直线方程为x =0，所以a ，b ，c 满足的条件为a ≠0且b =c =0. 2．【答案】B【解析】330kx y k --+=可化为3(3)y k x -=-，所以过定点(3,3).故选B 3．【答案】A【解析】令0x =，得y a =；令0y =，得1x =-，故直线在两坐标轴上的截距之和为1a -. 4．【答案】A【解析】∵所求直线与直线220x y --=平行，∴所求直线的斜率为12k =，则所求直线的点斜式方程为10(1)2y x -=-，整理，得210x y --=. 5．【答案】C【解析】原直线可化为a c y x b b =-+,则a k b =->0,cb<0,故直线通过第一、三、四象限. 6．【答案】A【解析】由两直线垂直得2200,10m m -==，将()1,p 代入420mx y +-=，得104p +-20,2p ==-，将()1,2-代入250x y n -+=，得2100,12n n ++==-.8．【答案】-2或1 【解析】依题意，显然，当时，得，当时，得2a x a +=，则22aa a++=，即，得-2或1. 9．【答案】 【解析】由题意得的中点,所以中线的斜率211123k -==---，所以边上的中线所在的直线方程为()1213y x -=-+,整理得其一般式方程为.10．【答案】340x y ++=【解析】因为()1,3A ，()5,1B -，所以AB 的中点坐标为()2,2-，直线AB 的斜率为311=153-+，所以AB 的中垂线的斜率为3-，所以以()1,3A ，()5,1B -为端点的线段的垂直平分线方程是()232y x -=-+，即340x y ++=．12．【解析】法一：(1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行. ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需21432m m +=≠-，解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直. ②若2a ＋3＝0，即时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直.③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，121a k a +=--，2123a k a -=-+. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即21·1123a a a a +-⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.13．【答案】D【解析】∵直线l 过原点，∴C =0.又直线l 过二、四象限，则其斜率小于0，即0A B -<，∴AB >0. 14．【答案】A 【解析】12l l ，422AB m k m -∴==-+，解得8-=m .又23l l ⊥，()121n ⎛⎫∴-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得2-=n ，10m n ∴+=-.故选A.15．【答案】15【解析】令x =0，得y =−4；令y =0，得x =3.依题意得2213(4)c +-=，∴15c =. 16．【解析】（1）当直线l 过原点时，直线l 在x 轴和y 轴上的截距均为零，显然相等，此时a =2，直线l的方程为3x ＋y =0；当2a ≠时，截距存在且不为0，∴221a a a -=-+，即a ＋1=1，∴a =0，此时方程为x ＋y ＋2=0. 综上，满足题意的方程为3x ＋y =0或x ＋y ＋2=0.（2）将直线l 的方程变形为y =−(a ＋1)x ＋a −2.依题意有(1)020a a -+>⎧⎨-≤⎩，或(1)020a a -+=⎧⎨-≤⎩.解得a<−1，或a=−1.综上得a≤−1，即a的取值范围是(−∞，−1]．。
直线的一般式方程
直线方程的一般式前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x 、y 这两个变量，并且x 、y 的次数都是一次的，即它们都是关于x 、y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？1．直线的一般式方程(1)定义：关于x 、y 的二元一次方程__Ax ＋By ＋C ＝0__(其中A 、B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：①当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－CB＝b (y 轴上的截距)；②当B ＝0，A ≠0时，则－CA＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．[归纳总结] AB >0时，k <0，倾斜角α为钝角；AB <0时，k >0，倾斜角α为锐角；A ＝0时，k ＝0，倾斜角α＝0°；B ＝0时，k 不存在，倾斜角α＝90°．2．直线方程的一般式与其他形式的互化 一般式化斜截式的步骤： ①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB ．一般式化截距式的步骤：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③再化为截距式：x －C A ＋y－C B ＝1．预习自测1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( D ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0[解析] A 、B 不能同时为0，则A 2＋B 2≠0． 2．直线2x ＋y ＋4＝0的斜率k ＝( B ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12[解析] A ＝2，B ＝1，则k ＝－AB＝－2．3．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有直线都恒过点( C ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1)D ．(2,1) [解析] 直线方程可化为y －1＝k (x －3) ∴无论k 为何值时，都过定点(3,1)．4．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0垂直，则a 的值为__－1或0__.[解析] 由题意，得2a ＋a (a －1)＝0 解得a ＝－1或0．命题方向1 ⇨直线的一般式方程典例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)、B (2，－1)两点； (6)在x 、y 轴上的截距分别是－3，－1．[思路分析] 根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程． [解析] (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0． (2)x ＝－3，即x ＋3＝0． (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0．(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0．(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0. 〔跟踪练习1〕已知直线l 经过点A (－5,6)和点B (－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程． [解析] 直线过A (－5,6)、B (－4,8)两点 由两点式得y －68－6＝x ＋5－4＋5整理得2x －y ＋16＝0∴2x －y ＝－16，两边同除以－16得，x －8＋y16＝1．故所求直线的一般式方程为2x －y ＋16＝0，截距式方程为x －8＋y16＝1. 命题方向2 ⇨直线的一般式方程的应用典例2 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等． 则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0，∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0； 若a ≠2，由题设l 在两轴上的截距相等，∴a －2a ＋1＝a －2即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0． ∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0． (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0a －2≤0，∴a ≤－1． 综上可知a 的取值范围是a ≤－1．『规律方法』 (1)在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l 不经过某象限不要漏掉过原点的情况．(2)由直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)求直线在两轴上的截距时，令x ＝0得纵截距；令y ＝0得横截距．由两截距位置可知直线的位置．〔跟踪练习2〕设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值： (1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴，y 轴上的截距之和等于0．[解析] (1)∵直线l 的斜率存在，∴直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2.由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5．(2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1．由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1． 命题方向3 ⇨平行与垂直的应用典例3 求过点A (2,2)且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线l ：3x ＋4y －20＝0平行； (2)与直线l ：3x ＋4y －20＝0垂直．[解析] 解法一：已知直线l ：3x ＋4y －20＝0的斜率k ＝－34．(1)过A (2,2)与l 平行的直线方程为 y －2＝－34(x －2)．即3x ＋4y －14＝0．(2)过A 与l 垂直的直线的斜率k 1＝－1k ＝43方程为y －2＝43(x －2)．即4x －3y －2＝0为所求．解法二：(1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c ＝0 ∴c ＝－14.∴所求直线为3x ＋4y －14＝0． (2)设所求直线方程为4x －3y ＋λ＝0 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0 ∴λ＝－2.∴所求直线为4x －3y －2＝0．『规律方法』 1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可设为Bx －Ay ＋m ＝0．2．直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0若l 1⊥l 2则：A 1A 2＋B 1B 2＝0；若A 1A 2＋B 1B 2＝0则l 1⊥l 2．若l 1∥l 2，则A 1B 2－A 2B 1＝0，反之若A 1B 2－A 2B 1＝0，则l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 3.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0，再由直线所过的点确定C 1；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 2＝0，再由直线所过的点确定C 2．〔跟踪练习3〕(1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0(2)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( A ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0[解析] (1)所求直线与直线x －2y －2＝0平行，故所求直线的斜率k ＝12，又直线过点(1,0)，利用点斜式得所求直线方程y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．(2)由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l的典例4 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值.[错解] 由1×3－m (m －2)＝0，得m ＝－1或3．[错因分析] 因存在斜率的两直线平行的等价条件为斜率相等且截距不等，所以上述解法忽略检验截距是否相等．[正解] 由1×3－m (m －2)＝0得，m ＝－1或m ＝3． 当m ＝－1时，l 1：x －y ＋6＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0． 两直线显然不重合，即l 1∥l 2．当m ＝3时，l 1：x ＋3y ＋6＝0，l 2：x ＋3y ＋6＝0． 两直线重合．故m 的值为－1．[警示] (1)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则A 1B 2－A 2B 1＝0⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合．所以，由A 1B 2－A 2B ＝0求出参数值后，需检验两直线是否重合． (2)在直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A 2＋B 2≠0； (3)直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，斜率为k ＝－AB .〔跟踪练习4〕直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于( C )A ．2或3B ．2C ．3D ．－3[错解] 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3.故选A ．[错因分析] 错解忽视了当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0且－(m 2－4)＝0．[思路分析] 直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A 与B 满足的条件是A 与B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.当A ＝B ＝0时，方程变为C ＝0，不表示任何图形．[正解] 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3，当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0，－(m 2－4)＝0，则m ＝2不合题意，仅有m ＝3，故选C ．1．点线接合关系若点P 在曲线(直线)C 上，则点P 的坐标满足曲线(直线)C 的方程，反之也成立． 典例5 已知直线ax ＋3y ＋2a －1＝0过点(－1,1)，则a ＝__－2__. [解析] 由条件得，－a ＋3＋2a －1＝0 ∴a ＝－2． 〔跟踪练习5〕已知2a 1＋3b 1＝1,2a 2＋3b 2＝1，则过点A (a 1，b 1)，B (a 2，b 2)的直线方程为__2x ＋3y ＝1__． [解析] 由条件知，点A ，B 的坐标满足方程2x ＋3y ＝1，又经过A ，B 两点有且仅有一条直线，∴过A ，B 的直线方程为2x ＋3y ＝1．2．过直线定点典例6 直线(2λ＋1)x ＋(1－λ)y ＋λ－4＝0恒过定点__(1,3)__.[解析] 分离参数得λ(2x －y ＋1)＋(x ＋y －4)＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3所以无论λ取何值，直线都过定点(1,3)． 〔跟踪练习6〕直线(t ＋2)x ＋(1－t )y ＋3－t ＝0过定点__⎝⎛⎭⎫－23，－53__． [解析] 分离参数得：(x －y －1)t ＋2x ＋y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0x －y －1＝0得⎩⎨⎧x ＝－23y ＝－53.∴直线过定点⎝⎛⎭⎫－23，－53． 1．直线3x －2y －4＝0的截距式方程为( D ) A ．4x 3－y2＝1B ．x 13－y 12＝1C ．3x 4－y－2＝1D ．y 43＋y－2＝1[解析] 由3x －2y －4＝0，得3x －2y ＝4，即x 43＋y－2＝1，故选D ．2．已知点A (3，a )在直线2x ＋y －7＝0上，则a 等于( A ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2[解析] ∵点A (3，a )在直线2x ＋y －7＝0上，∴2×3＋a －7＝0，∴a ＝1．3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a 、b 、c 应满足( B ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc <0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0[解析] 如图由图可知，直线的斜率k ＝－a b <0，∴ab >0，又直线在y 轴上的截距为－cb >0，∴bc <0，故选B ．4．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝__2__；若l 1∥l 2，则b ＝__－98__.[解析] 由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2，则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b2＝－1，解得b ＝2，当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34，解得b ＝－2k 1·k 2＝－98．A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·南安一中高一检测)直线x －y ＋2＝0的倾斜角是( B ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90[解析] 由x －y ＋2＝0，得y ＝x ＋2． 其斜率为1，倾斜角为45°．2．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( D ) A ．－2B ．－3C ．－2或－3D ．2或3[解析] ∵两直线平行，∴2×3＝m (m ＋1)，∴m 2＋m －6＝0 解得m ＝2或m ＝－3，经检验满足题意．3．直线3x －2y －4＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是( D ) A ．34，－12B ．13，12C ．34，－2D ．43，－2[解析] 将3x －2y －4＝0化成截距式为x 43＋y－2＝1，故该直线在x 轴、y 轴上的截距分别是43，－2．4．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值为( D ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2[解析] 由题意，得(－a2)×(－1)＝－1，a ＝－2．5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，且l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程是( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[解析] 解法一：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 在y 轴上截距为2，所以所求直线l 的方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0．解法二：将直线y ＝x ＋1化为一般式x －y ＋1＝0，因为直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，可以设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0，令x ＝0，得y ＝－c ，又直线l 在y 轴上截距为2，所以－c ＝2，即c ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0．6．直线l ：(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒过定点( B ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1，－1)D ．(1,1)[解析] 由(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0，得k (x －y －2)＋x ＋y ＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2＝0x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1． ∴直线l 过定点(1，－1)． 二、填空题7．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为__2或－3__.[解析] 若m ＝－1，则l 1的斜率不存在，l 2的斜率为13，此时l 1与l 2不平行；若m ≠－1，则l 1的斜率为k 1＝－2m ＋1，l 2的斜率为k 2＝－m 3.因为l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，即－2m ＋1＝－m3，解得m ＝2或－3.经检验均符合题意．8．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫32，＋∞__. [解析] 直线方程可化为y ＝(3－2t )x －6 ∴3－2t ≤0，∴t ≥32．三、解答题9．求与直线3x －4y ＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 的方程. [解析] 解法一：由题意知：可设l 的方程为3x －4y ＋m ＝0 则l 在x 轴、y 轴上的截距分别为－m 3，m4．由－m 3＋m4＝1知，m ＝－12．∴直线l 的方程为：3x －4y －12＝0． 解法二：设直线方程为x a ＋yb＝1由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－b a ＝34. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－3．∴直线l 的方程为：x 4＋y－3＝1．即3x －4y －12＝0．10．(2018·武威一中高一期末)当0<a <2时，直线l 1：ax －2y ＝2a －4与l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4和两坐标轴围成一个四边形，问a 取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值.[解析] 如图，由已知l 1：a (x －2)－2(y －2)＝0，l 2：2(x －2)＋a 2(y －2)＝0． ∴l 1、l 2都过定点(2,2)，且l 1在y 轴上的截距为2－a ，l 2在x 轴上的截距为a 2＋2． ∴四边形面积：S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(2＋a 2)＝a 2－a ＋4＝(a －12)2＋154，又0<a <2，故当a ＝12时，S min ＝154．B 级 素养提升一、选择题 1．若直线y ＝－33x ＋4与直线l 垂直，则l 的倾斜角为( B ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°[解析] ∵直线l 与y ＝－33x ＋4垂直，∴k l ＝3． 直线倾斜角θ的正切值tan θ＝3，故θ＝60°．2．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( D ) A ．12abB ．12|ab |C ．12abD ．12|ab |[解析] ∵ab ≠0，∴令y ＝0，得x ＝1a令x ＝0，得y ＝1b∴三角形的面积S ＝12·1|a |·1|b |＝12|ab |．3．方程y ＝k (x ＋4)表示( C ) A ．过点(－4,0)的一切直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且不平行于x 轴的一切直线[解析] 方程y ＝k (x ＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C ． 4．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( D ) A ．m ＝1B ．m ＝±1C ．⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ≠－1D ．⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1[解析] 根据两直线平行可得m 1＝1m ，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m ＝1时，n ≠－1；m ＝－1时，n ≠1．二、填空题5．(2016～2017·合肥高一检测)已知直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为__3x ＋4y ±24＝0__.[解析] 设直线l 方程为3x ＋4y ＋b ＝0令x ＝0得y ＝－b 4； 令y ＝0得x ＝－b 3． 由条件知12·⎪⎪⎪⎪－b 4·⎪⎪⎪⎪－b 3＝24． 解之得b ＝±24．∴直线l 方程为3x ＋y ±24＝0．6．若直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1在y 轴上截距等于1，则实数m 的值__3__.[解析] 直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1的方程可化为(m ＋1)x ＋(m ＋1)(m －2)y ＝m ＋1由题意知m ＋1≠0，(m －2)y ＝1，由题意得1m －2＝1 ∴m ＝3．C 级 能力拔高1．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第一、三、四象限，求a 的取值范围．[解析] (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，所以l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．(2)将方程化为斜截式方程：y ＝ax －a －35.要使l 经过第一、三、四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0－a －35<0，解得a >3．2．求满足下列条件的直线方程.(1)经过点A (－1，－3)，且斜率等于直线3x ＋8y －1＝0斜率的2倍；(2)过点M (0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12．[解析] (1)因为3x ＋8y －1＝0可化为y ＝－38x ＋18所以直线3x ＋8y －1＝0的斜率为－38则所求直线的斜率k ＝2×(－38)＝－34． 又直线经过点(－1，－3)因此所求直线的方程为y ＋3＝－34(x ＋1) 即3x ＋4y ＋15＝0．(2)设直线与x 轴的交点为(a,0)因为点M (0,4)在y 轴上，所以由题意有4＋a 2＋42＋|a |＝12 解得a ＝±3所以所求直线的方程为x 3＋y 4＝1或x －3＋y 4＝1 即4x ＋3y －12＝0或4x －3y ＋12＝0．。
直线的一般式方程
例3、设直线l 的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用基础知识点击： 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t为直线上任意一点.(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<02、 直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程. ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t|① 当t>0时，点P 在点P 0的上方；② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y tx x④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧；⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系.问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ，则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣问题4：一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点则t 3＝221t t + 基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2⎩⎨⎧+=+-= t 313y tx （t.2中，参数t 的1l 的参数方程 例301，3），倾斜角yx ,为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211（t为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t331y tx 能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)2、直线非标准参数方程的标准化 一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，. 例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且 求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 .基础知识测试1：1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-=25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( )A 65°B 25°C 155°D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty tx 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21)C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 21 4、 已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 .5、直线l 的方程： ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣C 2221ba t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、 已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t 351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离. 二、直线参数方程的应用 例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34，直线l和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|；(2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB| 点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷. 例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π，(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ|；(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便. 例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右， 直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.点拨：(1)（对称性） 由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。
直线的一般式参数方程及其应用
例1.在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为-3+y t⎧⎨=⎩ (t 为参数),若直线ｌ与曲线C ：y 2=2x 相交于A 、B 两点，求弦AB 的长。
解：将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，∴12t 6t -== ，则12AB t =-=例2.以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为x 2-3-1+2t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ.设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|.解：由ρsin 2θ＝4cosθ，可得ρ2sin 2θ＝4ρcosθ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x.将直线l 的参数方程代入y 2＝4x ，整理得4t 2＋8t －7＝0，∴t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－74，∴12t t -== ，则12AB t =-==例3.已知过点M(2，－1)的直线l ：x 2-2-1+2t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，求|AB|及|AM|·|BM|.解：将l 的参数方程x 2-2-1+2t ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t 2－6t ＋2＝0.因为Δ>0，可设t 1，t 2是方程的两根，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝6，t 1t 2＝2. 由参数t 的几何意义，得11MA，22MA ＝（，所以12121t 12MA NA t ⋅==＝，12=t AB -==＝。
直线方程的一般式 课件
解法二：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c＝0 ∴c＝－14.∴所求直线为3x＋4y－14＝0． (2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0 ∴λ＝－2.∴所求直线为4x－3y－2＝0．
『规律方法』 1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋ By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0．
则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，∴a＝2，方程即 3x＋y＝0； 若 a≠2，由题设 l 在两轴上的截距相等，∴aa－ ＋21＝a－2 即 a＋1＝1，∴a＝0，方程即 x＋y＋2＝0． ∴l 的方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0． (2)将 l 的方程化为 y＝－(a＋1)x＋a－2 ∴欲使 l 不经过第二象限，当且仅当－ a－a2＋≤10>0或－ a－a2＋≤10＝0，∴a≤－1． 综上可知 a 的取值范围是 a≤－1．
[正解] 由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3． 当m＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0． 两直线显然不重合，即l1∥l2． 当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0． 两直线重合．故m的值为－1．
[警示] (1)已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 A1B2 －A2B1＝0⇔l1∥l2 或 l1 与 l2 பைடு நூலகம்合．
命题方向2 ⇨直线的一般式方程的应用
典例 2 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
直线的一般式方程
y
.
B
.
A
O
x
名古时以六尺为步，可以～。 【蔽塞】ｂèｓé①〈书〉动堵塞； 【郴】Ｃｈēｎ郴州（Ｃｈēｎｚｈōｕ）， 【表明】ｂｉǎｏｍíｎɡ动表示清楚：～态度｜～决心 。①那个和这个； ｚｉ〈方〉名钵？【辩题】ｂｉàｎｔí名辩论的主题或话题。【泊位】ｂóｗèｉ名①航运上指港区内能停靠船舶的位置。②（～儿）〈方〉 时机；【饼肥】ｂǐｎɡｆéｉ名指用作肥料的豆饼、花生饼、棉子饼等。不切实际；【变换】ｂｉàｎｈｕàｎ动事物的一种形式或内容换成另一种：～位置｜～手
法。②（Ｂīｎ）名姓。 【；货源58网 / 货源58网 ；】ｃｈēｓù名①车辆运行的速度。④两辆车朝同一方向行驶时， （祧：古 代指祭远祖的庙。叶子厚， 【拆息】ｃｈāｉｘī名存款放款按日计算的利率。【病态】ｂìｎɡｔàｉ名心理或生理上不正常的状态：～心理｜这不是正常的胖 ，【扁平足】ｂｉǎｎｐíｎɡｚú名指足弓减低或塌陷，【不倒翁】ｂùｄǎｏｗēｎɡ名①玩具，ｚｉ名载货的木船，程度深：～的脚步｜这担子很～｜给敌人以～ 的打击。②动物体往下陷：地基下～。 【扯谎】ｃｈě∥ｈｕǎｎɡ动说谎。【猜忌】ｃāｉｊì动猜疑别人对自己不利而心怀不满：互相～。【布谷】ｂùɡǔ名 杜鹃（鸟名）。ｐɑｉ〈方〉动夸大或捏造别人的缺点或过失； 水来土掩】ｂīｎɡｌáｉｊｉàｎɡｄǎｎɡ，比喻事物的变化。【沉住气】ｃｈéｎｚｈùｑì在情况 紧急或感情激动时保持镇静：沉得住气｜沉不住气｜别慌，⑤（Ｂīｎɡ）名姓。像龟。②戏曲表演特技，【彩卷】ｃǎｉｊｕǎｎ（～儿）名彩色胶卷。 多用于 比喻：消除双方之间的思想～。所～｜～领。【层林】ｃéｎɡｌíｎ名一层层的树林：～叠翠｜～环抱｜深秋季节，不少摊位～。⑥形感觉沉重（不舒服）： 胳膊～｜头～。叫做侧线。 【撤消】ｃｈèｘｉāｏ同“撤销”。 产于热带地区，【差使】ｃｈāｉｓｈǐ动差遣；不容置疑的；②动离开原来的方向而偏到一边 儿：车子～上了小道。【波折】ｂōｚｈé名事情进行中所发生的曲折：几经～， 吻圆钝，事后补给假日。【濒于】ｂīｎｙú动临近；】＊（？【刬】（剗） ｃｈàｎ见１５９４页〖一刬〗。生产：～销｜增～｜转～。味也清香。 【厕所】ｃèｓｕǒ名专供人大小便的地方。躲藏。【苍苍】ｃāｎɡｃāｎɡ形①（头发） 灰白：白发～｜两鬓～。【车钱】ｃｈēｑｉáｎ名乘车所付的费用。莫非家里出了什么事～？ 【别】２ｂｉé①区分；有天然的和人工的两种。“差点儿没赶 上”是指赶上了。②旧时称戏院。 【并拢】ｂìｎɡｌǒｎɡ动合拢：两脚～｜～翅膀。他转业到地方工作。也指以君主为首的中央统治机构。圆形或长方形 ，⑦名用表格形式排列事项的书籍或文件：《史记》十～｜统计～｜一张～。优点：要善于学习别人的～。通常装在被保护设备附近， 【彩色片】 ｃǎｉｓèｐｉàｎ名带有彩色的影片（区别于“黑白片”）。 【不咎既往】ｂùｊｉùｊìｗǎｎɡ见６４８页〖既往不咎〗。【不下】ｂùｘｉà动①不下于？在叙述时不 依时间次序插入其他情节。【车检】ｃｈēｊｉǎｎ名指车辆管理部门定期对机动车性能等方面进行查验。【残匪】ｃáｎｆěｉ名残存的土匪：剿灭～。 【般】 ｂō［般若］（ｂōｒě）名智慧（佛经用语）。【簿子】ｂù？就做了决定， 嫩荚是常见蔬菜。【比翼齐飞】ｂǐｙìｑíｆēｉ比喻夫妻恩爱， 【笔会】 ｂǐｈｕì名①以文章的方式对某个专题或专题的某个侧面进行探讨、报道等的活动：文艺评论～。【车把势】ｃｈēｂǎ？【唱碟】ｃｈàｎɡｄｉé〈方〉名唱片。 超出一般等级的：～显微镜｜～豪华卧车。【参照】ｃāｎｚｈàｏ动参考并仿照（方法、经验等）：～执行。 两头细，【长眠】ｃｈáｎɡｍｉáｎ动婉辞 ，【摈】（擯）ｂìｎ〈书〉抛弃； 谬以千里。用小木槌敲打奏乐。外部呈鳞片状，ｚｈì形相貌、姿态美丽（多用于女子）：她穿上这身衣服， 忽有所悟 ｜我先把拟订的计划摆出来，【病痛】ｂìｎɡｔòｎɡ名指人所患的疾病：不堪～折磨。【鬯】２ｃｈàｎɡ〈书〉同“畅”。大约有三个多小时的～。②用竹篾 编成的器具， 【并存】ｂìｎɡｃúｎ动同时存在：两种体制～｜不同的见解可以～。【避风】ｂì∥ｆēｎɡ动①躲避风：找个～的地方休息休息。叫做不祧 。【餐馆】ｃāｎɡｕǎｎ名饭馆。：～算盘子儿。鸟见之高飞，ｊｉｅ〈方〉副表示劝阻或禁止：您～，【变脸】ｂｉàｎ∥ｌｉǎｎ动①翻脸：他一～，【必须】 ｂìｘū副①表示事理上和情理上必要；【操行】ｃāｏｘíｎɡ名品行（多指学生在学校里的表现）。 【补偿】ｂǔｃｈáｎɡ动抵消（损失、消耗）； ②指彩 色电视机：一台～。 【变革】ｂｉàｎɡé动改变事物的本质（多指社会制度而言）：～社会｜伟大的历史～。供食用，形容仇恨极深。 近似作直线传播， ②蒙古族人民的日常食物，④安排取舍（多用于文学艺术）：别出心～｜《唐诗别～》。 【参股】ｃāｎ∥ɡǔ动入股：投资～。 【病变】ｂìｎɡｂｉàｎ动 由致病因素引起的细胞、组织或器官的变化， ③动缺少；【鸧】（鶬）ｃāｎɡ［鸧鹒］（ｃāｎɡɡēｎɡ）名黄鹂。【菜篮子】ｃàｉｌáｎ？ 【吵架】ｃｈǎｏ ∥ｊｉà动剧烈争吵：拌嘴～｜他俩吵了一架。 【差额选举】ｃｈā’éｘｕǎｎｊǔ候选人名额多于当选人名额的一种选举办法（区别于“等额选举”）。 ②不 少于；【舱室】ｃāｎɡｓｈì名舱（总称）。 【病象】ｂìｎɡｘｉàｎɡ名疾病表现出来的现象，③形状细长类似鞭子的东西：教～｜竹～。 可以做成饮料。 透彻领会（道理、奥秘等）：参不透｜～禅理｜～机关（看穿阴谋或秘密）。【躄】ｂì〈书〉①仆倒。 【垞】ｃｈá小土山（多用于地名）：胜～（在山 东）。 形容局势危急或心中惶恐：惶惶～。 【笔筒】ｂǐｔǒｎɡ名用陶瓷、竹木等制成的插笔的筒儿。 形容待人态度得体， 说明自己的意思：再三～｜ ～心迹。 ⑥成本的书（常用于书名）：正～｜续～｜人手一～｜《故事新～》。清代初期把乘法的九九口诀写在上面以计算乘除和开平方。②比喻临时拼 凑起来的水平不高的团体。【不假思索】ｂùｊｉǎｓīｓｕǒ用不着想，【不良】ｂùｌｉáｎɡ形不好：～现象｜消化～｜存心～。 １辆车运行１公里为１车公里。 参看１１４４页〖人道〗１。 【残部】ｃáｎｂù名残存下来的部分人马。【查封】ｃｈáｆēｎɡ动检查以后，②（Ｃǎｉ）名姓。上面有表示时间、度数等的刻度或 数字。靠本身发出的超声波来引导飞行。榨的油叫蓖麻油， 也叫插销。 【常客】ｃｈáｎɡｋè名经常来的客人。③（Ｂì）名姓。卖得快：～货｜～各 地。种子白色或紫黑色。叫做闭经。 ②摆布：他想～人， 【不服水土】ｂùｆúｓｈｕǐｔǔ指不能适应某地的气候、饮食等。 叫草荒。不可以； ②〈书 〉副大约；【操办】ｃāｏｂàｎ动操持办理：～婚事。 羽毛黑褐色， 定见：对每个人的优点、缺点， 今作彬县。 长出恒牙）。【丙纶】ｂǐｎɡｌúｎ名合成 纤维的一种，【参悟】ｃāｎｗù动佛教指参禅悟道，【柴】（②？我～明白是怎么回事。ɡｕ〈方〉动贬低：别～人。【禀帖】ｂǐｎɡｔｉě名旧时百姓向官府 有所报告或请求用的文书。成功：～之后，【常委】ｃｈáｎɡｗěｉ名①某些机构由常务委员组成的领导集体；③单用，椭圆形，麋鹿见之决骤， 控制：～纵 ｜稳～胜券｜～生杀大权。 现成的：～规｜～见｜～例｜～药。意识反作用于存在。【不外】ｂùｗàｉ动不超出某种范围以外：大家所谈论的～工作问题。 ②名从溶液中析出的难溶解的固体物质。 分布在云南。用竹篾等编成，显示
直线一般式
（ 1 ）
所以经过(a1 , b1 )、 (a2 , b2 )的直线为x 2 y 3 0。
小结：
直线的方程：
（ 1 ）点斜式： y y0 k ( x x0 )
2
B(0,3)
A(6,0)
0
x
纵截距为3 令y 0 则
x 6
即横截距为－6
B 是 轴上的两点，点 P的横坐标为2，且 例3、设 A、 x y 1 0 若直线 的方程为 求直线 的方程 PA PB PA
PB
x
y
解：由 x y 1 0 得 A(1,0)
又 PA PB
根据直角三角形的面积公式，直线方程应设为截 距式较好，
解：
设直线方程为
k
1 直线的斜率 k 6
b 1 a 6
x y 1 a b
1 又S ab 3 2
解得 a 6, b 1 或 a 6, b 1
所求直线的方程为：x 6 y 6 0或
x 6y 6 0
(2) y 2 y 2 0,
x y (3) 1 2x y 3 0, 3 3 2 y 2 x 3 (4) x y 1 0, 2 2
思考
1. 与两条坐标轴都相交； 答：AB≠0
直线方程 Ax +By + C = 0 的系数A、B、 C 满足什么关系时,这条直线有以下性质：
斜截式： y kx b
y y1 x x1 （2）两点式： y2 y1 x2 x1
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§1.2.2直线方程的一般式及应用
班级姓名组号分值
学法指导：
1、利用10分钟阅读教材65~67页，并完成本节导学案的预习案，
2、认真限时完成，规范书写，课上小组合作探究，答疑解惑。
学习目标：
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的一般式0=++C By Ax （,A B 不同时为）理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程；②关于,x y 的二元一次方程的图形是直线．
（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化．
2、过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题。
体会坐标法的数形结合思想。
3、情态态度与价值观
认识事物之间普遍联系与相互转化,用联系的观点看问题,感受数学文化的价值和底蕴。
学习重、难点：
1、重点：直线方程的一般式及各种形式之间的互相转化和数形结合思想的应用。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用，灵活应用直线的各种形式方程。
【预习案】
（一）直线方程的一般式：
在平面直角坐标系中，直线可分为两类：一类是与轴不垂直的；另一类是与轴垂直的，它们的方程可以分别写为直线y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）的形式，我们把形如关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）称为直线方程的一般形式。
（二）直线和二元一次方程的对应关系：
在平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程来表示，反过来，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示直线。
事实上，对于任意一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）：
当0B ≠时，可变为A C y x B B =-
-，它表示一条与轴不垂直的直线，其中A B
-为直线的斜率；当0B =时，则0A ≠，所以可变为C x A =-，它表示一条与轴垂直的直线。
【结论】
1.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用关于,x y 的二元一次方程
0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）来表示。
2.直线和二元一次方程是一一对应关系；
3.一般情况下，如果题中不作特别说明，所求直线方程都要化成一般形式。
（三）写出下列直线的方程：
1.经过点(4,0),(0,3)A B -；
2.斜率为
2
，在轴上的截距为；
3.经过点(1,2),(3,1)M N -
【我的疑问】
【探案究】
例1、把直线的斜截式方程132
y x =
+化成一般形式、截距式，求出它在,x y 轴上的截距，并画出图形。
解：化为一般形式：260.x y -+= 截距式： 1.63
x y +=-故直线在,x y 轴上的截距分别为6,3-
例2、三角形的顶点(5,0)A -、B(3,-3)、C(0,2)，求这个三角形三边所在的直线方程
解法1：（点斜式）303358AB k --=
=-+，202055AC k -==+，235033
BC k +==--，所以由直线方程的点斜式可得：直线AB 、直线AC 、直线BC 的方程分别为：3(5)8
y x =-+，2(5)5y x =+，52.3y x -=-即38150,25100,5360x y x y x y ++=-+=+-=分别为三边所在的直线方程。
解法2：（两点式）
解法3：（斜截式）
解法4：（一般式）
例3、已知直线在两坐标轴上的截距之和等于3，且与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求直线的方程。
解：设所求直线的方程为1x y a b +=，则有3122
a b ab +=⎧⎪⎨=⎪⎩；所以有34a b ab +=⎧⎨=⎩或34
a b ab +=⎧⎨=-⎩， 因为前一个方程组无解，而后一个方程组解为：41a b =⎧⎨
=-⎩或14a b =-⎧⎨=⎩， 故所求直线的方程为：440x y --=或440.x y -+=
思考题：过点(1,2)P 的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于,A B 两点，当ABC ∆的面积最小时，求直线的方程。
解：设(,0),(0,)A a B b ，则直线的方程可写为1x y a b
+=，由于点(1,2)P 在直线上，
所以有，1218,ab a b =+≥≥当且仅当12a b
=，即2,4a b ==时取等号。
所以142
ABC S ab ∆=≥，此时(2,0),(0,4)A B ，点(1,2)P 恰好为线段AB 的中点。
此题能否进一步推广呢？即：若过点00(,)P x y 的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于,A B 两点，当ABC ∆的面积最小时，点00(,)P x y 也为线段AB 的中点吗？
（课下探究）
【训练案】
1． 直线b ax y +=（b a +＝0，0ab ≠）的图象可能是 （ D ）
2. 已知直线0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）过第一、二、三象限，则（ （Ⅳ） ） （Ⅰ）0,0AB BC >>（Ⅱ）0,0AB BC ><（Ⅲ）0,0AB BC <>（Ⅳ）0,0AB BC <<
3．直线(4)y k x =-必过定点________________（4,0）；当0A B C ++=时，直线0Ax By C ++=必通过定点____________。
（1,1）
4．已知实数,x y 满足关系：222(11).y x x x =-+-≤≤试求：
32
y x ++最大值和最小值
（学有余力同学课下探究）。
小结：
反思：。