山西省运城市2019-2020学年高一数学下学期调研测试试题【含答案】

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【2019-2020】高一数学下学期第一次月考试题

教学资料参考范本【2019-2020】高一数学下学期第一次月考试题撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第Ⅰ卷一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5分，共60 分。

）1．1.在中，若，，，则为（）．ABC△A．B．或C．D．或2.在中，则等于（）．A．B．C．D．3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°4.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若b=2acosC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等腰或直角三角形5.如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C、D两观测点，且在C、D两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°．在水平面上测得∠BCD=120°，C、D两地相距600m，则铁塔AB 的高度是（）A．120m B．480mC．240m D．600m6．△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．7.若在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：6，则sinB等于（）A． B．C．D．8.已知在等比数列{an}中，a4，a8是方程x2﹣8x+9=0的两根，则a6为（）A．﹣3 B．±3C．3 D．29.已知等差数列的前项和为，若，则（）A．18 B．36 C．54 D．7210.已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A．3 B．15 C．48D．6311.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日 B．8日 C．16日D．12日12.已知等比数列{an}中，a3=4，a4a6=32，则的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16第Ⅱ卷二、填空题（每小题 5分，共20 分。

2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)

19．已知复数z满足，的虚部为2，
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足，求的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间、、…、、．
【详解】
∵向量，
∴ ，又，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为，可知正六棱柱的高为，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为，由题意可知正六棱柱的高为，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为上的高为，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C，，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A，，可判断错误；对于B找出反例不满足题意，判定错误；对于C若，则其不正确；对于D，，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）

2019-2020学年高一下学期课后复习卷数学试题(平面向量)含答案

六安一中高一线上学习课后复习卷平面向量自学巩固练习（时间：90分钟）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设21,e e 是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是( ) A ．21e e +和21e e - B ．212e e +和122e e + C ．2123e e -和1264e e - D ．2e 和21e e +2.已知向量(4,1),(2,)m =-=a b ，且()+a a b P ，则m =( ) A ．12B ．2C ．12-D ．2- 3.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( )A ．AC AB 4143- B ．AC AB 4341- C ．AC AB 4143+ D ．AC AB 4341+4.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b 5.设02θπ≤<，已知两个向量，，则向量21P P 长度的最大值是( )2 3 C.32 D.36.设向量，a b 满足||1,||2==a b ，且()⊥+a a b ，则向量a 在向量b 方向上的投影为( )A ．1B 13C ．1-D ．12-7.已知向量(,6)x =a ，(3,4)=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为( ) A ．),8(+∞-B ．),29()29,8(+∞-YC ．),8[+∞-D ．),29()29,8[+∞-Y8.点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC的( )A ．三条高的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三个内角的角平分线的交点9.已知向量2,3==OB OA ，OB n OA m OC +=，若OA u u u r 与OB uuu r的夹角为60°，且AB OC ⊥，则实数mn 的值为( )A ．21 B ．31 C ．41 D ．61 10.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是( )A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-二、填空题11.已知向量a 与b 的夹角为120o ，3=a ，13+=a b ，则=b .12.如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60︒角．当小车向前运动10m 时，则力F 做的功为 .13.已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2e 1＋e 2和b ＝2e 2－3e 1的夹角为_______. 14.设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则)(+⋅的值为 .15.在平行四边形ABCD 中，1=AD ，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若1=⋅，则AB 的长为 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.已知平面向量)0,5(),3,4(=-=b a . (1)求a 与b的夹角的余弦值；(2)若向量b k a +与b k a -互相垂直，求实数k 的值.17.设a 、b 是两个不共线的向量，(1)记OA ＝a ，OB ＝tb ，OC ＝13(a ＋b )，当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？(2)若|a |＝|b |＝1且a 与b 的夹角为120°，那么实数x 为何值时，|a －x b |的值最小？18.如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（1）当41-=⋅时，求α的值；（2）在x 轴上是否存在定点M MP AP 21=恒成立？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．六安一中高一线上学习课后复习卷平面向量自学巩固练习（时间：90分钟）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设21,e e 是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是(C ) A ．21e e +和21e e - B ．212e e +和122e e + C ．2123e e -和1264e e - D ．2e 和21e e +2.已知向量(4,1),(2,)m =-=a b ，且()+a a b P ，则m =( C ) A ．12B ．2C ．12-D ．2- 3.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( A )A ．AC AB 4143- B ．AC AB 4341- C ．AC AB 4143+ D ．AC AB 4341+4.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( B ) A ．||||||⋅≤a b a b B ．||||||||--≤a b a b C ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b 5.设02θπ≤<，已知两个向量，，则向量21P P 长度的最大值是( B)2 3 C.32 D.36.设向量，a b 满足||1,||2==a b ，且()⊥+a a b ，则向量a 在向量b 方向上的投影为( D ) A ．1B 13C ．1-D ．12-7.已知向量(,6)x =a ，(3,4)=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为( C B )A ．),8(+∞-B ．),29()29,8(+∞-YC ．),8[+∞-D ．),29()29,8[+∞-Y8.点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC的( B A )A ．三条高的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三个内角的角平分线的交点9.已知向量2,3==OB OA ，OB n OA m OC +=，若OA u u u r 与OB uuu r的夹角为60°，且AB OC ⊥，则实数mn 的值为( C D )A ．21 B ．31 C ．41 D ．6110.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是( A B )A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-二、填空题11.已知向量a 与b 的夹角为120o ，3=a ，13+=a b ，则=b 4 . 12.如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60︒角．当小车向前运动10m 时，则力F 做的功为 50 .13.已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2e 1＋e 2和b ＝2e 2－3e 1的夹角为____120⁰____.14.设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则)(+⋅的值为 2 3 .15.在平行四边形ABCD 中，1=AD ，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若1=⋅，则AB 的长为 1/3 1/2 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.已知平面向量)0,5(),3,4(=-=.(1)求与的夹角的余弦值；(2)若向量k+与k-互相垂直，求实数k的值.⑴解：由题意：a（4,-3）,b（5,0）∴cosa,b=a·b/|a||b|=20/5×5=4/5∴a与b夹角的余弦值为4/5⑵解：由题意知：（a+kb）·（a-kb）=a²-k²b²=0∵a²=25=b²∴25-25k²=0∴k=1或-117.设a、b是两个不共线的向量，(1)记＝a，＝tb，＝13(a＋b)，当实数t为何值时，A、B、C三点共线？(2)若|a|＝|b|＝1且a与b的夹角为120°，那么实数x为何值时，|a－x b|的值最小？⑴解：由题意知：AB=λAC，即-a+tb=λ（b-a）解得：t=1∴当t=1时，A,B,C三点共线⑵解：由题意知：|a-xb|=√（a-xb）²解得x=-1/2∴当x=-1/2时，其最小值为√3/218.如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（1）当41-=⋅时，求α的值；（2）在x 轴上是否存在定点M MP AP 21=恒成立？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．⑴解：设点p （cosα，sinα），AP=（cosα+1/2,sinα）,BP=（cosα-3/2,sinα） ∵AP·BP=-1/4，解得cosα=1/3∵α是锐角∴α=π/3 ⑵解：设M 点坐标为（t,0），则MP=（cosα-t,sinα）由题意知（4+2t ）cosα-t²+4=0恒成立，解得t=-2 ∴M （-2,0）。

山西省运城市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)

运城市2021～2022学年高一1月份期末调研测试数学一，选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 下面各角中,与角1560°终边相同地角是（）A. 180° B. -240°C. -120°D. 60°【结果】B 【思路】【思路】终边相同地角,相差360°地整数倍,据此即可求解.【详解】与1560°终边相同地角为1560360k β=︒+︒,k ∈Z ,当5k =-时,156********β=︒-︒⨯=-︒.故选：B .2. 已知集合{}2,1,2,3A =-,{}12B x x =-<≤,则()A B =R ð（）A. ∅ B. {}1,2 C. {}2,3- D. {}2,1,2-【结果】C 【思路】【思路】依据集合地交集和补集运算法则计算即可.【详解】{R 1B x x =≤-ð或}2x >,∴(){}R 2,3A B ⋂=-ð.故选：C.3. 设x ∈R ,则“220x x -<”是“12x -<”（）A. 充分不必要款件 B. 必要不充分款件C. 充要款件 D. 既不充分也不必要款件【结果】A 【思路】【思路】解不等式,再判断不等式解集地包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈,由12x -<得()1,3x ∈-,故“220x x -<”是“12x -<”地充分不必要款件.的故选：A.4. 假如,,a b c ∈R ,且0abc ≠,那么下面命题中正确地是（）A. 若11a b<,则a b > B. 若ac bc >,则a b >C. 若33a b >,则11a b<D. 若a b >,则22a b>【结果】D 【思路】【思路】依据不等式地性质逐项思路判断即可.【详解】对于A ,若1a =-,1b =,满足11a b<,但a b >不成立,错误。

运城市2024-2025学年高三摸底调研测试数学试题与答案

运城市2024-2025学年高三摸底调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知复数112iz =+，则z 的虚部是（）A ．2B ．2iC ．2i 5-D ．25-2．命题2:3,2x p x x ∃>≥的否定为（）A ．23,2xx x ∃><B ．23,2x x x ∀><C ．23,2xx x ∃≤≥D ．23,2xx x ∀≤<3．已知向量()()1,3,2,a b m == ，若()a b a -∥，则m =（）A ．1B ．2C ．3D ．64．已知()1sin ,tan 5tan 2αβαβ+==，则()sin αβ-=（）A ．13B ．3C ．34D ．125，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A ．6π3B ．26π3C ．46π3D ．86π36．下列说法错误的是（）A ．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B ．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C ．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强D ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 3.937χ=，根据小概率0.05α=值的独立性检验()0.05 3.841x =，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.057．曲线()()22e 2xf x x x x =--+在2x =处的切线方程是（）A ．()()2e 22y x =--B ．()2e 22y x =--C ．2e 4y x =-D ．2e 4y x =+8．已知π1cos 63α⎫⎛-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎫⎛+= ⎪⎝⎭（）A ．429B ．79C ．79-D ．429-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()()πf x f x +=B ．()f x 的图象关于直线π6x =对称C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增10．设函数()321f x x x ax =-+-，则（）A ．当1a =-时，()f x 有三个零点B ．当13a ≥时，()f x 无极值点C ．a ∀∈R ，曲线()y f x =对称中心的横坐标为定值D ．a ∃∈R ，使()f x 在R 上是减函数11．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．设()1,0F c -和()2,0F c 且0c >，动点M 满足212(0)MF MF a a ⋅=>，动点M 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C ，则下列描述正确的是（）A ．曲线C 的方程是()()222222442x y c x y a c +--=-B ．曲线C 关于坐标轴对称C ．曲线C 与x 轴没有交点D ．12MF F △的面积不大于212a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若4215,3S S ==，则q =____________．13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________．14．若曲线xx ay e +=有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）记ABC △中的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2222sin sin c Cb c a B=+-，（1）求A ；（2）若a =ABC △的面积为332，求ABC △的周长．16．（本小题满分15分）已知函数()e 2xf x ax =--．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()2f x ≥-在10,2⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,ABCD AD BC AB BC ⊥∥，E 为PD 的中点．（1）若EA EC =，证明：CD ⊥平面ACP ；（2）已知2244AD PA BC AB ====，求平面ACE 和平面PCD 所成的二面角的正弦值．18．（本小题满分17分）学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为12．（1）求首次摸球就试验结束的概率；（2）在首次摸球摸出红球的条件下，①求选到的袋子为乙袋的概率；②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球：方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．19．（本小题满分17分）已知点()11,P t t +在抛物线2:4C x y =上，按照如下方法依次构造点()2,3,4n P n = ，过点1n P -作斜率为1-的直线与抛物线C 交于另一点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y ．（1）求t 的值；（2）求证：数列{}n x 是等差数列，并求,n n x y ；（3）求12n n n P P P ++△的面积．运城市2024-2025学年高三摸底调研测试数学试题答案一、1．D 2．B3．D4．A 5．B 6．C7．A 8．C二、9．AD 10．BC 11．ABD三、13．214．22128x y -=15．()(),04,-∞+∞ 四、答案：15．解：（1）在ABC △中，由正弦定理得，sin sin C cB b=，因为2222sin sin c C b c a B =+-，所以2222c cb c a b=+-，化简得，222b c a bc +-=，在ABC △中，由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==，又因为0πA <<，所以π3A =（2）由1333sin 242ABC S bc A ===△，得6bc =，由2222cos a b c bc A =+-，得2276b c =+-，所以2213b c +=所以222()225b c b c bc +=++=，所以5b c +=所以ABC △的周长5a b c ++=+16．解：（1）由题可得：()xf x e a '=-，当0a ≤时，()()0,f x f x >'∴在R 上单调递增．当0a >时，()0f x '=可得ln x a =，若(),ln x a ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，若()ln ,x a ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，综上可得：当0a ≤时()f x 在R 上单调递增．当0a >时()f x 在(),ln a -∞单调递减，()f x 在()ln ,a +∞单调递增．（2）由()2f x ≥-得xe ax ≥，而10,,2x e x a x ⎛⎫∈∴≤⎪⎝⎭令()()()()21,0,x x e x e g x g x g x x x =<'-=∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()12g x g ⎛⎫∴>= ⎪⎝⎭，a ∴≤17．（1）证明：因为PA ⊥平面,,ABCD AD AP ⊂平面ABCD ，可知,PA AD PA CD ⊥⊥，且E 为PD 的中点，则12EA PD =，若EA EC =，即12EC PD =，则PC CD ⊥，且,,PA PC P PA PC =⊂ 平面ACP ，所以CD ⊥平面ACP ．（2）由题意可知：PA ⊥平面,ABCD AB AD ⊥，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为2244AD PA BC AB ====则()()()()()0,0,0,1,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1A C D P E ，可得()()()()0,2,1,1,2,0,0,4,2,1,2,0AE AC PD CD ===-=-，设平面ACE 的法向量为()111,,m x y z = ，则11112020m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令12x =，可得()2,1,2m =-；设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z = ，则222242020n PD y z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令22x =，可得()2,1,2n =；由题意可得：cos ,m n m n m n⋅=⋅79==所以平面ACE 和平面PCD 所成二面角的正弦值为42918．解：设摸球一次，“取到甲袋”为事件1A ，“取到乙袋”为事件2A ，“摸出白球”为事件1B ，“摸出红球”为事件2B （1）()()()()()1111212P B P A P B A P A P B A =+181432102105=⨯+⨯=所以摸球一次就实验结束的概率为35（2）①因为12,B B 是对立事件，()()21215P B P B =-=，所以()()()22222163210245P A B P A B P B ⨯===所以选到的袋子为乙袋的概率为34②由①可知()()1222311144P A B P A B =-=-=所以方案一种取到白球的概率为()()()()112112212183414104102P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯=方案二种取到白球的概率为()()()()2221112123814741041010P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯因为71102>，所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就实验结束的概率更大。

2019-2020学年山西省太原市高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年山西省太原市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）A．5B．7C．8D．162．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣14．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）A．2B．C．D．15．已知a＜b，则下列结论正确的是（）A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）A．2B．4C．±2D．±47．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）A．B．C．D．8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）A．1B．C．D．29．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣211．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）A．2020B．2019C．4040D．4038二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为km．15．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为．16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为．三、解答题（共3小题，满分30分）17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．已知sinα＝，α∈（，π）．（1）求cosα，tanα；（2）求的值．19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．（1）求b；（2）求△ABC的面积．（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．选做题21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．（1）证明：{}为等差数列；（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．选做题23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置.1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）A．5B．7C．8D．16【分析】由已知直接利用等差数列的通项公式求解．解：在等差数列{a n}中，由a1＝1，d＝2，得a4＝a1+3d＝1+3×2＝7．故选：B．2．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【分析】可以先求出方程x（x﹣1）＝0的根，根据一元二次不等式的解法，进行求解；解：x（x﹣1）＝0，可得x＝1或0，不等式x（x﹣1）＞0，解得{x|x＞1或x＜0}，故选：D．3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【分析】根据条件便有，进行向量数量积的坐标运算便可得出k的值．解：∵；∴；∴k＝2．故选：A．4．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）A．2B．C．D．1【分析】利用余弦定理即可求出a的值．解：因为A＝30°，b＝，c＝1，∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝＝1，故a＝1．故选：D．5．已知a＜b，则下列结论正确的是（）A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b【分析】通过举例利用排除法可得ABC不正确，即可得出结论．解：由a＜b，取a＝﹣2，b＝﹣1，可知A，B不正确；取a＝﹣1，b＝1，可得C不正确．故选：D．6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】根据等比数列的性质知：a1a3a5＝（a2q）3＝8，a2q＝a3＝2，a2a4＝a32＝4．解：设等比数列{a n}的公比为q，则a1a3a5＝•a2q•a2q3＝（a2q）3＝8，则a2q＝a3＝2．又a2a4＝•a3q＝a32＝22＝4．故选：B．7．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用两角差的余弦公式，求得所给式子的值．解：cos45°cos15°+sin15°sin45°＝（cos45°﹣15°）＝cos30°＝，故选：B．8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）A．1B．C．D．2【分析】根据向量的平方等于模的平方，利用数量积定义和数量积的性质即可得出．解：∵||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，∴＝1，＝4，•＝﹣1，∴|+|2＝（+）2＝+﹣2•＝1+4﹣2＝3，故|+|＝，故选：B．9．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．【分析】利用数列{a n}的通项公式求出数列{a n}的前4项，得到{a n}是周期为3的周期数列，从而a2020＝a1，由此能求出结果．解：在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），∴＝，＝﹣，＝0，∴{a n}是周期为3的周期数列，∵2020＝673×3+1，∴a2020＝a1＝0．故选：A．10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+＝（+）（x+2y）＝3+，当且仅当且x+2y＝1即y＝＝，x＝时取等号，故选：B．11．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）【分析】由已知对a进行分类讨论，然后结合二次不等式的性质可求．解：当a＝0时，﹣1＜0恒成立，当a≠0时，可得，解可得，﹣1＜a＜0，综上可得，﹣1＜a≤0，故选：C．12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）A．2020B．2019C．4040D．4038【分析】差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，可得a2019＞0，a2020＜0．再利用求和公式及其性质即可得出．．解：∵等差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，∴a2019＞0，a2020＜0．于是S4038＝＝＞0，S4039＝＝4039•a2020＜0．∴使S n＞0成立的最大正整数n是4038．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．【分析】根据弧长公式进行计算即可．解：由题意得，扇形的半径为8cm，圆心角为45°，故此扇形的弧长为：＝．故答案为：．14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为30 km．【分析】根据题意画出相应的图形，求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长．解：根据题意画出图形，如图所示，可得出∠B＝75°﹣30°＝45°，在△ABC中，根据正弦定理得：＝，即＝，∴BC＝30km，则这时船与灯塔的距离为30km．故答案为：3015．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为2．【分析】由题意可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，代入要求的式子+，化简求得结果．解：∵已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，∴+＝+＝＝＝2，故答案为2．16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为3240．【分析】由数列递推式判断数列的特征，4项一组，求和后得到一个等差数列，然后求和即可．解：设a1＝a，由a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l，得a2＝a+1，a3＝2﹣a，a4＝7﹣a，a5＝a，a6＝a+9，a7＝2﹣a，a8＝15﹣a，a9＝a，a10＝a+17，a11＝2﹣a，a12＝23﹣a．可知：a1+a2+a3+a4＝10，a5+a6+a7+a8＝26，a9+a10+a11+a12＝42，…10，26，42，…是等差数列，公差为16，∴数列{a n}的前80项和为：20×10+×16＝3240．故答案为：3240．三、解答题（共3小题，满分30分）17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）设等比数列{b n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求和．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，a4＝7，可得a1+d＝3，a1+3d＝7，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；（2）设等比数列{b n}的公比为q，由b1＝a1＝1，b4＝a14＝q3＝27，解得q＝3，数列{b n}的前n项和S n＝＝（3n﹣1）．18．已知sinα＝，α∈（，π）．（1）求cosα，tanα；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．（2）由题意利用诱导公式，求得结果．解：（1）∴已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣．（2）＝＝﹣cos2α＝﹣．19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．（1）求b；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得b的值．（2）由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．∴由正弦定理，可得b＝＝＝2．（2）∵A+B+C＝180°，A＝60°，B＝45°．∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝+＝，∴S△ABC＝ab sin C＝×＝9+3．（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．【分析】（1）写出f（x）解析式，根据正弦函数的周期及对称中心可得答案；（2）条件等价于sin（x+）≥，解之即可解：由题可得f（x）＝＝1+sin x+cos x﹣1＝sin（x+），（1）由f（x）解析式可得其最小正周期T＝2π，令x+＝kπ，则x＝kπ﹣，k∈Z，即f（x）的对称中心为（kπ﹣，0），k∈Z；（2）由f（x）≥1得sin（x+）≥，解得2kπ+≤x+≤2kπ+π，k∈Z，则2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，所以x的取值范围为[2kπ，2kπ+]（k∈Z）．选做题21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．【分析】（1）根据平面向量数量积的运算得到f（x）解析式，结合正弦函数性质即可得到答案；（2）由f（x）≤2得到sin（2x+）≤，解之即可解：由题得f（x）＝＝1+sin2x+cos2x＝1+sin（2x+）（1）则函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，令2x+＝kπ，解得x＝（k∈Z），即函数的对称中心为（，1）（k∈Z）；（2）当f（x）≤2时，即1+sin（2x+）≤2，所以sin（2x+）≤，则﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤kπ（k∈Z），即x的取值范围是[﹣+kπ，kπ]（k∈Z）（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．（1）证明：{}为等差数列；（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用定义的应用求出结果．（2）利用（1）的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】证明：（1）数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．整理得：（常数），所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．解：（2）由（1）得：，解得：a n＝n（n+2）．所以．所以：＝＝选做题23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，然后利用累加法求得数列{a n}的通项公式，再由等差数列的定义求使{b n}为等差数列的λ值；（2）由（1）知，，令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，利用错位相减法求得T n，进一步求得数列{a n}的前n项和S n．解：由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，∴，得，，，…（n≥2）．累加得：＝＝．∴（n≥2）．a1＝5适合上式，∴．则b n＝＝．＝．若{b n}为等差数列，则λ﹣1＝0，即λ＝1．故存在实数λ＝1，使得{b n}为等差数列；（2）由（1）知，．令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，则，．∴＝，得．∴数列{a n}的前n项和S n＝n•2n+1+n．。

山西省运城市20232024学年高二下学期期末考试数学含答案(可编辑)

运城市２０２３－２０２４学年第二学期期末调研测试高二数学试题２０２４７本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。

答案一律写在答题卡上。

注意事项：１答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

２答题时使用０５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

３请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

４保持卡面清洁，不折叠，不破损。

一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．设全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ│ｙ＝２槡－ｘ｝，Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（－∞，２］Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，４］２．函数ｆ（ｘ）＝│ｘ│（ｘ－１）的单调递减区间是Ａ．（－∞，０）Ｂ．（０，１２）Ｃ．（１２，１）Ｄ．（１，＋∞）３．函数ｙ＝ｓｉｎｘｅｘ＋ｅ－ｘ（ｘ∈［－２，２］）的图象大致为４．已知ｐ：３ｘ＋２＞１，ｑ：－２≤ｘ＜１，则ｐ是ｑ的（）条件．Ａ．充分不必要Ｂ．必要不充分Ｃ．充要Ｄ．既不充分也不必要５．已知函数ｆ（ｘ）＝（１３）ｘ，ｘ＞１１ｘ，０＜ｘ＜{１，则ｆ（ｆ（ｌｏｇ槡３２））＝Ａ．１４Ｂ．４Ｃ．１２Ｄ．２６．若（ｘ＋ｍｘ）（ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项是２０，则ｍ＝Ａ．－２Ｂ．－３Ｃ．２Ｄ．３７．根据气象灾害风险提示，５月１２日～１４日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至３６处．已知有包括甲乙在内的５个排水施工队前往３个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同一个易涝路口，则不同的安排方法有Ａ．８６Ｂ．１００Ｃ．１１４Ｄ．１３６８．已知函数ｆ（ｘ）＝│ｌｎｘ│，ｘ＞０－ｘ２－４ｘ＋１，ｘ≤{０若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２－２ａｆ（ｘ）＋ａ２－１＝０有ｋ（ｋ∈Ｎ）个不等的实根ｘ１，ｘ２，…ｘｋ，且ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｋ，则下列结论正确的是Ａ．当ａ＝０时，ｋ＝４Ｂ．当ｋ＝２时，ａ的取值范围为ａ＜１Ｃ．当ｋ＝８时，ｘ１＋ｘ４＋ｘ６ｘ７＝－３Ｄ．当ｋ＝７时，ａ的取值范围为（１，２）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．９．已知全集Ｕ＝｛ｘ│ｘ＜１０，ｘ∈Ｎ｝，ＡＵ，ＢＵ，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛１，９｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）＝｛４，６，７｝，则下列选项正确的为Ａ．２∈ＢＢ．Ａ的不同子集的个数为８Ｃ．｛１｝ＡＤ．６瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）１０．已知由样本数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，…，１０）组成的一个样本，得到经验回归方程为＾ｙ＝２ｘ－０．４，且ｘ＝２，去除两个样本点（－２，１）和（２，－１）后，得到新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ＋ｂ＾．在余下的８个样本数据和新的经验回归方程中Ａ．相关变量ｘ，ｙ具有正相关关系Ｂ．新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ－３Ｃ．随着自变量ｘ值增加，因变量ｙ值增加速度变小Ｄ．样本（４，８９）的残差为０．１１１．已知ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１．则下列结论正确的是Ａ．对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１Ｂ．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为（－∞，１２］Ｄ．ｆ（０．３０．４）＞ｆ（－０．４０．３）＞ｆ（ｌｏｇ２３７）三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｓｉｎｘ（ａｘ－１）（３ｘ＋２）为奇函数，则实数ａ的值为．１３．一个袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ）个红球和５个白球，每次从袋子中随机摸出２个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为ｐ（ｎ），则ｐ（ｎ）的最大值为．１４．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ＋１）为偶函数，ｆ（－１）＝２，ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ）＝１，则∑６１ｉ＝１ｇ（ｉ）＝．四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１５．已知集合Ａ＝｛ｘ│ｘ２－５ｘ－６＜０｝，集合Ｂ＝｛ｘ│［ｘ－（１－ａ）］［ｘ－（１＋ａ）］＞０｝，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求Ａ∩（瓓ＲＢ）；（２）设命题ｐ：ｘ∈Ａ，命题ｑ：ｘ∈Ｂ，若ｐ是瓙ｑ的必要而不充分条件，求实数ａ的取值范围．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（４ｘ＋ａ·２ｘ＋１６），其中ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝－１０，求函数ｆ（ｘ）的定义域；（２）当ｘ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围．１７．某疾病可分为Ａ，Ｂ两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了１８００名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的１２，男性患Ａ型疾病的人数为男性患者人数的２３，女性患Ａ型疾病的人数是女性患者人数的３４．（１）根据所给信息完成下列２×２列联表：性别疾病类型Ａ型Ｂ型合计男女合计（２）基于（１）中完成的２×２列联表，依据小概率值α＝０．００１的２独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？（３）某团队进行预防Ａ型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排２个周期接种疫苗，每人每个周期接种３次，每次接种费用为９元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为２３，如果第一个周期内至少２次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中１人用于接种疫苗的费用为ξ，求Ｅ（ξ）．附：２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０．１０００．０５００．０１００．００５０．００１α２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．２０２２年报考该试点高校的学生的笔试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．其中，μ近似为样本平均数，σ２近似为样本方差ｓ２．已知μ的近似值为７６．５，ｓ的近似值为５．５，以样本估计总体．（１）假设有８４．１３５％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（２）若笔试成绩高于７６．５分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取１０人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的期望．（３）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为１３、１３、１２、１２．设这４名学生中通过面试的人数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列和数学期望．参考数据：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则：Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７；Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５；Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９７３．１９．定义一种新的运算“ ”：ｘ，ｙ∈Ｒ，都有ｘｙ＝ｌｇ（１０ｘ＋１０ｙ）．（１）对于任意实数ａ，ｂ，ｃ，试判断（ａｂ）－ｃ与（ａ－ｃ）（ｂ－ｃ）的大小关系；（２）若关于ｘ的不等式（ｘ－１）２＞［（ａ２ｘ２）（ａ２ｘ２）］－ｌｇ２的解集中的整数恰有２个，求实数ａ的取值范围；（３）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋４－２ｘ＋槡３），ｇ（ｘ）＝（１ｘ）（－ｘ），若对任意的ｘ１∈Ｒ，总存在ｘ２∈［－３２，＋∞），使得ｇ（ｘ１）＝ｌｇ│３ｍ－２│＋ｆ（ｘ２），求实数ｍ的取值范围．命题人：康杰中学　张阳朋运城中学　吕莹高二数学期末答案一、1-8 C B BA B DCC 二、9.ABC 10．AB 11.ABD 三、12.3213.59 14.63四、15.（1）15.2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<， …………1分 ){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+． ………… 2分若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{}31|≤≤-=x x B C R ， ………… 4分{}31|)(≤<-=∴x x B C A R ………… 6分（2）若的必要而不充分条件是q p ⌝，{}a x a x B C A B C U U +≤≤-=⊆∴11 ， ………… 8分∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<． ………… 12分 a ∴的取值范围是(0,2)． ………… 13分16.（1）当10a =-时，()()2log 410216xxf x =-⨯+，由4102160x x -⨯+>得()()22028xx-->， ………… 2分故22x <或28x >，得1x <或3x >， ………… 4分故函数()()2log 410216xxf x =-⨯+的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，………… 6分(2)解一：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分22116122 9所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即为()()2116g t t a t =+-⋅+在[)+∞∈,2t 上最小值大于0， ………… 10分函数()()2116g t t a t =+-⋅+的对称轴为12at -=，当221<-a即3->a 时，函数()g t 在[)+∞,2上单调递增，此时0218)2(>+=a g ，得9->a ，a <-∴3 ………… 12分当221≥-a，即3-≤a 时，函数()g t 在对称轴取得最小值，此时()21112211602g a a a a ⎪⎛⎫=⎝---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+-+ ⎭>⎪⎭⎝，得79a -<<，37-≤<-∴a ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分解二：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分设2x t =，因[)+∞∈,1x ，故22≥=x t ， ………… 9分所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即）（21)16(162≥++-=-+->t tt t t t a ………… 11分令1)16()(++-=t t t g 则”成立时“当且仅当==-≤++-=4,71)16()(t tt t g ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 17. （1）设男性患者人数为m ，则女性患者人数为12m ，由118002m m +=12001200600 2 21200800336004504322⨯列联表如下：疾病类型性别A 型B 型合计男 800 400 1200 女 450 150 600 合计12505501800………… 5分（2）零假设0H ：所患疾病的类型与性别无关， ………… 6分根据列联表中的数据，经计算得到()2218008001504504001441200600125055011χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，…… 8分由于20.00114413.09110.82811χχ=≈>=， ………… 9分依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.… 10分（3）接种疫苗的费用ξ可能的取值为27，54， ………… 11分223322220(27)C ()(1()33327P ξ==-+=， ………… 12分207(54)12727P ξ==-=， ………… 13分则ξ的分布列为ξ27 54P2027 727期望为()2072754342727E ξ=⨯+⨯= .………… 15分 18．解：（1）由()()0.50.841352P X P X μσμσμσ-<≤+>-=+=，………2分76.5 5.576.5 5.571 4（2）由76.5μ=得，()176.52P ξ>=，即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为12…5分所以随机变量ξ服从二项分布110,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………6分所以()11052E ξ=⨯=． ………8分（3）X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………9分()220022111011329P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 ()22100122221111111111113323223P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…11分()22201122221111112111323322P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220222111313236C C ⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………12分 6121311312112131)3(2221212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯==C C C C X p ， ……13分()22222211143236P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………14分 X 0 1 2 3 4()P X19 13 1336 16 136………15分 ∴()11131150123493366363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………17分 19. （1） ,x y ∀∈R ，()lg 1010xyx y ⊕=+∴()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-， ………2分10101010101010 45（2）()()()()222222222222lg 1010lg 210lg 2a x a xa xa x a x a x⊕=+=⨯=+∴原不等式可化为：()2221x a x ->，即()221210a x x --+>， ………6分满足题意，必有210a -<，即1a <-或1a >① ………7分令()()22121h x axx =--+，由于()010h =>，()21h a =-，结合①可得：()10h <， ………8分∴()h x 的一个零点在区间()0,1，另一个零点在区间[)1,2--， ………9分从而⎩⎨⎧>-≤-0)1(0)2(h h ，即⎩⎨⎧>+-⨯--⨯-≤+-⨯--⨯-01)1(2)1(101)2(2)2(12222）（）（a a ② ………10分由①②可得：223232<≤-≤<-a a 或 ………11分（3）()(lg 4f x x =+，()()lg 101010xxg x -=++ ………12分设4t x =+3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭r =，[)0,r ∈+∞，则()2132x r =-， ∴()()2221151*********t r r r r r =-+-=-+=-+≥， ………14分∴()lg 2f x ≥，()1()lg 32g x m f x =-+的值域为)lg 32lg 2,A m ⎡=-++∞⎣ ………15分1010101012x x -++≥=，∴()lg12g x ≥()g x 的值域为[)lg12,B =+∞ ………16分根据题意可知：B A ⊆，∴lg 32lg 2lg12m -+≤解之得：4833m -≤≤且23m ≠ ………17分为。

2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)

2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。

山西省运城市2024届高三上学期期末调研测试数学试题含答案解析

运城市2023-2024学年第一学期期末调研测试高三数学试题考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i12i z =-，则z 等于（）A .1B.C.2D.552.设x ∈R ，则“03x ≤≤”是“02xx ≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知e ()1exaxf x =-是奇函数，则=a （）A.2- B.1- C.2D.14.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种B.300种C.720种D.1008种5.设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.b c a>>6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.37.已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A.51- B.48- C.17- D.08.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠= ，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A.31717B.21717 C.53D.23二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.若事件A 、B 相互独立，则()()P A B P A =B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C.已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D.已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P 的最小值为B.PB PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积为83D.以点B 为球心，263为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线长为33π12.已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上 BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A.抛物线焦点F 的坐标为()0,3B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C.在FMN 中，若MN t MF =，t ∈R ，则tD.2TFAF BF=⋅三、填空题：本题共4小题.13.已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b ⊥- ，则λ=____________.14.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______.15.过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A ，B .记线段AB 的中点为P ，则当直线l 绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为____________.16.设12,x x 是函数21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为____________.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.（1）求角B 的大小；（2）若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.18.已知递增的等比数列{}n a 满足22a =，且1a ，2a ，31a -成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.19.如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O的直径．（1）在弧AB 上是否存在点C （C ，1B 在平面11OAAO 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求二面角111A O B B --的余弦值．20.某学校进行趣味投篮比赛，设置了A ，B 两种投篮方案.方案A ：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B ：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.（1）若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X ，()334P X ≤=，求X 的分布列；（2）若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B ，且1tan 2A BO ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q ，与直线1A B 相交于点P ，与y 轴相交于点M ，且223PA MQ QA MP =．求k 的值．22.已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥.运城市2023-2024学年第一学期期末调研测试高三数学试题考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i12iz=-，则z等于（）A.1B. C.2D.5【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后直接利用复数模的公式求解即可.【详解】结合题意可得：()()()i12ii2i2i12i12i12i555 z+-+-====+ --+，所以55z==.故选：D.2.设x∈R，则“03x≤≤”是“02xx≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解分式不等式，求出解集，根据真子集关系得到答案.【详解】()20220x xxx x⎧-≤≤⇒⎨--≠⎩，解得02x≤<，由于02x≤<是03x≤≤的真子集，故03x≤≤是02xx≤-的必要不充分条件.故选：B3.已知e()1exaxf x=-是奇函数，则=a（）A.2-B.1-C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据()()f x f x -=-得到方程，求出2a =.【详解】由题意得()()f x f x -=-，即e e1e 1ex x ax ax--=---，所以e e e 11eax x xax ax-=---，故e e ax x x -=，所以ax x x -=，解得2a =.故选：C4.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种B.300种C.720种D.1008种【答案】A 【解析】【分析】分3,1,1和2,2,1两种情况，结合排列组合知识进行求解.【详解】若三个场地分别承担3,1,1个项目，则有3113521322C C C A 60A ⋅=种安排，若三个场地分别承担2,2,1个项目，则有2213531322C C C A 90A ⋅=种安排，综上，不同的安排方法有6090150+=种.故选：A5.设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >> B.b a c >> C.c a b>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.【详解】 1.61122a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即102a <<，0.3log 0.21b =>，即1b >，因为20.40.3<，所以20.30.3log 0.4log 0.31>=，即0.31log 0.42>，且0.30.3log 0.4log 0.31<=，则112c <<，所以b c a >>.故选：D6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.3【答案】C 【解析】【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为b y x a=±，联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQ b k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ===.故选：C7.已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin 3cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A.51- B.48- C.17- D.0【答案】C 【解析】【分析】根据三角恒等变换化简()f x 的表达式，判断其图象关于点7π(,1)12-成中心对称，结合等差数列性质可得11721697π2212a a a a a +=+===⨯ ，从而得117216810()()()()()()2f a f a f a f a f a f a +=+==+=- ，由此即可求得答案.【详解】由题意知44()cos sin 3cos 1f x x x x x =---()()2222cos sin cos sin 321x x x x x =+--πcos 23212cos 213x x x ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，当7π12x =时，7ππ2cos 20123⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即()f x 关于点7π(,1)12-成中心对称，由于等差数列{}n a 中，97π12a =，故11721697π2212a a a a a +=+===⨯ ，故117216810()()()()()()2(1)2f a f a f a f a f a f a +=+==+=⨯-=- ，97ππ()2cos 211123f a ⎛⎫=⨯+-=- ⎪⎝⎭，故数列{}n y 的前17项和为1217()()()f a f a f a +++[][][]1172168109()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a =+++++++ 8(2)117=⨯--=-，故选：C8.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠= ，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A.31717B.21717 C.53D.23【答案】B 【解析】【分析】首先求AC ，再作出PO ⊥平面ABCD ，根据垂直关系，以及等面积转化，确定垂足点O 的位置，以及PO ，再求线面角的正弦值.【详解】如图，由题意可知，AC =PAC △中，根据余弦定理可知293223172PC =+-⨯⨯=，则PC =过点P 作PO ⊥平面ABCD ，OM AB ⊥，连结PM ，ON BC ⊥，连结PN ，因为PO ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PO AB⊥OM PO O = ，且,OM PO ⊂平面POM所以AB ⊥平面POM ，PM ⊂平面POM ，所以AB PM ⊥，又因为3PA PB ==，所以2MA MB ==，同理PN BC ⊥，PBC 中，916171cos 2343PBC +-∠==⨯⨯，则22sin 3PBC ∠=，根据等面积公式，11344232PN ⨯⨯⨯=⨯⨯，所以PN =，3NC ===，OD ==又2ON MB ==，所以2PO ==，则PD ==直线PD 与平面ABCD 夹角的夹角为PDO ∠，sin17PO PDO PD ∠===.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定垂足O 的位置，以及垂直关系的转化.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.若事件A 、B 相互独立，则()()P A B P A =B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C .已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D.已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-【答案】AC 【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式以及条件概率的概率公式可判断A ；根据百分位数的定义求出第45百分位数判断B ；根据对立事件的概率公式以及条件概率的概率公式可判断C ；根据正态分布的对称性可判断D.【详解】对于A ，若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =,而()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===，A 正确；对于B ，数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95已为从小到大排列，共10个数，又45%10 4.5⨯=，故第45百分位数为第5个数74，B 错误；对于C ，由于()0.65P A =，()0.32P AB =，故()03232()()06565P BA .P B |A P A .===，则3233()1()16565P B |A P B |A =-=-=，故()()33(|)()0.650.3365P B A P A P AB P BA ====⨯，C 正确；对于D ，由于~(0,1)N ξ，(1)P p ξ≤=，故(1)1P p ξ>=-，故(1)(1)1P P p ξξ<-=>=-，故()11(1)(1)221102P p p P ξξ<-=--≤≤==---，D 错误，故选：AC10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知其最小正周期π2π2T ==，故A 正确；对于B ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知πππ1π2,Z 2422x k x k k +≠+⇒≠+∈，故B 错误；对于C ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知1πππ2242x x =⇒+=，此时()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭可知[]ππ3π5π1,2,2444x x ⎡⎤∈⇒+∈⎢⎣⎦，又tan y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，显然3π5π,44⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P的最小值为B.PB PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积为83D.以点B 为球心，263为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线长为33π【答案】ABD 【解析】【分析】对于选项A ，即求正三角形的高，判断为正确；对于选项B ，将空间问题平面化即可判定为正确；对于选项C ，去一个特殊点，计算其体积，判断为错误；对于选项D ，先求出球与平面的交线，然后判断有多少在正方体内，求出其长度即可.【详解】对于A ，11C A D为边长为的等边三角形，1C P 的最小值即该等边三角形的高，为3cos302== A正确；对于B，如图，将等边1A BD 绕1A D 旋转到与平面11A DCB 共面，显然()min PB PC BC +=====，故B 正确；对于C，当P 在D 上时，1111148223333B ACP B ACD ACD V V S BB --==⋅⋅=⨯=≠ ，故C 错误；对于D，设点B 到平面1AB C 的距离为d ,11B AB C B ABC V V --= ，111133AB C ABC S d S BB ∴⋅=⋅ ，11222222d ∴⨯=⨯⨯⨯，3d =，以点B 为球心，3为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线是以1AB C V 中心为圆心，233==为半径的圆，如图，圆有一部分在正方体外，233OM =，由A 得133OH h ==，cos 2OH MOH OM ∠==，所以45MOH ∠= ，90MON ∠= ，所以有36090313604-⨯=圆周在正方体内部，其长度为12332ππ433⨯⨯=，故D 对.故选：ABD.12.已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上 BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A.抛物线焦点F 的坐标为()0,3B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C.在FMN 中，若MN t MF =，t ∈R ，则tD.2TFAF BF=⋅【答案】CD 【解析】【分析】设点,2p D t ⎛⎫-⎪⎝⎭，可得出点A 的坐标，利用抛物线的定义可求得p 的值，可判断A 选项；设切线方程为32y kx =-，将切线方程与抛物线方程联立，由判别式为零求出k 的值，可求得切点的坐标，可判断B 选项；利用抛物线的定义结合B 选项可判断C 选项；证明出AT BT ⊥，FT AB ⊥，结合直角三角形的几何性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线()220x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，设点,2p D t ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为F 为线段AD 的中点，则3,2p A t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由抛物线的定义可得32622p p AF p =+==，解得3p =，则30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，由A 选项可知，抛物线的方程为26x y =，点30,2N ⎛⎫-⎪⎝⎭，若切线的斜率不存在，则该直线与抛物线26x y =相交，且只有一个交点，不合乎题意，所以，切线的斜率存在，设切线的方程为32y kx =-，联立2326y kx x y⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2690x kx -+=，则236360k ∆=-=，解得1k =±，所以，切点横坐标为33k =±，纵坐标为()2393662k ==，故切点坐标为33,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，B 错；对于C 选项，过点M 作ME 与直线32y =-垂直，垂足点为点E ，由抛物线的定义可得FM ME =，1cos MN MN t MFMEMNE===∠，由图可知，当直线MN 与抛物线26x y =相切时，锐角MNE ∠取最大值，此时，t取最大值，由B 选项可知，锐角MNE ∠的最大值为π4，故t的最大值为1πcos 4=，C 对；对于D 选项，设点()11,A x y 、()22,B x y ，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 与抛物线26x y =只有一个交点，不合乎题意，所以，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为32y kx =+，联立2632x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2690x kx --=，236360k '∆=+>，由韦达定理可得126x x k +=，129x x =-，对函数26x y =求导得3x y '=，所以，直线AT 的方程为()1113x y y x x -=-，即21136x x x y =-，同理可知，直线BT 的方程为22236x x x y =-，因为1219AT BT x x k k ==-，则AT BT ⊥，联立2112223636x x x y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得121232362x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点33,2T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()3,3FT k =-，而()()()21212121,,AB x x y y x x k x x =--=-- ，所以，()()2121330FT AB k x x k x x ⋅=---=，则FT AB ⊥，所以，90TBF BTF ATF ∠=-∠=∠ ，由tan tan TBF ATF ∠=∠可得TF AF BFTF=，所以，2TFAF BF =⋅，D 对.故选：CD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．三、填空题：本题共4小题.13.已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b ⊥- ，则λ=____________.【答案】7【解析】【分析】运用平面向量垂直及减法、数乘、数量积坐标运算即可.【详解】因为(2,1)a =- ，(1,)b λ= ，所以(3,1)a b λ-=--，因为()a ab ⊥-，所以()()()()23110a a b λ⋅-=-⨯-+⨯-= ，解得7λ=.故答案为：7.14.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______.【答案】80-【解析】【分析】根据通项公式中x 的指数为3，列方程解得1r =，从而可得展开式中3x 的系数.【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()5521512r r r rr T C x--+=-⋅⋅(0,1,2,3,4,5)r =，令523-=r ，得1r =，所以展开式中3x 的系数为5115(1)2C --⋅⋅=80-.故答案为：80-【点睛】本题考查了根据通项公式求项的系数，属于基础题.15.过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A ，B .记线段AB 的中点为P ，则当直线l 绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为____________.【答案】4π3【解析】【分析】根据垂径定理结合圆的定义及动直线过定点两圆位置关系确定P 的轨迹为圆弧计算即可.【详解】由题意可知圆22410x y x +-+=的圆心为()2,0C ，半径为r =，根据圆的性质可知CP l ⊥，则OCP △为直角三角形，即P 在以OC 为直径的圆上，设OC 中点为E ，该圆半径为R ，易知1R EC ==，又线段AB 的中点为P ，则P 在圆22410x y x +-+=的内部，如图所示其轨迹即 FCG.因为CF r ===，易得120FEC ∠= ，则120GEC ∠= ，所以 FCG 的弧长为21204π2π3603R ⨯⨯⨯=.故答案为：4π316.设12,x x 是函数21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为____________.【答案】23,ln 3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与exy x=有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到()e xg x x=的图象；采用数形结合的方式可确定1201,x x <<<且e a >；假设213x x t ==，由()()12g x g x =可确定3ln 3t =，进而得到()()1223ln 3g x g x ==的值，结合图象可确定a 的取值范围.【详解】由21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R ，可得()x f x ax e '=-，因为12,x x 是函数()f x 的两个极值点，所以12,x x 是e 0x ax -=的两根，当0x =时，方程不成立，故12,x x 是exa x=的两根，即y a =与e x y x =的图象有两个交点，令()e ,x g x x =则()()21e xx g x x -'=，当()(),00,1x ∞∈-⋃时，()0g x '<，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，所以()e xg x x =在()(),0,0,1∞-单调递减；在()1,∞+上单调递增.则()e xg x x=图象如下图所示，由图象可知：1201,x x <<<且e a >因为213x x ≥，所以213x x ≥，当213x x =时，不妨令213x x t ==，则13e e 3t tt t=，即13e 3et t =，化简得13e =3ln t =，当213x x =时，()()12ln 3g x g x ====，若213x x ≥，则23ln 3a ≥，即a 的取值范围为23,ln 3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：,ln 3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.（1）求角B 的大小；（2）若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.【答案】（1）π3B =（2）选①或选②均为【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，然后利用sin Asin()B C =+进行代换，求出1cos 2B =，即可得出答案；（2）若选①：由等面积法得到)ac a c =+，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案；若选②：得()12BD BA BC =+，两边平法化简得2236a c ac ++=，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案.【小问1详解】由正弦定理知，2sin cos 2sin sin B C A C =-，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ，代入上式得2cos sin sin 0B C C -=，(0,π)C ∈ ，sin 0C ∴>，1cos 2B ∴=，(0,π)B ∈ ，π3B ∴=.【小问2详解】若选①：由BD 平分ABC ∠得：ABC ABD BCD S S S =+△△△，111sin 3sin 3sin 232626πππac a c ∴=⨯+⨯，即)ac a c =+.在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b ac ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立)2212ac a c a c ac ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，得2()936ac ac -=，解得12ac =，11sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯=△若选②：得()12BD BA BC =+，()()222211244BD BA BCBA BA BC BC =+=+⋅+，得2236a c ac ++=，在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b ac ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立22223612a c ac a c ac ⎧++=⎨+-=⎩，得12ac =，113sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯=△18.已知递增的等比数列{}n a 满足22a =，且1a ，2a ，31a -成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.【答案】（1）12n n a -=（2）212323-【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质得到13212a a a +-=，然后根据等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）利用分组求和的方法计算即可.【小问1详解】设公比为()1q q >，因为1a ，2a ，31a -成等差数列，所以1314a a +-=，所以2250q q+-=，解得2q =或12q =（舍去），所以12n n a -=.【小问2详解】根据题意得()1234192013519246201102b b b b b b a a a a a a a a ++++++=++++-+++++ ()()02418024182222102222=++++-+++++ 101421014-=⨯--212323-=.19.如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O 的直径．（1）在弧AB 上是否存在点C （C ，1B 在平面11OAAO 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求二面角111A O B B --的余弦值．【答案】（1）存在，1B C 为圆柱1OO 的母线（2）25117【解析】【分析】（1）1B C 为圆柱1OO 的母线时，证明BC ⊥平面1AB C ，从而得出1BC AB ⊥；（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得二面角111A O B B --的余弦值.【小问1详解】存在，当1B C 为圆柱1OO 的母线时，1BC AB ⊥．证明如下：连接BC ，AC ，1B C ，因为1B C 为圆柱1OO 的母线，所以1B C ⊥平面ABC ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以1B C BC ⊥．因为AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥．又1AC B C C ⋂=，1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以BC ⊥平面1AB C ，因为1AB ⊂平面1AB C ，所以1BC AB ⊥．【小问2详解】以O 为原点，OA ，1OO 分别为y ，z 轴，垂直于y ，z 轴的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,1,2)A ，1(0,0,2)O ，(0,1,0)B -，因为劣弧11A B 的长为π6，所以111π6AO B ∠=，113,,222B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1(0,1,2)O B =--，111,,022O B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面11O BB 的法向量(,,)m x y z =，则111201022O B m y z O B m x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3x =-，解得y =，32z =-，所以2m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．因为x 轴垂直平面11A O B ，所以平面11A O B 的一个法向量(1,0,0)n =．所以cos ,17m n 〈〉==- ，又二面角111A O B B --的平面角为锐角，故二面角111A O B B --的余弦值为25117．20.某学校进行趣味投篮比赛，设置了A ，B 两种投篮方案.方案A ：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B ：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.（1）若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X ，()334P X ≤=，求X 的分布列；（2）若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？【答案】（1）分布列见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据()334P X ≤=得到方程，求出034p =，求出X 的所有可能值及对应的概率，得到分布列；（2）设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，计算出两种情况下的均值，由不等式，得到相应的结论.【小问1详解】依题意，甲投中的概率为0p ，乙投中的概率为13，于是得013(3)1(5)134P X P X p ≤=-==-=，解得034p =，X 的所有可能值为0，2，3，5，311(0)11436P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，311(2)1432P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，131(3)13412P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，311(5)434P X ==⨯=，所以X 的分布列为：X 0235P161211214【小问2详解】设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则两人都选择方案A 投篮得分和的均值为()12E Y ，都选择方案B 投篮得分和的均值为()23E Y ，则()()100142222E E Y p p Y ==⨯=，()()221333322E Y Y E ==⨯⨯=，若()()1223E Y E Y >，即042p >，解得0112p <<；若()()1223E Y E Y =，即042p =，解得012p =；若()()1223E Y E Y <，即042p <，解得0102p <<.所以当0112p <<时，甲、乙两位同学都选择方案A 投篮，得分之和的均值较大；当012p =时，甲、乙两位同学都选择方案A 或都选择方案B 投篮，得分之和的均值相等；当0102p <<时，甲、乙两位同学都选择方案B 投篮，得分之和的均值较大.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B ，且1tan 2A BO ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q ，与直线1A B 相交于点P ，与y 轴相交于点M ，且223PA MQ QA MP =．求k 的值．【答案】（1）2214x y +=（2）1-【解析】【分析】（1）根据焦距和角的正切值得到方程，求出21b =，24a =，得到椭圆方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，得到228214Q k x k-=+，再与直线1A B 方程联立，得到2421P kx k +=-，根据题干条件得到方程30P Q Q P x x x x +-=，代入求出答案，舍去不合要求的解.【小问1详解】由题意得2c =c =又1,AO a OB b ==，故1tan 2aA BO b∠==，即2a b =，又222a b c =+，解得21b =，24a =，故椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】直线l 的方程为()2y k x =-，0k <，与2214x y +=联立得()222214161640k x k x k +-+-=，设(),Q Q Q x y ，则22164214Q k x k -=+，解得228214Q k x k -=+，因为点Q 在第一象限，所以2282014Q k x k -=>+，解得214k >，直线1A B 方程为112y x =+，与()2y k x =-联立得2421k x k +=-，故2421P k x k +=-，()2y k x =-中，令0x =得2y k =-，故()0,2M k -，因为223PA MQ QA MP =，所以()()()()20320P Q Q Px x x x--=--，整理得30P Q Q P x x x x +-=，即2222248282243021141421k k k k k k k k +--+⋅+-⋅=-++-，化简得22310k k ++=，解得12k =-或1-，其中12k =-不满足214k >，舍去，1k =-满足要求，故1k =-.22.已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥.【答案】（1）当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2x af x e x'=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论即可（2）先由条件求出1ln ()2x g x x+=+，然后要证()()f x g x ≥，即证()22ln 1xx e x --≥，令()2()2ln xh x x ex =--，然后利用导数得出min ()1h x =即可【详解】（1）由题意，得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2xa f x e x'=-.显然当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x '无零点.当0a >时，取2()()2xa t x f x e x'==-，则22()40xa t x ex'=+>，即()f x '单调递增，又()0f a '>，2202a aa e a a f e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以导函数()f x '存在唯一零点.故当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 单调递增，所以22min ()()ee f x f e e a e ==-=，所以0a =.因为21ln ()m xg x x --'=，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=，所以1(1)01mg -'==，所以1m =.又1ln1(1)31g n +=+=，所以2n =，所以1ln ()2xg x x+=+.根据题意，要证()()f x g x ≥，即证2ln 12xx e x+≤-，只需证()22ln 1x x e x --≥.令()2()2ln xh x x e x =--，则22121()(21)(21)x x x h x x e x e x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭.令21()(0)xF x ex x =->，则221()20x F x e x'=+>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.又1404F ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()F x 有唯一的零点,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭01142.当()00,x x ∈时，()0<F x ，即()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()2min 000()2ln x h x h x x e x ==--.又因为()00F x =，所以0201ex x =，所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()f x g x ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点个数，利用导数证明不等式，属于较难题.。

山西省运城市2022-2023学年高二上学期期末调研测试数学试题含答案

（2）设，求数列的前n项和．
18.已知函数在时有极值0．
（1）求函数的解析式；
（2）记，若函数有三个零点，求实数m 取值范围．
19.已知抛物线，其上一点到焦点的距离为．
（1）求的标准方程；
（2）若直线与抛物线交于、两点，且以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程．
20.如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O，．
运城市2022-2023学年第一学期期末调研测试
高二数学试题（答案在最后）
本试题满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）存在；
【21题答案】
【答案】（1）（除去点）
（2）
【22题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2）
A. B.
C. D.数列的前n项和为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.若平面一个法向量，平面的一个法向量，则平面与平面夹角的余弦值为________．
14.已知数列的前项和为，，则 __________．
15.若函数有小于0的极值点，则a的范围是________．
16.已知F是抛物线的焦点，点，抛物线上两点A，B满足，则与（其中O为坐标原点）面积之和的最小值是________，此时的值是________．

山西省运城市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

运城市2019~2020学年度第一学期期末调研测试高一数学试题一､选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1282x M x ⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭Z,{}14N x x =-≤≤,则M N ⋂中元素个数为( ) A. 1 B. 3C. 6D. 无数个【答案】B 【解析】【分析】求出集合M ，利用交集的定义得M N ⋂，即可得到结论. 【详解】由题意得，{}{}128|130,1,22x M x x Z x ⎧⎫=∈<<=∈-<<=⎨⎬⎩⎭Z，{}14N x x =-≤≤，所以{}0,1,2M N =I ，即M N ⋂中元素的个数是3. 故选：B.【点睛】本题考查了交集的元素，求出不等式解集中的整数解确定出两集合是解题的关键，属于基础题. 2.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A. 分层抽样法，系统抽样法B. 分层抽样法，简单随机抽样法C. 系统抽样法，分层抽样法D. 简单随机抽样法，分层抽样法【答案】B 【解析】分析】此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．【详解】依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．故选B ．【点睛】本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查． 3.设函数()lg(1)f x x =-，则函数(())f f x 的定义域为（） A. (9,)-+∞ B. (9,1)-C. [9,)-+∞D. [9,1)-【答案】B 【解析】分析：先列出满足条件的不等式，()1x 0,1lg 1x 0->-->，再求解集．详解：复合函数()()f f x 的定义域满足1x 0->且()1f x 0->，即是()1x 0,1lg 1x 0->-->，解得()x 9,1∈-，故选B点睛：在抽象函数中，若已知()f x 的定义域()x a,b ∈，那么复合函数(())f g x 的定义域指的是()g x a,b ∈（）关于x 的解集．若已知复合函数(())f g x 的定义域()x a,b ∈，()g x 的值域为()f x 的定义域．4.已知某运动员每次投篮命中的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4,5,6,7,8表示命中,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:据此估计,该运动员三次投篮均命中的概率为( ) A. 0.40 B. 0.45C. 0.50D. 0.55【答案】C 【解析】【分析】根据在这20组数据中，表示该运动员三次投篮均命中的有10组，从而得出结论.【详解】在这20组数据中，表示该运动员三次投篮均命中的有： 271,812,458,683,431,257,556,488,113,537，共10组，所以，估计该运动员三次投篮均命中的概率为1010.50202==. 故选：C.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 5.函数y =( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．【详解】∵函数()f x =∴()()f x f x -==-∴函数()f x =当x 向右趋向于1时，()f x 趋向于+∞，故排除D ；当x 向左趋向于1时，()f x 趋向于-∞，故排除B 、C. 故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除 6.已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) A. ()0,1 B. ()1,3C. ()3,5D. ()5,7【答案】D 【解析】【分析】函数()f x 在其定义域上连续，同时可判断()50f <，()70f >，从而判断. 【详解】函数()26log 21f x x x =--+，在其定义域上连续，又()2255log 53log 08f =-=<，()2237log 72log 04f =--=>，故函数()f x 的零点在区间()5,7上. 故选：D.【点睛】本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题. 7.已知函数()()1ln11xxxf x e ex --=+++,若()ln 2f a =,则1ln 2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( ) A. a B. a -C. 2a -D.1a【答案】C 【解析】【分析】根据题意，设()()1g x f x =-，分析可得()g x 为奇函数，则有()1ln 2ln 02g g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而计算即可. 【详解】根据题意，函数()()1ln 11xxxf x e ex --=+++，有101x x->+，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，设()()()11ln1xxxg x f x e ex--=-=++，则()()()()11lnln 11xxx x x xg x e ee e g x x x--+--=+=-+=--+，即函数()g x 为奇函数，则有()1ln 2ln02g g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()1ln 21ln 102f f ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，又()ln 2f a =，所以1ln 22f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断以及应用，判断函数的奇偶性是解题的关键，属于基础题. 8.正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,记为()N n MODm ≡,例如()2516MOD ≡.如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”,若执行该程序框图,当输入49N =时,则输出结果是( )A. 58B. 61C. 66D. 76【答案】B 【解析】【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为1的数，根据所给的选项，得出结论. 【详解】模拟程序的运行，可得49N =，50N =，不满足条件()13N MOD ≡，51N =；不满足条件()13N MOD ≡，52N =；满足条件()13N MOD ≡，不满足条件()15N MOD ≡，53N =；不满足条件()13N MOD ≡，54N =；不满足条件()13N MOD ≡，55N =；满足条件()13N MOD ≡，不满足条件()15N MOD ≡，56N =；不满足条件()13N MOD ≡，57N =；不满足条件()13N MOD ≡，58N =；满足条件()13N MOD ≡，不满足条件()15N MOD ≡，59N =；不满足条件()13N MOD ≡，60N =；不满足条件()13N MOD ≡，61N =；满足条件()13N MOD ≡，满足条件()15N MOD ≡，输出61N =. 故选：B.【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题.9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,+∞单调递减,()3log 4a f =,()9log 0.1b f =,()0.65c f =,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. b c a >>B. a c b >>C. b a c >>D. a b c >>【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：()()(993log 0.1log 10log b f f f ===，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性即可.【详解】由()f x 是定义在R 上的偶函数，又9931log 0.1log log 10==-∴()((99331log 0.1log log log 10b f f f f ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭，而0.50.6331log log 4255<<<<<，且()f x 在[)0,+∞单调递减，∴(()()0.633log log 45f f f >>，即b a c >>.故选：C.【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系，属于基础题.10.函数()()2lg ,062,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩则关于x 的方程()()2230f x f x +-=⎡⎤⎣⎦的根的个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】【分析】作出()f x 的图象，解得方程()3f x =-或()1f x =，数出根的个数即可. 【详解】作函数()f x 的图象，如下图：由方程()()2230f x f x +-=⎡⎤⎣⎦，即()()310f x f x +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()3f x =-或()1f x =，由图象可知，方程的根的个数为6个. 故选：B.【点睛】本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解，属于基础题.11.若即时起10分钟内,甲乙两同学等可能到达某咖啡厅,则这两同学到达咖啡厅的时间间隔不超过3分钟的概率为( ) A. 0.3 B. 0.36C. 0.49D. 0.51【答案】D 【解析】【分析】由几何概型中的面积型得：1277210.511010S P S ⨯⨯⨯==-=⨯阴正，即可得解.【详解】设甲、乙两同学等可能到达某咖啡厅的时间为(),x y ，则010x <≤，010y <≤，其基本事件可用正方形区域表示，如图，则甲、乙两同学等可能到达某咖啡厅的时间间隔不超过3分钟的事件为A ，则事件A 为：3x y -≤，其基本事件可用阴影部分区域表示，由几何概型中的面积型可得：1277210.511010S P S ⨯⨯⨯==-=⨯阴正.故选：D.【点睛】本题考查了几何概型中的面积型，属于基础题.12.已知函数()()211,124log 3,1x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+≥⎩,()221g x ax x a =++-.若对任意的1x ∈R ,总存在实数[)20,x ∈+∞,使得()()12f x g x =成立,则实数a 的取值范围为( )A. 50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 50,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】求出函数()f x 的值域，结合对任意的1x R ∈，总存在实数[)20,x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，转化为()f x 的值域是函数()g x 值域的子集即可.【详解】当1x ≥时，()()()222log 3log 13log 42f x x =+≥+==，当1x <时，()11111124244x f x ⎛⎫⎛⎫=->-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的值域为1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭，设()g x 的值域为A ，若对任意的1x R ∈，总存在实数[)20,x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则等价转化为1,4A ⎛⎫+∞⊆ ⎪⎝⎭，当0a <时，不满足条件；当0a =时，()21g x x =-，又[)0,x ∈+∞，则()211g x x =-≥-，即[)1,A =-+∞，满足1,4A ⎛⎫+∞⊆ ⎪⎝⎭，即符合题意；当0a >时，函数的对称轴为10x a=-<，则()g x 在[)0,+∞上为增函数，则()g x 的最小值为()01g a =-，要使1,4A ⎛⎫+∞⊆ ⎪⎝⎭，则114a -≤，即54a ≤. 综上504a ≤≤，即实数a 的取值范围是50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的值域，结合条件转化为两个函数值域的子集关系是解决本题的关键，属于中档题.二､填空题:13.)23481log 827⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭______.【答案】13【解析】【分析】直接利用指数，对数运算法则求解即可.【详解】)2323234282323211log 81log 21127323233⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⨯=--⨯=-⨯=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故答案为：13. 【点睛】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知函数()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且()()21xf xg x e x +=++,则()g x =______. 【答案】()12x xe e -- 【解析】【分析】将方程中的x 换成x -，然后利用奇偶性可得另一个方程，联立解得即可.【详解】∵()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21xf xg x e x +=++，∴()()()21x f x g x e x --+-=+-+，即()()21xf xg x ex --=++，两式相减可得()2xxg x e e -=-，即()()12x xg x e e -=-. 故答案为：()12x x e e --.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用方程组的方法求函数解析式，属于基础题. 15.若函数()1223log 22f x ax x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间(),1-∞上单调递增,则实数a 的取值范围是______. 【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】令()2322t x ax x =-+，对a 分类讨论，进而求得a 的取值范围. 【详解】由题意，令()2322t x ax x =-+，因()f x 在区间(),1-∞上为单调递增，则()t x 在区间(),1-∞为减函数，且()0t x >，当0a <时，不符合题意舍去；当0a =时，()322t x x =-+为减函数，但由()0t x >得34x <不符合题意，故舍去；当0a >时，()2322t x ax x =-+为开口向上，对称轴为10x a=>的抛物线，所以，由题意可得11x a =≥，且()1102t a =-≥，解得112a ≤≤.故答案为：1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题 16.已知函数()1xf x x =-,()1,1x ∈-有以下结论:①任意()1,1x ∈-,等式()()0f x f x -+=恒成立;②任意[)0,m ∈+∞,方程()f x m =有两个不等实数根;③存在无数个实数k ,使得函数()()g x f x kx =-在()1,1-上有3个零点;④函数()f x 在区间()1,1-上单调递增.其中正确结论有______.【答案】①③ 【解析】【分析】①根据函数奇偶性的定义判断函数是奇函数即可；②判断函数()f x 的奇偶性和最值即可判断；③根据函数图象以及函数奇偶性的性质进行判断；④根据图象即可判断. 【详解】①∵()1xf x x =-，()1,1x ∈-， ∴()()11x xf x f x x x --==-=----，()1,1x ∈-，即函数()f x 为奇函数，故()()0f x f x +-=恒成立，即①正确； ②∵()1xf x x =-，()1,1x ∈-为奇函数， ∴()f x 为偶函数，∴当0m =时，方程()f x m =只有一个实根，当0m >时，方程()f x m =有两个不等实根，即②错误；③由()()0g x f x kx =-=，即()f x kx =， ∴()00f =，即0x =是函数的一个零点，又∵函数()f x 为奇函数，且在()1,1-上单调递减，∴可以存在无数个实数k ，使得函数()()g x f x kx =-在()1,1-上有3个零点，如图：故③正确；④根据③中的图象知，函数()f x 在区间()1,1-上单调递减，故④错误. 故答案为：①③.【点睛】本题主要考查分式函数的性质，利用函数奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键，综合性强，属于中档题.三､解答题:解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤.17.已知全集{}65U x x =-≤≤,21log ,48M y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭,{}02N x x =<<. (1)求()U M N ⋂ð;(2)若{}21C x a x a =≤≤-且C M M ⋃=,求实数a 的取值范围. 【答案】(1){|30x x -≤≤或 }2x =;(2)3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）求得{}32M x x =-≤≤，再利用补集和交集的定义即可；（2）)由C M N ⋃=得C M ⊆,再对集合C 分C =∅和C ≠∅且C M ⊆，讨论即可. 【详解】(1)由题意可得{}32M x x =-≤≤,{}02N x x =<<, ∴{|60U C N x x =-≤≤或}25x ≤≤ , ∴(){|30U M N x x ⋂=-≤≤ð或 }2x =. (2)由C M M ⋃=得C M ⊆, 当C =∅时,∴21a a >-,∴1a <,当C ≠∅且C M ⊆时,332112212a a a a a ≥-⎧⎪⎪≤-⇒≤≤⎨⎪-≤⎪⎩,所以a 的取值范围3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，属于基础题.18.某市公交公司为了鼓励广大市民绿色出行,计划在某个地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系,经过抽样调查五个不同时段的情形,统计得到如下数据:调查小组先从这5组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程,再用剩下的1组数据进行检验,检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数ˆy,再求ˆy 与实际等候人数y 的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求的回归方程是“理想回归方程”.(1)若选取的是前4组数据,求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+,并判断所求方程是否是“理想回归方程”;(2)为了使等候的乘客不超过38人,试用所求方程估计间隔时间最多可以设为多少分钟?参考公式:用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式: ()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y n x ybx x xnx ====---⋅⋅==--∑∑∑∑,ˆˆay bx =-. 【答案】(1)ˆ 1.7 2.3yx =+,是;(2)21分钟. 【解析】【分析】（1）由题意可得ˆb与ˆa 的值，进而可得线性回归方程，再利用16x =，得到ˆy 的值，与题中给出的ˆy 值作差，与1比较大小得结论；（2）结合（1）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间. 【详解】(1)∵8101214114x +++==,16192326214y +++==,()()()()()()413512123534iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑,()()()422221311320i i x x =-=-+-++=∑,∴()()()4142134ˆ 1.720iii i i x x y y bx x ==--===-∑∑. ∴ˆˆ21 1.711 2.3ay b x =-⋅=-⨯=,∴ˆ 1.7 2.3y x =+. 当16x =时,ˆ 1.716 2.329.5y=⨯+=,29.5290.51-=<, 所以方程ˆ 1.7 2.3yx =+是“理想回归方程”. (2)由1.7 2.338x +≤,得21x ≤. ∴估计间隔时间最多可以设置为21分钟.【点睛】本题主要考查线性回归方程的计算及其应用，属于基础题.19.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+,且对一切0x >,0y >都有()()()f xy f x f y =+,当1x >时,()0f x >.(1)判断()f x 的单调性并加以证明;(2)若()42f =,解不等式()()211f x f x >-+.【答案】(1)()f x 在()0,∞+上为增函数,证明见解析;(2)1223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）利用定义即可证明()f x 在()0,∞+上为增函数；（2）由题意可得()21f =，进而将不等式转化为()()42f x f x >-，再利用（1）解得即可. 【详解】(1)()f x 在()0,∞+上为增函数, 证明如下:任取1x ,()20,x ∈+∞且12x x <, 则()()()()()222211111111x x x f x f x f x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又因为当1x >时,()0f x >,而211x x >, 所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=>⎪⎝⎭,所以()()21f x f x >, 所以()f x 在()0,∞+上为增函数.(2)由定义域可得0210x x >⎧⎨->⎩,解得12x >,由已知可得()()()4222f f f =+=,所以()21f =,()()()()21121242f x f x f f x -+=-+=-, 所求不等式可转化为()()42f x f x >-. 由单调性可得42x x >-,解得23x <, 综上,不等式解集为1223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判定以及应用问题，考查抽象函数解不等式问题，属于基础题. 20.某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;(2)学校从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.【答案】(1)60,5607;(2)45.【解析】【分析】（1）直接利用频率分布直方图求得平均数和中位数即可；（2）利用分层抽样可得6人中年龄在[]35,45内有2人，设为a 、b ，在[]65,86内有4人,设为1,2,3,4，写出基本事件，利用古典概型即可.【详解】(1)这100位留言者年龄的样本平均数,300.05400.1500.15600.35700.2800.1560⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,年龄在[)25,55中的频率为:0.050.100.150.30++=, 年龄在[)25,65中的频率为:0.050.100.150.350.65+++=, 中位数在区间[)55,65中, 中位数为0.500.3055510600.357-+⨯=.(2)根据分层抽样原理,可知这6人中年龄在[]35,45内有2人,设为a ､b , 在[]65,86内有4人,设为1､2､3､4.设事件A 为“这3位发言者所得纪念品价值超过2300元”.从这6人中选3人的所有基本事件有:1ab ､2ab ､3ab ､4ab ､12a ､13a ､14a ､23a ､24a ､34a ､12b ､13b ､14b ､23b ､24b ､34b ､123､124､134､234,共20个.其中事件A 的对立事件即3个人都是年龄[]65,75内, 包含的有123､124､134､234,共4个. (写出事件A 的基本事件个数也可以) 所以()441205P A =-=., 【点睛】本题考查平均数、中位数，古典概型，在解题过程中要求学生算数要准确，频率分布直方图不要混淆各组数据的值，属于基础题.21.设二次函数2()f x ax bx c =++在区间[2,2]-上的最大值、最小值分别为M m 、，集合{|()}A x f x x ==.（1）若{1,2}A =，且(0)2f =，求()f x ；（2）若{2}A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值. 【答案】（1）2()22f x x x =-+；（2）634【解析】分析】（1）先求得0c =；若{1A =，2}，则说明()0f x x -=两根为1，2．利用韦达定理求a ，b ，再利用二次函数图象与性质求解;（2）若{2}A =，得到方程()0f x x -=有两个相等的解都为2，根据韦达定理求出a ，b ，c 的关系式，根据a 大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在[2-，2]上的m 和M ，代入g（a ）m M =+中得到新的解析式g （a ）根据g （a ）的在[1，)+∞上单调增，求出g （a ）的最小值为g （1），求出值即可．【详解】（1）(0)2f =Q ，2c ∴={1A =Q ，2}，2(1)20ax b x ∴+-+=有两根为1，2．由韦达定理得212112ab a ⎧=⨯⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩∴12a b =⎧⎨=-⎩ 2()22f x x x ∴=-+（2）若{2}A =，方程2(1)0ax b x c +-+=有两相等实根122x x ==，根据韦达定理得到122b a -+=-，22ca⨯=，所以4c a =，14b a =-， 22()(14)4f x ax bx c ax a x a ∴=++=+-+，[2x ∈-，2] 其对称轴方程为41132[,2)222a x a a -==-∈ (2)162M f a ∴=-=-，11(2)224m f a a=-=- 则g （a ）1116221644M m a a a a=+=-+-=- 又g （a ）在区间[1，)+∞上为单调递增的，∴当1a =时，g （a ）1631644min =-=【点睛】本题主要考查学生灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一【个闭区间上二次函数的最值．22.已知函数()()ln 41xf x ax =+-是偶函数.(1)求实数a 的值; (2)设函数()()2ln 2f x xg x e+=,对于任意的1x ,()222log ,log 2x m m ∈+⎡⎤⎣⎦,其中m ∈R ,都有()()1228g x g x -≤,求实数m 的取值范围.【答案】(1)ln 2;(2)(]0,1. 【解析】【分析】（1）根据题意，由偶函数的性质可得()()f x f x =-，即()41ln ln 414x xxax ax ++=+-，变形分析可得答案；（2）根据题意可得()82xxg x =+，由题意可将不等式转化为()()max min 28g x g x -≤，令2x t =，进而转化为解不等式26121028m m ++≤，由此即可得到结论.【详解】（1）由()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，又()()41ln 41ln 4x xxf x ax ax -+-=++=+,所以()()41ln ln 41ln 4ln 414x x x x xax ax ax ++=+-+=+-, 即2ln 42ln 2x ax x ==,解得ln 2a =.（2）由（1）可得，()()ln 41ln 2xf x x =++，则()()()ln 41ln 22ln 282x x f x x x x g x e e+++===+,对于任意1x ,()222log ,log 2x m m ∈+⎡⎤⎣⎦都有()()1228g x g x -≤,所以()22log ,log 2x m m ∈+⎡⎤⎣⎦时()()max min 28g x g x -≤, 令2x t =,则3y t t =+,[],2t m m ∈+,因为单调递增,所以()()()()332max min 2261210g x g x m m m m m m -=+++-+=++,所以26121028m m ++≤,解得31m -≤≤. 又因为0m >,实数m 的取值范围(]0,1.,【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，不等式恒成立的转化，解一元二次不等式，属于中档题.。

高一数学复习考点知识专题提升练习5--- 函数的概念及其表示(解析版)

高一数学复习考点知识专题提升练习精练05函数的概念及其表示1．【广东省深圳市红岭中学2019-2020学年高一期末】下列各组函数中，表示同一函数的是() A ．()() ln xf x eg x x ＝，＝B ．()()24,22x f x g x x x -+＝＝－C ．()()sin 2,sin 2cos xf xg x x x＝＝D ．()()f x x g x ＝，【答案】D 【详解】选项A:函数()f x 的定义域是0x >，函数()g x 的定义域是全体实数，故这两个函数不是同一函数；选项B:函数()f x 的定义域是2x ≠-，函数()g x 的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数；选项C: 函数()f x 的定义域是()2x k k Z ππ≠+∈,函数()g x 的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数；选项D:函数()f x 和()g x 的定义域都是全体实数，且()g x x =，对应关系相同，所以是同一函数，故本题选D.2．【浙江省杭州市学军中学（学紫）2019-2020学年高一上学期期中】下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（）A ．()4ln f x x =，()4ln g x x =B ．()2f x x =，()g x =C ．()1f x x =-，()g x =D ．()f x x =，()2g x =【答案】B对于A 选项，函数()4ln f x x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，函数()4ln g x x =的定义域为()0,∞+，故()4ln f x x =与()4ln g x x =不是同一函数；A 排除对于B 选项，函数()2f x x =与()g x =R ，且()2==g x x ，所以()2f x x =与()g x =B 正确；对于C 选项，函数()1f x x =-的定义域为R ，函数()1g x x ==-,定义域为R ，因此()1f x x =-与()g x =C ；对于D 选项，函数()f x x =的定义域为R ，函数()2g x =的定义域为[)0,+∞，因此()f x x=与()2g x =不是同一函数，排除D.故选B3．与函数()f x x =相等的是（）A ．()2x f x x=B ．()2ln ln x f x x =C ．()22xf x =D ．()22xf x =【答案】C 【详解】()f x x =的定义域为R,而A 中0x ≠，B 中0x >，C 中x ∈R ，D 中x ∈R ，又C 中()22x f x x ==，D 中()22xf x x =≠，故选：C.4．【山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末】下列哪个函数的定义域与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（） A ．2x y =B ．1y x x=+C ．12y x =D ．ln y x x =-【详解】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞ A 选项定义域是R ； B 选项定义域是{}|0x x ≠； C 选项定义域是{}|0x x ≥；D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。

2024年山西省运城市高三下学期二模数学试题及答案

运城市2024年高三第二次模拟调研测试数学试卷类型：A考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 满足()43i 12i z -=+，则z =（）B.15C.252.已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为（）A. C.3.已知向量a 和b 满足3a = 2，a b += ，则向量b 在向量a上的投影向量为（）A.13a- B.a- C.13a D.a4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆C ：22870x y x +++=相切，且双曲线的左焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（）A.22197x y -= B.2244197x y -=C.2244179x y -= D.22179x y -=5.将函数()2sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间()0,ϕ上恰有两个零点，则ϕ的取值范围是（）A.53,124ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.313,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.53,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D.313,412ππ⎛⎤⎥⎝⎦6.“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总共有（）A.360种B.316种C.288种D.216种7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则21a a 的取值范围是（）A.67,78⎛⎫⎪⎝⎭B.613,715⎛⎫⎪⎝⎭C.67,,78⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.613,,715⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 在以A 为圆心，1为半径的圆上，则222PB PC PD ++最小值为（）A.18-B.18-C.19-D.19-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。