函数性态的研究(凹凸性和渐近线)

f ( x2 ),
即
f ( x) f ( x1 ) f ( x) f ( x2 ) ．
x x1
x x2
Thm 6 设 f ( x) 在 (a, b) 内可导，则 f ( x) 是 (a, b)
内的凸（或凹）函数 f ( x) 在 (a, b) 内单增 （或单减）．
Thm 7 设函数 f ( x) 在 (a, b) 内二阶可导，且 f ( x) 0 （或 f ( x) 0 ），则 f ( x) 在 (a, b) 内是凸（或凹）函数．
f( x1
x1
)(
x
x1
)
，即
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凸函数
Def. 2 设 f ( x) C[a, b] ．对 x 1 , x2 (a, b) ，
及 0 1，若总有
f ( x1 (1 )x2) f (x1) (1 ) f (x2) (a, b) 内的凸函数； f ( x1 (1 )x2) f (x1) (1 ) f (x2) (a, b) 内的凹函数．
0, x yln y] ，
y,
n1．
2 22
（Step3 利用凹凸性导结论）
从而 ( x y)ln x y xlnx yln y ． 2
（二）曲线的拐点
连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点
f ( x) 0的 po int s f ( x)不存在的po int s 是拐点横坐标的可疑点．
o
反之未必．如
f (x) x4 ， f (x)12x2 ，有 f (0)0 ，
但 (0, 0) 不是拐点．
f ( x) 在 x0 左右两侧变号, 是； 不变号, 不是．
例 10 求曲线 y x 3 x 1 的凸向和拐点．
解：(1) 定义域为 (, ) ；
(2) y 4 x 3 ， y 2(2 x 3) ，
Proof. 设 f ( x) xlnx ， x0 ，（Step1 找准函数， ）
f
( x)lnx1，
f
( x)
1 x
0
，（Step2
判断函数凹凸性）
∴故Ef (fXx(E)x在 y(0)12, (1x[nf)(内xy)为n )f严(格y)x]凸，2函y数n，,
22
即
Fra Baidu bibliotek
x
y
ln
x
y
1x [
0, y xlnx
A DB C
f ( x) 在 (a, b) 内可导， 则 f ( x) 在 (a, b) 内凸
f ( x) 在 (a, b) 内单增 ？
o a x1 x x2 b x
？
凸函数：对 x [ x1, x2 ] (a, b)，总有
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
三、凹凸函数、曲线的凸向及拐点
Def. 2 设 f ( x) C[a, b] ．对 x 1 , x2 (a, b) ，
及 0 1，若总有
f ( x1 (1 )x2 ) f ( x1) (1 ) f ( x2 )
y y f (x)
A DB
称函数 f ( x) 在 (a, b) 内是凸函数
Note: (1) 改“ ”为“ ”，即为严格凸函数； 改“ ”为“ ”，即为严格凹函数．
y
y f (x)
A DB
C
图形向下凸 “弦在曲线的上方”
o a x1 x x2 b x
∵弦 AB
的方程为
y
f
( x1)
f
(
x2 ) x2
f( x1
x1
) (
x
x1
),
∴
f
( x)
f
( x1)
f
(
x2 ) x2
C
若总有
（图形向下凸）；
o a x1 x x2 b x
f ( x1 (1 )x2 ) f ( x1) (1 ) f ( x2 )
称函数 f ( x) 在 (a, b) 内是凹函数（图形向上凸）．
Def. 2 设 f ( x) C[a, b] ．对 x 1 , x2 (a, b) ， 及 0 1，若总有 f ( x1 (1 )x2) f (x1) (1 ) f (x2) (a, b) 内的凸函数； f ( x1 (1 )x2 ) f ( x1) (1 ) f ( x2) (a, b) 内的凹函数．
Note：(1) 拐点是曲线上的点，必须用 ( x0 , y0 )表示；
(2) 若 ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y f ( x) 的拐点，则 x0
可能是 f ( x) 的零点或 f ( x) 不存在的点；
(3) 若 ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y f ( x) 的拐点， 且 f ( x) 在 x0 连续，则 f ( x0 ) 0 ，
33 x 1
93 x 1
(3) 令 y0 ，得 x 3/ 2 ．当 x1 时， y 不存在．
f f
( (
x) 0的 po int s x)不存在的po int
s
是拐点横坐标的可疑点
(4) 列表
x (, 1)
1
3 (1, )
3
( 3, )
2
2
2
y
+
不存在 -
0
+
拐点
Note: (2) 定义中的不等式 对 x [x1, x2] (a, b) ，都有
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凸函数
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凹函数
y y f (x)
o
TThhmm7设设f (fx()x在) 在N ((xa0,,b))内内有二二阶阶可导导数，，且若在f N( x( x) 0,0)（内或
(1)
f ( x
)f则(0x(）)x，在0 ,则xf0(f左x(0右x)))是两在侧曲(a变线, 号by)，内f (是x)凸的（拐或点凹；或 由）由函数．,
(2) f (x) 在 x0 左右两侧不变号， 则 ( x0 , f ( x0 )) 不是曲线 y f ( x) 的拐点．
Note：改“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凸函数；
“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凹函数． 反之未必成立，即 Thm 7 及注仅是充分条件，非必要．
例 9 证： ( x y)ln x y xlnx yln y , x, y0 且 x y ； 2