离散数学第四章
《离散数学》课件-第四章 二元关系
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
离散数学第四章谓词演算的推理理论归结推理系统
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
自考离散数学第4章
例：设集合A={a,b,c,d},在A上定义两个运算*和
，如表所示： 解：b,d是A中关于*运算的左幺元，而a是A中关于运算的右幺元。
a d a a a b a b b b c b c c c d c d c d a b c
* a b c d
a a b c
b b a d
c d c a
定义4.3.7 设<G,*>为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a
例：设A={a,b,c,d}，*为A上的二元运算，
* a b c d
a a b c d
b b d a a
c c a b c
d d c b d
可以看出a为单位元。由a*a=a,b*c=a,c*b=a,d*b=a, 故a有逆元a；b有左逆元c，d；c有左逆元b；b有右逆元c；c有右逆元b；d有
定义4.3.2 设<G,*> 为一个群，如果G是有限集合，则称<G,*> 是有限群。G中
元素的个数通常称为有限群的阶数，记为|G|。
定义4.3.3 若群G中，只含有一个元素，即G={e},|G|=1,则称G为平凡群。 例：设G={e,a,b,c},运算*如表所示：
* e a b c
e e a b c
4.2 半群与独异点
4.3 群与子群
定义4.3.1 设<G,*>为一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，
① 如果*是封闭的； ② 运算*是可结合的； ③ 存在幺元e； ④ 对于每一个元素x G，存在它的逆元x-1； 则称<G,*>是一个群。
4.3 群与子群
4.3 群与子群
4.1 代数系统
离散数学第四章
代数系统
从这一章起到第七章涉及到的是近世代数的内容,本章介 绍的是代数系统的内容,后三章介绍的是几个重要的代数系统:
群,环,域,格.这些理论在计算机及物理,化学等学科都有重要应用.
§4.1 运 算
一 . 概念 本节将函数的讨论局限在集合An到集合A上. 定义1 设有非空集合A,函数f: An→A 称为A上的一个n元运算. n称为运算的阶. 若f: A2→A 则f是A上的一个二元运算
常用表格来表示一元运算和二元运算: ai a1 o(ai) o(a1) o a1 a2 … an o(a1,an)
a1 o(a1,a1) o(a1,a2)
.
. an 三
.
. o(an)
.
.
…
… o(an,an)
an o(an,a1) o(an,a2)
.关于运算的封闭性
定义2: 如果作用在一个集合A的元素的运算,其运算结果也
（4）单位元：加法有单位元；乘法有单位元；
（5）加法有逆元；
（6）消去律： 如果 i ≠0，任意 j，k∈I 由i · i · k= j, 称<J,+,· >是一个整环. 可以有 k= j ；
前述的<I,+ ,· <B,+,· <R,+,· <Q,+, · > > > >均为整环.再看一例:
例: 证明代数系统<Z3 , 3 , ⊙3 >是整环.其中 ⊙3 , 3的 定义如下:
=i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
i* ( j*k )=i*(k+j- k.j)=i+ (k+j- k.j)-i (k+j- k.j) =i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
离散数学课件第四章 关系
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
离散数学 第四章 关系
若ai Rbj 若ai Rbj
矩阵MR 称为R的关系矩阵。
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第四章 关系
4.1 二元关系
例：设A={1，2，3，4}，A上的关系R={<x,y>|y是x 的整数倍}，故R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2, 4>,<3,3>,<4,4>}.
1 2 3 4
1 1 2 0 MR 3 0 4 0
2
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念
4.1.2 关系的表示
3
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念 1)定义： A×B的子集叫做A到B上的一个二元关系。 A1×A2×A3的子集叫做A1×A2×A3上的一个三元 关系。 A1×A2×…xAn的子集叫做A1×A2×… × An上的 一个n元关系。 A×A×A ×… × A的子集叫做A上的n元关系。
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
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第四章 关系
4.1 二元关系
3.关系图表示法
关系图由结点和边组成
若A= {x1, x2, …, xm}，R是A上的关系，R的关系图是 GR=<A, R>，其中A为结点集，R为边集。如果<xi,xj> R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边；如果<xi,xi> R，在图中就有一条从 xi 到 xi 的有向边。
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第四章 关系
4.1 二元关系 4)关系的个数： 2，A×A的子集有 2 n 个。 假设|A|=n，|A×A|=n 2n 所以 A上有 个不同的二元关系。
离散数学 第四章
f g
§2逆函数和复合函数
《定理》：函数的复合运算是可结合的，即如果f,g,h 均为函数，则有：
h ( g f ) (h g ) f
证明：函数也是一种二元关系， ∵二元关系的复合是满足结合律的， ∴函数的复合也是满足结合律的。
§2逆函数和复合函数
例：设 I
是负整数集合，定义二个双射函数f和g， f(x)= - x ={<-1,1><-2,2>…}， g(x)= x-1={<1,0><2,1>…}，
f : I I
( f ( x)) (( x) 1) { 1,0 2,1 }
§2逆函数和复合函数
《定理》：若f是一双射函数，则 ( f 1 ) 1 f 证明：设任一 x, y f
y, x f 1
则
x, y ( f 1 ) 1 f
《定理》：设f: X→Y和g:Y→Z,且f和g均为双射函数，则有
( g f ) 1 f 1 g 1
（3）一个函数的反函数如果存在的话，则此函数一定是双 射函数，而入射，满射函数的逆关系均不满足函数的定义.
（4）为了和逆关系相区别，函数f的 “逆函数” 用1 来表示 f
1 f : X Y 是一双射函数，称 f : Y X 《定义》：设
为f的逆函数。 《定理》：如果f: X→Y是双射函数，则有： 1 : Y X f
§2逆函数和复合函数
《定理》：设f:X→Y和g:Y→Z是二个函数，于是复合函数
g f 是一个从X到Z的函数，对于每一个 x X 有：
( g f )( x) g ( f ( x))
证明：由定义可知 g f 是从X→Z的函数，即
离散数学第四章课件
5元关系的实例—数据库实体模型
员工号 301 302 303 304 … 姓名 张 林 王晓云 李鹏宇 赵 辉 … 年龄 50 43 47 21 … 性别 男 女 男 男 … 工资 1600 1250 1500 900 …
5元组： <301,张林,50,男,1600>，<302,王晓云,43,女,1250>
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A上重要关系的实例（续）
小于等于关系LA, 整除关系DA, 包含关系R定义如下： 定义4.7 LA={<x,y>| x,y∈A∧ x≤y}, 这里AR，R为实数集合 DB={<x,y>| x,y∈B∧ x整除y}, BZ*, Z*为非0整数集 R={<x,y>| x,y∈A∧ xy}, 这里A是集合族. 例如 A={1,2,3}, B={a,b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>} A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是 R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.
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关系运算的性质（补）
•设R1是从A到B的关系，R2和R3是从B到C的关系， R4是从C到D的关系，则： （1）R1(R2R3)=R1R2R1R3 （2）R1(R2R3)R1R2R1R3 （3）(R2R3)R4=R2R4R3R4 （4）(R2R3)R4R2R4R3R4
离散数学第四章
构造一个数b=0.b1b2b3b4…bn……， 其中 ： b1≠a11 b2 ≠ a22 b3≠a33… 于是 b ≠x 1 , b≠ x2, b≠ x3 ... 因此： b(0,1)
bn≠ ann... b ≠ xn …
但是b这样的形式应该是属于集合(0,1)的，因此产生 矛盾，所以(0,1)是不可数的。
1
基本概念
定义4.1 一个集合S与集合Nn={0,1,2，…n-1}，如 存在一一对应函数 f : Nn→S，则称S是有限集合， 并称其有基数n，如果S不是有限集合，则称为无 限集合。 说明：
由集合的元素个数来定义； 由于量变引起的质变； 它们中的一种性质都不能随意扩展到另一个集合中。
有限集和无限集
有限集合
元素的个数称为该集合的基数； 满足包含排斥原理。 元素无限多，如：自然数集合N、整数集I、实数集R等。 对于这样的集合有没有基数呢？ 如果有，基数是多少？ 无限集合之间有无大小的差别?
无限集合
问题：
本章主要借助于函数讨论集合的所谓“大小”问题。这里 用到自然数集合这个重要的概念讨论无限集。
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说明：
• • • •
这种方法称为：康托对角线法； 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证 明，而是发表在他第一个证明的三年后； 他的第一个证明既未用到十进制展开，也未用到 任何其它数字系统； 自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证 明中都用到了类似的证明构造方法。
28
由前面这些定理可知：
•
如此继续，可取出m3,m4,m5,…无限多个元素，则可得到另一个集合 M1={m1,m2,…}； 令M2=M-M1，即M中除去M1后得到的集合， 则M=M1∪ M2， 做另一集合M’={m2,m3,…} ∪M2，显然M⊃M’且M’~M，因此存在如 下一一对应的关系： 对于M的每个mi对应mi+1，对于M中的每个m∈ M2，对应M’中的 m。
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学第四章二元关系和函数知识点总结
离散数学第四章二元关系和函数知识点总结集合论部分第四章、二元关系和函数集合的笛卡儿积与二元关系有序对定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作实例：点的直角坐标(3,4)有序对性质有序性（当x y时）与相等的充分必要条件是= x=u y=v例1 = ，求x, y.解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3定义一具有序n (n3) 元组是一具有序对，其中第一具元素是一具有序n-1元组，即= , x n>当n=1时, 形式上能够看成有序 1 元组.实例 n 维向量是有序 n元组.笛卡儿积及其性质定义设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作A B，即A B ={ | x A y B } 例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}A B ={,,,,,,,,}B A ={,,,,,,, ,}A={}, P(A)A={, }性质：别适合交换律A B B A (A B, A, B)别适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)关于并或交运算满脚分配律A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)A(B C)=(A B)(A C)(B C)A=(B A)(C A)若A或B中有一具为空集，则A B算是空集.A=B=若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn证明A(B C)=(A B)(A C)证任取∈A×(B∪C)x∈A∧y∈B∪Cx∈A∧(y∈B∨y∈C)(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)∈A×B∨∈A×C∈(A×B)∪(A×C)因此有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).例3 (1) 证明A=B C=D A C=B D(2) A C=B D是否推出A=B C=D 为啥解 (1) 任取A C x A y Cx B y D B D(2) 别一定. 反例如下：A={1}，B={2}, C=D=, 则A C=B D 然而A B.二元关系的定义定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={}, R2=A×B, R3=, R4={}. 这么R1, R2, R3,R4是从A 到B的二元关系, R3和R4并且也是A上的二元关系.计数|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 因此A上有个别同的二元关系.例如 |A|=3, 则A上有=512个别同的二元关系.设A 为任意集合，是A 上的关系，称为空关系E, I A 分不称为全域关系与恒等关系，定义如下：AE={|x∈A∧y∈A}=A×AAI={|x∈A}A例如, A={1,2}, 则E={,,,}AI={,}A小于等于关系L A, 整除关系D A, 包含关系R定义： L={| x,y∈A∧x≤y}, A R，R为实数集合AD={| x,y∈B∧x整除y},BB Z*, Z*为非0整数集R={| x,y∈A∧x y}, A是集合族.类似的还能够定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.例如A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则L={,,,,,}AD={,,,,}AA=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是R={,,,,, ,,,}二元关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若A={a1, a2, …, a m}，B={b1, b2, …, b n}，R是从A到B 的关系，R 的关系矩阵是布尔矩阵M R = [ r ij ] m n, 其中r ij= 1 R.关系图：若A= {x1, x2, …, x m}，R是从A上的关系，R的关系图是G R=, 其中A为结点集，R为边集.假如属于关系R，在图中就有一条从x i到x j 的有向边.注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系A={1,2,3,4},R={,,,,},R的关系矩阵M和关系图G R如下：R关系的运算基本运算定义：定义域、值域和域dom R = { x | y (R) }ran R = { y | x (R) }fld R = dom R ran R例1 R={,,,}, 则dom R={1, 2, 4}ran R={2, 3, 4}fld R={1, 2, 3, 4}逆与合成R1 = { | R}R°S = | | y (RS) } 例2 R={, , , } S={, , , , }R1={, , , }R°S ={, , }S°R ={, , , }定义 F 在A上的限制F?A = { | xFy x A}A 在F下的像F[A] = ran(F?A)实例R={, , , }R?{1}={,}R[{1}]={2,4}R?=R[{1,2}]={2,3,4}注意：F?A F, F[A] ran F基本运算的性质定理1 设F是任意的关系, 则(1) (F1)1=F(2) dom F1=ran F, ran F1=dom F证 (1) 任取, 由逆的定义有∈(F 1) 1 ∈F 1 ∈F因此有 (F1)1=F(2) 任取x,x∈dom F 1 y(∈F1)y(∈F) x∈ran F因此有dom F1= ran F. 同理可证 ran F1 = dom F.定理2 设F, G, H是任意的关系, 则(1) (F°G)°H=F°(G°H)(2) (F°G)1= G1°F 1证 (1) 任取,(F°G)°H t(∈F°G∧∈H) t (s(∈F∧∈G)∧∈H)t s (∈F∧∈G∧∈H)s (∈F∧t (∈G∧∈H))s (∈F∧∈G°H)∈F°(G°H)因此(F°G)°H = F°(G°H)(2) 任取,∈(F°G)1∈F°Gt (∈F∧(t,x)∈G)t (∈G1∧(t,y)∈F1)∈G1°F1因此(F°G)1 = G1°F1幂运算设R为A上的关系, n为自然数, 则R 的n次幂定义为：(1) R0={ | x∈A }=I A(2) R n+1 = R n°R注意：关于A上的任何关系R1和R2都有R 10 = R20 = IA关于A上的任何关系R 都有R1 = R性质：定理3 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数s 和t, 使得R s = R t.证R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的别同关系惟独个.当列出R 的各次幂R0, R1, R2, …, , …,必存在自然数s 和t 使得R s=R t.定理4 设R 是A 上的关系, m, n∈N, 则(1) R m°R n=R m+n(2) (R m)n=R mn证用归纳法(1) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有R m°R0=R m°I=R m=R m+0A假设R m°R n=R m+n, 则有R m°R n+1=R m°(R n°R)=(R m°R n)°R=R m+n+1 ,因此对一切m, n∈N有R m°R n=R m+n.(2) 关于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有(R m)0=I A=R0=R m×0假设 (R m)n=R mn, 则有(R m)n+1=(R m)n°R m=(R mn)°R m=R mn+m=R m(n+1) 因此对一切m,n∈N有 (R m)n=R mn.关系的性质自反性反自反性定义设R为A上的关系,(1) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是自反的.(2) 若x(x∈A→R), 则称R在A上是反自反的.实例：反关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A小于等于关系L A, 整除关系D A反自反关系：实数集上的小于关系幂集上的真包含关系例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,,,}2R＝{}3R自反,2R反自反,3R既别是自反也别是反自反的1对称性反对称性定义设R为A上的关系,(1) 若x y(x,y∈A∧∈R→∈R), 则称R为A上对称的关系.(2) 若x y(x,y∈A∧∈R∧∈R→x=y), 则称R为A上的反对称关系.实例：对称关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A和空关系反对称关系：恒等关系I A，空关系是A上的反对称关系.例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4基本上A上的关系,其中R＝{,}，R2＝{,,}1R＝{,}，R4＝{,,}3R对称、反对称.1R对称，别反对称.2R反对称，别对称.3R别对称、也别反对称.4传递性定义设R为A上的关系, 若x y z(x,y,z∈A∧∈R∧∈R→∈R), 则称R是A上的传递关系.实例：A上的全域关系E,恒等关系I A和空关系A小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系，真包含关系例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{,}1R＝{,}2R＝{}3R和R3 是A上的传递关系1R别是A上的传递关系2关系性质的充要条件设R为A上的关系, 则(1) R在A上自反当且仅当I A R(2) R在A上反自反当且仅当R∩I A=(3) R在A上对称当且仅当R=R 1(4) R在A上反对称当且仅当R∩R1I A(5) R在A上传递当且仅当R R R证明模式证明R在A上自反任取x,第11页/共11页。
离散数学第4章-二元关系
4.6 等价关系与划分
• 三 性质 • 定理4.13 设R是A上的等价关系，则 （1）对任一a∈A，有a∈[a]； （2）对a, b∈A，如果aRb，则[a]=[b]; （3）对a, b∈A，如果(a, b)∉R，则[a]∩[b]=∅; （4）∪a∈A[a]=A。
4.6 等价关系与划分
• 定理4.14 集合A上的任一划分可以确定A上 的一个等价关系R。 • 定理4.15 设R1和R2是A上的等价关系， R1=R2⇔ A/R1=A/R2 。 • 定理4.16 设R1和R2是A上的等价关系，则 R1∩R2是A上的等价关系。
4 .3 关系的运算
• 一 逆运算 • 定义4.7（逆关系） 设R是从A到B的二元关系， 则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b,a)|(a,b)∈R}，称为R的逆关系。 • 定理2.1 （1）(R-1)-1=R; （2）(R1∪R2)-1= R1-1∪ R2-1; （3）(R1∩R2)-1= R1-1 ∩R2-1; （4） (A×B)-1= B×A；
4 .5 关系的闭包
•
• (1) (2) (3) • (1) (2) (3)
二 基本性质
定理4.5 设R是A上的二元关系，则 R是自反的 ⇔ r( R )=R； R是对称的 ⇔ s( R )=R； R是传递的 ⇔ t( R )=R； 定理4.6 设R1和R2是A上的二元关系，若R1⊆R2则 r(R1)⊆ r(R2)； s(R1)⊆ s(R2)； t(R1)⊆ t(R2)。
第四章 关系
4.1 二元关系 4.2 关系的性质 4 .3 关系的运算 4 .5 关系的闭包 4.6 等价关系与划分
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到 B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若 (a, b)∈R，则称a与b有关系R，记为aRb。 (a, b)∉R：a与b没有关系R R=∅：空关系 R=A×B：全关系
离散数学第四章
13
例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化：
（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3
其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合）
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量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有的”，
“任意的”，“每一个”等等，用符号“∀”表示。 用∀x表示对个体域里的所有个体，∀xF(x)表示个体
域里的所有个体都有性质F。 ∀x∀yG(x, y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
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例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：∀xF（x） 命题（2）的符号化均为：∃xG（x） 个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
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第四章 一阶逻辑的基本概念
1
4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
离散数学第四章课件ppt
例1 设R＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝x2}和S＝{<x，y>|x、 y∈N∧y＝x＋1}是N上的关系，求R-1、R*S、S*R。
解 R-1＝{<y，x>|x、y∈N∧y＝x2}
R*S＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝x2＋1}
S*R＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝(x＋1)2}
定理4.9 设R和S为任意两个二元关系，则： (1)(R-1)-1＝R。 (2)(R∪S)-1＝R-1∪S-1。 (3)(R∩S)-1＝R-1∩S-1。 (4)(R－S)-1＝R-1－S-1。 (5)(A×B)-1＝B×A。 证 (2)因为<x，y>∈(R∪S)-1<y，x>∈(R∪S) 明 <y，x>∈R∨<y，x>∈S
注： (1)当x≠y时，<x，y>≠<y，x>； (2)<x，y>＝ <u，v>当且仅当x＝u∧y＝v； (3)序偶<x，y>与集合 {x，y}不同。
定义4.2 n个元素x1、x2、…、xn按一定的 次序排列组成的有序序列称为有序n元组，记 作<x1，x2，…，xn>。
例如，表示时间的年月日组成一个三元组。
证 明
(2)因为y∈R[A∩B] x(x∈A∩B∧xRy) c∈A∧c∈B∧cRy
(c∈A∧cRy)∧(c∈B∧cRy)
y∈R[A]∧y∈R[B] y∈R[A]∩R[B]， 所以R[A∩B] R[A]∩R[B]。
4.2.2关系矩阵与关系图
定义4.11 设A＝{x1，x2，…，xn}，B＝{y1，
定理4.10 设R、S和T为任意三个二元关 系，则： (1)DR*SDR，RR*SRS。 (2)RS∧TWR*TS*W。 (3)R*(S∪T)＝(R*S)∪(R*T)。 (4)R*(S∩T)(R*S)∩(R*T)。 (5)R*S－R*TR*(S－T)。 (6)(R*S)-1＝S-1*R-1。 (7)(R*S)*T＝R*(S*T)。
离散数学第四章课件
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目录
4-1 函数的基本概念 4-2 逆函数和复合函数 4-4 基数的概念 4-5 可数集与不可数集 4-6 基数的比较 小结 习题
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函数是一个基本的数学概念，应用的范围很广，在计算机 科学的理论中，如计算理论 、开关理论、编译理论、数 据库理论、软件工程、计算机安全保密，操作系统等都 用到函数。函数---输入和输出间的关系。也叫变换、映 射。
h={<x,y>|x,y∈R∧y= x2 }
r ={<x,y>|x,y∈R∧y=lgx }
v ={<x,y>|x,y∈R∧y= √ x }
可见这里所说的函数与以前的数学中函数有区别。
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4-1 函数的基本概念
自变元与函数值(像源与映像) ：f:XY, 如果<x,y>∈f, 称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。 <x,y>∈f y=f(x) f:xy
.定义域、值域和陪域(共域) ：f:XY, f的定义域(domain)，记作dom f，或Df 即 Df =dom f={x|x∈X∧y(y∈Y∧<x,y>f)} =X f的值域(range) ：记作ran f， 或Rf 即或f(X) Rf =ran f=f(X)={y| y∈Y∧x(x∈X∧<x,y>f)} 前面例中Rh =ran h=h(R)=R+, R+是非负实数。 f的陪域(codomain):即是Y称之为f的陪域。
用有向图复合:
1X。 2。 3。
f
。Y 。1 。2 。3
4
g X。1
。2 。3 。4 。5
g f
X 1。 2。
离散数学 第4章习题答案
第4章习题答案1.解P(A)×A＝{∅，{a}，{ b}，{a，b}}×{a，b}＝{<∅，a>，<∅，b>，<{a}，a>，<{a}，b>，<{ b}，a >，<{ b}，b >，<{a，b}，a >，<{a，b}，b >}。
2. 解 (1)不正确。
例如，令A＝∅，B＝{1}，C＝{2}，则A×B＝A×C＝∅，但B＝C不成立。
(2)正确。
因为<x，y>∈(A－B)×C⇔x∈(A－B)∧y∈C⇔(x∈A∧x∉B)∧y∈C⇔(x∈A∧y∈C∧x∉B)∨(x∈A∧y∈C∧y∉C)⇔(x∈A∧y∈C)∧(x∉B∨y∉C)⇔(x∈A∧y∈C)∧⌝(x∈B∧y∈C)⇔<x，y>∈(A×C)∧<x，y>∉(B×C)⇔<x，y>∈(A×C)－(B×C)所以，(A－B)×C＝(A×C－B×C)。
(3)正确。
例如，令A＝∅，则A⊆A×A。
2，所以X3.解X到Y的不同的二元关系对应X×Y的不同的子集，而X×Y的不同的子集共有个mn2个。
到Y的二元关系总共有mn4. 证明 (2)因为<x，y>∈A×(B∩C)⇔ x∈A∧y∈(B∩C)⇔ x∈A∧(y∈B∧y∈C)⇔(x∈A∧y∈B)∧(x∈A∧y∈C)⇔<x，y>∈A×B∧<x，y>∈A×C⇔<x，y>∈(A×B)∩(A×C)所以A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)。
(3) )因为<x，y>∈(A∪B)×C⇔x∈(A∪B)∧y∈C⇔(x∈A∨x∈B)∧y∈C⇔(x∈A∧y∈C)∨x∈B∧y∈C)⇔<x，y>∈A×C∨<x，y>∈B×C⇔<x，y>∈(A×C)∪(B×C)所以(A∪B)×C＝(A×C)∪(B×C)。
离散数学第四章 有限集与无限集
第四章 有限集与无限集
④ 定理： 两个可列集的并集是可列集。
证明： 设 S1={a0, a1, a2, a3, a4, …}, S2={b0, b1, b2,
b3, b4, …}均为可列集。不仿设S1与S2不相交。
S1∪S2的元素可以排成无穷序列，即a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …， 所以 S1∪S2={a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …}是 可列集。
0
2、定理：实数集R是不可列集。实数集的基数为 1 3、：对任意集合A，有 |A| < |ρ(A)| 由此可得： (1) 无限集也有大小，最小的无限集是 可列集，其 次是实数集。 (2) 对任一无限集，总存在一个基数大于这个集合
的集合，即无限集的“大小”也是无限的，没有最
大的无限集。
有限集a的元素个数称为a的基数记为2基数的有关定义设有集合ab第四章有限集与无限集则称集合a的基数小于等于b的基数记为若从a到b存在单射但不存在满射则称集合a的基数小于b的基数记为第四章有限集与无限集43无限集的性质1定义
第四章 有限集与无限集
第四章 有限集与无限集
4.1 有限集与无限集基本概念
1、定义1：若集合A与集合= { 1, 2, 3, …, n }存在
则 f 是一一对应的关系，所以A B。
第四章 有限集与无限集
例2：设N = { 0, 1, 2, 3, … }，其子集A = { 1, 3, 5,
7, … }，B = { 2, 4, 6, 8, … }均为无限集且N A，
N B。 因为它们间存在一一对应的关系： N：0 1 2 3 …… f： A：1 3 5 7 …… N：0 1 2 3 …… g： B：2 4 6 8 ……
离散数学第4章 有限集和无限集
A C
B
软件学院
有限集
例：120个学生中有100个学生至少要学法、德、英三 种语言中的一种，假定有65人学法语，45人学德语， 42人学英语，20个人学法语和德语，25人学法语和 英语，15人学德语和英语，请问同时学三种语言的 有多少人？ 解：令A、B、C表示学法语学、德语和英语的人数 100＝65＋45＋42－20－25－15＋|A∩B∩C| 所以 |A∩B∩C|＝8。
性质：可列集的无限子集仍为一可列集。
可列集是无限集中的最小集合。
软件学院
无限集的性质 例如：整数集I是可列集。 N={0,1, 2, 3, 4, 5, 6……}
I={0,1,-1, 2,-2, 3,-3……}
有理数集Q为可列集。 一切有理数都可写为m/n的形式，对于分数可以按照 分子和分母的顺序排列。 实数集R是不可列集。
软件学院
第四章 有限集与无限集 有限集S的元素的个数称为S的基数，可记为|S|。 自然数集N是无限集。 实数集R是无限集。 基数是与集合的元素数量有关的概念。在有限集中， 基数即是元素的个数，而在无限集中，集合基数就 变得复杂了。理论上讲，无限集中元素数量为无限， 但这太笼统了，因为个数中其浓度与密度是不同的。 如：实数与自然数同为无限个元素，但是实数无限浓 度高于自然数的无限浓度。
软件学院
无限集的性质 因为自然数集N不可能与某个自然数n等势。所以N的 基数不能是有限数，就用一个‚无限大‛的数 0表示（Aleph零）。 可列集是与自然数集中元素可以建立一一对应的集 合，即可列集与自然数集等势，势也为Aleph零。 所以我们可以用‘等势’来表示集合间的大小比较。 由于可列集是‘最小’的无限集，故已经没有比可 列集更小的无限集了。因此，其他无限集的势比 Aleph零要大，如实数集比可列集要大，它的基 数是Aleph。
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2019/3/14
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初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某 一方程（组）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根）， 以及方程的根有何性质等问题。 抽象代数学对于全部现代数学和一些其他科学领域都有重要的影 响。抽象代数的主要研究内容是研究各种代数结构, 它是在从较高 层次上, 撇开形式上很不相似的代数结构的个性, 抽象出其共性, 用统一的方法描述、研究与推理, 从而得到一些反映事物本质的结 论, 再把它们应用到那些系统中去。由于代数结构中运算个数以及 对运算要求的性质的不同, 从而产生了各种各样的代数结构, 这就 形成了抽象代数的不同分支, 其中最基本、最重要的分支是群、环 和域, 这也是离散数学课程抽象代数部分的重要研究内容 。
2019/3/14 6
Niels Abel
A statue of Abel in Oslo
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Evariste Galois
A drawing done in 1848 from memory by Evariste's brother.
2019/3/14
This is taken from a French stamp
{a} {b} {a,b} si {a} {b} si {a,b} {b} {a}
{a} {a} {b} {b} {a,b} {a,b}
{a} {b} {a,b} {a,b} {b} {a}
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例２ 设有函数g:I2I，对于任意(i1,i2) I2 ，g(i1,i2)=i1-i2
g(5,3)=2, g(3,5)=-2, g(-3, 9)=-12 ,
但减法运算不是正整数集N上的二元运算.
1 例3 定义函数~:R-{0} R-{0} 为 ~ (r ) r 8 3 1 ~ ( ) 例如 ~ ( ) 2 ， 3 8 2
2019/3/14
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代数的由来
Algebra一名来自阿拉伯文al-jabr，al为冠詞，jabr之意为恢复或 还原，解方程式时将负项移至另一边，变成正项，也可说是还原， 也有接骨术的意思。
中国在1859年正式使用代数这个名称（李善兰在《代微积拾级》 一书中的序中指出“中法之四元，即西法之代数也”），在不同 的时期有人用算术作为代数的名称，中国古书《九章算术》其实 是一本数书百科全书，代数问题分见于各章，特別是第八章方程， 主要是论述线性（一次）联立方程组的解法，秦九韶（1249） 的《数书九章》中有“立天元一”的术语，天元就是代表未知数， 用现在的术语来说就是“设未知数为x"。
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什么是代数？
爱因斯坦小時候曾好奇地问他的叔叔：「代数是什么？」（那时 候他只学过算术）他的叔叔回答得很妙：「代数是一种懒惰人的 算术，当你不知道某些数时，你就暂时假设它为x、y，然后再想 办法去寻找他们。」道理一经点破，就好像「哥伦布立蛋」的故 事一样，人人都会做了。 代数是什么？以符号代替数的解題方法就是代数。 代数是从算术精炼出来的结晶，虽平凡但妙用无穷。因此它又叫 做广义算术(generalized arithmetic) 或进阶算术(advanced arithmetic)或普遍算术（universal arithmetic）。
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求倒数的运算不能看作实数集R上的一元运算。
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例４ 集合的并、交运算可以看作是全集合U的幂集2U
上的二元运算。求补集的运算可看作是2U上的一元运算。 对任意Si,Sj2U,
(Si , S j ) Si S j
(Si , S j ) Si S j
对任意Si2U ， ( Si ) Si
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4.1 运算
定义1 设有非空集合A，函数f：An→A称为A上的一
个 n 元运算。特别，函数 f：A2 →A称为A上 的二元运算， f：A →A 称为A上的一元运算 。 例１ 设有函数 f：N2 →N ，对于任意 (n1, n2)N2, f(n1,n2)=n1+n2 f(5,3)=8, f(3,5)=8, f(3,9)=12
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~双射
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一、一元运算和二元运算的表示方法
表达式： x1x2=y ~ x =y 表达方法： 解析表达式 运算表
ai a1 ~ (ai )
a1 (a1 , a1 )
a2
an
~ (a1 ) ~ (a 2 ) ~ (a n )
a1 a2 an
第四章 代数系统
4.1 运算 4.2 代数系统
4.3 同态和同构
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本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复 杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元 素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、
满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程
中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数 关系结合在一起进行研究。
(a1 , a2 ) (a1 , an )
a2 an
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(a2 , a1 ) (a2 , a2 ) (a2 , an ) (an , a1 ) (an , a2 ) (an , an )
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例如 设A={a,b},2A上的一元运算'和二元运算用运算 表定义如下：
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代数（ Algebra ）是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数 学和抽象代数学两部分。 高斯在十八世纪证明了代数基本定理；挪威数学家阿贝尔 （ 1802-1829 ）在十九世纪初（ 1824 ）证明了不能用根式 求解一般五次方程；法国数学家伽罗瓦（ 1811-1832 ）在 1832年运用“群”的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可 能性问题。他是第一个提出“群”的思想的数学家，一般称他为 近世代数的创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究 代数运算结构的科学。即把代数学由初等代数时期推向抽象代数 即近世代数时期。