高三数学知识点

高中数学知识点汇总（高三）

高中数学知识点汇总（高三） (1)

十四、空间直线与平面 (2)

十五、简单几何体 (10)

十六：排列组合与二项式定理 (16)

（一）排列组合 (16)

（二）二项式定理 (18)

十七：概率论初步 (19)

十八、基本统计方法 (21)

十四、空间直线与平面

1、平面及其基本性质：

（1）平面的定义：

平面概念是现实中平面形象抽象的结果，无厚度，无边界，在空间延伸至无限．

一般地，平面用一个大写的英文字母或小写的希腊字母表示，如平面M 、平面N 或平面α、平面β，也可以用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示．（2）点与直线的关系：

点A 在直线l 上，或直线l 经过点A ．A l ∈点B 不在直线l 上．

B l

∉（3）点与平面的关系：

点A 在平面α上，或平面α经过点A ．A α∈点B 不在平面α上．

B α∉（4）直线与平面的关系：

直线l 在平面α上或平面α经过直线l ．

l α

⊂≠

直线l 与平面α相交于点A ，

或称A 是直线l 与平面α的交

点．

l A

α=

直线l 与平面α平行，

或直线l 与平面α没有公共点．

l α=Φ 或l α

∥

（5

）平面与平面的关系：

平面α与平面β相交αβ≠Φ

平面α与平面β平行αβ=Φ 或αβ

∥（6）公理1：

如果直线l 上有两个点在平面

α上，那么直线l 在平面α上．

若A l ∈，B l ∈，且

A α∈，

B α∈，则l α⊂≠．

（7）公理2：

如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么

α、

β的交集是过点

A 的直线l ．

对于不同的两个平面α、β，若存在A αβ∈ ，则

l αβ= ，其中l 是直线，且A l ∈．（8）公理3及其推论：公理3

不在同一直线上的三点确定一个平面（这里“确定一个平面”的含义是“有且只有一个平面”）．

推论1一条直线和直线外的一点确定一个平面．

推论2两条相交的直线确定一个平面．推论3

两条平行的直线确定一个平面．

2、空间直线与直线的位置关系：

（1）空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎨

⎪⎨⎩⎪

⎩相交直线

共面直线平行直线

异面直线

（2）公理4：

平行于同一直线的两条直线相互平行．（3）定理1：

如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

（4）异面直线的定义：如果空间的两条直线1l 、2l 既不平行，也不相交，这时不可能存在一个平面，使它既经过直线1l ，又经过直线2l ，我们把不能置于同一平面的两条直线1l 、2l

叫做异面直线．

（5）异面直线所成的角：

对于异面直线a 和b ，在空间任取一点P ，过P 分别作a 和b 的平行线a '和b '，我们把a '与b '

所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．取值范围是(0,]2

π

．

（6）异面直线的性质：

过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面是唯一的．

3、空间直线与平面的位置关系：（1）直线与平面垂直：

一般地，如果一条直线l 与平面α上的任何直线都垂直，那么我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥，直线l 叫做平面α的垂线，l 与α的交点叫做垂足．

①判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

a b ⊥，a c ⊥，b α⊂，c α⊂，b c A = ⇒a α⊥．

②性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行．

a α⊥，

b α⊥，a b ≠Φ ⇒a b ∥．

（2）直线与平面平行：

①判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．a α⊄，b α⊂，且a b ∥⇒a α∥．

②性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

a α∥，a β⊂，

b αβ= ⇒a b ∥．

（4）直线与平面所成的角：

①当直线l 与平面α相交且不垂直时，叫做直线l 与平面α斜交，直线l 叫做平面α的斜线．设直线l 与平面α斜交于点M ，过l 上任意点A ，作平面α的垂线，垂足为O ，我们把点O 叫做点A 在平面α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平面α上的射影，并规定直线l 与其在平面α上的射影OM 所成的锐角叫做直线l 和平面α所成的角．

②当直线l 与平面α垂直时，它们所成的角等于90︒；当直线l 与平面α平行或直线l 在平面α

上时，它们所成的角为0︒．直线与平面所成的角的取值范围是[0,2

π

．

③最小角定理：已知α的斜线l 与α所成的角为θ，l 与α内的一条直线所成的角为β，则θβ≤，此为最小角定理．

已知OA 是平面α的斜线，OB 是OA 在α内的射影，OM α⊆，1AOB θ∠=，2BOM θ∠=，则

12cos cos cos θθθ=⋅．

（5）三垂线定理：

在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和

这条斜线垂直．

三垂线定理逆定理：

如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内

的射影．

4、空间平面与平面的位置关系：（1）空间平面与平面平行：

判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

a β⊂，

b β⊂，a b P = ，a α∥，b α∥⇒βα∥．

性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

αβ∥，a αγ= ，b βγ= ，求证a b ∥．

（2）空间平面与平面垂直：

①判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

a α⊂，a β⊥⇒αβ⊥．

②性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

αβ⊥，l αβ= ，m l ⊥，m α⊂⇒m β⊥．