高三数学知识点

高中数学知识点汇总（高三）高中数学知识点汇总（高三） (1)十四、空间直线与平面 (2)十五、简单几何体 (10)十六：排列组合与二项式定理 (16)（一）排列组合 (16)（二）二项式定理 (18)十七：概率论初步 (19)十八、基本统计方法 (21)十四、空间直线与平面1、平面及其基本性质：（1）平面的定义：平面概念是现实中平面形象抽象的结果，无厚度，无边界，在空间延伸至无限．一般地，平面用一个大写的英文字母或小写的希腊字母表示，如平面M 、平面N 或平面α、平面β，也可以用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示．（2）点与直线的关系：点A 在直线l 上，或直线l 经过点A ．A l ∈点B 不在直线l 上．B l∉（3）点与平面的关系：点A 在平面α上，或平面α经过点A ．A α∈点B 不在平面α上．B α∉（4）直线与平面的关系：直线l 在平面α上或平面α经过直线l ．l α⊂≠直线l 与平面α相交于点A ，或称A 是直线l 与平面α的交点．l Aα=直线l 与平面α平行，或直线l 与平面α没有公共点．l α=Φ 或l α∥（5）平面与平面的关系：平面α与平面β相交αβ≠Φ平面α与平面β平行αβ=Φ 或αβ∥（6）公理1：如果直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 在平面α上．若A l ∈，B l ∈，且A α∈，B α∈，则l α⊂≠．（7）公理2：如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l ．对于不同的两个平面α、β，若存在A αβ∈ ，则l αβ= ，其中l 是直线，且A l ∈．（8）公理3及其推论：公理3不在同一直线上的三点确定一个平面（这里“确定一个平面”的含义是“有且只有一个平面”）．推论1一条直线和直线外的一点确定一个平面．推论2两条相交的直线确定一个平面．推论3两条平行的直线确定一个平面．2、空间直线与直线的位置关系：（1）空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线平行直线异面直线（2）公理4：平行于同一直线的两条直线相互平行．（3）定理1：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．（4）异面直线的定义：如果空间的两条直线1l 、2l 既不平行，也不相交，这时不可能存在一个平面，使它既经过直线1l ，又经过直线2l ，我们把不能置于同一平面的两条直线1l 、2l叫做异面直线．（5）异面直线所成的角：对于异面直线a 和b ，在空间任取一点P ，过P 分别作a 和b 的平行线a '和b '，我们把a '与b '所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．取值范围是(0,]2π．（6）异面直线的性质：过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面是唯一的．3、空间直线与平面的位置关系：（1）直线与平面垂直：一般地，如果一条直线l 与平面α上的任何直线都垂直，那么我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥，直线l 叫做平面α的垂线，l 与α的交点叫做垂足．①判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．a b ⊥，a c ⊥，b α⊂，c α⊂，b c A = ⇒a α⊥．②性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．a α⊥，b α⊥，a b ≠Φ ⇒a b ∥．（2）直线与平面平行：①判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．a α⊄，b α⊂，且a b ∥⇒a α∥．②性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．a α∥，a β⊂，b αβ= ⇒a b ∥．（4）直线与平面所成的角：①当直线l 与平面α相交且不垂直时，叫做直线l 与平面α斜交，直线l 叫做平面α的斜线．设直线l 与平面α斜交于点M ，过l 上任意点A ，作平面α的垂线，垂足为O ，我们把点O 叫做点A 在平面α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平面α上的射影，并规定直线l 与其在平面α上的射影OM 所成的锐角叫做直线l 和平面α所成的角．②当直线l 与平面α垂直时，它们所成的角等于90︒；当直线l 与平面α平行或直线l 在平面α上时，它们所成的角为0︒．直线与平面所成的角的取值范围是[0,2π．③最小角定理：已知α的斜线l 与α所成的角为θ，l 与α内的一条直线所成的角为β，则θβ≤，此为最小角定理．已知OA 是平面α的斜线，OB 是OA 在α内的射影，OM α⊆，1AOB θ∠=，2BOM θ∠=，则12cos cos cos θθθ=⋅．（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．三垂线定理逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影．4、空间平面与平面的位置关系：（1）空间平面与平面平行：判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．a β⊂，b β⊂，a b P = ，a α∥，b α∥⇒βα∥．性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．αβ∥，a αγ= ，b βγ= ，求证a b ∥．（2）空间平面与平面垂直：①判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．a α⊂，a β⊥⇒αβ⊥．②性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．αβ⊥，l αβ= ，m l ⊥，m α⊂⇒m β⊥．（3）二面角：设两个平面α、β相交于直线AB ，AB 将α、β分别分割成两个半平面，由α、β的半平面及其交线AB 所组成的空间图形叫做二面角，记作AB αβ--．交线AB 叫做二面角的棱，两个半平面α、β叫做二面角的面．如果半平面α上有点Q ，半平面β上有点P ，那么该二面角也可记作P AB Q --．（4）二面角的平面角：在二面角的棱AB 上任取一点O ，过O 分别在面α和β上作棱AB 的垂线OM 和ON ，射线OM 和ON 所成的角叫做二面角AB αβ--的平面角．二面角的大小就用它的平面角来度量，当二面角的平面角是θ时，就说这个二面角是θ（0θπ≤≤）．特别地，当2πθ=时，称平面α与平面β垂直，记作αβ⊥．（5）二面角的平面角大小的求解方法：①定义法：在二面角AB αβ--的交线AB 上找到一点O ，然后分别在这两个面内作AB 的垂线OM 、ON ，然后求解MON ∠即可；②射影法：cos S S θ=射影的面积原几何图形的面积，其中θ为二面角的平面角的大小．注意：当射影在二面角的外面时，射影的面积取负值．5、空间图形中的有关距离：点M 和平面α的距离设M 是平面α外一点，过点M 作平面α的垂线，垂足为N ，我们把点M 到垂足N 之间的距离叫做点M 和平面α的距离．直线l 和平面α的距离设直线l 平行于平面α，在直线l 上任取一点M ，我们把点M 到平面α的距离叫做直线l 和平面α的距离．平面α和平面β的距离设平面α平行于平面β，在平面α上任取一点M ，我们把点M 到平面β的距离叫做平面α和平面β的距离．异面直线a 、b 的距离设直线a 与直线b 是异面直线，当点M 、N 分别在a 、b 上，且直线MN 既垂直于直线a ，又垂直于直线b 时，我们把直线MN 叫做异面直线a 、b 的公垂线，垂足M 、N 之间的距离叫做异面直线a 和b 的距离．6、立体向量的相关问题：（1）中点坐标公式：已知111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，若(,,)M x y z 是线段AB 的中点，则有121212222x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩．（2）异面直线所成的角：已知直线m 的方向向量为111(,,)a x y z = ，直线n 的方向向量为222(,,)b x y z =，则直线m 与直线n 所成的角θ满足：cos a ba bθ⋅==⋅ ．（3）平面的法向量：已知平面α的两个方向向量为1111(,,)d x y z = 、2222(,,)d x y z =，法向量为(,,)n x y z = ，则120d n d n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11122200x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩，得到::x y z 即可．（4）直线与平面所成的角：已知直线AP 的方向向量为111(,,)d x y z = ，平面α的法向量为222(,,)n x y z =，则直线AP 与平面α所成的角θ满足：sin d nd nθ⋅==⋅．（5）二面角（平面与平面所成的角）：基向量法：二面角A BD C --中，AE BD ⊥，CF BD ⊥，AC 、EF 、AE 、CF 长度已知，则由22()AC AE EF FC =++ ，可求出cos ,AE FC <> ，从而求得,AE FC <> ，则二面角A BD C --的大小为,AE FC π-<>．法向量法：已知平面α的法向量为1111(,,)n x y z = ，平面β的法向量为2222(,,)n x y z =，则平面α与平面β所成的二面角θ满足：1212cos n n n n θ⋅=±=±⋅ ．其中±号，可以结合具体情形加以判断，或者令1n 与2n对于二面角的朝向相反．（6）点到平面的距离：已知点P ，平面α的法向量为111(,,)n x y z =，则任取平面α上的点M ，于是点P 到平面α的距离为n PMn⋅ ．（7）异面直线间的距离：设异面直线AB 、CD 间的距离为d ，则BC n BD n AC n AD nd n n n n ⋅⋅⋅⋅==== ．其中，n 满足0n AB ⋅= ，且0n CD ⋅=．注意：异面直线间的距离问题在新课标中有所淡化，此公式仅作了解即可．要注意体会点到平面的距离公式与该公式的联系，从而体会点面之距、异面直线之距间的相互转化．十五、简单几何体1、多面体：（1）多面体的相关定义：概念定义多面体由平面多边形（或三角形）围成的封闭体．多面体的面()F 构成多面体的各平面多边形（或三角形）．多面体的棱()E 多面体相邻多边形（或三角形）的公共边．多面体的顶点()V 棱与棱的交点．凸多面体欧拉公式2V F E +-=（3）立体图形图示：三棱柱ABC A B C '''-四棱柱ABCD A B C D ''''-六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-平行六面体ABCD A B C D ''''-长方体ABCD A B C D ''''-正方体ABCD A B C D ''''-直三棱柱ABC A B C '''-直四棱柱ABCD A B C D ''''-直五棱柱ABCDE A B C D E '''''-正三棱柱ABC A B C '''-正四棱柱ABCD A B C D ''''-正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-三棱锥P ABC -四棱锥P ABCD -五棱锥P ABCDE-正三棱锥P ABC-正四棱锥P ABCD-正六棱锥P ABCDE-（4）“斜二测”画图法的定义：①规定按图所示的位置和夹角作三条轴分别表示铅垂方向、左右方向以及前后方向的轴，依次把它们叫做z 轴、y 轴和x 轴；②规定在z 轴和y 轴方向上线段的长度与其表示的真实长度相等，而在x 轴方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一．用这种方法画的空间图形的直观图叫做斜二轴测图，这样的画图方法简称“斜二测”画图法．（5）“斜二测”画图法有两条重要性质：①平行直线的斜二测图仍是平行直线；②线段及其线段上定比分点的斜二测图保持原比例不变．3、几何体的表面积：（1）直柱体的表面积：①直棱柱的侧面积：S ch =侧，其中h 和c 分别是直棱柱的高和底面周长；②直棱柱的表面积：2S ch =+⨯全底面面积，其中h 和c 分别是直棱柱的高和底面周长；③圆柱的侧面积：2S rh π=侧，其中r 和h 是圆柱底面的半径和圆柱的高；④圆柱的表面积：2=22S rh r ππ+全，其中r 和h 是圆柱底面的半径和圆柱的高．（2）椎体的表面积：①正棱锥的侧面积：12S ch '=侧，其中c 和h '是正棱锥底面的周长和正棱锥侧面等腰三角形的高（也称斜高）；②正棱锥的表面积：1=2S ch '+全底面面积，其中c 和h '是正棱锥底面的周长和侧面等腰三角形的高（也称斜高）；③圆锥的侧面（扇形）积：=S rh π'侧，其中r 、h '分别是圆锥底面半径和母线长；※扇形的半径是圆锥的母线；※扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长；④圆锥的表面积：2S rh r ππ'=+全，其中r 、h '分别是圆锥底面半径和母线长；注意：①直棱柱、圆柱的侧面积公式统一为S ch =柱；②正棱锥、圆锥的侧面积公式统一为1=2S ch '锥．（3）球的表面积：24S r π=，其中r 是球的半径．4、几何体的体积：（1）柱体的体积：①祖暅原理：约在公元前5世纪，我国数学家祖暅在研究“开立圆术”中指出“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”．其意思是：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等．这一论述被后人称为祖暅原理．②棱柱的体积公式：V Sh =棱柱，其中V 棱柱、S 和h 分别表示棱柱的体积、底面面积和高．③圆柱的体积公式：2V r h π=⋅圆柱，其中r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高．（2）椎体的体积：①等底等高的棱锥的体积相等；②棱锥的体积公式：1=3V Sh 棱锥，其中V 棱锥、S 和h 分别表示棱锥的体积、底面面积和高．③圆锥的体积公式：213V r h π=圆锥，其中r 为圆锥底面的半径，h 为圆锥的高．（3）球的体积公式：343V r π=球，其中r 为球的半径．5、球面距离：（1）球面距离：在联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离．球面距离公式： AB R α=，其中A 、B 为球O 上的两点，且AOB α∠=，R 为球O 的半径．（2）纬度：某点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角，其数值在0至90°之间．位于赤道以北的点的纬度叫北纬，记为N ；位于赤道以南的点的纬度称南纬，记为S ．（3）经度：过地球上某点与南北极的大圆的半圆与本初子午线所在平面所形成的面面角．按国际规定英国首都伦敦格林尼治天文台原址的那一条经线定为0°经线，然后向左右延伸．而各地的时区也由此划分，每15个经度便相差一个小时．十六：排列组合与二项式定理（一）排列组合1、计数原理I —乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m = 种不同的方法．2、排列：（1）一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（2）从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号P m n 表示．（3）排列数公式：()!P (1)(2)(1)!m n n n n n n m n m =---+=- 特别地，当n m =时，P !n n n =．（4）n 的阶乘：!(1)(2)321n n n n =⋅-⋅-⨯⨯⨯ ．易得1!1=，2!2=，3!6=，4!24=，5!120=，6!720=．3、计数原理II —加法原理：如果完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法．4、组合：（1）一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．（2）从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．（3）组合数公式：一般地，对于从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数P m n ，可看作由以下2个步骤得到的：第1步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合，共有C m n 种；第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数P mm ．根据乘法原理，得到P C P m m mn n m =⋅．于是，有以下组合式公式：P (1)(2)(1)!C P !!()!m m n nm n n n n n m n m m n m ---+===- ．（4）组合数C m n 的性质：①C C m n mn n-=；②11C C C m m m n n n -++=．（二）二项式定理1、一般地，对于任意正整数n 有0111*()C C C C ()n n n r n r r n n n n n n a b a a b a b b n N --+=+++++∈ ．①这个公式所表示的定理叫做二项式定理；②右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，它一共有1n +项；③其中各项的系数C (0,1,2,,)r n r n = 叫做二项式系数；注意：二项式系数与系数是不同的；辨析：二项式系数之和为2n ；各项系数之和为()n a b +中的参变量都等于1的值．④二项展开式的通项：1C r n r rr nT a b -+=．2、二项式系数表：0()a b +............................................................11()a b +.........................................................112()a b + (12)13()a b + (1331)4()a b + (14)6415()a b + (1)51010513、二项式系数的性质：①()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；②()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ．将1a b ==分别代入()n a b +和它的二项展开式中，即有0122C C +C ++C ++C n r nn n n n n =+ ．③()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．将1,1a b ==-代入()n a b +和它的二项展开式中，即有0221321C +C ++C +C +C ++C +(0,1,2,)r r n n n n n nr +== ．④()na b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C nn取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12Cn n-、12Cn n+相等，且同时取得最大值．十七：概率论初步1、古典概型：（1）概率论是研究随机现象数量规律的数学分支．（2）把一次试验可能出现的结果叫做基本事件．①一次试验所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．具有这两个特点的概率模型叫做古典概型．对于在一定条件下可能出现也可能不出现，具有统计规律性的现象叫做随机现象．在概率论中，掷骰子、转硬币……都叫做试验，试验的结果叫做随机事件，简称事件，用大写字母A 、B 等来表示．基本事件本身也是随机事件．随机事件A 出现的概率记作()P A ．在古典概型中，事件A 出现的概率定义为()A P A =事件所包含的基本事件数试验中所有的基本事件数．用集合语言表示，设1ω，2ω，……，n ω表示所有的基本事件，基本事件的集合记为12{,,,}n ωωωΩ= ．随机事件A 看作是Ω的某个子集，则()A P A ωω=Ω所包含的的个数中元素的总个数．（3）必然事件、不可能事件、随机事件：①把试验后必定出现的事件叫做必然事件，记作Ω；②把不可能出现的事件叫做不可能事件，记作Φ．I 、不可能事件的概率为零，即()0P Φ=；II 、必然事件的概率为1，即()1P Ω=；III 、对任意随机事件E ，有0()1P E ≤≤；IV 、若12{,,,}n ωωωΩ= ，则12()()()1n P P P ωωω+++= ．（4）对立事件：设E 和F 是两个随机事件，把满足下列条件的E 和F 叫做对立事件：①E F =Ω ；②E F =Φ ．在任何一次试验中，事件A 要么出现，要么不出现，如果把事件A 不出现记作事件A ，那么事件A 与事件A 互为对立事件，易知()()1P A P A +=．事件A 的对立事件A 的集合语言表示为{,}A x A C A ωωΩ=∈Ω∉=．2、几何概率模型：()E P E =出现区域或区间的几何度量所考察整个区域或区间的几何度量，其中几何度量指区间长度或图形面积．3、频率与概率：（1）频率：对于随机事件E ，如果在n 次试验中出现了m 次(0)m n ≤≤，那么m 称为事件E 出现的频数，mn称为事件E 出现的频率．实践证明：事件出现的频率常在该事件的概率（固定常数）附近摆动，这种规律性叫做频率稳定性或随机现象的统计规律性．频率稳定性的含义：①在大量试验中，事件出现的频率与其概率很接近；②当试验次数无限增大时，事件出现的频率与概率相差较大的可能性趋近于0．注意：在学习频率稳定性时，不能把概率作为当试验次数无限增大时频率的极限（在通常意义上）来理解．这是概率论发展史上，有人曾经犯过的错误之一．（2）大数定律：在掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，预先作出确定性判断是不可能的，但是假如硬币均匀，当试验次数增大时，频率值越来越稳定于12．频率的这一性质叫做大数定律．大数定律可以解释成：频率在大数次试验中稳定于某一常数（概率）．频率也叫做经验概率，计算频率通常是为了估计概率．十八、基本统计方法1、总体和样本：（1）总体和个体：在统计问题中，把研究对象的全体叫做总体，总体中的每一个对象叫做个体．（2）总体分布：人口年龄的分布可以用频率直方图表示，从中看出各年龄段在总体中所占的比例（百分比），即总体分布．（3）总体的分类：⎧⎨⎩有限总体无限总体（4）有限总体的平均状态：如果总体有N 个个体，它们的值分别为1x 、2x 、……、N x ，那么121()N x x x Nμ=+++ 叫做总体均值．（5）总体的中位数：把总体中的各个个体1x 、2x 、……、N x ，依由小到大的顺序排列，当N 为奇数时，位于该数列正中位置的数叫做总体的中位数，记作m ．当N 为偶数时，位于该数列正中位置的两个数的平均数叫做总体的中位数．注意：平均数表示总体中各个个体的平均大小，中位数是这些数值的中间值．（6）总体方差和总体标准差：设总体有N 个个体，它们分别为1x 、2x 、……、N x ，那么各个个体与总体平均数μ的差的平方分别是21()x μ-、22()x μ-、…、2()N x μ-，把它们的平均数叫做总体方差，记作2σ，即222212()()()N x x x N μμμσ-+-++-= ．该公式经简化后，可得2222212N x x x N N μσ+++-= 或2222212N x x x N σμ+++=- ．总体方差反映了各个个体偏离平均数μ的程度．①2σ越大，总体中各个个体之间的差别越大；②2σ越小，总体中各个个体之间的差别越小．σ叫做总体标准差．（7）关于一组数据的均值与方差的常用结论：数据i x i x m +i tx i tx m +均值μm μ+t μt m μ+方差2σ2σ22t σ22t σ2、抽样技术：（1）样本与抽样：从总体中抽出的一部分个体所组成的集合叫做样本（也叫做子样），样本中所含个体的个数叫做样本容量，抽取样本的过程叫做抽样．（2）抽样方法的分类①随机抽样：如果在抽样过程中能使总体中的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，那么这种抽样叫做随机抽样．所得的样本称为随机子样．I 、抽签法；II 、利用随机数表或计算机产生的随机数进行抽样．②系统抽样：把总体中的每一个个体编上号，按某种相等的间隔抽取样本的方法，叫做系统抽样．如果总体中个体的总数为N ，样本的容量为n ，那么间隔N k n =．③分层抽样的概念：把总体分成若干个部分，然后在每个部分进行随机抽样的方法，叫做分层抽样．分层抽样的方法：先将总体个数N 按要求分成k 层，每层的个体数分别记作1N 、2N 、…、k N ；在每层中分别随机抽取1n 、2n 、…、k n 个个体组成容量为n 的样本，使得12121212k k k kN N N N n n n N N N n n n n ⎧=+++⎪⎪===⎨⎪⎪=+++⎩ ．3、统计估计：（1）概率估计：由于频率稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．（2）参数估计：如果样本为1x 、2x 、……、n x ，样本的容量为n ，那么可以用样本的平均值12n x x x x n+++= 作为总体均值的点估计值；用样本的标准差作为总体标准差的点估计值．注意：s 是样本标准差．上式中除以1n -是为了消除系统性偏差．。