高数第五章A卷

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高中数学人教A版(2019)必修一第五章学业水平测试(A卷)

第五章学业水平测试(A 卷) (时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)1．下列命题中：①小于90°的角是锐角，②第二象限角是钝角，③终边相同的角都相等，④若角α的终边在第一象限，则sin α＜tan β．正确的个数是( ).A ．0B ．1C ．2D ．32．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M(－3，4)，则cos 2α的值为( ).A ．572－B ．725C ．5242－D ．24253．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点3π 04⎛⎫⎪⎝⎭，，则ω的最小值是( ) A ．13B ．1C ．53D ．24．已知sin(30°＋α)＝35，60°＜α＜150°，则cos α的值是( ). A ．40331－ B ．40331＋ C ．30431＋ D ．30431－ 5．已知sin α＋sin(α＋π3)＝435，则sin(α－5π6)的值是( ).A ．523－B ．235C ．54－D ．456．已知函数y ＝cos(213＋k πx －π6)(其中k N)，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值14出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 的值为( ).A ．2或3B ．4或3C ．5或3D ．8或3二、填空题(本题共4小题，每小题8分，共32分．将答案填在题后的横线上) 7．已知某扇形的圆心角是4π3，半径是3，则该扇形的面积是____________． 8．已知tan α与tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则tan(α＋β)＝____________．9．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0，∣φ∣＜π)的部分图象如图所示，则f(x)＝____________．10．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)·cos x，将f(x)的图象向右平移π8个单位，再向下平移12个单位长度后，所得图象对应的函数的最大值为____________．三、解答题(本题共3小题，第11，12题每小题10分，第13小题12分，共32分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 11．在平面直角坐标系中，角α与β的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．已知角α的终边与单位圆交于点P3455⎛⎫⎪⎝⎭，，将OP绕原点O按逆时针方向旋转π4后与角β的终边OQ重合．(1)写出β与α的关系；(2)求tan β的值．12．设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋3sin 2x＋2a．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x[0，π4]时，f(x)的最小值为0，求f(x)的最大值．13．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋π4)(ω＞0)的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间[0，π2]上的单调性．第9题参考答案一、选择题1．B．2．A．3．D．4．D．5．C．6．A．提示：因为y＝cos x在每个周期内出现函数值为14的有两次，而区间[a，a＋3]的长度为3，所以只要区间长度大于等于2个周期长度且小于等于4个周期长度即可．二、填空题7．6π．8．34．9．π2sin23x－()．10．2．三、解答题11．解：(1)依题意得：β＝2kπ＋α＋π4，(k Z)．(2)由定义知，tan α＝43．所以tan β＝2tan4αππ⎛⎫⎪⎝⎭＋＋k＝tan4απ⎛⎫⎪⎝⎭＋＝41tan tan34741tan tan143ααππ＋＋＝＝－－－．12．(1)f(x)＝12cos 2x3sin 2x＋2a＝sin(2x＋π6)＋2a．由－π2＋2πk≤2x＋π6≤π2＋2πk，得－π3＋πk≤x≤π6＋πk．所以f(x)的单调递增区间为[－π3＋πk，π6＋πk](k∈Z)．(2)由0≤x≤π4，得π6≤2x＋π6≤2π3，故12≤sin(2x＋π6)≤1．由f(x)的最小值为0，得12＋2a＝0，解得a＝14－．所以f(x)的最大值为12．13．(1)f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋π4 )＝ωx·cos ωx＋2ωx(sin 2ωx＋cos 2ωx)＝2sin(2ωx＋π4 )因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π2＝π，故ω＝1．(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x＋π4)，若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4．当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2＜2x＋π4≤5π4，即π8＜x≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间(π8，π2]上单调递减．。

人教版A版2017课标高中数学必修第一册第五章综合测试试卷-含答案03

第五章综合测试一、单项选择题1.已知 1 845α=︒，则在弧度制下为（） A .10πB .21π4C .31π4D .41π42.点()1,2P -是角α终边上一点，则()sin πα-的值为（）A B . C .25- D .153.如果点sin cos cos P θθθ⋅（，）位于第三象限，那么角θ位于（） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3ππsin cos 22θθ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A .15 B .15-C .75 D .75-5.若函数()()2cos f x x ωϕ=+对任意实数x 都有ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值等于（） A .2-B .2C .2±D .不能确定6.与函数πtan 2+4y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（）A .π2x =B .π2y =C .π4x =D .π8y =7.已知π(0,2cos 212ααα∈=+，则cos α=（）A B C D .158.已知sin α=()sin αβ-=，,αβ是锐角，则β=（） A .5π12B .π3C .4πD .35二、多项选择题9.下列说法错误的是（）A .长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B .若tan 0α≥，则πππ()2k k k α+∈Z ≤≤C .若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=D .当π2π2π()4k k k α+∈Z ＜＜时，sin cos αα<10.已知函数()cos 22f x x x =-，则下列说法正确的是（） A .()f x 的周期为πB .π3x =是()f x 的一条对称轴 C .ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递增区间 D .ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递减区间 11.已知函数()|tan |cos f x x x =，则下列说法正确的是（） A .()f x 的最小正周期为πB .()f x 的值域为[1,1]-C .()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D .()f x 的图象关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称12.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论，其中正确的结论是（） A .()f x 是偶函数B .()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C .()f x 在[π,π]-有4个零点D .()f x 的最大值为2三、填空题13.为得到函数2sin 3y x =的图象，只需将函数sin y x =的图象横坐标________到原来的________倍，再将纵坐标伸长到原来的2倍；14.如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数πy 4sin 6x k ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，据此图像可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为________.15.若函数2sin y x x =+的最大值为3，则a 的值为__________. 16.已知()2sin 3αβ+=，()2sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为__________.四、解答题17.已知cos α是方程25760x x --=的根，求()()25π3πsin sin tan 2πtan π22π3πcos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值.18.已知函数()π3tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的定义域与单调区间；（2）比较π2f ⎛⎫⎪⎝⎭与π8f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小.19.已知曲线sin()(0,0)y A x A ωϕω=+＞＞上的一个最高点的坐标为（6π）此点与相邻最低点之间的曲线与x 轴交于点（2π3，0）且ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. （1）求曲线的函数表达式；（2）用“五点法”画出函数在[0,2π]上的图象.20.已知π1tan 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求tan α的值；（2）求()()22πsin 22πsin 21cos π2sin αααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--+的值.21.设函数π()sin sin 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（2）不画图，说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，单位圆O 上存在两点A ，B ，满足π3AOB ∠=，AC ，BD 均与x 轴垂直，设ππ62xOA αα⎛⎫∠= ⎪⎝⎭＜，AOC △与BOD △的面积之和为()f α.（1）若()38f α=，求α的值；（2）若对任意的ππ,62α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在(),0x ∈-∞，使得()318f x m x α++≤成立，求实数m 的取值范围.第五章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】∵180π︒=，π1180︒=∴，则π41π1 84518451804︒=⨯=.故选D .2.【答案】A【解析】由三角函数的定义可得sin α==()sin πsin αα-==.故选A . 3.【答案】B【解析】∵点(sin cos ,cos )P θθθ⋅位于第三象限，sin cos 0θθ⋅∴＜，cos 0θ＜.∴sin 0θ＞.∴θ是第二象限角. 4.【答案】C 【解析】∵sin 4tan cos 3θθθ==-，()0,πθ∈，sin 0θ＞，cos 0θ＜，又∵22sin cos 1θθ+=，4sin 5θ=∴，3cos 5θ=-，3ππ7sin cos cos sin 225θθθθ⎛⎫⎛⎫-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C .5.【答案】C【解析】由ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数图象的对称轴为π3x =，因为余弦函数在对称轴取到函数的最值，所以π=23f ⎛⎫± ⎪⎝⎭.故选C .6.【答案】D【解析】由ππ2π,42x k k +=+∈Z ，得ππ,82k x k =+∈Z ，令0k =，得π8x =.π8x =∴为函数图象的一条渐近线，即直线π8x =与函数的图象不相交.故选D .7.【答案】A【解析】因为π(0,)2α∈，所以cos 0α＞，因此有22sin 2cos 214sin sin cos 2cos 11cos 2a a ααααα=-+⇒==+⇒，而22cos sin 1αα+=，所以有cos α=，故本题选A .8.【答案】C【解析】因为,αβ是锐角，ππ(,)22αβ-∈-，所以cos()0αβ-＞cos α==，cos αβ-==（）.∴()()()sin sin sin cos cos sin a a βααβαβαβ=⎡--⎤=---=+⎣⎦ ∵β为锐角∴π4β=.故选C . 二、9.【答案】ABC【解析】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为π3弧度，命题错误；对于B ，若tan 0α≥，则πππ()2k k k α+∈Z ≤＜，命题错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，命题错误；对于D ，当π2π2π()4k k k α+∈Z ＜＜时，sin cos αα<，命题正确.故选：ABC10.【答案】ABD【解析】由()cos 22f x x x =-可得：π()2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的周期为2ππ2T ==；所以A 正确；将π3x =代入π()2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得：πππ2cos 22333f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时()f x 取得最小值2-，所以π3x =是()f x 的一条对称轴，所以B 正确；令π23t x =+，则π()2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由2cos y t =，π23t x =+复合而成；当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π23t x =+在ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦递增，2cos y t =在π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦不单调，由复合函数的单调性规律可得：ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是()f x 的一个递增区间；所以C 错误.当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[0,π]t ∈，π23t x =+在ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦递增，答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

高中数学人教版A版精品试卷《(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册第五章综合测试01》

第五章综合测试答案解析一、 1【答案】C【解析】π3cos 25ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3sin 5ϕ∴-=，3sin 5ϕ=-又π2ϕ＜，4cos 5ϕ∴=，sin 3tan cos 4ϕϕϕ∴==-2【答案】B 【解析】()()sin πcos πsin cos tan 1312ππcos sin 1tan 13sin cos 22αααααααααα-+-------====---⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3【答案】A【解析】2πcos21sin cos π.32yrα===-4【答案】D【解析】因为()0πx ∈，，sin cos πn 4x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且0sin cos 1x x +=＜，所以π3ππ44x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，π3π24x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，由sincos x x +=，两边平方得2sin cos x x =即sin 2x =所以2π3x =，tan x =故选D 5【答案】B 【解析】由题意得2π5ππ244126T ωω==-⇒=，又πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2ϕ＜，所以π6ϕ=，因为πππsin 636n n f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，该函数的周期为6，一个周期的和为零，所以20161π06n n f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，故选B6【答案】D【解析】22π2πππ:sin 2cos 2cos 23326C y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍得到曲线cos2y x =，再将所得曲线向左平移π12个单位长度得到曲线2C 7【答案】D【解析】函数的最小正周期为2π2π1T ==，则函数的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确；令()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =可得()y f x =的图象关于直线83x π=对称，选项B 正确； ()ππcos πcos 33f x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数的零点满足()πππ+32x k k +=∈Z ，即()ππ+k 6x k =∈Z ，取0k =可得()πf x +的一个零点为π6x =，选项C 正确；当ππ2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π5π4π363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，函数在该区间不单调，选项D 错误8【答案】B【解析】由题意可知()πsin 2cos 6f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移n 个单位长度后得到π2cos 6y x n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，π2cos 6y x n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，ππ6n k ∴+=，又0n ＞，n ∴的最小值为5π69【答案】D【解析】由()πsin 2sin 13f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭≥及[]0πx ∈，，得π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以所求概率为π12π2P ==，故选D 10【答案】A【解析】由题意125ππ2π,8211ππ,8k k ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩其中1k ，2k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--，又2π2πT ω=＞，所以01ω＜＜，所以23ω=，112π+π12k ϕ=，由πϕ＜，得π=12ϕ，故选A 11【答案】B【解析】π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，πππ00024242αββ∴--＜＜，＜＜，-＜-＜，ππππ422224βααβ∴----＜＜，＜＜又1sin 0cos 0222αββα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，，ππ02222αββα∴--＜-＜0，＜＜，1cos sin 222αββα⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫∴=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭， ()21cos 2cos 122αβαβ+∴+=-=-12【答案】B 【解析】()sin tan cos cot f x x x x x =+()()()22233sin cos sin cos 3sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x xf x x x x xx x⎡⎤++-+⎣⎦∴=+==设2π1sin cos sin cos 42t t x x x x x -⎛⎫=+=+⇒= ⎪⎝⎭(πππ3ππ0sin 1244442x x x t ⎛⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∴+∈⇒+∈⇒∈ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，，，， ()(223221323112t t t t t f t tt t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭∴==∈--，， ()()422301t f t t--'∴=-＜，()f t ∴在区间(上单调递减，()()32min 1f x f===-二、13【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以()π+2πk k αβ+=∈Z ，所以1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-则()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-14【答案】1【解析】()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=-+-=-+=-+ ⎝⎭，由π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得[]cos 01x ∈，，当cos x =()f x 取得最大值1 15【答案】1590434⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，∪，【解析】因为3π0π4x ω＞且≤≤，所以π3ππππ4444x ωωω+++≤≤，结合正弦函数的图象可知ππ0π42ω+＜≤或π3π3π442π5ππ42ωω⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥，≤，解之得104ω＜≤或5934ω≤≤ 16【答案】1【解析】函数()2222π22sin 42cos 2cos tx x x x tx x xf x x x x x ⎫⎛⎫+++⎪++ ⎪⎝⎭⎝⎭==++()()2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x xx x ++++==+++令()2sin 2cos t x x g x x x +=+，则()()2sin 2cos t x xg x g x x x+-=-=-+设()g x 的最大值为M ，最小值为N ，则0M N +=，即有t M a +=，t N b +=，222a b t M N t +=++==，解得1t = 三、17【答案】因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A的横坐标是10，所以，由任意角的三角函数的定义可知cos α=，从而sin a =2分）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是，所以sin β=，从而cos β==4分）（1）()cos cos cos sin sin αβαβαβ⎛-=+=+= ⎝⎭（6分）（2）()sin sin cos cos sin 2αβαβαβ⎛+=+=+= ⎝⎭（8分）因为α为锐角，β为钝角，故π3π22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以3π4αβ+=（10分）18【答案】（1）直线π8x =是函数()y f x =的图象的一条对称轴， πππsin 2 1.π842k k ϕϕ⎛⎫∴⨯+=±∴+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，3ππ04ϕϕ--∴=＜＜，（3分）（2）由（1）知3π4ϕ=-，因此3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令π3ππ2π22π242k x k k --+∈Z ≤≤，解得函数3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5πππ88k k k ⎡⎤∈⎢⎣+⎥⎦+Z ，，（7分）（3）由3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭知（10分）故函数()y f x =在区间[]0π，上的图象如图（12分）19【答案】（1）因为()ππsin sin 62f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1cos cos 23cos 21sin 2π.3f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=--=-⎫=-⎪⎪⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3分）由题设知π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以πππ63k k ω-=∈Z ，故62k k ω=+∈Z ，，又03ω＜＜，所以2ω=（5分）（2）由（1）得()π23f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()πππ4312g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为π3π44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ2π1233x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，当ππ123x -=-，即π4x =-时，()g x 取得最小值32-（12分）2021案】（1）()22212tan 11tan 11sin 2cos211 1.21tan 21tan 26f m m ααααααα--=--=⋅-⋅-=-++又()3113126132626f α-=-∴--=-，即m =（4分）故()1π2cos 21sin 2126f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==（6分）（2）()f x 的递增区间是πππ2π22π262k x k k --+∈Z ≤≤，，ππππ63k x k k ∴-+∈Z ≤≤，，∴函数()f x 在[]0π，上的递增区间是π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，5ππ6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（12分）21【答案】（1）()1cos 23π2sin 22226x f x x x +⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭（2分） ππ63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，ππ5π2666x ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，，1πsin 2126x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，∴函数()y f x =的值域为332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（4分）（2）()ππsin 22123x g x f x ωω⎛⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2ππ36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，π2ππππ33363x ωωω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，（6分） ()g x 在2ππ36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，且0ω＞，2ππππππ2π2π336322k k k ωω⎡⎤⎡⎤∴-++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z ，，，，即2πππ2π332πππ2π632k k k k ωω⎧-+-+∈⎪⎪⎨⎪++∈⎪⎩Z Z ≥，，≤，，化简得534112k k k k ωω⎧-∈⎪⎨⎪+∈⎩Z Z ≤，，≤，，（10分） 0ω＞，151212k ∴-＜＜，k ∈Z ， 0k ∴=，解得1ω≤，因此ω的最大值为1（12分） 22【答案】（1）由题意知，11π5ππ212122T =-=，2ππω∴=，2ω∴= 又5πsin 2112ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，π2ϕ＜3πϕ∴=-， ()f x ∴的解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（4分）（2）将()y f x =的图象先向右平移π6个单位长度，得到2πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍后，得到函数2πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，()2πsin 43g x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，（6分） π3π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，π2π5π4636x ∴--≤≤，∴函数()g x 在π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为1，最小值为12-当π3π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，不等式()1g x m -＜恒成立，即()11m g x m -+＜＜恒成立，即()()max min 11g x m g x m ⎧+⎪⎨-⎪⎩＜，＞，11112m m +⎧⎪∴⎨--⎪⎩＜，＞，102m ＜＜（12分）。

大学高等数学第五章定积分及其应用答案

第五章定积分及其应用习题 5-11. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A AA A A A x x . （4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 设物体以速度12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S.( 2 )( 1 )( 3 )(4)解：=s ⎰+t t d )12(053. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.4. 利用定积分定义计算120d x x ⎰.解：上在]1,0[)(2x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i nix ξ;1,,2,1,-==取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===∆=∆=∆ni i i ni i i ni i i x x x x f 12121)(ξξ=∑∑===ni ni in n n i 1232111)(=311(1)(21)6n n n n ⋅++ =)12)(11(61nn ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 120d x x ⎰=31．5. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 35093(1)11,(0)5,(),(1)781024f f f f -====的大小，知min max 5093,111024f f ==，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即14315093(425)d 22512x x x -≤-+≤⎰. 6. 利用定积分的性质说明⎰1d xe x与⎰1d 2x e x ，哪个积分值较大？解：在[]0,1区间内：22xx x x e e ≥⇒≥ 由性质定理知道：⎰1d xe x≥⎰1d 2x e x7. 证明：⎰---<<2121212d 22x e ex 。

(人教版A版)高中数学必修第一册第五章综合测试01(含答案)

第五章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知π3cos 25ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且π2ϕ＜，则tan ϕ为（）A .43-B .43C .34-D .342.设tan 3α=，则()()sin π+cos π=ππsin cos 22αααα--⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A .3B .2C .1D .1-3.若点2π2πsin cos 33⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin α的值为（） A .12-B .C .12D4.已知sin cos x x +=，()0πx ∈，，则tan x =（）A .BCD .5.已知函数()()πsin 02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜的部分图象如图，则20161π6n n f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（）A .1-B .0C .12D .16.已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C7.设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（）A .()f x 的一个周期为2π-B .()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C .()πf x +的一个零点为π6x =D .()f x 在ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减8.定义行列式运算12142334a a a a a a a a =-.将函数()sin cos xf x x 的图象向左平移()0n n ＞个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（）. A .π6B .5π6C .π3D .2π39.已知函数()sin f x x x =，当[]0πx ∈，时，()1f x ≥的概率为（）A .13B .14C .15D .1210.设函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω＞，πϕ＜.若5π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）A .23ω=，π12ϕ= B .23ω=，11π12ϕ=- C .13ω=，11π24ϕ=-D .13ω=，7π24ϕ=11.若π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 22αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()cos αβ+的值为（）A.B .12-C .12D12.已知π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数()sin tan cos cot f x x x x x =+的值域为（）A .[)12，B.)+∞C.(D .[)1+∞，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=________.14.函数()23πsin 042f x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，的最大值是________.15.已知函数()πsin 04y x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞是区间3ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的增函数，则ω的取值范围是________.16.已知关于x 的函数()22π2sin 42cos tx x xf x x x⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则实数t 的值为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ,B ，若点A,点B.（1）求()cos αβ-的值；（2）求αβ+的值.18.（本小题满分12分）设函数()()()sin 2π0f x x ϕϕ=+-＜＜，()y f x =的图象的一条对称轴是直线π8x =.（1）求ϕ的值；（2）求函数()y f x =的单调递增区间；（3）在图中画出函数()y f x =在区间[]0π，上的图象.19.（本小题满分12分）设函数()ππsin sin 62f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω＜＜.已知π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π3π44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值.20.（本小题满分12分）已知函数()()21sin 2co 3tan s 262f x m x x x f αα==--∈=-R ，若.（1）求实数m 的值及函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在[]0π，上的递增区间.21.（本小题满分12分）已知函数()23cos cos 2f x x x x =++. （1）当ππ63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω＞，函数()π212x g x f ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间2ππ36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值.22.（本小题满分12分）函数()()πsin 02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜在它的某一个周期内的单调减区间是5π11π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. （1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移π6个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，若对于任意的π3π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，不等式()1g x m -＜恒成立，求实数m 的取值范围.第五章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】π3cos 25ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，3sin 5ϕ∴-=，3sin 5ϕ=-.又π2ϕ＜，4cos 5ϕ∴=，sin 3tan cos 4ϕϕϕ∴==-. 2.【答案】B 【解析】()()sin πcos πsin cos tan 1312ππcos sin 1tan 13sin cos 22αααααααααα-+-------====---⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3.【答案】A【解析】2πcos21sin cos π.32yrα===-4.【答案】D【解析】因为()0πx∈，，sin cos πn 4x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且0sin cos 1x x +=＜，所以π3ππ44x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，π3π24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，由sin cos x x +=，两边平方得2sin cos x x=，即sin 2x =，所以2π3x =，tan x =.故选D .5.【答案】B【解析】由题意得2π5ππ244126T ωω==-⇒=，又πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2ϕ＜，所以π6ϕ=，因为πππsin 636n n f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，该函数的周期为6，一个周期的和为零，所以20161π06n n f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，故选B . 6.【答案】D【解析】22π2πππ:sin 2cos 2cos 23326C y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍得到曲线cos 2y x =，再将所得曲线向左平移π12个单位长度得到曲线2C . 7.【答案】D【解析】函数的最小正周期为2π2π1T ==，则函数的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确；令()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =可得()y f x =的图象关于直线83x π=对称，选项B 正确； ()ππcos πcos 33f x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数的零点满足()πππ+32x k k +=∈Z ，即()ππ+k 6x k =∈Z ，取0k =可得()πf x +的一个零点为π6x =，选项C 正确；当ππ2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π5π4π363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，函数在该区间不单调，选项D 错误.8.【答案】B【解析】由题意可知()πsin 2cos 6f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移n 个单位长度后得到π2cos 6y x n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，π2cos 6y x n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 为偶函数，ππ6n k ∴+=，又0n ＞，n ∴的最小值为5π6. 9.【答案】D【解析】由()πsin 2sin 13f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭≥及[]0πx ∈，，得π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以所求概率为π12π2P ==，故选D . 10.【答案】A【解析】由题意125ππ2π,8211ππ,8k k ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩其中1k ，2k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--，又2π2πT ω=，所以01ω＜＜，所以23ω=，112π+π12k ϕ=，由πϕ＜，得π=12ϕ，故选A . 11.【答案】B【解析】π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，πππ00024242αββ∴--＜＜，＜＜，-＜-，ππππ422224βααβ∴----＜，＜＜.又1sin 0cos 0222αββα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，ππ02222αββα∴--＜-＜0，＜＜，1cos sin 222αββα⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫∴=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭， ()21cos 2cos 122αβαβ+∴+=-=-.12.【答案】B【解析】()sin tan cos cot f x x x x x =+()()()22233sin cos sin cos 3sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x xf x x x x xx x⎡⎤++-+⎣⎦∴=+==设2π1sin cos sin cos 42t t x x x x x -⎛⎫=++⇒= ⎪⎝⎭.(πππ3ππ0sin 124444x x x t ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∴+∈⇒+∈⇒∈⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，，，， ()(2232213231112t t t t t f t t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭∴==∈--， ()()422301t f t t--'∴=-，()f t ∴在区间(上单调递减，()3min f x f-===.二、13.【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以()π+2πk k αβ+=∈Z ，所以1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-.则()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-.14.【答案】1【解析】()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=--=-+=-+ ⎝⎭，由π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得[]cos 01x ∈，，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1. 15.【答案】1590434⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，∪，【解析】因为3π0π4x ω＞且≤≤，所以π3ππππ4444x ωωω+++≤，结合正弦函数的图象可知ππ0π42ω+＜或π3π3π442π5ππ42ωω⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥，，解之得104ω＜≤或5934ω≤≤.16.【答案】1【解析】函数()2222π22sin 42cos 2cos tx x x x tx x xf x x x x x ⎫⎛⎫+⎪++ ⎪⎝⎭⎝⎭==++()()2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x xx x++++==+++.令()2sin 2cos t x x g x x x +=+，则()()2sin 2cos t x xg x g x x x +-=-=-+.设()g x 的最大值为M ，最小值为N ，则0M N +=，即有t M a +=，t N b +=，222a b t M N t +=++==，解得1t =. 三、17.【答案】因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A，所以，由任意角的三角函数的定义可知cos α=，从而sin a ==.（2分）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是，所以sin β=，从而cos β==4分）（1）()cos cos cos sin sin αβαβαβ⎛-=+=+= ⎝⎭.（6分）（2）()sin sin cos cos sin αβαβαβ⎛+=+== ⎝⎭.（8分）因为α为锐角，β为钝角，故π3π22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以3π4αβ+=.（10分） 18.【答案】（1）直线π8x =是函数()y f x =的图象的一条对称轴， πππsin 2 1.π842k k ϕϕ⎛⎫∴⨯+=±∴+=+∈ ⎪⎝⎭Z . 3ππ04ϕϕ--∴= ＜＜，.（3分）（2）由（1）知3π4ϕ=-，因此3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令π3ππ2π22π242k x k k --+∈Z ≤≤. 解得函数3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5πππ88k k k ⎡⎤∈⎢⎣+⎥⎦+Z ，，.（7分）（3）由3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭知（10分）故函数()y f x =在区间[]0π，上的图象如图.（12分）19.【答案】（1）因为()ππsin sin 62f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1cos cos 23cos 21sin 2π.3f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=--=-⎫=-⎪⎪⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3分）由题设知π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以πππ63k k ω-=∈Z ，.故62k k ω=+∈Z ，，又03ω＜＜，所以2ω=.（5分）（2）由（1）得()π23f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()πππ4312g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为π3π44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ2π1233x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，当ππ123x -=-，即π4x =-时，()g x 取得最小值32-.（12分） 20.【答案】（1）()22212tan 11tan 11sin 2cos 211 1.21tan 21tan 26f m m ααααααα--=--=⋅-⋅-=--++ 又()31131262626f α-=--=- ，.即m =.（4分）故()1π2cos 21sin 2126f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（6分）（2）()f x 的递增区间是πππ2π22π262k x k k --+∈Z ≤≤，， ππππ63k x k k ∴-+∈Z ≤，， ∴函数()f x 在[]0π，上的递增区间是π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，5ππ6⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（12分）21.【答案】（1）()1cos 23π2sin 22226x f x x x +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭.（2分） ππ63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，ππ5π2666x ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，， 1πsin 2126x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤， ∴函数()y f x =的值域为332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.（4分）（2）()ππsin 22123x g x f x ωω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2ππ36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，π2ππππ33363x ωωω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，.（6分） ()g x 在2ππ36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，且0ω＞， 2ππππππ2π2π336322k k k ωω⎡⎤⎡⎤∴-++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z ，，，，即2πππ2π332πππ2π632k k k k ωω⎧-+-+∈⎪⎪⎨⎪++∈⎪⎩Z Z ，，≤，，化简得534112k k k k ωω⎧-∈⎪⎨⎪+∈⎩Z Z ≤，，≤，，（10分） 0ω ＞，151212k ∴-＜＜，k ∈Z ， 0k ∴=，解得1ω≤，因此ω的最大值为1.（12分） 22.【答案】（1）由题意知，11π5ππ212122T =-=，2ππω∴=，2ω∴=. 又5πsin 2112ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，π2ϕ＜.3πϕ∴=-， ()f x ∴的解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（4分）（2）将()y f x =的图象先向右平移π6个单位长度，得到2πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍后，得到函数2πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ()2πsin 43g x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，（6分） π3π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，，π2π5π4636x ∴--≤，∴函数()g x 在π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为1，最小值为12-. 当π3π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，不等式()1g x m -＜恒成立，即()11m g x m -+＜＜恒成立，即()()max min 11g x m g x m ⎧+⎪⎨-⎪⎩＜，＞，11112m m +⎧⎪∴⎨--⎪⎩＜，＞， 102m ∴＜＜.（12分）。

(完整版)高等数学第五章定积分综合测试题

二、选择题
1.（B）；2.（B）; 3.（A）; 4（D）; 5.（B）.
三、解答题
1.解：
.
2.解:
3.解:
.
4.解:反常积分，被积函数求出后，方可代入或取极限.
.
5.解:令，则
.
6.解:令，则 .
因为，故，
，
由于在上单调递减，，
因此，即 .
6、（10分）设在可积且单调递减，试证对任一，有
.
综合测试A卷答案
一、填空题
1.解:设函数， ,则 = .应填 .
2.解:在区间内，，由积分的性质可知 .应填<.
3.解: .应填 .
4.解: .
应填 .
5.解: .从而 =3.应填3.
二、选择题
1.（C）；2.（B）; 3.（C）; 4（C）; 5.（D）.
第五章定积分测试题B卷
一、是非题正确者画√，错者画（每小题3分共30分）
1、设在上有界，且存在，则
.[]
2、设在上可积且有连续点，当时， .[]
3、设在上连续，且，则时，
[]
4、设是奇函数，则 .[]
5、因为是奇函数，因此 []
6、设，由积分中值定理，存在，使，
从而证出 []
使，由于，
.
3.【√】，因为，，故 .
4.【√】，是奇函数，则也是奇函数，令， .
5.【】, 是无穷间断点且积分发散.
6.【】，不一定存在.
7.【】，函数在其每个有定义的区间上不一定有界的，区间也不一定是闭区间，故不能保证可积.
8.【√】，令 .
9.【√】，是奇函数.

高数第五章A卷(1)

一、填空题1. 二次型()21,2,31121323248f x x x x x x x x x x =-++对应的对称矩阵112124240A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭旦增卓嘎1225081012.矩阵A=124221413⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭对应的二次型2221,2,3123121323()23482T f x x x X AX x x x x x x x x x ==++++-冯玲 1225081023、二次型22212132122),,(x x x x x x x f -+=的秩为2。

解：二次型矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎭⎫⎝⎛+03121-11221r r 所以此二次型的秩为二次型矩阵的秩为2.韩婷婷1225081034 f )(123x ,,x x =()()2221231x +k +k-2k x x +为正定二次型，则k 满足()k 2＞解 f )(123x ,,x x 为正定二次型∴ k +10k 0k-20⎧⎪⎨⎪⎩＞＞＞ ∴k ＞2韩燕楠1225081045.设 3 0 0 -5 A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则二次型TX AX 的规范型为______。

3 0 0 -5 A ⎛⎫= ⎪⎝⎭221235T f X AX X X ∴==-令11y =22y =11X y =22X y =0 30 X ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ 2212f y y ∴=-吉海燕 1225081056. 设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a a 100021011为正定矩阵，则a 的取值范围是-1<a<1由2+a-1>0 (a-1)(a+1)>0可得 -1<a<1 。

金阳122508106二、单项选择题1、若矩阵A 与B 是合同的，则它们（ C ）（A ）相似（B ）相等（C ）等价（D ）满秩解：∵A 与B 合同 ∴存在可逆矩阵P ，使得TP AP B =∴()()A B R R =，且A 、B 为同型矩阵∴A 、B 等价，故选C李明高 1225081072.设实二次型f 的矩阵A 的秩等于r ，且有m 个正特征值，则该二次型的符号差为（C ）A rB m-rC 2m-rD r-m解：因为矩阵有m 个正特征值，且矩阵的秩为r.所以矩阵的负特征值为r-m,所以该二次型的符号差为m-(r-m)=2m-r李佗1225081083.实二次型12(,,,)n f x x x 的秩为3，符号差为-1，则123(,,)f x x x 的标准形可能为（ A ）222322232223.2.2y y B y y C y yD +--++-21212121A.-y y y .-y解：秩为3，∴排除D又符号差为-1，B 项符号差为0，C 项符号差为2∴选A李霞1225081094.二次型f =X T AX 经过正交替换X=QY 可化为二次型Y T BY ，则关于矩阵A 与B 不正确的是：（D ）A 一定合同B 一定相似C 即相似又合同D 即不相似也不合同解：线性替换X=QY 中，矩阵Q 是正交矩阵，所以A 与B 既合同又相似故C 正确 AB 不全面题中问不正确故选D李跃明1225081105.设A 为3阶矩阵，且已知023=+E A ,则A 必有一特征值为（ B ）（A ）23- (B)32- (C)32 (D)23 解：032332=---=+A E E A 即032=--A E 根据定义可知32-=λ 故选B刘然1225081116.实二次型()12,,n f x x x =T X AX 是正定二次型的充要条件是（B ）A. A 0B. 对任意向量X=()12,,0Tn x x x ≠ ，都T X AX 0C 负惯性指数全为零D 存在n 阶矩阵P 使A=T P P 解析：依据：正定二次型的定义可知正定二次型的正惯性系数为n 或顺序主子式全大于零。

(精选试题附答案)高中数学第五章三角函数经典大题例题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数经典大题例题单选题1、已知角α的终边经过点P (−3,4)，则sinα−cosα−11+tanα的值为（）A ．−65B ．1C ．2D ．3 答案：A分析：由三角函数的定义可得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，将其代入即可求解. 由√(−3)2+42=5，得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，代入原式得=45−(−35)−11+(−43)=−65．故选：A2、已知角α的终边与单位圆交于点P (−12,√32)，则sinα的值为（） A ．−√32B ．−12C ．√32D ．12答案：C分析：根据三角函数的定义即可求出．因为角α的终边与单位圆交于点P (−12,√32)，所以根据三角函数的定义可知，sinα=y =√32．故选：C ．3、已知函数f(x)=sin (x +π3)．给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π； ②f (π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是（） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 答案：B分析：对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 因为f(x)=sin(x +π3)，所以周期T =2πω=2π，故①正确；f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12≠1，故②不正确；将函数y =sinx 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y =sin(x +π3)的图象，故③正确. 故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.4、已知sinαcosα=12，则tanα+1tanα的值为（） A ．12B ．−12C ．−2D ．2答案：D解析：根据题中条件，由切化弦，将所求式子化简整理，即可得出结果. ∵sinαcosα=12， ∴tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=sin 2α+cos 2αsinαcosα=112=2，故选：D.5、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1 答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r的等式，由此求解出r的值.设扇形的半径为R，圆心角为α，面积为S，因为2R+αR=20，所以S=12αR2=(10−R)R≤(10−R+R2)2=25，取等号时10−R=R，即R=5，所以面积取最大值时R=5,α=2，如下图所示：设内切圆圆心为O，扇形过点O的半径为AP，B为圆与半径的切点，因为AO+OP=R=5，所以r+rsin∠BPO =5，所以r+rsin1=5，所以r=5sin11+sin1，故选：C.6、已知函数f(x)=2sin(ωx−π6)（ω>12，x∈R），若f(x)的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A．(12,23]∪[89,76]B．(12,1724]∪[1718,2924]C．[59,23]∪[89,1112]D．[1118,1724]∪[1718,2324]答案：C分析：由已知得12×2πω≥4π−3π，kπ+π2≤3ωπ−π6，且kπ+π+π2≥4ωπ−π6，解之讨论k，可得选项.因为f(x)的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，所以12×2πω≥4π−3π，所以12<ω≤1，故排除A ，B ；又kπ+π2≤3ωπ−π6，且kπ+π+π2≥4ωπ−π6，解得3k +29≤ω≤3k +512,k ∈Z ，当k =0时，29≤ω≤512,不满足12<ω≤1，当k =1时，59≤ω≤23,符合题意，当k =2时，89≤ω≤1112,符合题意，当k =3时，119≤ω≤149,不满足12<ω≤1，故C 正确，D 不正确，故选：C.小提示：关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，解之讨论可得选项. 7、已知sinθ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=（）A ．12B ．√33C ．23D ．√22答案：B分析：将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 由题意可得：sinθ+12sinθ+√32cosθ=1，则：32sinθ+√32cosθ=1，√32sinθ+12cosθ=√33，从而有：sinθcos π6+cosθsin π6=√33，即sin (θ+π6)=√33. 故选：B.小提示：本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.8、已知某摩天轮的旋转半径为60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（）A．95米B．100米C．105米D．110米答案：C分析：设函数关系式为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))，根据题意求得各参数得解析式，然后计算f(10)可得．设该游客在摩天轮上离地面高度f(t)（米）与时间t（分钟）的函数关系为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω> 0,φ∈[0,2π))，由题意可知A=60，B=135−60=75，T=2πω=30，所以ω=π15，即f(t)=60sin(π15t+φ)+75．又f(0)=135−120=15，得sinφ=−1，故φ=3π2，所以f(t)=60sin(π15t+3π2)+75=−60cosπ15t+75，所以f(10)=−60×cos2π3+75=105．故选：C．9、已知函数f(x)=|cos2x|+cos x，下列四个结论中正确的是（）A．函数f(x)在(0,π)上恰有一个零点B．函数f(x)在[0,π2]上单调递减C．f(π)=2D．函数f(x)的图象关于点(π2,0)对称答案：A分析：对x的范围进行分类讨论，由此判断A的正确性.利用赋值法判断BC选项的正确性.由f(π2+x)+f(π2−x)是否为0来判断D选项的正确性.x∈(0,π4),2x∈(0,π2)，f(x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx−1=0，cosx=−1（舍去）或cosx=12,x=π3（舍去）.x∈[π4,3π4],2x∈[π2,3π2]，f(x)=−cos2x+cosx=−2cos2x+cosx+1=0，cosx =1（舍去）或cosx =−12,x =2π3.x ∈(3π4,π),2x ∈(3π2,2π)，f (x )=cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=0， cosx =−1（舍去）或cosx =12（舍去）.综上所述，函数f (x )在(0,π)上恰有一个零点，A 选项正确. f (0)=2,f (π4)=√22,f (π2)=1，B 选项错误.f (π)=1−1=0，C 选项错误.f (π2+x)+f (π2−x)=|cos (π+2x )|+cos (π2+x)+|cos (π−2x )|+cos (π2−x) =2|cos2x |−sinx +sinx =2|cos2x |不恒为0， D 选项错误. 故选：A10、已知函数f (x )=sin (2x +π3)，为了得到函数g (x )=cos (2x +π3)的图象只需将y =f (x )的图象（） A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位答案：A分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解. 解：因为sin (2x +π3+π2)=cos (2x +π3) 所以sin(2x +π3)→sin(2x +π2+π3)，只需将f (x )的图象向左平移π4个单位，故选：A. 填空题11、已知函数f (x )=Asinωx (A >0,ω>0)，若至少存在两个不相等的实数x 1,x 2∈[π,2π]，使得f (x 1)+f (x 2)=2A ，则实数ω的取值范围是________．答案：[94,52]∪[134,+∞)分析：当π>2T 时，易知必满足题意；当π<2T 时，根据x ∈[π,2π]可得ωx ∈[πω,2πω]，由最大值点的个数可构造不等式组，结合ω>0确定具体范围.∵至少存在两个不相等的实数x 1,x 2∈[π,2π]，使得f (x 1)+f (x 2)=2A ， ∴当π>2T =4πω，即ω>4时，必存在两个不相等的实数x 1,x 2∈[π,2π]满足题意；当π<2T ，即0<ω<4时，ωx ∈[πω,2πω]， ∴{πω≤π2+2kπ2πω≥5π2+2kπ (k ∈Z )，∴{ω≤12+2kω≥54+k(k ∈Z )；当k ≤0时，解集为∅，不合题意；令k =1，则94≤ω≤52；令k =2，则134≤ω<4；综上所述：实数ω的取值范围为[94,52]∪[134,+∞).所以答案是：[94,52]∪[134,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据πω的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果. 12、若cos 2θ=14，则sin 2θ+2cos 2θ的值为____. 答案：138##158分析：利用二倍角公式后，代入求解. ∵cos 2θ=14， ∴sin 2θ+2cos 2θ=1−cos 2θ2+1+cos 2θ=32+12cos 2θ=32+12×14=138．所以答案是：138. 13、求值：sin10°−√3cos10°cos40°=____________．答案：−2分析：应用辅助角公式及诱导公式化简求值即可.sin10°−√3cos10°cos40°=2(12sin10°−√32cos10°)cos40°=2sin(10°−60°)cos40°=−2sin50°cos40°=−2．所以答案是：−214、函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(π2−x)=f(π2+x)，且当x∈[0,π)时，f(x)=sinxx2−πx+π，给出下列四个结论：①f(π)=0；②π是函数f(x)的周期；③函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；④函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π. 其中，正确结论的序号是___________.答案：①③④分析：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(π)=f(0)直接计算f(0)即可判断①；根据函数f(x)的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断②；先判断f(x)在(0,1)的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.对于①：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(π)=f(0)=sin0π=0，故①正确；对于②：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(x)关于直线x=π2对称，因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(π+x)=f(−x)=−f(x)所以f(2π+x)=−f(x+π)=f(x)，所以函数f(x)的周期为2π，故②不正确；对于③：当0<x<1时，y=sinx单调递增，且y=sinx>0，y=x2−πx+π=(x−π2)2+π−π24在0<x<1单调递减，且y>1−π+π=1，所以f(x)=sinxx2−πx+π在0<x<1单调递增，因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；故③正确；对于④：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(x)关于直线x=π2对称，作出示意图函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和即为函数y=f(x)与y=sin1两个函数图象交点的横坐标之和，当x∈[−π2,3π2]时，两图象交点关于x=π2对称，此时两根之和等于π，当x∈(3π2,10]时两图象交点关于x=5π2对称，此时两根之和等于5π，当x∈[−5π2,−π2)时两图象交点关于x=−3π2对称，此时两根之和等于−3π,x∈[−10,−5π2)时两图象无交点，所以函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π.故④正确；所以答案是：①③④小提示：求函数零点的方法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数，ℎ(x)和g(x)的形式，根据f(x)=0⇔ℎ(x)=g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y=ℎ(x)和y=g(x)的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.15、已知sin(π+α)−3sin(π2−α)=0，则cos2α的值为________.答案：−45分析：根据sin(π+α)−3sin(π2−α)=0，利用诱导公式结合商数关系得到tanα=−3，然后由cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α求解.因为sin(π+α)−3sin(π2−α)=0，所以−sinα−3cosα=0，解得tanα=−3，所以cos2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α， =1−tan 2α1+tan 2α=1−(−3)21+(−3)2=−45，所以答案是：−45小提示：本题主要考查诱导公式和二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 解答题16、已知函数f (x )=2sinxcosx −2√3sin 2x +√3. (1)求函数f (x )的最小正周期及其单调递增区间；(2)当x ∈[−π6,π6]，时，a −f (x )≤0恒成立，求a 的最大值. 答案：(1)最小正周期π，单调递增区间为[k π−5π12,k π+π12]，k ∈Z(2)最大值为0分析：（1）根据正弦和余弦的二倍角公式以及辅助角公式即可化简f (x )为f (x )=2sin (2x +π3)，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间,（2）根据x 的范围可求2x +π3∈[0,2π3]，进而可求f (x )的值域，故可求a 的范围.（1）f (x )=2sinxcosx −2√3sin 2x +√3=sin2x +√3cos2x =2sin (2x +π3) 故函数f (x )的最小正周期T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π3≤2k π+π2得k π−5π12≤x ≤k π+π12(k ∈Z ). ∴函数f (x )的单调递增区间为[k π−5π12,k π+π12]，k ∈Z . （2）∵x ∈[−π6,π6]，∴2x +π3∈[0,2π3]，∴sin (2x +π3)∈[0,1]，f (x )=2sin (2x +π3)∈[0,2].由a −f (x )≤0恒成立，得a ≤(f (x ))min ，即a ≤0.故a 的最大值为0.17、已知函数f(x)=√3sin(2x+π6)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．答案：(1)π(2)单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)分析：（1）根据公式可求函数的最小正周期；（2）利用整体法可求函数的增区间.(1)∵f(x)=√3sin(2x+π6)，∴f(x)最小正周期T=2π2=π．(2)令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)．18、已知函数f(x)=√3sinωxcosωx−cos2ωx(ω>0)周期是π2. （1）求f(x)的解析式，并求f(x)的单调递增区间；（2）将f(x)图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π6个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数g(x)的图像，若π6≤x≤2π3时，|g(x)−m|<2恒成立，求m得取值范围.答案：（1）f(x)=sin(4x−π6)−12，单调递增区间为[kπ2−π12,kπ2+π6]，k∈Z；（2）(0,2).解析：（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得f(x)=sin(2ωx−π6)−12，由T=2π2ω=π2，解得ω=2，带入正弦函数的递增区间2kπ−π2≤4x−π6≤2kπ+π2，化简即可得解；（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得g(x)=sin(2x+π6)+1，根据题意只需要[g(x)−2]max<m<[g(x)+2]min，分别在π6≤x≤2π3范围内求出g(x)的最值即可得解.（1）f(x)=√3sinωxcosωx−cos2ωx=√32sin2ωx−12(cos2ωx+1) =sin(2ωx−π6)−12由T=2π2ω=π2，解得ω=2所以，f(x)=sin(4x−π6)−12∵2kπ−π2≤4x−π6≤2kπ+π2∴2kπ−π3≤4x≤2kπ+2π3∴kπ2−π12≤x≤kπ2+π6∴f(x)的单调递增区间为[kπ2−π12,kπ2+π6]，k∈Z（2）依题意得g(x)=sin(2x+π6)+1因为|g(x)−m|<2，所以g(x)−2<m<g(x)+2因为当x∈[π6,2π3]时，g(x)−2<m<g(x)+2恒成立所以只需[g(x)−2]max<m<[g(x)+2]min转化为求g(x)的最大值与最小值当x∈[π6,2π3]时，y=g(x)为单调减函数所以g(x)max=g(π6)=1+1=2，g(x)min=g(2π3)=−1+1=0，从而[g(x)−2]max=0，[g(x)+2]min=2，即0<m<2所以m的取值范围是(0,2).小提示：本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：（1）三角函数基本量的理解应用；（2）三角函数图像平移伸缩变换的方法；（3）恒成立思想的理解及转化.19、已知函数f(x)=asinx+bcosx，其中ab≠0．（1）若b=1，是否存在实数a使得函数f(x)为偶函数，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）若x=34π为函数f(x)的对称轴，求函数f(x)的单调增区间．答案：（1）不存在，理由见解析；（2）a>0时，单调增区间是[2kπ−π4,2kπ+3π4]，k∈Z，a<0时，单调增区间是[2kπ+3π4,2kπ+7π4]，k∈Z．解析：（1）利用函数奇偶性的定义可得答案；（2）由条件结合辅助角公式可得√22a−√22b=±√a2+b2，化简可得b=−a，f(x)=a(sinx−cosx)=√2asin(x−π4)，然后分a>0、a<0两种情况讨论.（1）当b=1时，f(x)=asinx+cosx若存在实数a使得函数f(x)为偶函数，则f(−x)=f(x)恒成立，即asin(−x)+cos(−x)=asinx+cosx恒成立，整理得asinx=0恒成立，所以a=0，与ab≠0矛盾，故不存在；（2）结合三角函数的性质知，三角函数在对称轴处取最值，又由辅助角公式知f(x)的最值为±√a2+b2，所以f(34π)=√22a−√22b=±√a2+b2，两边平方，得12a2+12b2−ab=a2+b2，所以12a2+12b2+ab=0，即12(a+b)2=0，所以b=−a，所以f(x)=a(sinx−cosx)=√2asin(x−π4)，当a>0时，令2kπ−π2≤x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得2kπ−π4≤x≤2kπ+3π4，k∈Z，所以单调增区间是[2kπ−π4,2kπ+3π4]，k∈Z，当a<0时，令2kπ+π2≤x−π4≤2kπ+3π2，k∈Z，解得2kπ+3π4≤x≤2kπ+7π4，k∈Z，所以单调增区间是[2kπ+3π4,2kπ+7π4]，k∈Z．。

高等数学第五章习题解答

高等数学习题解答（第五章定积分）惠州学院数学系习题 5.1 1．证：dx x kf x kf x f k dx x f kbani i ban i i ⎰∑⎰∑=∆=∆==→=→)()(lim )(lim )(110ξξλλ2．解：（1）令x x f 2sin 1)(+=，则02sin cos sin 2)(===x x x x f ‘ 得驻点：,,221ππ==x x由23)4(,23)4(,1)(,2)2(====ππππf f f f ，得 2)(max ,1)(min ==x f x f由性质，得 ππππ2)(454≤≤⎰dx x f（2）令x x x f arctan )(=，01arctan )(2>++=xxx x f ‘，所以)(x f 在]333[，上单调增加，ππ33)(max ,36)(min ==∴x f x f ，）（）（33333arctan 33336333-≤≤-∴⎰ππxdx x ，即 ππ32a r c t a n 9333≤≤⎰x d x x3．解：（1）当10≤≤x 时，有23x x ≤，且23x x -不恒等于0，0312>-∴⎰dx x x ）（，即dx x dx x ⎰⎰>1212。

（2）当60π≤≤x 时，有x x ≤sin ，且x x sin -不恒等于0，0sin 10>-∴⎰dx x x ）（，即dx x dx x ⎰⎰>110sin 。

（3）令)1ln()(x x x f +-=，则)10(01111)(≤≤≥+=+-=x xxx x f ‘，所以)(x f 在]1,0[上单调增加，0)0()1ln()(=>+-=∴f x x x f ，且x x ln -不恒等于0)10(≤≤x ，所以⎰⎰+>110)1l n (dx x xdx（4）令)1()(x e x f x +-=，则)10(01)(≤≤≥-=x e x f x ‘，所以)(x f 在]1,0[上单调增加，0)0()1()(=>+-=∴f x e x f x ，且)1(x e x+-不恒等于0)10(≤≤x ，所以⎰⎰+>11)1(dx x dx e x4.解：在[]0,1区间内：22xx x x e e ≥→≥，由比较定理： ⎰1d xe x≥⎰1d 2x e x5. 证明：考虑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上的函数2x e y -=，则 22x xe y --='，令0='y 得0=x当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,21x 时，0>'y当⎪⎭⎫⎝⎛∈21,0x 时，0<'y ∴2x ey -=在0=x 处取最大值1=y ，且2x ey -=在21±=x 处取最小值21-e.故⎰⎰⎰-----<<21212121212121d 1d d 2x x e x e x ，即⎰---<<2121212d 22x e ex 。

高数上学期第五章习题部分解答打印稿

选择题(3)解答
练习一2．填充题
填充题(1)解答
填充题(2)解答
由函数ex的马克劳林公式知
填充题(3)解答
填充题(4)解答
填充题(5)解答
综上讨论有：I3<I1<I2．
练习一3．估计积分值的大小
3(1)解答
定积分估值的基本原理是通过被积函数进行估值，即通过被积函数在积分区间上的最大
值和最小值进行估值。对本题
因为f(x)在[a,b]上连续，由连续函数的介值定理，存在[a,b]，使得
练习二1．计算下列函数的导数
1(1)解答
这是一个变上限函数的求导问题。由于其上限是x的函数，且被积式中还含有自变量x，
因此需注意根据导数规则进行计算。
1(2)解答
1(3)解答
这是一个变上限隐函数的求导问题。由隐函数求导法，方程两边对自变量x求导有
9(2)．解答
练习二10．解答
(1)求(x)的表达式
由于(x)是分段函数，故(x)也是分段函数，因而需逐段确定其表达式。
·当x[0,1)时，
·当x[1,2]时，
(2)考察(x)的连续性
由于(x)在其各子段上都是初等函数，要考察(x)的连续性只需考虑其在分段点
x=1处的连续性，即考察(x)在x=1处是否左连续和右连续。
练习四2．解答
此广义积分含参数k，因此需就k的不同取值进行讨论。
由定义，当k=1时
当k1时
练习四3．解答
以此类推可得In=nIn-1=n(n-1)In-2=…=n!I0．
练习四4．解答
(1)求曲线y=ex过原点的切线方程
设切点为(x0,y0)，则曲线y=ex在点(x0,y0)处的切线斜率为ex0，

高等数学课后习题及参考答案(第五章)

高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .3. 利用定积分的几何意义说明下列等式: (1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx , 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2,41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上 f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |;解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--223cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 20230223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111xx xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111,所以 ⎰⎰+=+1112211x xxdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰342sin ππdx xx;解34343434342sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰202cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==202202202202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t tx dxx te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-1022)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 38231=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。

高等数学第五章习题附答案

利用定积分定义计算由抛物线y=x 2 , 两直线x =a,x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积. 题型：计算题答案：第一步: 在区间[a,b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a, b]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[xi -1, xi] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i n a b a x i i -+==ξ, 作和 n ab i n a b a x f S n i i i n i n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i n a b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-=]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=nn n a b n n a b a a a b . 第三步: 令l =max {∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==n i i i b a x f dx x f S 10)(lim )(ξl]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b na b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：7利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx ba ⎰(a <b);题型：计算题答案：取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n n i i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ)(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. 分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：6利用定积分定义计算下列积分: dx e x ⎰10. 题型：计算题答案：取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nx i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点ni x i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n n n n i n i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：6利用定积分的几何意义说明下列等式 1210=⎰xdx ;题型：证明题答案：⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1. 分数：12所属所属知识点：定积分的计算难度：5利用定积分的几何意义说明下列等式41102π=-⎰dx x ;题型：证明题答案：⎰-1021dx x )表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2+y2=1的面积的41: 414112102ππ=⋅⋅=-⎰dx x .分数：12所属所属知识点：定积分的计算难度：5利用定积分的几何意义说明下列等式 ⎰-=ππ0sin xdx ;.题型：证明题答案：由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即 ⎰-=ππ0sin xdx . 分数：12难度：5利用定积分的几何意义说明下列等式 ⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .题型：证明题答案： ⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积.因为cos x 为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即 ⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .分数：12所属所属知识点：定积分的计算难度：5水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9×8h (kN/m2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P. 题型：计算题答案：建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆Pi =9.8x il ×∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L nn n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛). 分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：7证明定积分性质 (1)⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1. 题型：证明题答案：(1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i n i i i ba dxx f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξl l (2)a b a b x x dx n i i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010l l l 分数：8难度：5估计下列各积分的值: ⎰+412)1(dx x 1); 题型：计算题答案：因为当1£x £4时, 2£x2+1£17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅£+£-⋅⎰dx x ,即51)1(6412£+£⎰dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6估计下列各积分的值 ⎰+ππ4542)sin 1(dx x题型：计算题答案：因为当ππ454££x 时, 1£1+sin2x £2, 所以)445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅£+£-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542£+£⎰dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6估计下列各积分的值 ⎰331arctan xdx x ;题型：计算题答案：先求函数f(x)=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m.21arctan )(xx x x f ++='. 因为当331££x 时, f '(x)>0, 所以函数f(x)=x arctan x在区间]3 ,31[上单调增加. 于是 3631arctan31)31(π===f m ,33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-££-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ££⎰xdx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6估计下列各积分的值 ⎰-022dx e xx .题型：计算题答案：先求函数xxe xf -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m.)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x . 比较f(0)=1, f(2)=e 2, 41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅££-⎰--e dx e e x x ,即 41022222---££-⎰e dx dx e e xx .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明: (1)若在[a, b]上f(x)³0, 且0)(=⎰ba dx x f ,则在[a, b]上f(x)º0; (2)若在[a, b]上, f(x)³0, 且f(x)≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ; (3)若在[a, b]上, f(x)£g(x), 且⎰⎰=ba ba dx x g dx x f )()(, 则在[a b]上f(x)ºg(x). 题型：证明题答案：(1)假如f(x)≢0, 则必有f(x)>0. 根据f(x)在[a , b]上的连续性, 在[a , b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a , b]上的最大值. 再由连续性,存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当x Î[c, d]时,2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-³³++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a .这与条件0)(=⎰badx x f 相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)º0. (2)证法一因为f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当x Î[c, d]时,2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-³³badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二因为f(x)³0, 所以0)(³⎰b a dx x f .假如)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰badx x f ,根据结论(1), f(x)º0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F(x)=g(x)-f(x), 则在[a, b]上F(x)³0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba ba ba ba dx x f dx x g dx x f x g dx x F , 由结论(1), 在[a, b]上F(x)º0, 即f(x)ºg(x).分数：12所属所属知识点：定积分的计算难度：7根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？ (2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？(4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？(5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？题型：计算题答案：(1)因为当0£x £1时, x2³x3, 所以⎰⎰³103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x2>x3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1£x £2时, x2£x3, 所以⎰⎰£213212dx x dx x . 又因为当1<x £2时, x2<x3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x . (3)因为当1£x £2时, 0£ln x <1, ln x ³(ln x)2, 所以⎰⎰³21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x £2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x)2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0£x £1时, x ³ln(1+x), 所以⎰⎰+³1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x £1时, x >ln(1+x), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx . (5)设f(x)=ex -1-x , 则当0£x £1时f '(x) =ex -1>0, f(x)=ex -1-x 是单调增加的. 因此当0£x £1时, f(x)³f(0)=0, 即ex ³1+x , 所以⎰⎰+³1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x £1时, ex >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：6 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.题型：计算题答案：x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy . 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数.题型：计算题答案：x '(t)=sin t , y '(t)=cos t , t t x t y dx dy cot )()(=''=. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5 求由⎰⎰=+xyttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 题型：计算题答案：方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y, 于是y ex dx dy cos -=. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？题型：计算题答案：2)(x xe x I -=', 令I '(x)=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x)<0; 当x >0时, I '(x)>0, 所以x =0是函数I(x)的极小值点. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5计算下列各导数: (1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt t dx d ; (3)⎰x xdt t dx d cos sin 2)cos(π.题型：计算题答案：(1)dxdudt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令421221x x x u +=⋅+=. (2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d)()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ分数：15所属所属知识点：微积分的计算难度：6⎰+-adx x x 02)13(;题型：计算题答案：a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+2142)1(dx x x ; 题型：计算题答案：852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+94)1(dx x x ;题型：计算题答案：94223942194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+= 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+33121x dx ; 题型：计算题答案：66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4⎰--212121x dx ; 题型：计算题答案：3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4⎰+ax a dx 3022; 题型：计算题答案：aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰-124x dx ; 题型：计算题答案：60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5dx x x x ⎰-+++012241133; 题型：计算题答案：13012201224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=分数：5所属所属知识点：微积分的计算 . 难度：5⎰---+211e xdx ; 题型：计算题答案：1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4⎰42tan πθθd ;题型：计算题答案：4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5dx x ⎰π20|sin |;题型：计算题答案：⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x πππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>£+=1 2111)(2x x x x x f . 题型：计算题答案：38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：6设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .题型：证明题答案：(1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k k k k x k k kxdxcos 1cos 1=+-=ππk kk k . (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx .(4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx 分数：20所属所属知识点：微积分的计算设k 及l 为正整数, 且k ¹l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .题型：证明题答案：(1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k . (2)⎰⎰---++=ππππdxx l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdxx l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k 分数：15所属知识点：微积分的计算难度：6求下列极限: (1)xdtt xx ⎰→02cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.题型：计算题答案：(1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)222222022)(2lim)(limx xt x t x xt x t x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→22222202lim2limxxt x x x xt x xe dte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x .所属知识点：变上限积分函数难度：6设⎩⎨⎧ÎÎ=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论(x)在(0, 2)内的连续性.题型：计算题答案：当0£x £1时,302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x £2时,6121212131)()(221102-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ. 因此⎪⎩⎪⎨⎧£<-££=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以(x)在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续. 分数：10所属所属知识点：微积分的计算难度：7设⎪⎩⎪⎨⎧><££=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.题型：计算题答案：当x <0时, 00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ; 当0£x £π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(00+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ; 当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x xx -=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧³££-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.分数：12所属所属知识点：微积分的计算难度：7设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且f '(x)£0, ⎰-=x adt t f a x x F )(1)(. 证明在(a, b)内有F '(x)£0. 题型：证明题答案：根据积分中值定理, 存在ξÎ[a, x], 使))(()(a x f dt t f xa-=⎰ξ. 于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f a x --=. 由f '(x)£0可知f(x)在[a, b]上是单调减少的, 而a £ξ£x , 所以f(x)-f(ξ)£0. 又在(a, b)内, x -a >0, 所以在(a, b)内 0)]()([1)(£--='ξf x f ax x F . 分数：10所属所属知识点：微积分的计算难度：8试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.题型：计算题答案：x tdt dx d y x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0; 当4π=x 时, 224sin =='πy 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x 的导数. 题型：计算题答案：x '(t)=sin t , y '(t)=cos t , t t x t y dx dy cot )()(=''=. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：4求由⎰⎰=+xyt tdt dt e 000cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy . 题型：计算题答案：方程两对x 求导得 e y y ' +cos x =0, 于是 y exdx dy cos -=. 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？题型：计算题答案：2)(x xe x I -=', 令I '(x)=0, 得x =0. 因为当x <0时, I '(x)<0; 当x >0时, I '(x)>0, 所以x =0是函数I(x)的极小值点.分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5计算下列各导数: (1)⎰+2021x dt t dxd ;题型：计算题答案：(1)42022021221112x x x u dxdu dt t du d u x dt t dx d u x +=⋅+=⋅+=+⎰⎰令. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5计算下列各导数: ⎰+32411x x dt tdx d ;题型：计算题答案：⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx xx +++-=.分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5计算下列各导数:⎰xx dt t dxd cos sin 2)cos(π题型：计算题答案：⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dxd dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ =-cos(πsin 2x)(sin x)'+ cos(πcos 2x)( cos x)' =-cos x ×cos(πsin 2x)-sin x ×cos(πcos 2x) =-cos x ×cos(πsin2x)- sin x ×cos(π-πsin2x) =-cos x ×cos(πsin2x)+ sin x ×cos(πsin2x) =(sin x -cos x)cos(πsin2x) 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+-adx x x02)13(;题型：计算题答案： a a a x x x dx x x aa+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+2142)1(dx x x ;题型：计算题答案： 852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx xx 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+94)1(dx x x ;题型：计算题答案： 6145)421432()921932(|)2132()()1(22322394223942194=+-+=+=+=+⎰⎰x x dx x x dx x x 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+33121x dx ; 题型：计算题答案： 66331arctan3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰xxdx分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰--212121xdx ;题型：计算题答案：3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰xx dx分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰+axa dx 3022;题型：计算题答案：aa a a x a x a dxa a30arctan 13arctan 1arctan1303022π=-==+⎰. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰-124xdx ;题型：计算题答案：60arcsin 21arcsin 2arcsin41012π=-==-⎰x x dx . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5dx x x x ⎰-+++012241133;题型：计算题答案：41)1arctan()1(|)arctan ()113(11333013012201224π+=----=+=++=+++---⎰⎰x x dx x x dx x x x . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰---+211e x dx ;题型：计算题答案：1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e . 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰402tanπθθd ;题型：计算题答案：4144tan )(tan )1(sec tan 40402402πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5dx x ⎰π20|sin |;题型：计算题答案：⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx x =-cos x|π0+cos x|ππ2=-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. 分数：5所属所属知识点：微积分的计算难度：5⎰20)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>£+=1 211 1)(2x x x x x f .题型：计算题答案：38|)61(|)21(21)1()(2131022121020=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 分数：6所属所属知识点：微积分的计算难度：5设k 为正整数. 试证下列各题:(1)⎰-=ππ0cos kxdx ; (2)⎰-=ππ0sin kxdx ; (3)⎰-=πππkxdx 2cos ; (4)⎰-=πππkxdx 2sin .题型：证明题答案：(1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2). (3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 分数：20所属所属知识点：微积分的计算难度：6设k 及l 为正整数, 且k ¹l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ; (2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ; (3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .题型：证明题答案：(1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k . (3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k . 分数：15所属所属知识点：微积分的计算难度：6求下列极限: (1)xdt t x x ⎰→02cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.题型：计算题答案：(1)11cos lim cos lim 2002==→→⎰x xdtt x xx .(2)2222222222002002000022002lim2lim)(2lim)(limx xt x x xxt x x xt xt x xt xt x xedt e xee dt e xedt e dt e dttedt e ⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→=⋅='⋅=⎰--=+-=-+-=-=ππππππππ0cos 1cos 1)(cos 1cos 1|cos 1sin k k k k k k k k kx k kxdx2212lim22lim2020222=+=+=→→x ex ee x x x x x .分数：10所属所属知识点：微积分的计算难度：7设⎩⎨⎧ÎÎ=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论(x)在(0, 2)内的连续性. 题型：计算题答案：当0£x £1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x £2时,6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x x x ϕ. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧£<-££=21 612110 31)(23x x x x x ϕ. 因为31)1(=ϕ, 3131lim)(lim 30101==-→-→x x x x ϕ, 316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ, 所以(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.分数：10所属所属知识点：微积分的计算难度：8设⎪⎩⎪⎨⎧><££=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式. 题型：计算题答案：当x <0时, 00)()(00===⎰⎰xx dt dt t f x ϕ; 当0£x £π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xx xϕ; 当x >π时,10cos 21cos 21|cos 210sin 21)()(000=+-=-=+==⎰⎰⎰πϕπππt dt tdt dt t f x xx . 因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧³££-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.分数：12所属所属知识点：微积分的计算难度：8设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且f '(x)£0, ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a, b)内有F '(x)£0. 题型：证明题答案：根据积分中值定理, 存在ξÎ[a, x], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ. 于是有))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x)£0可知f(x)在[a, b]上是单调减少的, 而a £ξ£x , 所以f(x)-f(ξ)£0. 又在(a, b)内, x -a >0, 所以在(a, b)内0)]()([1)(£--='ξf x f ax x F . 分数：8所属所属知识点：微积分的计算难度：8⎰+πππ2)3sin(dx x ;题型：计算题答案：0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰-+123)511(x dx;题型：计算题答案：51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰203cossin πϕϕϕd ;题型：计算题答案：⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰-πθθ03)sin1(d ;题型：计算题答案：⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰262cosππudu ;题型：计算题答案：2626262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5dx x ⎰-222;题型：计算题答案：dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5dy y ⎰--22228;题型：计算题答案：⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dyy dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰-121221dx x x ;题型：计算题答案：41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 12424224212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx xx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5⎰+31221xxdx ;题型：计算题答案：⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰--1145xxdx ;题型：计算题答案：61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x xxdx 令. 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰+411xdx ;题型：计算题答案：)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x xdx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰--14311x dx ;题型：计算题答案：2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(11111210210021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰-axa xdx 20223;题型：计算题答案：)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6dt tet ⎰-1022;题型：计算题答案：2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e e t d edt tet t t .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰+21ln 1e xx dx ;题型：计算题答案：)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx.分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰-++02222x x dx;题型：计算题答案：2)1arctan(1arctan )1arctan()1(1122022222π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰-222cos cos ππxdx x ;题型：计算题答案：32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 22322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰--223cos cos ππdx x x ;题型：计算题答案：⎰⎰---=-222223cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 2023223202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x 分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：6⎰+π2cos 1dx x .题型：计算题答案：22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππx xdx dx x .分数：5所属所属知识点：定积分的计算难度：5利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;(2)⎰-224cos 4ππθθd ;(3)⎰--2121221)(arcsin dx x x ;(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 题型：计算题答案：(1) 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(2πθπ=++=x x .(3) ⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .分数：20所属所属知识点：定积分的计算难度：6证明: ⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中(u)为连续函数.题型：证明题答案：因为被积函数(x2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a, a]关于原点对称, 所以有 ⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ. 分数：6所属所属知识点：定积分的计算难度：5设f(x)在[-b, b]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.题型：证明题答案：令x =-t, 则dx =-dt, 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb b b dt t f dt t f dx x f )()1)(()(, 而⎰⎰---=-bb b b dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=b b bb dx x f dx x f )()(.分数：8所属所属知识点：定积分的计算难度：6设f(x)在[a, b]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.题型：证明题答案：令x =a +b -t , 则dx =dt , 当x =a 时t =b, 当x =b 时t =a , 于是⎰⎰⎰-+=--+=b a b a abdt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba b a dx x b a f dt t b a f )()(, 所以 ⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 分数：8所属所属知识点：定积分的计算难度：7 证明: ⎰⎰>+=+11122)0(11xx x x dx x dx .题型：证明题答案：令tx 1=, 则dt t dx 21-=, 当x =x 时xt 1=, 当x =1时t =1, 于是 ⎰⎰⎰+=-⋅+=+11121122211)1(1111x x xdt t dt t tx dx , 而 ⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111, 所以⎰⎰+=+1112211x x x dx x dx.分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：7证明: ⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 题型：证明题答案：令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.分数：8所属所属知识点：定积分的计算难度：6证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx n n . 题型：证明题答案：⎰⎰⎰+=ππππ2020sin sin sinxdxxdx xdx n n n, 而 ⎰⎰⎰⎰==---=202022sin sin ))((sin sinπππππππxdxtdt dt t tx xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sin xdx xdx nn .分数：8所属所属知识点：定积分的计算难度：8设f(x)是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关. 题型：证明题答案：已知f(x +l)=f(x).⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala llla lla a adxx f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令, 所以 ⎰⎰=+l a adx x f dx x f 01)()(. 因此⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关. 分数：10所属所属知识点：定积分的计算难度：8若f(t)是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f(t)是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 题型：证明题答案：设⎰=xdt t f x F 0)()(. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而 )()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f ut dtt f x F xx xx===---==-⎰⎰⎰⎰-令, 即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数. 若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而 )()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f ut dtt f x F xx xx-=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令, 即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.分数：12所属所属知识点：定积分的计算。

高数A第5章课件：第五章习题课1

x 2 2 2．设 z f ( e sin y , x y ) ，其中f 具有二阶连续偏导数，
2z 则 xy
e x cos yf 1 e 2 x sin ycos yf 11 2e ( ysin y xcos y ) f12 4 xyf 22
x
。
2 2 z z z ( x , y ) ( x z , e 2 y ) 0 确定， 3．设函数由方程
hx g z g x hz du dy 故 fx f y fx f y 。 dx dx hz g y
解法 2： du f x dx f y dy ， g x dx g y dy g z dz 0 对 g , h 微分，得， hx dx hz dz 0
2 f 2 f （A）必有； xy yx
（B） f ( x , y ) 在 D 内必连续；
（C） f ( x , y ) 在 D 内必可微；（D）以上结论都不对。
x2 y2 6. z 4 在点（ 2, 4, 5 ）处的切线与横轴的正向所成的角度是（ y 4 （A）；（B）；（C）；（D）。 2 3 4 6
xy 1
f ( t )dt
2 z z 2 xy xy y 0 f ( t )dt y 1 f ( t )dt , 2 y f ( xy )) 2 x x
一、选择题
习题课
1．设函数 f ( x , y ) 在点 (0, 0) 附近有定义，且 f x (0,0) 3 ，
z
解：设 F ( x, y,z ) z e 2 xy 3 ，
u x 2 y 2z 2z 2z 2 0 3．设变换，可把方程 6 2 x xy y v x ay 2z 0 (其中 z 有二阶连续偏导数)，求常数 a。化简为 uv

高等数学课后习题答案--第五章

x1 1 2 4 1 1 − 2 4 1 3 2 ~ ~ ~ (3) x + x + 1 在 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的坐标 x 2 = 0 1 4 1 = 0 1 − 4 1 = − 3 . x 0 0 1 1 0 0 1 1 1 3
8. 设 P2 为次数不超过 2 的多项式全体构成的线性空间。 ~ =1， ε ~ = x + 2, 证明(1) P2 的基可取为 ε 1 =1, ε 2 = x , ε 3 = x 2 ，也可取为 ε 1 2 2 ~ ε = (x + 2) ；
3 1 2 3
~ =ε , ε ~ = 2ε + ε , ε ~ = 4ε + 4ε + ε , 8. (1) ε 1 1 2 1 2 3 1 2 3
x1,n −1 x 2,n −1
M L L x n −1,n −1 L x n ,n −1
x1n x2n M x n −1 , n x nn
x1n x2n M M M , k −2 k −2 ml xl 2 L ∑ ml xl ,n −1 x n −1 , n ∑ l =1 l =1 k −2 k −2 n x L n x x ∑ ∑ nn l l , n −1 l l2 l =1 l =1 x11 x12 L x1,n −1 x1n x 21 x 22 L x 2,n −1 x 2 n K 因此矩阵 A 经过适当的行变换后, 变为 M M M M , 于是 | A |= 0 , L 0 L 0 s 0 0 0 L 0 t ~ ~ ~ 即 a , a , K, a 线性相关, 与已知矛盾. rank ((a , a ,K, a )) ≥ k − 1 .

高等数学李伟版课后习题答案第五章.

习题5—1(A．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）如果函数仅在区间上有界，它在上未必可积，要使其可积，它在上必须连续；（2）如果积分（）存在，那么；（3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”还是被积函数在积分区间上的平均值.答：（1）前者正确．如狄利克雷函数在区间（其中）上有界，但是它在区间上不可积，事实上：将任意分成个小区间，（其中）记第个小区间长度为，先在上取为有理数，则，再在上取为无理数，则，对于的不同取法黎曼和的极限不同，所以在区间上不可积；后者不正确，参见定理1.2．（2）正确．事实上：由于在区间上可积，则对的任意分法，的任意取法，都有，现在对区间等分，去在小区间的右分点，则，，并且等价于，所以．（3）正确．它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等．（4）正确．它可以起到去掉积分号的作用；也可以用来表示连续函数在区间上的平均值，但是由于位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算.．自由落体下落的速度，用定积分表示前10秒物体下落的距离.解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程，所以．．一物体在力作用下，沿轴从点移动到点，用定积分表示力所做的功项目管理PMP.1-项目管理框架解：将位移区间任意分成个小区间）记第个小区间长度为移动到时所做的功近似为，于是1.，记，则（假定极限存在）.C.．用定积分的几何意义求下列积分值：（1）；（2）解：（1）如图，上半圆的面积，根据定积分几何意义，所以，5.项目管理是通过以下五个过程组进行的：启动，计划，执行，控制和收尾。

（2）如图，面积，->根据定积分几何意义，所以，7.．．8.PMO项目管理办公室，负责多项目的处理协调和资源的管理等。

高二数学必修五单元测试03不等式(A卷)(解析版).doc

班级_________ 姓名_____________ 学号____________ 分数 ___________ 《必修五单元测试三不等式》测试卷（A卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在不等式x + 2y-1>0表示的平面区域内的点是（）A. （1,-1）B. （0,1）C. （1,0）D. （-2,0）【答案】B【解析】试题分析：・・・1+2><（_1）_1〈0；0+2><1_1血1 + 2><0-1 = 0；-2 + 2><0-1<0,二可知点（0丄）在不等式x+2y-l >0表示的平面区域內.故B正确.2.已知集合A = [xeN\x2-5x + 4<0], B = {x\x2-4 = o],下列结论成立的是（）A. Be A B_. A\J B = A C. Ar\B = A D. AcB = {2}【答案】D【解析】由已知得A = {123,4}, B = {-2,2},则AcB = {2},故选D.x>l3.区域｛y>\构成的儿何图形的面积是（）x+y<3A. 2B. 1C. 一D.-4 2【答案】D【解析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形对知区域三角形的面积是S=-xlxl=l,应选答案D.2 24.[2018届河南省中原名校高三上学期第一次质】若a<b<0,则下列不等关系屮，不能成立的是1 ] ] ] 1 1A. ->-B. -------------------- >-C. a3 <b3D. a2 > b2a b a~b a【答案】B【解析]Va<b<0,.\a<a - b<0由y =丄在（一a,0）上单调递减知：一-— < 丄x a~b a因此B不成立.故选：B.5.不等式乞二L>0的解集是（）x + 3A. _,+8B. （4,+00）、2（J 、C. （-00, -3）U（4, +oo）D. （-00,-3）u —,+oo【答案】D【解析】分式不等式可转换为二次不等式：（2兀一1）（兀+3）>0,（\ \据此可得不等式的解集为：（-00,-3）u -,+a）>本题选择D选项.6.已知关于兀的不等式x2-4x>m对任意XG（O,1]恒成立，则有（）A. m <一3B. m >—3C. —3 < m < 0D. m > ~4【答案】A【解析1 vx2-4x> w对任意xe[O3l]恒成立，令/（x）=x2-4x s xe[0a l], v f（x）的对称轴为x = 2 ,二/ （x）在[0 J]单调递减，二当* 1时取到最小值为-3 ,:.实数w的取值范围是w<-3,故选A.X>1x + y<47.【2018届四川省南充市高三零诊】若实数俎y满足lx-2y-lS0 ,贝ljz = 2x + y的最大值为（）A. 2B. 5C. 7D. 8【答案】C【解析】作出可行域：学@科网rf]Z = 2x +儿可得：y=- 2x + z,平行移动丿=-2兀+ z,由图象可知当直线经过点A时，直线的纵截距最大, 即z最大；易得A（3, 1）,带入目标惭数z = 2咒+儿得：z = 2x3 + l = 7,即z = 2兀+ y的最大值为7故选：C.8.已知/（兀）=0?+加，且满足：15/（1）53,-1</（-1）<1,则/（2）的取值范围是（）A. [0,12] B. [2,10] C. [0,10] D. [2,12]【答案】B【解析】・・・/（兀）=血2+加且15/（1）53, -1</（-1）<1, ：.\<a + b<3, -\<a-b<\,JV+V =4 x— 3/（2）= 4a + 2b,令4d + " = x（Q+b） + y（a—b）,可得｛7-,解得｛—,即x-y=2 y=l4a + 2/? = 3（Q+b）+（o—b）, ・・・353（d+b）59, 253（a+b）+（d—b）510,则/（2）的取值范围是[2,10],故选B.F — r — 69.不等式一<0的解集为（）兀—1A. {兀|兀（一2或»1}B. {兀| 兀<一2或vxv3}C. {兀|-2v兀〈1或x〉3}D. {%|-2VJVV1或lcxv3}【答案】B【解析】不等式即：（〒）（节2）<0（-1）转化为高次不等式：（x-3）（x+2）（x-l）<0利用数轴穿根法解得x < —2或1 v尢v 3 ,本题选择B选项.点睛：解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决.10.若a，bER且必>0,则下列不等式中，恒成立的是（）11 2 b a9 9.—— +「> ~严= —d—二2A. a + b > 2ab g a + b > Q a b ^Jab D. Q b'【答案】D【解析】对于选项A,当a = b时不成立；对于选项巧当a<0.b<0或a = b > 0时不成立；对于选项C, 当aV0,b<0时不成立：对于选项D,因为ab>0,所以;>0^>0,由基本不等式有恒成立, 故选D.y>0尤-y + 1 二011.[2018届广东省茂名市五大联盟学校高三9月】设绘y满足约束条件U + y-3<0,贝ijz = x-3y的最大值为（）A. 3B. -5C. 1D. -1【答案】Ax - y +1 > 0 y = _x —z —z画出不等•式组k + 表示的区域如图，则问题转化为求动直线 3 B 在y 上的截距B 的最小值 1 1的问题，结合图形可知：当动直线一孑经过点P （3,0）^, z nlax = 3-3x0 = 3,应选答案A .12. [2018届云南省师范大学附属中学高三月考一】若直线ax + by-2 = Q （d>0』>0）始终平分圆第II 卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填•在答题纸上）13.【2018届江苏省泰州屮学高三上学期开学】已知点PU ，y ）满足<-XI y>>-+ y Xy z ~~ _贝I 」X 的最大值为 __________【解析】画出满足条件的半面区域，如图示：由z【答案】D【解析】x 2+y 2-2x-2y = 2 的周长,则眾的最小值为（3-2^2 43-2^2 ~2-D.【解析】直线平分圆周，则直线过圆心（1」），所以有G + b = 2,-!- +丄二丄(d + b) — 2ci b 2、)"(1 1)• -I 2G b )b = y[2a 时取“二”），故选 D.y咒表示过平面区域的点Qy）与（°，°）的直线的斜率,显然直线过力仃，3)时，z取得最大值，x故答案为：3.14. [2018届河南省中原名校高三上学期第一次联考】某学生计划用不超过50元钱购买单价分别为6元、7元的软皮和硬皮两种笔记本，根据需要软皮笔记本至少买3本，硬皮笔记本至少买2本，则不同的选购方式共有. _________ 种.【答案】7.(6x + 7y < 50% > 3沖2【解析】根据题意，设买x本软皮笔记本，y本硬皮笔记本，则有I ,32y <——当x=3时，7 ,可取的值.为2、3、4；26y < —当x=4时，7,可取的值为2、3；20y <——当x=5时，一7,可取的值为2；14y <——当X二6时，7,可取的值为2；共7种不同的选购方式；故答案为：7.15.若不等式x2-ax-b< 0的解集为何2VXV3},则不等式bx2-ax-l>0的解集为_____________________【答案】【解析】.••不等式x2-ax-b<0的解集为{x|2<x<3})・・・2,3是一元二次方程x2-ax-b = 0的两个实数根,2 +3 = a[2 x 3 =- b ,解得。

高数第五章A卷

⾼数第五章A卷⼀、填空题1. ⼆次型()21,2,31121323248f x x x x x x x x x x =-++对应的对称矩阵112124240A -?? ?=-- ?旦增卓嘎1225081012.矩阵A=124221413??- -对应的⼆次型2221,2,3123121323()23482T f x x x X AX x x x x x x x x x ==++++-冯玲 1225081023、⼆次型22212132122),,(x x x x x x x f -+=的秩为2。

解：⼆次型矩阵为→+03121-11221r r 所以此⼆次型的秩为⼆次型矩阵的秩为2.韩婷婷1225081034 f )(123x ,,x x =()()2221231x +k +k-2k x x +为正定⼆次型，则k 满⾜()k 2＞解 f )(123x ,,x x 为正定⼆次型∴ k +10k 0k-20??＞＞＞∴k ＞2韩燕楠1225081045.设 3 0 0 -5 A ??=，则⼆次型TX AX 的规范型为______。

3 0 0 -5 A ??=221235T f X AX X X ∴==-令11y =22y =11X y =22X y =0 30 X ??=2212f y y ∴=-吉海燕 1225081056. 设矩阵A=-+a a 100021011为正定矩阵，则a 的取值范围是-1由2+a-1>0 (a-1)(a+1)>0可得 -1⼆、单项选择题1、若矩阵A 与B 是合同的，则它们（ C ）（A ）相似（B ）相等（C ）等价（D ）满秩解：∵A 与B 合同∴存在可逆矩阵P ，使得TP AP B =∴()()A B R R =，且A 、B 为同型矩阵∴A 、B 等价，故选C李明⾼ 1225081072.设实⼆次型f 的矩阵A 的秩等于r ，且有m 个正特征值，则该⼆次型的符号差为（C ）A rB m-rC 2m-rD r-m解：因为矩阵有m 个正特征值，且矩阵的秩为r.所以矩阵的负特征值为r-m,所以该⼆次型的符号差为m-(r-m)=2m-r 李佗1225081083.实⼆次型12(,,,)n f x x x 的秩为3，符号差为-1，则123(,,)f x x x 的标准形可能为（ A ）222322232223.2.2y y B y y C y yD +--++-21212121A.-y y y .-y解：秩为3，∴排除D⼜符号差为-1，B 项符号差为0，C 项符号差为2∴选A李霞1225081094.⼆次型f =X T AX 经过正交替换X=QY 可化为⼆次型Y T BY ，则关于矩阵A 与B 不正确的是：（D ）A ⼀定合同B ⼀定相似C 即相似⼜合同D 即不相似也不合同解：线性替换X=QY 中，矩阵Q 是正交矩阵，所以A 与B 既合同⼜相似故C 正确 AB 不全⾯题中问不正确故选D李跃明1225081105.设A 为3阶矩阵，且已知023=+E A ,则A 必有⼀特征值为（ B ）（A ）23- (B)32- (C)32 (D)23 解：032332=---=+A E E A 即032=--A E 根据定义可知32-=λ故选B刘然1225081116.实⼆次型()12,,n f x x x =T X AX 是正定⼆次型的充要条件是（B ）A. A 0B. 对任意向量X=()12,,0Tn x x x ≠ ，都T X AX 0C 负惯性指数全为零D 存在n 阶矩阵P 使A=T P P 解析：依据：正定⼆次型的定义可知正定⼆次型的正惯性系数为n 或顺序主⼦式全⼤于零。

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