2018年高考数学总复习 基本不等式及其应用

第二节基本不等式及其应用

考纲解读

1. 了解基本不等式错误！未找到引用源。的证明过程.

2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

3. 利用基本不等式证明不等式.

命题趋势探究

基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题.

预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题.

本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分.

知识点精讲

1. 几个重要的不等式

（1）错误！未找到引用源。

（2）基本不等式：如果错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“”).

特例：错误！未找到引用源。同号.

（3）其他变形：

①错误！未找到引用源。(沟通两和错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式)

②错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式)

③错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两和错误！未找到引用源。的不等关系式)

④重要不等式串：错误！未找到引用源。即

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).

2. 均值定理

已知错误！未找到引用源。.

（1）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.

（2）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.

题型归纳及思路提示

题型91 基本不等式及其应用

思路提示

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.

例7.5“错误！未找到引用源。”是“错误！未找到引用源。”的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

解析：由错误！未找到引用源。能推出错误！未找到引用源。；但反之不然，因为错误！未找到引用源。的条件是错误！未找到引用源。，故选A.

变式1 已知错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。，则（）

A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

变式2（2012福建理5）下列不等式中一定成立的是（）

A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

例7.6 若错误！未找到引用源。，则下列不等式对一切满足条件的错误！未找到引用源。恒成立的是（写出所有正确命题的序号）.

①错误！未找到引用源。；②错误！未找到引用源。；③错误！未找到引用源。；④错误！未找到引用源。；⑤错误！未找到引用源。.

解析：对于①，由错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。(当且仅当错误！未找到引用源。时取等号)，故①正确；对于②，由错误！未找到引用源。及错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。(当且仅当错误！未找到引用源。时取等号)，故②正确；对于③，由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。，故③正确.对于④，错误！未找到引用源。，因此错误！未找到引用源。(当且仅当错误！未找到引用源。时取等号)，故④不恒成立；

对于⑤，错误！未找到引用源。，又错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，故⑤正确，故填①③⑤.

变式1如果正数错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，那么（）

A. 错误！未找到引用源。，且等号成立时错误！未找到引用源。的取值唯一

B. 错误！未找到引用源。，且等号成立时错误！未找到引用源。的取值唯一

C. 错误！未找到引用源。，且等号成立时错误！未找到引用源。的取值不唯一

D. 错误！未找到引用源。，且等号成立时错误！未找到引用源。的取值不唯一

题型92 利用基本不等式求函数最值

思路提示

（1）在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值，可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”，求最值时，这是个方面缺一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误.

（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组，反复使用基本不等式等.

一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证

例7.7 （1）若错误！未找到引用源。，求函数错误！未找到引用源。的最小值；

（2）若错误！未找到引用源。，求函数错误！未找到引用源。的值域.

分析：（1）因为错误！未找到引用源。满足不等式条件，可以直接利用基本不等式求最值.

（2）因为错误！未找到引用源。，故需先转化为错误！未找到引用源。，才能利用基本不等式求最值.

解析：因为错误！未找到引用源。，由基本不等式得错误！未找到引用源。，当且仅当错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。取最小值.

（2）因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，

即错误！未找到引用源。. 当且仅当错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。取最大值错误！未找到引用源。.

故函数错误！未找到引用源。的值域为错误！未找到引用源。.

评注：解（1）时，应注意积为定值这个前提条件；解（2）时，应注意使用基本不等式求最值时，各项必须为正数.

变式1 （1）求函数错误！未找到引用源。的值域

（2）求函数错误！未找到引用源。的最小值；

（3）求函数错误！未找到引用源。的最小值.

二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式

例7.8已知错误！未找到引用源。，求函数错误！未找到引用源。的最大值.

分析：因为错误！未找到引用源。，所以首先要调整符号，又错误！未找到引用源。不是常数，所以要对错误！未找到引用源。进行拆凑项，通过将函数解析式拆凑成可以使用基本不等式的形式，从而求得函数的最值.

解析：因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，由错误！未找到引用源。（当且仅当错误！未找到引用源。时，即错误！未找到引用源。时取等号）得错误！未找到引用源。. 所以函数的最大值为1.

当且仅当错误！未找到引用源。时，即错误！未找到引用源。时取等号，故当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.

评注：利用基本不等式求最值时要重视各种条件，即“一正二定上相等四同时”必须全部满足，方可利用其求得最值. 如果本题中的条件“错误！未找到引用源。”改为“错误！未找到引用源。”，则如下求解：因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。，为错误求解，错误原因：在于只注重基本不等式的形式构造而未对成立条件“三相等”加以验证，事实上，错误！未找到引用源。.一般地，对勾函数错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上单调递减，在错误！未找到引用源。上单调递增，若不满足“三相等”的条件可以利用函数的单调性求最值.另外，还要注意与对勾函数错误！未找到引用源。同形质异的函数错误！未找到引用源。在上错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。均为单调增函数.如错误！未找到引用源。可直接利用单调性求最值.

变式1 求函数错误！未找到引用源。的最大值.

变式2设正实数错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，则当错误！未找到引用源。取得最大值时，错误！未找到引用源。最大值为（）

A. 0

B. 1

C. 错误！未找到引用源。

D. 3

三、“1”的变换

例7.9已知错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的