2018年高考数学总复习 基本不等式及其应用

第二节基本不等式及其应用考纲解读1. 了解基本不等式错误！未找到引用源。

的证明过程.2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3. 利用基本不等式证明不等式.命题趋势探究基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题.预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题.本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分.知识点精讲1. 几个重要的不等式（1）错误！未找到引用源。

（2）基本不等式：如果错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

(当且仅当“错误！未找到引用源。

”时取“”).特例：错误！未找到引用源。

同号.（3）其他变形：①错误！未找到引用源。

(沟通两和错误！未找到引用源。

与两平方和错误！未找到引用源。

的不等关系式)②错误！未找到引用源。

(沟通两积错误！未找到引用源。

与两平方和错误！未找到引用源。

的不等关系式)③错误！未找到引用源。

(沟通两积错误！未找到引用源。

与两和错误！未找到引用源。

的不等关系式)④重要不等式串：错误！未找到引用源。

即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2. 均值定理已知错误！未找到引用源。

.（1）如果错误！未找到引用源。

(定值)，则错误！未找到引用源。

(当且仅当“错误！未找到引用源。

”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果错误！未找到引用源。

(定值)，则错误！未找到引用源。

(当且仅当“错误！未找到引用源。

”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.题型归纳及思路提示题型91 基本不等式及其应用思路提示熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.例7.5“错误！未找到引用源。

”是“错误！未找到引用源。

”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：由错误！未找到引用源。

能推出错误！未找到引用源。

；但反之不然，因为错误！未找到引用源。

的条件是错误！未找到引用源。

，故选A.变式1 已知错误！未找到引用源。

且错误！未找到引用源。

，则（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

变式2（2012福建理5）下列不等式中一定成立的是（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

例7.6 若错误！未找到引用源。

，则下列不等式对一切满足条件的错误！未找到引用源。

恒成立的是（写出所有正确命题的序号）.①错误！未找到引用源。

；②错误！未找到引用源。

；③错误！未找到引用源。

；④错误！未找到引用源。

；⑤错误！未找到引用源。

.解析：对于①，由错误！未找到引用源。

及错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

(当且仅当错误！未找到引用源。

时取等号)，故①正确；对于②，由错误！未找到引用源。

及错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

(当且仅当错误！未找到引用源。

时取等号)，故②正确；对于③，由错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

，故③正确.对于④，错误！未找到引用源。

，因此错误！未找到引用源。

(当且仅当错误！未找到引用源。

时取等号)，故④不恒成立；对于⑤，错误！未找到引用源。

，又错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，故⑤正确，故填①③⑤.变式1如果正数错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，那么（）A. 错误！未找到引用源。

，且等号成立时错误！未找到引用源。

的取值唯一B. 错误！未找到引用源。

，且等号成立时错误！未找到引用源。

的取值唯一C. 错误！未找到引用源。

，且等号成立时错误！未找到引用源。

的取值不唯一D. 错误！未找到引用源。

，且等号成立时错误！未找到引用源。

的取值不唯一题型92 利用基本不等式求函数最值思路提示（1）在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值，可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”，求最值时，这是个方面缺一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误.（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组，反复使用基本不等式等.一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证例7.7 （1）若错误！未找到引用源。

，求函数错误！未找到引用源。

的最小值；（2）若错误！未找到引用源。

，求函数错误！未找到引用源。

的值域.分析：（1）因为错误！未找到引用源。

满足不等式条件，可以直接利用基本不等式求最值.（2）因为错误！未找到引用源。

，故需先转化为错误！未找到引用源。

，才能利用基本不等式求最值.解析：因为错误！未找到引用源。

，由基本不等式得错误！未找到引用源。

，当且仅当错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

取最小值.（2）因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

. 当且仅当错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

取最大值错误！未找到引用源。

.故函数错误！未找到引用源。

的值域为错误！未找到引用源。

.评注：解（1）时，应注意积为定值这个前提条件；解（2）时，应注意使用基本不等式求最值时，各项必须为正数.变式1 （1）求函数错误！未找到引用源。

的值域（2）求函数错误！未找到引用源。

的最小值；（3）求函数错误！未找到引用源。

的最小值.二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式例7.8已知错误！未找到引用源。

，求函数错误！未找到引用源。

的最大值.分析：因为错误！未找到引用源。

，所以首先要调整符号，又错误！未找到引用源。

不是常数，所以要对错误！未找到引用源。

进行拆凑项，通过将函数解析式拆凑成可以使用基本不等式的形式，从而求得函数的最值.解析：因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，由错误！未找到引用源。

（当且仅当错误！未找到引用源。

时，即错误！未找到引用源。

时取等号）得错误！未找到引用源。

. 所以函数的最大值为1.当且仅当错误！未找到引用源。

时，即错误！未找到引用源。

时取等号，故当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

.评注：利用基本不等式求最值时要重视各种条件，即“一正二定上相等四同时”必须全部满足，方可利用其求得最值. 如果本题中的条件“错误！未找到引用源。

”改为“错误！未找到引用源。

”，则如下求解：因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，为错误求解，错误原因：在于只注重基本不等式的形式构造而未对成立条件“三相等”加以验证，事实上，错误！未找到引用源。

.一般地，对勾函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上单调递减，在错误！未找到引用源。

上单调递增，若不满足“三相等”的条件可以利用函数的单调性求最值.另外，还要注意与对勾函数错误！未找到引用源。

同形质异的函数错误！未找到引用源。

在上错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

均为单调增函数.如错误！未找到引用源。

可直接利用单调性求最值.变式1 求函数错误！未找到引用源。

的最大值.变式2设正实数错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，则当错误！未找到引用源。

取得最大值时，错误！未找到引用源。

最大值为（）A. 0B. 1C. 错误！未找到引用源。

D. 3三、“1”的变换例7.9已知错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

的最小值.分析：利用条件错误！未找到引用源。

中“1”的变换.解析：解法一：因为错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

.当且仅当错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的最小值为16.解法二：由错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

10.因为0y >，所以90y ->，所以9(9)109)101699y y y -++≥+=--. 当且仅当999y y -=-，即12y =时取等号，此时4x =，所以当4,12x y ==时，x y +取得最小值16 评注 本题的解法一是利用条件中的“1”，代换成“19x y+”，将其所求的形配凑成利用基本不等式的形式，使得题目顺利求解，但下面的解法是错误的：因为191x y x y xy+=≥=，即36xy ≥，所以12x y +≥≥=，错误的原因在于连续使用了两次基本不等式，但未对两个“=”成立的条件是否吻合进行验证，其实，这两次“=”不能同时取得，这就提醒我们，在多次使用基本不等式时，一定要验证多次“=”满足的条件能否同时成立.变式1 已知0a >，0b >，2a b +=，则11y a b =+的最小值是 变式2 求函数2214(0)sin cos 2y x x x π=+<<的最小值 变式3已知a b c >>，证明：1113a b b c c a a c++≥---- 变式4 设2a b +=，0b >则当a = 时，12a a b+最得最小值. 四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用例7.10若正数,a b 满足3ab a b =++，则：（1）ab 的取值范围是（2）a b +的取值范围是分析 由等量关系的结构特征可知，只需将所求部分之外的部分利用不等式转化为所求的形式，然后解不等式即可.解析（1）解法一：基本不等式.33ab a b =++≥，当且仅当a b =时取等号，所以230≥31-（舍）3≥，故有9ab ≥.当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的取值范围是[9,)+∞解法二：判别式法.令ab t =（3t >），则t b a =，代入原式得，3t t a a=++，整理得2(3)0a t a t +-+=.2(3)40t t ∆=--≥，得9t ≥或1t ≤（舍），ab 的取值范围是[9,)+∞ （2）解法一：23()2a b ab a b +=++≤，当且仅当a b =时取等号，令0S a b =+>，则234S S +≤，整理得即24120S S --≥得6S ≥或2S ≤-（舍），即a b +的取值范围是[6,)+∞解法二：判别式法，令a b t +=（0t >），则b t a =-，代入原式得，()3a t a t -=+，整理得230a at t -++=24(3)0t t ∆=-+≥，得6t ≥或2t ≤-（舍）.即a b +的取值范围是[6,)+∞评注：注意体会使用方程消元法求范围与利用基本不等式求范围的优劣，试用方程消元法求解本题的第（2）问.变式1 若,0x y >满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是变式2 若,0x y >满足2x y xy ++=，则x y +的最小值是变式3 若,0x y >满足228x y xy ++=，则2x y +的最小值是（ ）.A 3 .B 4 .C 92 .D 112五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式例7.11 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则的最大值为 分析 观察所求式子与题中所给条件的联系，运用基本不等式灵活建立两者之间的关系是解题的核心.解析 0x ≥，0y ≥，2212y x +=所以==221222y x ++≤2212222y x ++==2212y x+=时取“=”，即x =，2y =时取“=”）. 4评注 本题除了利用基本不等式求解外，还可以利用已知条件中的2212y x +=，采用三角换元来求解，望同学们自己尝试．变式１ 已知0a >，0b >，4a b +=，求2211()()a b a b+++的最小值． 六、合理配组，反复应用基本不等式例7.12 设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是（ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4解析 解法一：因为2112a b a b +≤+，所以411a b a b+≥+.故2114()ab a a b a ab ab +≥-+- 则211()a ab a a b ++-224a a ab ab ≥++-222244a a a=+≥=（当且仅当2a b a a b =-与44a =，0a b >>同时成立时，取得“=”），即当a =2b =时，211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D 解法二：22111111()()a a ab a a b ab b a b a++=++---，因为0b >，0a b ->，所以22()()24a a b a b -≤=（当且仅当2a b =时取“=”），则2222144()a a b a b a a+≥+≥=-（当且仅当a ==”），所以当a =2b =时，211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D变式1 若0a >，0b >，满足11a b++ ）.A 2 .B .C 4 .D 5变式2 若,x y 是正数，则2211()()22x y y x+++的最小值是（ ） .A 3 .B 72 .C 4 .D 92题型93 利用基本不等式证明不等式思路提示类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 例7.13 （1）,,a b c R +∈，求证：11()()4a b c a b c +++≥+ （2）,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a++≥++（3）,,x y z R +∈，且1x y z ++=解析 （1）因为,,0a b c >，所以1111()()[()]()a b c a b c a b c a b c+++=+++++ 11a b c b c a +=++++2a b c b c a+=+++224≥+=当且仅当a b c =+时等号成立. （2）因为,,0a b c >，所以22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a+≥三式相加得：222()()()a b c b c a b c a +++++222a b c ≥++，即222a b c a b c b c a++≥++（3）分析法.≤只需证3x y z +++≤，只1≤因为,,x y z R +∈，x y +≥，x z +≥，y z +≥，所以2()x y z ++≥1成立.评注 本题（2）的证明是综合法，（3）的证明是分析法.综合是从已知出发推导结果，分析法是从结果出发，去分析命题成立的条件，一般情况下两种方法是可以通用的，对于比较复习的问题，也可以结合这两种方法使用变式1若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥变式2 证明：若,,,,,x y z a b c R +∈，则222()b c c a a b y z xy yz xz a b c+++++≥++最有效训练题27（限时45分钟）1．函数1()2f x x x =+-（2x >）在x a =处取得最小值，则a =（ ）.A 1+ .B 1 .C 3 .D 42．已知0a >，0b >，2a b +=，则19y a b=+的最小值是（ ） .A 72 .B 8 .C 92.D 5 3．若0x >，0y >，2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） .A (,2][4,)-∞-⋃+∞ .B (,4][2,)-∞-⋃+∞.C (2,4)- .D (4,2)-4．已知,a b R +∈，且21a b +=，则224S a b =-的最大值为（ ）.A .B 1 .C 1 .D 5．若0x >，0y >，且()1xy x y -+=则（ ）.A 2x y +≤ .B 2x y +≥ .C 21)x y +≤ .D 21)x y +≥6．若224m n +<，则点(,)m n 必在（ ）.A 直线20x y +-=的左下方 .B 直线20x y +-=的右上方.C 直线220x y +-=的右上方 .D 直线220x y +-=的左下方7．在“4+91=”中的“ ”处分别填上一个自然数，使他们的和最小，其和的最小值为8．已知函数()1p f x x x =+-（p 为常数，且0p >），若()f x 在(1,)+∞上的最小值是4，则实数p 的值为9．已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为 10．（1）设02x <<，求函数(42)y x x =-最大值.（2）设(0,)x π∈，求函数4()sin sin f x x x=+的最小值. （3）已知0x >，0y >，且1x y +=，求34x y+的最小值 （4）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是11．已知,a b≥12．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车辆速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0，当车流速度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明，当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.（1）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.。