一级倒立摆的双回路PID控制_李琳

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G1( s )
(s) 0.02725 V ( s ) 0.0102125s 2 0.26705
X (s) 1 V (s) s 2
（3）摆杆位移和小车加速度的传递函数为：
图2
直线单级倒立摆小车与摆杆的受力分析
G 2 (s)
（4）
其中，M, m分被 表 示小 车及摆杆质量， b为小 车摩擦系数，l为 摆杆转动轴心到杆质心的长度， I为摆杆惯量， F表示加在小车上的
该文只考虑小车位移作为内环， 摆杆角度作为外环的情况。将 外环控制对 象（传 递函数 式（3） ）和内环控制对 象（传 递函数 狮式
①作者简介： 李琳， 任职于上海理工大学控制科学与工程系， 博士， 讲师， 研究方向为网络化系统控制、 鲁棒控制等。
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科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald
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1 直线一级倒立摆系统数学模型
对于倒立摆系统， 由于其本身是个不稳定的系统， 实验建模存在 一定的困难。 但是忽略掉一些次要的因素后， 倒立摆系统就是一个典 型的运动的刚体系统， 可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系 统的动力学方程。 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后， 可将直线一级 倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统， 如图1所示。
工 业 技 术
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（4） ）代 入图3所 示的 控制系统 结 构图中， 并进行简单的变形和 转 化便可得到如下图4所示仿真图。
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参考文献
1.单脉； 2.脉组轴向； 3.运动方向； 4.压应力； 5.拉应力
图3
望儿山金矿成矿期应力分析示意图
4 结语
望儿山断裂带构造控矿规律主要有： 矿 床在空间分布上具有等距性； 断裂带的上下盘 均可成矿； 矿体在剖面上呈特征“S” 型产出 并沿F1主断裂在空间上具备一定的对称性； 矿体在延深方向上尖灭再现， 分段富集。 望儿 山矿区构造控矿规律主要有： 控矿构造型式 为压扭性断裂构造系统之菱形结环式构造；
[1] 李士线,刘长春.胶东金矿地质[M].北京： 地质出版社， 2007. [2] 何永年,林传勇,史兰 斌.构造岩石学基础 [M].北京地质出版社， 1988. [3] 吕古贤.构造物理化学的研究进展[J].科学 通报， 2003. [4] 罗镇宽,苗来成.胶东招莱地区花岗岩和金 矿床[J].北京： 冶金工业出版社， 2002. [5] 曾佐 勋 , 樊 光明. 构 造 地 质学 [M] . 3 版.武 汉： 中国地质大学出版社， 2008. [6] 叶天竺,薛建玲.金属矿床深部找矿中的地 质研究[J].中国地质， 2007.
外力，X 表 示小 车位置， φ与θ分别表 示摆杆与垂直向上、 向下方向 的夹角。 假设u代表被控对象的输入力F， 采用牛顿-欧拉方法， 可以 得到该直线型一级倒立摆系统数学模型的微分方程表达式：
&& = u && − mglφ = ml& & + bx & − mlφ & ( M + m) & x ( I + ml 2 )φ x
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图6
双回路控制系统摆杆角度仿真曲线
参考文献
[1] 张培仁，杨 兴明.机器人系统设 计与算法 [M] .合肥： 中国科 学技 术大学出版社， 20 08. [2] 袁玲.一级倒立摆在自动控制原理实验中的应用[J]， 自动化信息 与工程， 2010. [3] 胡寿松.自动控制原理[M].北京： 科学出版社， 20 07.
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科技创新导报
2012 NO.32 Science and Technology Innovation Herald
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图4
双回路控制系统仿真图
图5
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双回路控制系统小车位移仿真曲线
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首先，在 基 于 输出 反馈 的 双 P D 控 制 方 案 中 试 凑 出 的 四 个 参 数 [4] ，然 后，在内环及 外环 P I D 控制器中分别加 入积 分 环 节， 并通 过不 断的调整，最后， 整定出两个反馈 通 道中控制器的参 数。内环 PI D控制器的参数为： K P =-10 0，K i =-10 0，K d =-70， 外环 PI D控制器的参数为： K P =240，K i =60，K d =50。 仿真得到的曲线分别如图5和图6所示。 仿真结果显示， 双回路PI D控制方案较好地实现了小车位置和 摆杆角度的双重稳定， 达到了应有的控制目的和要求。 而且在调试 过程中， 我们发现该系统 对PI D参 数的变化 具 有 较低的灵敏度， 当 指 定参 数在一定范围内变化 时，控制器均 能 有 效 地 控制倒立 摆 并 使其稳定地运行。
(1)
记小车加速度v （t） ,对式 （1） 进行拉普拉斯变换,可以得到摆杆角 度和小车加速度、 摆杆位移与小车加速度之间的传递函数分别为：
G1 ( s ) =
Φ(s) ml = V ( s ) ( I + ml 2 ) s 2 − mgl
G2 ( s )
X (s) 1 V (s) s 2
(2)
工 业 技 术
2012 NO.32 Science and Technology Innovation Herald
科技创新导报
一级倒立摆的双回路PID控制①
李琳 （上海理工大学 上海 200093）
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摘 要： 利用牛顿-欧拉方法方法建立了一阶倒立摆的数学模型， 参照固高科技的倒立摆系统参数， 得到了倒立摆系统的状态空间方程及其传 递函数， 设计了双回路PID控制器， 实现了摆杆角度和小车位移的同时稳定。 最后， 通过Matlab仿真验证了所提算法的有效性。 关键词： 倒立摆 PID 双回路控制 Matlab 中图分类号： 文献标识码： 文章编号： O4 A 1674-098X （2012） 11 （b） -0075-02
2 倒立摆系统的双回路PID控制
双回路的PID控制方案实际上是一种反馈校正的思想。 其基本 原 理 就 是： 利用反馈校 正 装 置包围待校 正系统中对 动态 性能 改善 有重大 妨碍作用的某些环节， 形成一个局 部反馈回路，在局 部反馈 回路的开环值 远大于1的条件下， 局 部反馈回路的特 性 主要取决于 反馈装置， 而与被包围部分无关， 适当选择反馈校正装置的形式和 参 数， 可以使已校 正系统的性能满足给定指 标的要求 [3] 。 但是应当 指出的是： 进行反馈校 正系统设 计 时， 需要 注意内回路的稳定性， 如果反馈校 正参 数 选择不当， 使得内回路失去稳定， 则整个系统也 难以稳定可靠地工作， 且不便于对系统 进行开环调试。 因此反馈校 正后形成的系统内回路， 最好 是稳定的。 仍旧以小 车的加速度作为 输入， 以摆杆的角度和小 车的位移作为输出， 得到的双回路PI D校 正控制系统的框图如图3所示.
从 工程背景讲，小到日常生活中所见到的各种 重心 在 上、 支点 在下的物 体 的稳 定问题， 大 到火箭的垂直 发 射 控制 等 关 键 技 术， 都与倒立摆控制很相似。 因此， 倒立摆成为控制领域中经久不衰的 研究课题， 有人将它比喻为 “每一个自动控制部门都 在追求的皇冠 上 的 珍 珠”[1] 。从 控制角度 讲， 倒 立 摆作为 一 个被 控 对 象， 是一个 相当复杂的、 高阶次、 多变量、 非线性、 强耦合、 不确定的绝 对不稳 定系统， 必须施加十分强有力的控制手段才能使之稳定。 以经典控 制 理论 为基础 的 P I D 控 制 策 略 因其 结 构 简单、易于实 现等 优 点在 倒立 摆系统的控制 研究中被广泛应 用。然而， 实验 发现， 简单的单 个P I D 控制 可 以 较 好 的实 现 摆 杆 的 稳 定性， 但 对 于小 车 的 位 置 控 制却无能 为力，即小 车会沿 滑 杆无限制 地 运动下去 [2] 。因此， 该文 研究基于输出反馈的倒立摆系统 双回路PI D控制器的设计。
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图1
直线单级倒立摆系统模型 图3 双回路PID控制系统结构图
图 2 为直 线 单 级倒 立 摆 系 统中小 车 和 摆 杆 的 受力 分 析 图。其 中，N 和 P 为小 车 与摆 杆相 互作用力的水平和 垂直 方向的 分 量。 并 定义矢量方向如图所示。
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3 仿真结果
参考固高科技实际系统的模型参数： M=1.096 kg， m=0.109 kg， b = 0.1N/m /s e c，l= 0.2 5 m，I= 0.0 03 4 k g×m 2 ， 把 上 述参 数代 入 式（2） ， 可以得 到系统 的实际模 型。其中， 摆 杆角度 和 小 车加 速 度的传递函数：
4 结语
该文设计了直线一级倒立摆的双回路PI D控制器， 实现了同时 对 摆杆角度和小 车位移的稳定控制，M AT LA B的仿真结果说明了 所提 双回路PI D控制是一种行之有效而又简便易行的控制方法。
（上接74页） 望儿山金矿体受强构造变形带控制， 分 为近南北向和北东向两个脉组， 矿化富集地 段受菱形结环和 “X” 型脉交叉结点及其附近 部位控制。 望儿山断裂成矿期以脆性变形为 主， 形成一系列花岗质碎裂岩叠加改造早期 糜棱岩。 在北西西向的拉伸力作用下， 早期， 南北向和北东东向 “X” 型强挤压变形断裂带 转为张开， 其南北向压扭性裂隙呈右旋向北 东下滑， 改造成右型雁列张裂隙， 北东东向压 扭性裂隙向南西呈左旋下滑， 改造成左型雁 列张裂隙， 矿液沿两组裂隙充填、 交代、 富集 成矿， 形成近南北向脉组向北东侧伏和北东 向脉组向南西侧伏的现象 （图3） 。随着北西 西向拉伸力的持续作用， 近南北向脉组和北 东向脉组由于追踪作用而合二为一， 成为一 条基本连续且向南西侧伏的规模较大的1号 脉体。 望儿山矿区成矿后的构造主要表现为 一组走向北北西向， 倾角近直立或与矿体反 倾斜的张性断裂发育， 其同时切穿矿体的上 下盘。 综上， 望儿山矿区构造应力场在成矿前 表现为北西西向挤压， 造成北北东向构造挤 压破碎带； 成矿期表现为北西西向拉伸， 近南 北向和北东东向 “X” 型强挤压变形断裂带张 开， 含金矿液在此充填、 交代、 富集成矿； 成矿 后表现为北北西挤压。 矿体 在剖面上呈特 征的“S”型平行脉状产 出， 矿体规模受制于构造规模； 单脉具有走向 上的一致性； 与近南北向脉组和北东向脉组 的 “X” 型构造交汇部位对应， 矿区26线—30 线为矿区矿化中心。 成矿期构造应力场数值 模拟实验表明， 最大张应力高值区呈南北向 和北东向两组， 二者交叉部位应力集中， 平面 上构成X型， 高值区的分布与已知矿体的分布 一致。在应力分布图的西南角为应力一级集 中区， 可作为下一步找矿靶区考虑。