2016全国一卷理科数学高考真题及答案

对
C：要比较
a logb
c
和
b loga
c
，只需比较
aln c ln b
和
bln c ln a
，只需比较
ln c bln b
和
ln c aln a
，只需 blnb
和 aln a
构造函数 f x x ln x x 1 ，则 f ' x ln x 1 1 0 ， f x 在 1, 上单调递增，
（I）求 C；
（II）若 c 7 ， ABC 的面积为 3 3 ，求 ABC 的周长． 2
18.（本小题满分为 12 分）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方
形，AF=2FD， AFD 90 ，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 ．
（I）说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；
（II）直线 C3 的极坐标方程为 0 ，其中 0 满足 tan 0 =2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3
上，求 a．
24.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知函数 f x x 1 2x 3 . （I）画出 y f x 的图像； （II）求不等式 f x 1 的解集．
因此 f a f b 0 a ln a blnb 0 1 1
对
D：
又由 0 c 1 要比较 loga c 而函数 y ln
得 lnc 0 ，∴ ln c ln c
和
logb
c
a ln a ，只需比较
lnbcln和b ln a
x 在 1, 上单调递增，故
a ln a bln b bloga c a logb c ，C ln c
0
在 n 19 与 n 20 之中选其一,应选用哪个
8 9 10 11 更换的易损零件数
20.（本小题满分 12 分）设圆 x2 y2 2x 15 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重
合，l 交圆 A 于 C,D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.
的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，
则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为
元．
三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分为 12 分）
ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC(a cos B+b cos A) c.
（I）证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；
（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.
21.（本小题满分 12 分）已知函数 f x x 2 ex a x 12 有两个零点.
/
/
1
第一次
0
1
第二次
1
2
2
第三次
3
6
输出
x
3
，
y
6
2 ，满足
y
4x
2
故选 C．
否
否
2
否
否
3
是
是
10. 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为 y2 2 px p 0 ，设圆的方程为 x2 y2 r2 ，
题目条件翻译如图：
设 A x0,2
2
，
D
p 2
,
5
，
点 A x0 , 2 2 在抛物线 y2 2 px 上，∴ 8 2 px0 ……①
（I）证明：平面 ABEF 平面 EFDC；
DC
（II）求二面角 E-BC-A 的余弦值．
F
19.（本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零 件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购 买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种 机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
7:30 7:40 7:50
4.如图所示，画出时间轴：
A
8:00 C
8:10
8:20 D
8:30 B
小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才
能保证他等车的时间不超过 10 分钟
根据几何概型，所求概率 P 10 10 1 ． 40 2
故选 B．
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器
频数
更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器三年
内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时
40
购买的易损零件数.
（I）求 X 的分布列；
20
（II）若要求 P( X n) 0.5 ,确定 n 的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,
f
x
在
0,
1 4
单调递减，排除
C
ex
，当
x
0,
1 4
时，
f
x
1 4
4
e0
0
故选 D．
8.对 A：由于 0 c 1，∴函数 y xc 在 R 上单调递增，因此 a b 1 ac bc ，A 错误
对 B：由于 1 c 1 0 ，∴函数 y xc1 在 1, 上单调递减，
∴ a b 1 ac1 bc1 bac abc ，B 错误
（A） y 2x （B） y 3x （C） y 4x （D） y 5x
10.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线
于 D、E 两点.已知|AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距
开始 输入x,y,n
离为
(A)2
(B)4
(C)6
(D)8
5.
x2 m2
n
y2 3m2
n
1表示双曲线，则
m2 n
3m2 n 0
∴ m2 n 3m2
由双曲线性质知： c2 m2 n 3m2 n 4m2 ，其中 c 是半焦距
∴焦距 2c 2 2 m 4 ，解得 m 1
∴ 1 n 3
故选 A．
6.原立体图如图所示：
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ） 理科数学
一. 选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的.
1.设集合 A x x2 4x 3 0 ， x 2x 3 0 ,则 A B
（A）
3,
3 2
（B）
3,
3 2
(I)求 a 的取值范围； (II)设 x1,x2 是 f x 的两个零点,证明： x1 x2 2 .
请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°.以 O 为圆心， 1 OA 为半径作圆. 2
点
D
p 2
,
5
在圆
x2
y2
r2 上，∴ 5
p 2
2
r2
……②
点 A x0 , 2 2 在圆 x2 y2 r2 上，∴ x02 8 r2 ……③
联立①②③解得： p 4 ，焦点到准线的距离为 p 4 ．
D
C
故选 B． 11. 如图所示：
α A
B
∵ ∥平面CB1D1 ，∴若设平面 CB1D1 平面 ABCD m1 ， 则 m1∥m 又∵平面 ABCD ∥平面 A1B1C1D1 ，结合平面 B1D1C 平
（C）
1,
3 2
（D）
3 2
,
3
2.设 (1 i)x 1 yi ，其中 x, y 是实数，则 x yi
（A）1
（B） 2
（C） 3
（D） 2
3.已知等差数列 an 前 9 项的和为 27， a10 8 ，则 a100
（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
4.某公司的班车在 7:00，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达
故选 A．
f
(x)
在
18
，5 36
单调，
则 的最大值为
（A）11????????（B）9?????（C）7????????（D）5
二、填空题：本大题共 3 小题,每小题 5 分
13.设向量 a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=
．
14. (2x x )5 的展开式中，x3 的系数是
2016 年高考全国 1 卷理科数学参考答案
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 D B C B A A D C C B A B
1.
A 故
x A
x2 4x 3 0
B
x
3 2
x
x 1
3
．
x
3，
B
x
2x
3
0
x
x
3
2
．
故选 D．
2.由
1
i
x
1
yi
可知：
x
xi
1
yi
，故
是一个球被切掉左上角的 1 后的三视图
表面积是
7
8 的球面面积和三个扇形面积之和
8
S= 7 4 22 +3 1 22 =17
8
4
故选 A．
7. f 2 8 e2 8 2.82 0 ，排除 A
f 2 8 e2 8 2.72 1，排除 B
x0 因此
时， f x 2x2 ex f x 4x
x x
1 y
，解得：
x y
1 1
．
所以， x yi x2 y2 2 ．
故选 B．
3.由等差数列性质可知： 而 a10 8 ，因此公差
S9 9a1
d a10 10
2a5 5
a9
1
9 2a5 2
9a5
27 ，故 a5
3，
∴ a100 a10 90d 98 ．
故选 C．
ln b a b 1 ln a ln b 0
正确 1
1
又由
0
c
1得
ln c
0
，∴
ln c ln a
ln c ln b
loga
c
logb
c
，D
错误
ln a ln b
故选 C．
9.如下表：
循环节运 行次数
x
x
x
n
1 2
y y ny
判断 x2 y2 36
是否
nn n 1
输出
运行前
0
1
的半径.若该几何体的体积是 28 ,则它的表面积是 3
（A）17 （B）18 （C） 20 （D） 28
7.函数 y 2x2 e x 在2, 2 的图像大致为
y
y
1
1
（A） 2
O
2 x （B） 2
O
2x
y
y
1
1
（C） 2
O
2 x （D） 2
O
2x
8.若 a b 1，0 c 1,则
（A） ac bc （B） abc bac （C） a logb c b loga c （D） loga c logb c 9.执行右面的程序框图,如果输入的 x 0，y 1，n 1,则输出 x,y 的值满足
D1
C1
A1
B1
面 A1B1C1D1 B1D1
∴ B1D1∥m1 ，故 B1D1∥m
同理可得： CD1∥n
故 m 、 n 的所成角的大小与 B1D1 、 CD1 所成角的大小相等，即 CD1B1 的大小．
而
B1C
B1D1
CD1 （均为来自百度文库对交线），因此 CD1B1
3
，即 sin CD1B1
3． 2
．（用数字填写答案）
15.设等比数列 an 满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2 …an 的最大值为
．
16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料，
乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料，乙材料，用 3 个工时．生产一件产品 A
发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是
（A）13
（B）12 （C）23 （D）34
5.已知方程
x2 m2
n
y2 3m2
n
1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
4,则
n
的取值范围是
（A） 1,3 （B） 1, 3 （C） 0,3 （D） 0, 3
6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直
(I)证明：直线 AB 与⊙O 相切；
(II)点 C，D 在⊙O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD.
D
C O
23.（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
A
B
在直角坐标系
x
y
中，曲线
C1
的参数方程为
x
y
a cost 1 a sin
t
（t
为参数，a＞0）．
在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ= 4 cos .
11.平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点
A, 3 2 3 1 知函数 2 2 33
f (x) sin(x+)( 0， ), x 为 f (x) 的零
2
4
n=n+1
n-1 x=x+ 2 ，y=ny
否
x2+y2≥36是？
输出x,y 结束
点, x
4
为
y
f
(x) 图像的对称轴，且