圆与正方形的四类切接面积关系问题
球与几何体的切接问题
r3＝392π3r3.故圆锥SD与其外接球的体积比为 3323ππrr33＝392.故选A. 93
题型二 几何体的内切球
例3 (1)半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面 都相切)的表面积为__6_π_R_2___，体积为__2_π_R_3___．
状元笔记
柱体的外接球问题，其解题关键在于确定球心在多面体中的 位置，找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系，结合 原有多面体的特征求出球的半径，然后再利用球的表面积和体积 公式进行正确计算．常见的方法是将多面体还原到正方体或长方 体中再去求解．
思考题 1 (1)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱
(2)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面 上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 半径为( C )
3 17 A. 2
B．2 10
C.123
D．3 10
【解析】 由球心 O 作平面 ABC 的垂线，设垂足为 BC 的中点 M.
又 AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，
【解析】 本题考查几何体的外接球的表面积．因为四个
面都是直角三角形，且AB⊥平面BCD，所以CD⊥BC或
CD⊥BD，不妨设CD⊥BC，由鳖臑ABCD的体积为
2 3
，得
1 3
S△
BCD·AB＝
1 3
×
1 2
×1×BC×2＝
2 3
，则BC＝2，BD＝
BC2＋CD2
＝ 5.
将鳖臑ABCD补成直三棱柱如图，取BD的中点
∵球心 O 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球 的半径 R，
方中圆圆中方的公式口诀
方中圆圆中方的公式口诀
因为圆内接正方形面积是它外切正方形面积的2分之1，所以圆中方的面积公式是；圆面积7a，它的内接正方形面积就是4.5a（注意a=直径d的3分之1；
方形与圆（正方形与内切圆）中间的面积是：9(d/3)²-7(d/3)²=2(d/3)²
圆与方形（圆与内接正方形）中间的面积是：7(d/3)²-4.5(d/3)²=2.5(d/3)²方形与方形（圆的外切正方形与圆的内接正方形）中间的面积是：9(d/3)²-4.5(d/3)²=4.5(d/3)²
圆的性质：
1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
3、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
4、一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
小学数学 6年级上册 《圆与正方形关系》习题+详解
小学数学6年级上册《圆与正方形关系》试题部分1.已知下图中正方形的面积是5平方厘米，图中圆的面积是_______平方厘米．2.图中圆的面积是25.12cm²，那么阴影部分的面积是_______ cm²。
（π取3.14）3图中圆的面积是正方形面积的_______倍。
.4.边长是10m的正方形中放置一个最大的圆，这个圆的半径是_______m，直径是_______m。
5.如图，正方形的面积是8，那么圆的面积是________。
（π取3.14）6.如图所示，在正方形中分别画了一个最大的圆和最大的四分之一圆，阴影部分面积为64.5平方厘米，这个正方形的面积是_______平方厘米。
7.如图，等腰直角三角形的面积为5平方厘米，则圆的面积为_______平方厘米。
8.如图所示，如果圆的直径是6厘米，那么正方形的面积是_______平方厘米。
9.如图，已知正方形的面积是20平方厘米，那么这个圆的面积是______平方厘米。
10.从完全相同的甲、乙两块正方形铁皮上分别剪出如图的圆形，比较它们剩下的废料面积是（）。
A.甲多B.乙多C.同样多D.不能确定11.在一个边长为4厘米正方形纸片，剪一个面积最大的圆，这个圆的面积是______平方厘米。
12.从一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸，剪出一个最大的圆形，圆形的面积_______平方厘米。
小学数学6年级上册《圆与正方形关系》答案详解部分1.已知下图中正方形的面积是5平方厘米，图中圆的面积是_______平方厘米．【答案】15.7【详解】正方形的边长就是圆的半径．正方形的面积为r ²=5，则S=πr²=3.14×5=15.7（平方厘米），也就是圆的面积是15.7平方厘米．2. 图中圆的面积是25.12cm ²，那么阴影部分的面积是_______ cm ²。
（π取3.14）【答案】1.72【详解】正方形的边长就是圆的半径，通过圆的面积可以求出半径的平方。
小升初数学 圆与正方形 三角形的面积关系专题总结 教材通用版
小升初数学圆与正方形、三角形的面积关系专题总结教材通用版一、常用的公式1、正方形/三角形的面积（结合图形看圆的直径是正方形的边长还是对角线）①S正=边长2②S正=对角线2÷2 ③S三角形=底×高÷22、r2与d2的关系r2=d2÷4 d2=r2×43、圆的面积公式S圆=πr2二、经典例题1、已知正方形的面积为20cm2，求里面的圆的面积。
分析：圆的直径d是正方形的边长①S正=边长2=d2=20（cm2）②r2=d2÷4=5（cm2）③S圆=πr2=3.14×5=15.7（cm2）2、已知正方形的面积为20cm2，求外面的圆的面积。
分析：圆的直径d是正方形的对角线①S正=对角线2÷2=d2÷2=20（cm2）②r2=d2÷4=20÷2=10（cm2）③S圆=πr2=3.14×10=31.4（cm2）3、已知圆的面积为31.4cm2，求里面的正方形的面积。
分析：圆的直径d是正方形的边长①S圆=πr2=31.4（cm2），r2=S圆÷π=31.4÷3.14=10（cm2）② d2=r2×4=10×4=40（cm2）③S正=d2=40（cm2）4、已知圆的面积为31.4cm2，求外面的正方形的面积。
分析：圆的直径d是正方形的对角线①S圆=πr2=31.4（cm2），r2=S圆÷π=31.4÷3.14=10（cm2）② d2=r2×4=10×4=40（cm2）③S正=d2÷2=20（cm2）5、已知圆的面积为31.4cm2，求圆内以直径为底的最大三角形的面积。
分析：三角形的底是圆的直径，三角形的高是圆的半径；三角形的面积是圆内接正方形的一半。
①S圆=πr2=31.4（cm2），r2=S圆÷π=31.4÷3.14=10（cm2）② S三角形=d×r÷2=(d÷2)×r=r2=10（cm2）备注：圆的面积是其内部以直径为底的最大三角形的面积的π倍。
正方形与圆的面积关系
外方内圆、外圆内方两个核心问题：1、引导学生经历问题解决的全过程。
根据信息提出问题——分析问题——解决问题——回顾与反思。
2、引导学生克服思维定式，多维思考。
指导思想：《数学课程标准》中提到：重视学生在学习活动中的主体地位。
学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断的得到发展。
教师应成为学生学习生活的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件。
本节课主要是让学生通过中国建筑中的“外方内圆”和“外圆内方”来进行讨论两个图形的面积关系。
圆形面积是学生刚刚接触的，但是正方形面积是学生已经学习的旧知识。
但是两个图形的关系是学生未接触的领域。
因此，在本节课书学习时，我将从学生动手操作、自主探究的角度创设学习情境，通过学生自己动手操作，帮助学生直观掌握圆形和正方形图形的联系。
另外一方面，我将通过学生的自主探究也就是学生自己独立思考解决圆形、正方形的面积，引导学生自己汇报自己的解答过程，通过学生表达个人观点和思路，提升自己的语言运用能力以及感受数学学习中的乐趣。
同时通过这种个人和合作分享的交流展示实践活动，发展学生的数学思维能力。
本节课是六年级上册第五单元圆中的一节课。
本单元教学内容主要是圆的认识而展开。
这一课时主要谈论圆的面积和正方形面积的关系，在学习这节课之前主要是圆的面积以及圆环的面积的学习，为这节课探究圆与正方形的面积关系联系做好铺垫。
本节课的教学内容是由中国建筑中常能见到的“外方内圆”和“外圆内方”的设计引出这两个图形面积间的关系。
综合分析学生的认知，本节课主要是让学生自己探究两者间的关系。
圆形与正方形的面积关系也是本节课的重点教学。
二、学生情况：（一）学生已有知识1、掌握了圆的面积公式，能运用了圆的面积公式救出圆的面积。
2、已掌握了正方形的面积公式及计算。
3、已经掌握如何求两个量间的关系（用分数和比表示）。
（二）学生基本情况学生对于基本思想、基本活动经验的积累较少；大部分学生对于抽象问题的思考能力上相对欠缺，自己解决问题的思维以及语言表达能力有限，学生小组讨论学习时常常听别人说和引导而不是自己想办法，因此大部分学生在学习过程中不能积极主动的参与教学活动，多数的学习是被动形成知识网络。
2016.12.1《圆和正方形》课件——
图中有3个完全一样的圆，面积都是 100平方分米，求阴影部分的面积。
图中有4个完全一样的圆，面积都是 80平方分米，求阴影部分的面积
图中有5个完全一样的圆，面积都是 150平方分米，求阴影部分的面积
甲比乙大28平方厘米，直径AB长40厘米， 求BC的长。
甲 乙
图形Ⅰ比图形Ⅱ大43平方厘米， 直径AB长20厘米，求BC的长。
1.
下面图形的周长是 25.7厘米，它的面积 是多少平方厘米？
4m
2.
6m
要灵活运用多种数学思想方法解决实际问题：
1.将一个圆分成若干等份，周长增加6cm,圆面积是 （ ）cm2,长方形周长是（ )cm. 2.下图中的三角形是直角三角形，阴影部分面积为20平方 厘米，求下图中的环形面积。
3.求下图中阴影部分的面积: (单位：dm)
已知圆面积94.2平方厘米， 求正方形面积。
o
已知正方形面积20平方厘米，
求圆面积。
o
阴影部分面积86平方厘米， 求圆面积。
o
已知：正方形面积200平方厘米 求S阴影面积。
o
已知S阴影43平方厘米 ， 求S扇形。
o
已知空白部分面积43平方厘米，
求半圆面积。
o
已知圆面积62.8平方厘米， 求正方形面积。
已知阴影部分的面积是50平方厘米， 求圆环的面积。
已知阴影部分的面积是50平方厘米， 求圆环的面积。
已知正方形的边长是1厘米， 求涂色部分的面积。
已知每个圆的直径是10厘米， 求阴影部分的面积。
已知每个 圆的直径 是10厘米， 求阴影部 分的面积。
已知甲、乙都是正方形，甲的边长是 12厘米，乙的边长是10厘米，求阴影 部分的面积。
球与各种几何体切、接问题专题)资料讲解
球与各种几何体切、接问题近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。
首先明确定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球•一、球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题•1、球与正方体（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r a.（2）正方体的棱切球，如图2.位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r,这时有2r /2a.(3)正方体的外接球，如图与球心重合;棱长为1的正方体ABCD数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r 3a.A|B1C1D1的8个顶点都在球0的表面上, E, F分别是棱3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心AA，DD1的中点，则直线EF被球0截得的线段长为( )思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面AADD1截面所得圆面的半径R 一- ——,得知直线EF被球0截得的线段就是球的截面圆的直径.2 2【解析】由题意可知］球为正方体的外接琲尸面曲载面所得圆面的半径卫二警二f. •••ETu面九如D巩-直线廿杆止得的线段黄］球的截面厨的直径2—上点评*本题着査球与正方体唏”的间题「闻球的截面性囱转化虛为求球的截面13直径. _____________ 2、球与长方体例2自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求MA2MB2MC2的值.4,体积为16，A. 16B.20 C.24 D.32思路分析：正四棱柱也是长方体 可得长方体的长、宽、高分别为【解析】以谢A/B . MC 为从一个顶点出发的三衆協 将三棱锥3/ -曲C 补应一个长方也 则另外四个 顶点逊在疎面上，故长方体是球的内接民右郎，围按方陳的对星线農是璘的貢径...3A? -M3'十」/C Z = (2A): =点评=此题突出构造法的使用，以反淆觀炜令割补形的方法解诀立体几何中体积计算…结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线.例3 (全国卷I 高考题)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为球的表面积为()..由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为 2,2, 2，4,长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径【解析】正四粧柱也是长再体.由廉方体的休积応斥高4可刃「出长為悴的底面边扶为2,因此，长肓体的长、宽、鬲分别为囚2, 4,因为长方体內捋于險 所以立药陳对角线正好为瑾能直径.松方体你对角钱故球的表面积沏24 故选G点评*年题考查球与扶帛体^接”的问题，巧勺伕市体■的性质，转化咸対求具体对角餵3、球与正棱柱(1)结论1 :正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点. (2)结论2 :直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.例1、个兀棱柱的底而足止木边形，面,已知该；；检柱的顶点都&间•个昧而上._!!浚7＜检牡的体积为一 •底血周长为3,则这个球的体枳为3已知各厦点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4. 休积沟1筋 则这牛嫌的k\ft!袒屋 _______ . 24用例3、 在M 三检柱」EU -蚣EC «P, AB 二 4.AC = 6,ri= !60?rU!H 也-;蛙柱ABC -舛坊G 的外接蟀的表血切二、球与锥体的切接规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或 者表面积等相关问题. 1、正四面体与球的切接问题(1) 正四面体的内切球，如图 4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体 的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a ，高为h ;球的半径为 R ，这时有4R h —6 a ；3【解析】 如图正四面体 A — BCD 的中心为0,即内切球球心，内切球半径 R 即为0到1正四面体各面的距离AB = a,—正四面体的咼h= 丁a,又V A-BCD = 4V o-BCD, ()「. R=[h=12a.(2)正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h ；球的半径为R，这时有4R 3h .6a ;(可用正四面体高h 减去内切球的半径得到) 例5求棱长为1的正四面体外接球的半径。
【讲义】5年级下册第02讲_圆与扇形进阶
第二讲圆与扇形进阶- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -自然界中，圆与方是最基本的两种图形．古人认为“天圆地方”，宇宙就像一个圆形的大锅盖在一个方形的棋盘上．中国古代的建筑也会经常采用圆形和正方形的图案．而在面积计算中，圆与正方形也有很大的关系．关于正方形和圆，有以下的面积关系：由此我们可以进一步推断：圆外切正方形面积是内接正方形面积的______倍；正方形外接圆面积是内切圆面积的______倍．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．（1）左图中正方形的面积是8，那么圆的面积是多少？（π取3.14）（2）右图中正方形的面积是16，那么圆的面积是多少？（π取3.14）分析：利用圆中方和方中圆的比例关系可以轻松求解．练习1．如图，已知正方形的边长是2，求大圆及小圆的面积．（π取3.14）圆的外切正方形 与内接正方形 正方形的外接圆 与内切圆方中圆 圆中方例题2．计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小．（π取3.14）分析：利用方中圆的比例关系可以轻松求解．练习2．如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）- - - - - - - - - - - - - -小故事圆与方有一天，圆形和方形碰到了一起，它们一见面就吵了个面红耳赤，不管谁劝都不听．圆形说：“我们圆形就是比你们方形用处大，人们日常生活中用的锅呀、碗呀，体育中的蓝球、排球，水果里的苹果、桔子，大到汽车轮胎、自行车轮胎，都是我的家族．瞧，我们是不是比你们用处大！”圆形得意洋洋地说完．方形“哼”了一声说：“我们方形家族才是无处不在呢，人们用的电器、冰箱、彩电、电脑，就连学生用的课本都是我们方形的哟！”方形也自豪地说．它们谁也无法说服谁，都来到大街上．望着街上的车，方形对着圆形的车轮喊了声：“变！”转眼间车轮变成了方形．正当方形喜笑颜开时，人群出现了混乱，汽车开不了，自行车也只能扛着了，大家都在说：“这是谁干的呀！真是害人呀！”而圆形来到一座刚建好的大楼前，望着由一块块方形红砖盖成的大楼，圆形生气地大声 喊了声“变！”呀，方形红砖变成圆形了．圆形还没来及高兴呢，就听“轰”一声大楼倒了下来．看到这个情景，圆形呆住了：“这是怎么回事？”只见混乱的人群里走出了一位老人，他来到方形和圆形面前对它们说：“其实你们都很棒，只是你们分工不同而已，只要你们齐心协力，一定会为人类作更大的贡献．在上一讲中，我们主要使用割补的方法来计算不规则图形的面积．而对于一些比较特殊8的形状，我们可以把它看成是一些基本图形的重叠部分，利用容斥原理计算出它的面积．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．如图，求下面各图中阴影部分的面积．（π取3.14）分析：阴影部分可以看成是哪些图形的重叠部分？练习3．已知下图中正方形的面积是16，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）在生活当中，有很多旋转的物体，比如车轮、方向盘等．这些物体在运动的过程中，扫过的图形都是曲线形．这些曲线形的周长和面积应该怎么计算呢？例题4．图中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）分析：要求扫过的面积，关键在于弄清扫过的区域；而要弄清扫过的区域，关键在于弄清区域的边界．你能通过合理动态想象，画出边界来吗？练习4．如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）例题5．如图，求阴影部分的面积．（π取3.14）分析：阴影部分可以看成是四个扇形的重叠部分，但是扇形的半径图中并没有给出，那么应该怎么计算扇形的面积呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题6．（1）如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正方形的建筑物的顶点A处，四周都是空地．绳长8米．小狗的活动范围是多少平方米？（2）如果小狗不是被拴在A处，而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14）分析：如果没有建筑物的阻挡，小狗的活动范围应该是一个圆．有建筑物的话，活动范围会受到什么样的影响呢？A含有“圆”字的成语圆首方足：出自《淮南子·精神训》：“头之圆也象天，足之方也象地．”用来代指人类．戴圆履方：出自《淮南子·本经训》：“戴圆履方，抱表怀绳．”履：踩着；圆、方：古人以为天圆地方．头顶着天，脚踩着地．指生活在人间．方枘圆凿：出自战国时楚国宋玉的《九辨》：“圆凿而方枘兮，吾固知其龃龉而难入．”凿：榫眼；枘：榫头．方枘装不进圆凿．比喻格格不入，不能相合．这三个成语之外，还有很多成语中都含有“圆”和“方”这两个字，如圆孔方木、圆颅方趾、外圆内方等．这说明古人对于圆和方的认识非常深刻，已经将其应用到了生活中的很多方面．而我们在圆与扇形的学习中，也要注意圆形与正方形之间的联系．元方，你怎么看？破镜重圆：这个成语故事是由华阴人、隋越国公杨素的一段成人之美的佳话而来的．杨素，字处道，在辅佐隋文帝杨坚结束割据，统一天下，建立隋朝江山方面立下了汗马功劳．他不仅足智多谋，才华横溢，而且文武双全，风流倜傥．在朝野上下都声势显赫，颇著声名．隋开皇九年（公元589年）杨素与文帝杨坚的两个儿子陈后主叔宝的嫔妃、亲戚，其中有陈叔宝的妹妹枣陈太子舍人徐德言之妻，也就是陈国的乐昌公主．由于杨素破陈有功，加之乐昌公主才色绝代，隋文帝就乱点鸳鸯，将乐昌公主送进杨素中，赐为杨素小妾．杨素既仰慕乐昌公主的才华，又贪图乐昌公主的美色，因此就更加宠爱，还为乐昌公主专门营造了宅院．然而乐昌公主却终日郁郁寡欢，默无一语．原来，乐昌公主与丈夫徐德言两心相知，情义深厚．陈国将亡之际，徐德言曾流着泪对妻子说：“国已危如累卵，家安岂能保全，你我分离已成必然．以你这般容貌与才华，国亡后必然会被掠入豪宅之家，我们夫妻长久离散，名居一方，唯有日夜相思，梦中神会．倘若老天有眼，不割断我们今世的这段情缘，你我今后定会有相见之日．所以我们应当有个信物，以求日后相认重逢．”说完，徐德言把一枚铜镜一劈两半，夫妻二人各藏半边．徐德言又说：“如果你真的被掠进富豪人家，就在明年正月十五那天，将你的半片铜镜拿到街市去卖，假若我也幸存人世，那一天就一定会赶到都市，通过铜镜去打问你的消息．”一对恩爱夫妻，在国家山河破碎之时，虽然劫后余生，却受尽了离散之苦．好容易盼到第二年正月十五，徐德言经过千辛万苦，颠沛流离，终于赶到都市大街，果然看见一个老头在叫卖半片铜镜，而且价钱昂贵，令人不敢问津．徐德言一看半片铜镜，知妻子已有下落，禁不住涕泪俱下．他不敢怠慢，忙按老者要的价给了钱，又立即把老者领到自己的住处．吃喝已罢，徐德言向老者讲述一年前破镜的故事，并拿出自己珍藏的另一半铜镜．颤索索两半铜镜还未吻合，徐德言早已泣不成声……卖镜老人被他们的夫妻深情感动得热泪盈眶．他答应徐德言，一定要在他们之间传递消息，让他们夫妻早日团圆．徐德言就着月光题诗一首，托老人带给乐昌公主．诗这样写道：镜与人俱去，镜归人不归．无复嫦娥影，空留明月辉．乐昌公主看到丈夫题诗，想到与丈夫咫尺天涯，难以相见，更是大放悲声，终日容颜凄苦，水米不进．杨素再三盘问，才知道了其中情由，也不由得被他二人的真情深深打动．他立即派人将徐德言召入府中，让他夫妻二人团聚．府中上下都为徐陈二人破镜重圆和越国公杨素的宽宏大度、成人之美而感叹不已．在欢庆的感激之情．宴罢，夫妻二人携手同归江南故里．这段佳话被四处传扬，所以就有了破镜重圆的典故，一直流传至今．作业1. 如图，图中较小圆的面积是3.14，较大圆的面积是多少？作业2. 如图，正方形的面积是8，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业3. 如图，一头山羊被拴在一个边长为4米的等边三角形的建筑物的一个顶点处，四周都很空旷．绳长刚好够山羊走到三角形建筑物外的任一位置，山羊的活动范围有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，山羊身长忽略不计，π取3）作业4. 如图，正方形ABCD 边长为1厘米，依次以A 、B 、C 、D 为圆心，以AD 、BE 、CF 、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业5. 如图，长方形的长为6厘米，宽为2厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕长方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 AB C D EH F。
圆中方的面积比例公式
圆中方的面积比例公式首先，我们来看圆和正方形的性质。
圆：圆是一个封闭的曲线，由一组与圆心相等距离的点组成。
圆的内部称为圆的内部区域，圆的外部称为圆的外部区域。
圆的面积可以通过半径或直径计算。
正方形：正方形是一个具有四个相等边长和四个直角的四边形。
正方形的面积可以通过边长的平方计算。
接下来我们来推导圆中方的面积比例公式。
假设一个圆的半径为r，那么圆的面积就是πr²。
为了简化计算，我们将π取近似值3.14假设一个正方形的边长为2r，那么正方形的面积就是(2r)²=4r²。
现在我们将正方形放置在圆的内部，让正方形的四个顶点分别与圆的四个切点对齐。
由于正方形的边长为2r，所以正方形的对角线也等于2r。
而正方形的对角线正好是圆的直径，所以圆的直径也等于2r。
由此可见，圆的直径等于正方形的边长，即d=2r=2×(2r)=4r。
现在我们来计算正方形的面积和圆的面积之间的比例。
正方形的面积：4r²圆的面积：πr²将π取近似值3.14，我们可以将比例写为：(4r²):(πr²)使用圆的直径表示半径，可以简化为：(4(r/2)²):(π(r/2)²)进一步简化可得：4(r/2)²:π(r/2)²化简之后即可得到圆中方的面积比例公式：4:π也可以写为：π:4即，正方形的面积是圆的面积的π/4倍，或者圆的面积是正方形面积的4/π倍。
这就是圆中方的面积比例公式。
在实际应用中，圆和方的比例是非常有用的，可以在建筑设计、机械制造、游戏开发等领域中使用。
这个比例可以帮助我们计算圆和方的面积，从而更好地进行设计和规划。
总结一下，圆中方的面积比例公式是，一个圆形区域内接一个正方形区域时，圆的面积是正方形面积的π/4倍，或者正方形的面积是圆的面积的4/π倍。
这个公式可以用于各种实际应用中的计算和设计。
正方形与圆的面积之间的关系
正方形与圆的面积之间的关系作者：廖绍均来源：《读写算》2012年第04期摘要:正方形中画最大的圆，正方形面积与圆面积的比就是4：π；圆中画最大的正方形，圆的面积与正方形面积的比就是π：2。
运用这两个比可以快速地解决一些实际问题。
关键词:正方形;圆;面积;关系在西师版九年制义务教育小学数学六年级上期第二单元《圆》中，经常都要解决“正方形与圆的面积” 有关的一类问题。
这两者之间有什么内在联系呢？下面就来探究这些问题。
一、正方形中画一个最大的圆，正方形面积与圆面积的关系。
【问题】在一个正方形中画一个最大的圆，正方形面积与圆面积的之间有什么关系呢？【探究】正方形中画一个最大的圆（如图1），这个圆的直径就等于正方形的边长。
设圆的半径为r，那么圆的面积为πr2,正方形的边长为2r，面积为4 r2, 正方形面积与圆面积的比就是4：π。
【应用】1.在一张边长为8厘米的正方形纸片中，剪一个最大的圆，剪掉部分的面积是多少平方厘米？分析：正方形的边长为8厘米，那么正方形的面积就是8×8=64（平方厘米）。
由于正方形面积是4份，求出1份的面积，圆的面积是3.14份，剪掉部分的面积就是（4－3.14）份，从而得解。
解： 8×8÷4×（4－3.14）=16×0.86=13.76（平方厘米）答：剪掉部分的面积是13.76平方厘米。
2. 在一张正方形纸片中，剪一个最大的圆，剪掉部分的面积是8.6平方厘米。
这个圆的面积是多少平方厘米？分析：剪掉部分的面积是8.6平方厘米，它对应的就是（4－3.14）份，可以求出1份的面积。
根据圆的面积是3.14份可以得解。
解： 8.6÷（4－3.14）×3.14=8.6÷0.86×3.14=10×3.14=31.4（平方厘米）答：这个圆的面积是3.14平方厘米。
二、圆中画一个最大的正方形，圆面积与正方形面积的关系。
圆中图形变化(圆与正方形的关系)(课堂PPT)
如果圆的面积是12.56平方米，那么圆中最大 那么这个正方 形中最大的圆的的面积是多少平方米？
O
如果正方形中最大的圆的面积是18.84平方米， 那么这个正方形的面积是多少平方米？
7
8
把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，长 方形的长是15.7米，长方形的周长是（ ）分米，圆的 面积是（ ）平方分米
12
9
把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形， 长方形的周长比圆的周长多8分米，圆的面积是 （ ）平方分米
10
把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方 形，长方形的周长是6.28分米，圆的周长是（ ） 分米。圆的面积是（ ）平方分米。
11
把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，长 方形的周长是8.28米，圆的面积是（ ）平方米。
O
如果正方形中最大的圆的面积是15.7平方米， 那么这个正方形的面积是多少平方米？
4
如图，大正方形、圆、小正方形三者之间有什么关系呢？
如果圆的半径为1请计算出大正方形、圆、小正方形的面 积并找出三者之间关系。
S大正
S圆
O
4份
3.14份
5
如果圆中最大的正方形的面积是10平方 米，那么这个圆的面积是多少？
圆与正方形的关系
1
如果正方形的面积是20平方米，那 么这个圆的面积是多少？
r or
2
如果圆中最大的正方形的面积是20平方 米，那么这个圆的面积是多少？
rr
如果圆的面积是15.7平方米，那么圆中最大 正方形的面积是多少平方米？
3
如果正方形面积是20平方米，那么这个正方 形中最大的圆的的面积是多少平方米？
圆中方的正方形面积公式
圆中方的正方形面积公式在我们的数学世界里，有一个有趣的小角落，那就是“圆中方”的正方形面积问题。
这可不是个简单的事儿，不过别担心，咱们一起来瞧瞧。
先来说说什么是“圆中方”。
想象一下，有一个大大的圆，在这个圆里面，刚好能画一个最大的正方形。
这个正方形的四个顶点都在圆上，就好像圆紧紧地抱住了正方形。
那怎么求这个正方形的面积呢？这就得从圆和正方形的关系入手啦。
假设这个圆的半径是 r ，那圆的面积就是πr² 。
咱们来仔细观察一下这个“圆中方”，会发现正方形的对角线正好就是圆的直径，也就是2r 。
那正方形的对角线把正方形分成了两个相等的等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的特点，我们知道它的斜边就是正方形的对角线2r ，那它的两条直角边呢，长度相等，设为 a 。
根据勾股定理，a² + a² = (2r)²，也就是 2a² = 4r²，所以 a² = 2r²。
而正方形的面积就是边长乘以边长，也就是 a²，所以正方形的面积就是 2r²。
说到这儿，我想起之前给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件有趣的事儿。
当时我在黑板上画出了一个“圆中方”，然后问同学们怎么求正方形的面积。
大家都皱着眉头思考，教室里安静极了。
突然，有个小男生举起手说：“老师，我觉得可以把正方形沿着对角线切成两个三角形。
”我一听，心里一喜，鼓励他继续说下去。
他接着说：“那三角形的底就是圆的直径，高就是圆的半径。
”虽然他的思路有点偏差，但是这种积极思考的精神特别值得表扬。
我耐心地给他解释了正确的方法，他恍然大悟的表情我到现在都还记得。
在学习“圆中方的正方形面积公式”的过程中，大家可别死记硬背，要多画画图，多想想其中的关系。
数学就是这样，只要你用心去探索，就会发现其中的乐趣。
希望大家都能掌握这个有趣的小知识，在数学的海洋里畅游得更欢快！。
圆中方的面积比例公式
圆中方的面积比例公式
圆中方的面积比例公式是：一个正方形内切园的面积比例为园的面积
/正方形的面积，记为：A/B。
即：A/B=πr2/a2；其中，r为园的半径，a
为正方形的边长，π为圆周率常数。
因此，圆中方的面积比例公式可以写为：圆的面积A/正方形的面积
B=πr2/a2=π(r/a)2。
此外，根据圆中方的面积比例公式，可以得到以下结论：
1、一个正方形内切园的面积比例取决于园的半径与正方形的边长的
比值。
2、当半径r/边长a等于1时，圆内切正方形的面积比例最大，即：
A/B=π。
3、当半径r/边长a小于1时，圆内切正方形的面积比例会随之减小；当半径r/边长a大于1时，圆内切正方形的面积比例会随之增大。
正方形内切圆面积与正方形面积的关系
正方形内切圆面积与正方形面积的关系在几何学中，我们常常会遇到一些有趣的图形和形状。
其中一个经典的问题就是正方形内切圆的面积与正方形面积的关系。
在这篇文章中，我们将探讨这个问题，并且通过简单的描述和分析，帮助读者更好地理解这个关系。
让我们来了解一下正方形和内切圆的定义。
正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。
而内切圆是指一个圆与正方形的四条边都有且仅有一个公共点的情况。
那么，正方形内切圆的面积与正方形面积之间有什么关系呢？为了更好地探究这个问题，我们可以先假设正方形的边长为a。
那么，正方形的面积就是a的平方，即a^2。
正方形内切圆的半径可以表示为正方形边长的一半，即a/2。
根据圆的面积公式，我们可以得到内切圆的面积为π*(a/2)^2，即π*a^2/4。
现在我们可以比较一下正方形内切圆的面积和正方形面积之间的关系。
我们可以发现，正方形内切圆的面积是正方形面积的四分之π。
也就是说，正方形内切圆的面积是正方形面积的π/4倍。
这个关系可以表示为：正方形内切圆的面积 = 正方形面积* π/4通过这个简单的数学分析，我们可以得出正方形内切圆面积与正方形面积之间的关系。
但是，为了更好地理解这个关系，我们可以通过一些具体的例子来说明。
假设我们有一个边长为4的正方形。
根据上面的分析，我们可以计算出正方形的面积为4^2=16。
而内切圆的半径为4/2=2，因此内切圆的面积为π*2^2=4π。
将这两个数值代入我们之前得出的关系式中，我们可以得到：正方形内切圆的面积= 16 * π/4 = 4π通过这个例子，我们可以看到正方形内切圆的面积是正方形面积的4π倍。
这个结果与我们之前的分析相符合。
除了具体的例子，我们还可以通过一些图形来进一步说明这个关系。
假设我们有一个边长为a的正方形，其内切圆的半径为r。
那么，我们可以画出一个图形，将正方形和内切圆都清晰地表示出来。
通过观察这个图形，我们可以看到正方形的面积是r的平方的四倍，即正方形面积=4r^2。
正方形的内接圆与外接圆
2
我能行 我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜 的直径是24.8 cm。外面的圆与内 部的正方形之间的面积是多少？
提高练习
1、要剪一个面积是50.24平方厘米的圆形纸 片，至少需要面积（）平方厘米的正方形纸。
2、用一张边长为6厘米的正方形纸剪一 个最大的圆，剪去部分的面积是（）平方 厘米。
3、在直径是16分米的圆形纸板中，剪出一 个最大的正方形，减去的面积是多少平方米？
S=r²
S = πr²
S=4r²
2
观察回答
π
4
直径等于边长 正方形边长与圆的直径关系： 4：π 正方形的面积与内接圆的面积比是：
观察回答
2
π
正方形的对角线与圆的直径关系： 相等 正方形的面积与外接圆的面积比是： 2:π
练习
正方形面积96，内接圆 的面积是（ 75.36）；圆面 积628，内接正方形面积 （ 400）。正方形面积16， 25.12 外接圆面积是（ ）。
学习目标：ห้องสมุดไป่ตู้
1．学生通过演算推理，自主发现正方形与内接圆、正方 形与外接圆的面积关系。
2．在探索过程中，渗透整体思想解题、用特殊值法解题、 图形变换解题等思想，提升思维层次。 3．能利用探究到的知识合理地、灵活地解决数学问题。
4．培养学生解题时要有整体把握的习惯，善于发现题 中隐含着的丰富知识。
教学重点：整体思想解题、归纳运用 知识解答新问题 教学准备：发给每人印有组合图形的练 习纸
求阴影部分的面积
正方形面积与圆的面积比是：2： π 2： π=16：X X=25.12
正方形面积：S= a2 =4×4 =16
阴影部分的面积=25.12-16=9.12
小正方形面积与大正方形面积比：
圆中方的面积比例公式
圆中方的面积比例公式圆中的方是圆的内切正方形，其边长等于圆的直径。
方的面积比例可以通过圆的面积和方的面积来表示。
圆的面积公式为：S_circle = πr^2其中，S_circle 表示圆的面积，r 表示圆的半径。
方的面积公式为：S_square = a^2其中，S_square 表示方的面积，a 表示方的边长。
S_circle : S_square = πr^2 : a^2为了更好地理解和推导圆中方的面积比例公式，我们可以采用一种嵌套的方法来进行推导。
O●●●●●●●●O其中，O表示圆心，●表示正方形的4个顶点。
O■■■■●■■■■■■■■■■O其中，■表示小方块，●表示正方形中心。
O●··········●●………………….……●●……………….………●●……………….……….●●……………….……….●●………………..……..●●……………..…●O其中，●表示扇形的边界，·表示扇形的一部分。
扇形的面积可以通过圆的面积和扇形对应的圆心角一起计算。
圆心角的度数等于正方形的对角线与半径r所围成的角度，即45°。
假设扇形的面积为 S_sector，那么扇形的面积公式可以表示为：S_sector = 圆心角/ 360° * S_circle代入圆心角和圆的面积公式，可以得到扇形的面积公式：S_sector = (45° / 360°) * πr^2将扇形的面积乘以4，我们可以得到整个圆中方的面积。
即：S_square = 4 * S_sector = 4 * (45° / 360°) * πr^2上述推导过程中，我们已经得到了方的面积公式。
现在，我们将方的面积公式代入圆中方的面积比例公式，可以得到：S_circle : S_square = πr^2 : a^2 = πr^2 : (2r)^2 = πr^2 : 4r^2可以简化为：S_circle : S_square = π : 4在最简形式下，圆中方的面积比例公式为：S_circle : S_square = π : 4这就是圆中方的面积比例公式。
圆中求正方形的面积公式
圆中求正方形的面积公式
在圆中求正方形的面积公式，需要先了解圆的面积公式和正方形的面积公式。
圆的面积公式为:πr2，其中 r 为圆的半径，π约等于 3.14。
正方形的面积公式为：边长 2，其中边长为正方形的半径。
接下来，可以利用圆的面积公式和正方形的面积公式来计算圆中求正方形的面积。
设圆的半径为 r，则正方形的边长为 r，圆中求正方形的面积可以通过以下步骤计算:
1. 计算圆的面积:πr2 = 3.14r2
2. 将圆的面积分成若干个正方形，每个正方形的面积等于圆的一个小面积，即πr2/n(其中 n 为正方形的数量)。
3. 计算每个正方形的面积:πr2/n = 3.14r2/n
4. 将所有正方形的面积相加，得到圆中求正方形的面积:S = n × 3.14r2/n
拓展:
在圆中求正方形的面积公式不仅可以用于计算圆的面积的一部分，也可以用于计算其他形状的面积。
例如，如果有一个半径为 r 的圆形，需要计算其中正方形的面积，可以使用相同的公式:S = n ×3.14r2/n。
不同的是，此时正方形的边长不再是圆的半径，而是圆形的一部分，即正方形的边长为 r/n。
在实际应用中，圆中求正方形的面积公式非常有用，例如在建筑、
机械、电子等领域中都有广泛的应用。
方中圆面积公式
方中圆面积公式我们来了解一下正方形和圆形的基本概念。
正方形是一种具有四个边长相等且四个角均为直角的四边形。
它的特点是对角线相等且垂直平分。
圆形是一个几何图形，由一条曲线组成，该曲线上的每一点到中心的距离都相等。
圆形的特点是它的周长被称为圆周，圆周上的任意两点与圆心的连线称为半径。
当一个圆形与一个正方形相切时，圆形的直径等于正方形的边长。
方中圆面积公式可以通过以下步骤来推导和计算。
步骤一：已知正方形的边长为a，我们需要计算圆形的面积。
步骤二：根据圆形的面积公式，圆形的面积等于π乘以半径的平方。
步骤三：由于圆形与正方形相切，所以圆形的直径等于正方形的边长。
因此，圆形的半径等于正方形的边长的一半，即r=a/2。
步骤四：将半径的值代入圆形的面积公式，即圆形的面积等于π乘以(a/2)的平方。
步骤五：对上述公式进行化简计算，我们可以得到圆形的面积等于π乘以a的平方除以4。
方中圆面积的公式可以表示为：圆形的面积= π × a²/4，其中a 为正方形的边长。
通过这个公式，我们可以方便地计算出正方形内切圆形的面积。
在实际应用中，这个公式可以用于解决一些几何问题，例如计算一个正方形内部的圆形的面积，或者根据已知的圆形面积来确定正方形的边长。
需要注意的是，方中圆面积公式只适用于正方形内切圆形的情况。
如果圆形不是处于正方形的内切位置，那么该公式将不再适用。
在实际应用中，我们可以利用计算机软件或计算器来计算方中圆的面积。
根据已知的正方形边长，我们可以输入相应的数值，然后通过公式进行计算，得到正方形内切圆的面积。
总结一下，方中圆面积公式是一种用于计算正方形内切圆形面积的公式。
通过已知正方形的边长，我们可以利用这个公式来计算圆形的面积。
这个公式在解决一些几何问题时非常有用，但需要注意的是，它只适用于正方形内切圆形的情况。
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圆
方
内
内圆外方
1
1 1 cm
圆
方
内方外圆
1 cm
1 cm
圆与正方形的四类切接面积关系问题
秀洲区王江泾镇田乐小学 张林峰
1、内圆外方，即正方形中内切一个最大的圆。
针对教学内容要求，我们主要是来研究面积之间的关系问题。
假设圆的半径为1cm ，则圆的直径为2cm ，那么正方形的边长就是2cm ，计算圆的面积就是221r cm S πππ=⨯==，正方形的面积就是22422cm a S =⨯==。
1000
785
200157400314414.344=
====
==ππ：：方圆方
圆S S S S ，也就是说把正方形面积平均分成1000份，圆的面积占了785份，也就是占了78.5%，其余部分占了215
份，即占了21.5%。
保留π，我们可以得出：圆的面积是正方形面积的4
π
（或者
是圆的面积是正方形面积的比值是4
π
），此时单位“1”为正方形面积。
数量关系
为：圆方π
S S =⨯4
（或圆方S S =⨯%5.78）。
2、内方外圆，即圆中内接一个最大的正方形。
我们继续来研究他们的面积关系问题。
假设圆的半径为1cm ，则圆的直径为2cm ，计算圆的面积就是
圆
方圆方
221r cm S πππ=⨯==，正方形的面积要先计算1个三角形的面积，其三角形的面
积22
12112cm ah S =÷⨯=÷=，正方形面积由4个小三角形面积组成，那么正方形
面积就是2242
1cm =⨯。
（由于正方形对角线相互垂直，所以正方形面积还可以这
样计算：对角线相乘，再除以2。
此时两条对角线又是圆的直径，所以
22222cm S =÷⨯=方）
157100
31420014.3222=
=====π：π：圆方圆方S S S S ，如果把圆的面积平均分成157份，那么正方形的面积占了其中的100份，约63.7%，其余部分占了57份，约
36.3%。
包里π，我们可以得出：正方形面积是圆的面积的π
2
（或者说正方形面
积与圆的面积的比值是π2），此时单位“1”为圆的面积。
数量关系为：方圆π
S S =⨯2。
3、方圆方，即正方形内切一个最大的圆，而这个圆里面又内接一个最大的正方形。
结论：小正方形的面积是大正方形面积的
2
1
，即2÷=大正方形小正方形S S 。
验证：最大正方形的面积为单位“1“，假设2
1cm S =大正方形，此时大正方
形与圆构成了“内圆外方”，那么根据前面的结论（圆的面积是正方形面积的4
π
），
则2441cm S π
π圆=⨯=，继续来看圆与小正方形，又构成了“内方外圆”，根据前
面的结论（正方形的面积是圆面积的π
2
），则22124cm S x =⨯=ππ小正方形，综上来
看，大正方形面积与小正方形面积存在2倍关系（即小正方形与大正方形之间形
圆方圆
成的正方形环与小正方形面积相同，都是大正方形面积的
2
1）。
4、圆方圆，即圆内接了一个最大的正方形，而这个正方形里面又内切了一个最大的圆。
结论：小圆面积是大圆面积的
2
1
，即2÷=大圆小圆S S 。
验证：最大圆的面积为单位“1“，假设2
1cm S =大圆，此时大圆与正方形
构成了“内方外圆”， 根据前面的结论（正方形的面积是圆面积的
π
2
），则22
21cm S ππ正方形=⨯=，继续来看正方形与小圆，又构成了“内圆外方”， 根据
前面的结论（圆的面积是正方形面积的4
π
），则22142cm S =⨯=ππ小圆
，综上来看，大圆面积与小圆面积存在2倍关系（即小圆与大圆之间形成的圆环与小圆的面积相同，都是大圆面积的2
1
）。
【例题】
从一张正方形纸中剪一个最大的圆纸片，再从圆纸片中剪一个最大的正方形纸片，浪费的纸是（ B ）。
A 、原正方形纸的四分之一；
B 、原正方形纸的二分之一；
C 、圆纸片的二分之一；
D 、圆纸片的四分之一。