(完整版)高三复习导数专题

导 数
一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim
lim
0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1
'
)(-=n n nx
x （R n ∈） x
x e e =')(
a a a x x ln )('= x
x 1)(ln '= e
x
x a a log 1)(log '=
x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=
3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-
[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2
()()()()()
[
]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()b
f x ax x
=+ （ 0a > ，0b >） 其图像关于原点对称
（2）三次函数32
()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠
导
数
导数的概念 导数的运算
导数的应用
导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值
函数的最值 常见函数的导数
导数的运算法则 比较两个的代数式大小
导数与不等式
讨论零点的个数
求切线的方程
导数的基本题型和方法
1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：
()
k f x
'
=（2）导数的物理意义：()
v s t'
=
2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b]
f x f x
'≥⇔在[a,上递增()0()b]
f x f x
'≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；()
f x c
≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。

3、、函数的极值与最值：(1)求函数极值或最值；0
()0
f x=
x是极值点（2）由函数的极值或最值，求参数的值或参数的范围。

4、导数与不等式。

通过研究函数的最值，进而证明不等式
⑴证明不等式f(x)>g(x)在区间A上成立
方法一：构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求出函数在区间A上的最小值
min
()0
F x>
方法二：转化为证明
min max
()()
f x
g x
>
⑵ f(x)>g(x)在区间A恒成立,求参数取值范围。

构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求函数在
区间A上的最小值
min
()0
F x>,解此不等式既得参数的范围
⑶不等式f(x)>g(x)的解集为空集，求参数取值范围。

构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出
函数在区间A上的最小值
min
()0
F x≤解此不等式既得参数的范围
⑷不等式f(x)>g(x)的解集非空，求参数取值范围。

：构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出
函数在区间A上的最小值
max
()0
F x>解此不等式既得参数的范围
⑸比较两个代数式f(x)和g(x的大小：构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求函数在
区间A上的最值，若最小值
min
()0
F x≥，则()()
f x
g x
≥；若最大值
min
()0
F x≤，则()()
f x
g x
≤
5、讨论讨论函数f(x)零点（方程根）的个数：通过研究函数的单调性、极值等，画出函数图像，进而讨
论零点的个数
三次函数32
()
f x ax bx cx d
=+++(0)
a≠的图像
>
a0
a<
≤
∆0
>
∆0
≤
∆0
>
∆
三次函数是关于M对称的中心对称图
三、习题精选：
【例1】导数的意义 (特别提醒①利用导数求切线的斜率时要判断点是否在已知的曲线上②切点处的三 个性质）
1、(2010·新课标全国)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为 ( A ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2 解析：y ′＝3x 2－2，∴y ′|x ＝1＝3－2＝1，∴切线方程为：y －0＝x －1， 即y ＝x －1.
2、（2012全国）曲线(3ln 1)y x x =+在点（1,1）处的切线方程为________
【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=.
3、[2014·广东] 曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．5x ＋y ＋2＝0
[解析] ∵y ′＝－5e x ，∴所求切线斜是k ＝－5e 0＝－5，∴切线方程是y －(－2)＝－5(x －0)， 即5x ＋y ＋2＝0. 4、2014课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝a ln x ＋
12
a -x 2
－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. 则b= ；
分析：在第(1)问中，根据导数的几何意义将问题转化为f ′(1)＝0，即可求出b 的值；
解：(1)f ′(x )＝
a
x
＋ (1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. 5、(2011湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －1
2
在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( )
A ．－12 B.12 C ．－22 D.2
2
答案 B y′＝cos 2x ＋sin 2x （sin x ＋cos x ）2＝11＋sin 2x
，故切线斜率k ＝y′|x ＝π4＝12，选B.
6、[2014·江西] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．
(e ，e) [解析] 由题意知，y ′＝ln x ＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知， 令ln x ＋1＝2，得x ＝e ，所以y ＝eln e ＝e ，所以P (e ，e)． 7、如果质点A 按规律s ＝2t 3(s 的单位是m)运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为 ( C )
A ．6 m/s
B ．18 m/s
C ．54 m/s
D ．81 m/s 解析：∵s ′＝6t 2，∴s ′|t ＝3＝54. 8、已知曲线y=
1
x
，则曲线过Q( 1,0 )点处的切线方程为 440x y +-= 9、若直线y ＝3x ＋1是曲线y ＝x 3－a 的一条切线，求实数a= ．
解：设切点为P (x 0，y 0)，对y ＝x 3－a 求导数得y ′＝3x 2，
∴3x 20＝3，∴x 0＝±
1. 当x 0＝1时，∵P (x 0，y 0)在y ＝3x ＋1上，∴y 0＝3×1＋1＝4，即P (1,4)． 又P (1,4)也在y ＝x 3－a 上，∴4＝13－a ，∴a ＝－3；
当x 0＝－1时，∵P (x 0，y 0)在y ＝3x ＋1上，∴y 0＝3×(－1)＋1＝－2，
即P (－1，－2)．又P (－1，－2)也在y ＝x 3－a 上，∴－2＝(－1)3－a ，∴a ＝1. 综上可知，实数a 的值为－3或1.
10．[2014·江苏] 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b
x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在
点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．－3
[解析] 易知y ′＝2ax －b
x 2
.根据题意有⎩⎨⎧－5＝4a ＋b
2，4a －b 4＝－72，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－2，故a ＋b ＝－3.
11、已知函数f (x )＝ax －6
x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1) )处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，则函数y ＝f (x )=
解：由函数f (x )的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0， 知－1＋2f (－1) ＋5＝0，即f (－1)＝－2，f ′(－1)＝－1
2.
∵f ′(x )＝a (x 2
＋b )－2x (ax －6)
(x 2
＋b )2
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
－a －61＋b ＝－2，a (1＋b )＋2(－a －6)(1＋b )
2
＝－1
2，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2
b －4，a (1＋b )－2(a ＋6)(1＋b )2＝－1
2
. 解得a ＝2，b ＝3(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)．
所以所求的函数解析式是f (x )＝
2x －6
x 2＋3
. 12、（2010辽宁）已知点P 在曲线4
1
x y e =
+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( ) (A)[0,
4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,
]24ππ (D) 3[,)4
π
π 解析：选D.2441212x x x x x e y e e e e
'=-=-++++，12,10x
x
e y e '+≥∴-≤<， 即1tan 0α-≤<，3[,)4
π
απ∴∈
13、设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是________．
解析：设P (a ，a 2－a ＋1)，y ′|x ＝a ＝2a －1∈[－1,3]，∴0≤a ≤2.而g (a )＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34
， 当a ＝12时，g (a )min ＝3
4
.a ＝2时，g (a )max ＝3，故P 点纵坐标范围是⎣⎡⎦⎤34，3. 【例2】函数的单调性
1、（2014·湖北）函数f (x )＝ln x
x
的单调递增区间为 ；单调递减区间为
解： 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f (x )＝ln x
x ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2
.
当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减． 故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．
2、设函数f (x )＝x (e x －1)1
2
-x 2则函数f (x )的单调递增区间 为
答案：
递增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞ 递减区间为(1,0)-
3．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是 ( B ) A ．[3，＋∞)
B ．[－3，＋∞)
C ．(－3，＋∞)
D ．(－∞，－3)
解析：∵f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，
∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．
又∵在(1，＋∞)上－3x 2＜－3，∴a ≥－3.
4、(2014课标全国Ⅱ11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是 ( D ）
A ．(－∞，－2]
B ．(－∞，－1]
C ．[2，＋∞)
D ．[1，＋∞)
解析：由f ′(x )＝k －
1
x
，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 则f ′(x )≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，即1
k x
≥在x ∈(1，＋∞)上恒成立．
又当x ∈(1，＋∞)时，1
01x
<<，故k ≥1.故选D.
5、(2014湖南)若0＜x 1＜x 2＜1，则 ( C )
A ．21e e x x －＞ln x 2－ln x 1
B ．21e e x x
－＜ln x 2－ln x 1 C ．1221e e x
x
x x > D ．1221e e x
x
x x <
解析：设f (x )＝e x
－ln x ，则()e 1
x x f x x
⋅-'=.当x ＞0且x 趋近于0时，x ·e x －1＜0；
当x ＝1时，x ·e x －1＞0，因此在(0,1)上必然存在x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，因此A ，B 不正确；
设()e x
g x x
=，当0＜x ＜1时，()2
(1)e 0x x g x x -'=<，所以g (x )在(0,1)上为减函数．所以g (x 1)＞g (x 2)， 即1212
e e x x x x >
，所以1221e e x x x x >.故选C. 6、若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意可得：f ′(x )＝2mx ＋1
x －2在(0，＋∞)上有f ′(x )≥0恒成立，所以2mx ＋
1x －2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m ≥2x －1x 2在(0，＋∞)上恒成立，设t (x )＝－1x 2＋2x
＝
－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1，只要求出t (x )在(0，＋∞)上的最大值即可．而当1x
＝1，即x ＝1时，t (x )max ＝1，所以2m ≥1，即m ≥1
2
. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 7、已知f (x )＝e x －ax －1.
(1)求f (x )的单调增区间；
(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .
令f ′(x )≥0得e x ≥a ，当a ≤0时，有f ′(x )＞0在R 上恒成立； 当a ＞0时，有x ≥ln a . 综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a ＞0时，f (x )的单调增区间为[ln a ，＋∞)． (2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .
∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立． ∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0. 故当a ≤0时，f (x )在定义域R 内单调递增．
8、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .设函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－23
，－1
3内是减函数，求a 的取值范围． 解析：若函数在区间⎝⎛⎭⎫－23，－13内是减函数，则说明f ′(x )＝3x 2＋ 2ax ＋1＝0两根在区间⎝⎛⎭⎫－23，－13外，由此f ′⎝⎛⎭⎫－23≤0，且f ′⎝⎛⎭⎫－1
3≤0，由此可以解得a ≥2.因此a 的取值范围是[2，＋∞) 或用变量分离法
9、【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）设函数f (x )= e x －ax －2
求f (x )的单调区间
【例3】函数的极值与最值
1、函数f (x )＝x 3－3x 2＋2的极大值是 2 极小值是 2-
解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0，x ＝2
2、(2014北京)已知函数f (x )＝2x 3－3x .，则f (x )在区间[－2,1]上的最大值为
解：(1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3， 令f ′(x )＝0，得2x =或2x =.
因为f (－2)＝－10，(2f -
=，2
f =，f (1)＝－1，
所以f (x )在区间[－2,1]上的最大值为(2
f -=. 3、函数x
x y 1
-=在]2,1[上的值域是_______________ 3[0,]2
4、(2014陕西)设函数()ln e
f x x x
=+，则f (x )的极小值为
解析：()e ln f x x x =+，则()2e
x f x x
-'＝，
∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，
∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋
e
e
＝2， ∴f (x )的极小值为2. 5、已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么函数在[－2,2]上的最小值 是
( A )
A ．－37
B ．－29
C ．－5
D ．以上都不对
解析：∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，
∵f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数， ∴当x ＝0时，f (x )＝m 最大．
∴m ＝3，从而f (－2)＝－37， f (2)＝－5. ∴最小值为－37.
6、函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是 ( B ) A ．(0,3)
B.⎝⎛⎭
⎫0，3
2 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，3)
解析：令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝±2a
3
(a ＞0，否则函数y 为单调增函数)．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则
2a 3＜1，∴0＜a ＜32
. 7、∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则
( A )
A ．a ＜－1
B ．a ＞－1
C ．a ＞－1e
D ．a ＜－1
e
解析：由y ′＝(e x ＋ax )′＝e x ＋a ＝0得e x ＝－a ， 即x ＝ln(－a )＞0⇒－a ＞1⇒a ＜－1.
8、y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭
⎫a ＞1
2，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1， 则a 的值等于
( D )
A.1
4
B.1
3 C.12
D ．1
解析：∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1
x －a ，
令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a ＞12，∴0＜1
a
＜2.
令f ′(x )＞0，则x ＜1a ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上递增；令f ′(x )＜0，则x ＞1
a ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，2上递减，
∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ·1a ＝－1，∴ln 1
a
＝0，得a ＝1. 9、函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1 f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围． 解： f ′(x )＝3[(x －a )2＋1－a 2]．
当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点；
当1－a 2＜0时，f ′(x )＝0有两个根，x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1. 由题意知，2＜a －a 2－1＜3，① 或2＜a ＋a 2－1＜3.②
①式无解，②式的解为54＜a ＜5
3， 因此a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫54，53. 或用二次函数根的分布做此题
10、（2013年福建）已知函数()1x a
f x x e
=-+
(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数()f x 的极值;
【答案】解:(Ⅰ)由()1x a f x x e =-+
,得()1x
a
f x e
'=-. 又曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线平行于x 轴, 得()10f '=,即10a
e
-=,解得a e =. (Ⅱ)()1x
a f x e '=-
, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.
(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.
所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,
故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值. 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;
当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值. 11、(2014四川)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，
设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值；
分析：(1)先利用求导求出g (x )的解析式，再求出其导函数g ′(x )，根据a 的不同取值分类讨论g ′(x )的符 号变化，判断其单调性，从而求其最值；
解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .
当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．
当1
2a ≤
时，g ′(x )≥0， 所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当e
2a ≥时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；
当1e
22
a ≤≤时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0,1)．
所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．
于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .
综上所述，当1
2
a ≤时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－
b ； 当
1e
22
a ≤≤时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－
b ； 当e
2
a ≥时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －
b .
【例4】导数与函数的零点
1、若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ( A )
A ．(－2,2)
B ．[－2,2]
C ．(－∞，－1)
D ．(1，＋∞)
解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 且当x ＜－1时，f ′(x )＞0；
当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.
所以当x ＝－1时函数f (x )有极大值，当x ＝1时函数f (x )有极小值． 要使函数f (x )有3个不同的零点，只需满足⎩⎪⎨⎪
⎧
f (－1)＞0，f (1)＜0.
解之得－2＜a ＜2.
（或转换成两个函数的图像来做）
2、(2014课标全国Ⅰ12)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，
则a 的取值范围是 ( C )
A ．(2，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，－2)
D ．(－∞，－1)
解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1存在两个零点，不合题意；
当a ＞0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛
⎫-
⎪
⎝
⎭， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22
x a
=， 所以f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a =处取得极小值2241f a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
要使f (x )有唯一的零点，需20f a ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，但这时零点x 0一定小于0，不合题意；
当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝23ax x a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，22x a =，
这时f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)＝1，在2x a =处取得极小值2241f a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
要使f (x )有唯一零点，应满足22410f a a ⎛⎫
=-> ⎪⎝⎭
，解得a ＜－2(a ＞2舍去)，
且这时零点x 0一 定大于0，满足题意，故a 的取值范围是(－∞，－2)．
3、已知函数2
()ln f x x x x =-+．判断函数()f x 零点的个数； 解： 2
()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞
∴ 2121
()21x x f x x x x
--'∴=-+=-
令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =．0>x ，∴ 1
2
x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．
∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2
(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <． ∴ 函数()f x 只有一个零点． 4、(2014陕西)设函数()ln m
f x x x
=+，m ∈R .， 讨论函数()()3
x
g x f x '-
＝零点的个数； 解析：由题设()()2133x m x
g x f x x x ='-=-- (x ＞0)，
令g (x )＝0，得3
13m x x =-+(x ＞0)，
设3
1()3
x m x x ϕ=-+(x ≥0)，
则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，
当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上单调递增；
当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．
∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为2
(1)3
ϕ=. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图)，可知 ①当2
3m >
时，函数g (x )无零点； ②当2
3m =时，函数g (x )有且只有一个零点；
③当2
03
m <<时，函数g (x )有两个零点；
④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当2
3
m >时，函数g (x )无零点； 当2
3
m =
或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；
当2
03
m <<
时，函数g (x )有两个零点． 5、(2014北京 )已知函数f (x )＝2x 3－3x .若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；
解析：设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，
则300023y x x =-，且切线斜率为2
063k x =-， 所以切线方程为2
000(63)()y y x x x -=--， 因此2
000(63)(1)t y x x -=--． 整理得32
004630x x t -++=，
设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，
则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)． g
所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．
当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，此时g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点， 所以g (x )至多有2个零点．
当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，此时g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点， 所以g (x )至多有2个零点．
当g (0)＞0，且g (1)＜0，即－3＜t ＜－1时，因为g (－1)＝t －7＜0，g (2)＝t ＋11＞0， 所以g (x )分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点．由于g (x )在区间(－∞，0)和 (1，＋∞)上单调，所以g (x )分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．
综上可知，当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．
【例5】导数与不等式
1、已知函数f (x )＝x 3－1
2
x 2＋bx ＋c . 若f (x )在x ＝1时取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，
求c 的取值范围．
解：由题意，x ＝1是方程3x 2－x ＋b ＝0的一个根，设另一根为x 0，
则⎩
⎨⎧
x 0＋1＝1
3，x 0×1＝b 3
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－23，b ＝－2， ∴f (x )＝x 3－1
2x 2－2x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－x －2，
当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－2
3时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－2
3，1时，f ′(x )＜0；x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0； ∴当x ＝－23时，f (x )有极大值22
27＋c ，
又f (－1)＝1
2
＋c ，f (2)＝2＋c ，
即当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值为f (2)＝2＋c ，
∵对x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立， ∴c 2＞2＋c ，解得c ＜－1或c ＞2， 故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
2、已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)与(1，＋∞)
上是减函数，且f ′⎝⎛⎭⎫12＝3
2. (1)求f (x )的解析式；
(2)若在区间[0，m ](m ＞0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围．
解：(1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .又由f (x )在区间[0,1]上 是增函数，在区间(－∞，0)与(1，＋∞)上是减函数，可知x ＝0和x ＝1是 f ′(x )＝0的解，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝0，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝0，
3a ＋2b ＋c ＝0.解得⎩⎪
⎨⎪⎧
c ＝0
b ＝－32
a .
∴f ′(x )＝3ax 2－3ax .
又由f ′⎝⎛⎭⎫12＝32，得f ′⎝⎛⎭⎫12＝3a 4－3a 2＝32
，∴a ＝－2，即f (x )＝－2x 3＋3x 2. (2)由f (x )≤x ，得－2x 3＋3x 2≤x ，即x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤1
2
或x ≥1.
又f (x )≤x 在区间[0，m ](m ＞0)上恒成立，∴0＜m ≤1
2. 3、当ln x ＜ax 在(0，＋∞)上恒成立时，求a 的取值范围．
解：设函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． f ′(x )＝1
x
－a .
∵x ＞0，所以当a ≤0时，f ′(x )＝1
x －a ＞0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
当a ≤0时，f (x )＝ln x －ax ＜0在(0，＋∞)上不恒成立
当a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上f ′(x )＝1x －a ＞0， f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上f ′(x )＝1
x －a ＜0， 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数，f (x )在⎝⎛⎭
⎫1
a ，＋∞上是减函数．
f (x )在x ＝1a 处取得最大值ln 1a －1，因此ln 1a －1＜0，即a ＞1
e
时，f (x )＜ln x －ax ＜0在(0，＋∞)上恒成
立，即ln x ＜ax 在(0，＋∞)上恒成立．
所以当ln x ＜ax 在(0，＋∞)上恒成立时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，＋∞. 4、设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．
解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x ＞0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1
x 3.
设g (x )＝3x 2－1
x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4
，
所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦
⎤1
2，1上单调递减，
因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫
12＝4，从而a ≥4. 当x ＜0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x 3.
g (x )在区间[－1,0)上单调递增，
∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上可知a ＝4.
(或看做函数x 来做)
5、(2014辽宁，文12)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( C )．
A ．[－5，－3]
B ．96,8
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
C ．[－6，－2]
D ．[－4，－3]
解析：∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时， 不等式ax 3≥x 2－4x －3(*)恒成立． (1) 当x ＝0时，a ∈R .
(2) 当0＜x ≤1时，由(*)得232343143
x x a x x x x
--≥
=--恒成立． 设()23143
f x x x x
=--，则()223444
1898991x x x x f x x x x x x -++-(-)(+)'=-++==. 当0＜x ≤1时，x －9＜0，x ＋1＞0，∴f ′(x )＞0，∴f (x )在(0,1]上单调递增． 当0＜x ≤1时，可知a ≥f (x )max ＝f (1)＝－6. (3) 当－2≤x ＜0时，由(*)得23143a x x x
≤
--. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．
∴当－2≤x ＜－1时，f ′(x )＜0，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[－2，－1)上递减， 在(－ 1,0)上递增．
∴x ∈[－2,0)时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－4＋3＝－2.∴可知a ≤f (x )min ＝－2. 综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a ≤－2.故选C. 【例6】用导数比较大小设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+．
（1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1
()g x
的大小关系； （3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜
1
a
对任意x ＞0成立． 【分析】（1）先求出原函数()f x ，再求得()g x ，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并
求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x ＞0成立的恒成立问题转化为函数()g x 的最小值问题． 【解】（1）由题设知1
()ln ,()ln f x x g x x x
==+
，∴21(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1，
当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，()g x 是减函数，故（0，1）是()g x 的单调减区间。

当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0，()g x 是增函数，故（1，+∞）是()g x 的单调递增区间， 因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以()g x 的最小值为(1) 1.g =
(2)1()ln g x x x =-+，设11
()()()ln h x g x g x x x x
=-=-+，则22(1)()x h x x -'=-，
当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x
=，当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0h x '<， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()().g x g x
< （3）由（1）知()g x 的最小值为1，所以，1()()g a g x a -<
，对任意0x >，成立1()1,g a a
⇔-< 即1,Ina <从而得0a e <<。

【例7】函数的图像
1、已知函数()y xf x '=的图象如右下图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象
中()y f x =的图象大致是 ( C ）
2、(2013浙江)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，
且其导函数y ＝f ′ (x )的图象如右图所示，则该函数的图象是 ( B )．
答案：
解析：由导函数图象知，函数f (x )在[－1,1]上为增函数．当x ∈(－1,0)时f ′(x )由小到大，则f (x )图象的增长趋势由缓到快，当x ∈(0,1)时f ′(x )由大到小，则f (x )的图象增长趋势由快到缓，故选B.
3、、若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是 【 A 】
s t O
A ． s t O s t O s t O
B ．
C ．
D ．
A ．
B ．
C ．
D ．
4、（08福建11）如果函数y=f (x )的图象如右图，那么导函数/()y f x =的图象可能是 （ A ）
答案 A 由图形语言，不妨设函数y ＝f(x)在(－b ，－a)和(0，a)上为
增函数(b ＞a ＞0)．在(－a ，0)和(a ，b)上为减函数，则导函数y ＝f ′(x) 在(－b ，－a)和(0，a)上有f ′(x)＞0.在(－a ，0)和(a ，b)上有f ′(x)＜0， ∴函数y ＝f ′(x)的图象在(－b ，－a)上时在x 轴上方，在(－a ，0)上时
在x 轴下方，在(0，a)上时在x 轴上方，在(a ，b)上时在x 轴下方．故选A. 5、（08全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是 （ A ）
答案 A 刚开始时，瞬时速度在变大，即曲线上对应切线的斜率变大；加速行驶过程中，瞬时速度变大得更快；匀速行驶过程中，速度不变，即曲线上对应切线的斜率不变；减速行驶过程中，瞬时速度在变小，即曲线上对应切线的斜率变小，故选A. 6、（浙江理8）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系
中，不可能正确的是 （ D ）
【分析】：检验易知A 、B 、C 均适合，D 中不管哪个为()f x 均不成立。

7、(2010·青岛模拟)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )在区间(a ，b )内的图象如图，则函数y ＝f (x )
y
x O y
x O y
x O y
x
O A ．
B ．
C ．
D ．
B C
在区间(a ，b )内极大值的个数为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：B
8、设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝
x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是
( D )
A ．f (1)与f (－1)
B ．f (－1)与f (1)
C ．f (2)与f (－2)
D ．f (－2)与f (2)
解析：由y ＝x ·f ′(x )的图象知±2是y ＝f ′(x )的 两个零点，设f ′(x )＝a (x －2)(x ＋2)．
当x ＞2时，xf ′(x )＝ax (x －2)·(x ＋2)＞0，∴a ＞0.
由f ′(x )＝a (x －2)(x ＋2)知f (－2)是极大值，f (2)是极小值，故选D.
()()(),()f x f x y f x y f x ''==9、设是函数的导函数，的图象如右图则的图象最有 可能是下图中的（）
10、(2012重庆)设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f(x)在x ＝－2处取得极小值，则函数 y ＝x f ′(x)的图象可能是( )
答案 C ∵f(x)在x ＝－2处取得极小值，∴在x ＝－2附近的左侧f ′(x)<0，
当x<－2时，xf ′(x)>0. 在x ＝－2附近的右侧f ′(x)>0， 当－2<x<0时，xf ′(x)<0，故选C.
11、(2011浙江)设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f(x)e x 的一个极值点，则下列图象
不可能为y ＝f(x)的图象是( )
答案 D 设F(x)＝f(x)·e x ，则f ′(x)＝e x [f ′(x)＋f(x)]．因为x ＝－1是F(x)的一个极值点，所以F ′(－1)＝0，得出f ′(－1)＋ f(－1)＝0，在选项D 中，由图象观察得到 f(－1)＞0, f ′(－1)＞0，所以 f(－1)＋ f ′(－1)＞0与 f ′(－1)＋f(－1)＝0矛盾．故选D.
12、(2012长春名校联考，10，5分)已知定义在R 上的函数f(x)，其导函数f ′(x)的大致图象如图所示，则 下列叙述正确的是( )
A ．f(b)>f(c)>f(d)
B ．f(b)>f(a)>f(e)
C ．f(c)>f(b)>f(a)
D ．f(c)>f(e)>f(d)
答案 C 依题意得，当x ∈(－∞，c)时， f ′(x)>0；当x ∈(c ，e)时， f ′(x)<0；
当x ∈(e ，＋∞)时，
f ′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c ，e)上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a<b<c ，所以f(c)>f(b)>f(a)，选C.
【例8】综合题
1、已知函数)0(ln )(2
2≥+-=a ax x a x x f ． （1）当1a =时，判断函数()f x 零点的个数；
（2）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2
()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞
∴ 2121()21x x f x x x x
--'∴=-+=-
令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =．0>x ，∴ 1
2
x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．
∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2
(1)ln1110f =-+=．
当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <． ∴ 函数()f x 只有一个零点． （Ⅱ）显然函数2
2
()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞
∴ 222
121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x
-++-+-'=-+== ………8分
① 当0a =时，1
()0,()f x f x x
'=
>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……9分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a
≥
此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.
a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．
综上，实数a 的取值范围是),1[+∞ 法二：
①当0a =时，1
()0,()f x f x x
'=
>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……9分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，
0x >∴只要22
210a x ax --≥，且0≥a 时恒成立，2214210a a
a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩
解得1a ≥ 综上，实数a 的取值范围是),1[+∞
2、设函数2
()ln f x x x ax =++.
（1）若x ＝1
2时，()f x 取得极值，求a 的值；
（2）若()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围.
解： 2121
()2x ax f x x a x x
++'=++=，
（1）因为12x =
时，()f x 取得极值，所以1
()02
f '=， 即210,a ++= 故3a =-． 3a =-时，)0()
1)(12()(>--=
'x x
x x x f 此时21=x 是极大值点. （2）()f x 的定义域为()0+∞，. 方程2
210x ax ++=的判别式2
8a ∆=-,
(1) 当0∆≤, 即2222a -≤≤时，2
210x ax ++≥,
()0f x '≥在()0+∞，内恒成立, 此时()f x 为增函数.
(2) 当0∆>, 即22a <-或22a >时，
要使()f x 在定义域()0+∞，内为增函数, 只需在()0+∞，内有2
210x ax ++≥即可,
设2
()21h x x ax =++，由(0)10,
022
h a
=>⎧⎪⎨-<⎪⎩⨯ 得 0a >, 所以22a >. 由(1) (2)可知,若()f x 在其定义域内为增函数，a 的取值范围是[22,)-+∞. （或参变分离）
3、已知函数)0()23()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示。

（Ⅰ）求d c ,的值；
（Ⅱ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为
0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （Ⅲ）若5=m ，方程a x f 8)(=有三个不同
的根，求实数a 的取值范围.
m
解：函数)(x f 的导函数为b a c bx ax x f 2323)(2'--++= (Ⅰ)如图可知：函数
)(x f 的图像过点（0，3），且
0)1('=f 得
⎩
⎨⎧==⇒⎩⎨
⎧=--++=030
23233c d b a c b a d …………（3分）
(Ⅱ)依题意 3)2('-=f 且5)2(=f ⎩
⎨⎧=+--+-=--+5343483
23412b a b a b a b a 解得 6,1-==b a
所以396)(23++-=x x x x f ……………………（8分）
（Ⅲ）依题意
b a bx ax x f a x b a bx ax x f 2323)()0(3)23()(2'23--+=>++-+= 由a b f 90)5('-=⇒= ① …………（9分） 若方程m x f 8)(=有三个不同的根，当且仅当满足 )1(8)5(f a f << ② ……………………（10分） 由①②得：311
1
378325<<⇒
+<<+-a a a a 所以 当
311
1
<<a 时方程a x f 8)(=有三个不同的根…………（12分） 4、已知函数1ln (),.m x
f x m x
-+=∈R
（I ）若1m =，判断函数在定义域内的单调性；
（II ）若函数在(1,)e 内存在极值，求实数m 的取值范围。

解：（I ）显然函数定义域为（0，+∞）若m=1，由导数运算法则知2
1ln ().x
f x x
-'= 令()0,f x '=得x=e.
当(0,),()0,()x e f x f x '∈>时单调递增；当(,),()0,()x e f x f x '∈+∞<时单调递减。

（II ）由导数运算法则知，2
ln ().m x f x x
-'=
令()0,.m
f x x e '==得 当(0,),()0,()m
x e f x f x '∈>时单调递增；当(,),()0,()m
x e f x f x '∈+∞<时单调递减。

故当,()m
x e f x =时有极大值，根据题意
1,01m e e m <<<<即
5、已知函数3
2
2()1,a f x x x
=++其中0a >.
（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值.
解：33322
22()
()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. （I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =，
此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行. 故所求a 值为1. （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >，
①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ， 所以()y f x =在[1,2]上递增，
所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ②当12a <<时，
x
(1,)a a
(,2)a
()f x ' － 0 ＋ ()f x
极小
由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................9分
③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................11分 综上讨论，可知：
当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+；
当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. …………………12分 6、已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数
的单调递减区间；
（Ⅱ）若
在
上是单调函数，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）由题意可知，函数的定义域为，
当时，，故函数的单调递减区间为.……4分
（Ⅱ）由题意可得，函数在上是单调函数.
① 若为上是单调增函数，则在上恒成立，即在上
....................................8分
恒成立，又在上单调递减，
，故
.
② 若
为
上是单调减函数，则
在
上恒成立，不可能.
综上可知：的取值范围为
. ……………………………12分
7、已知函数3
2
()3f x ax bx x =+-在1±=x 处取得极值。

（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[1,1]-上任意两个自变量的值12,x x ，都有4|)()(|21≤-x f x f ； （Ⅲ）若过点(1,)A m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围。

解：（Ⅰ）323)('2
-+=bx ax x f ，依题意，0)1(')1('=-=f f ，
即⎩⎨
⎧=--=-+0
3230323b a b a ，解得x x x f b a 3)(,0,13
-=∴== 经检验符合。

（Ⅱ）)1)(1(333)(',3)(3
3
-+=-=∴-=x x x x f x x x f
当11x -<<时，0)('<x f ，故()f x 在区间[1,1]-上为减函数，
2)1()(,2)1()(min max -===-=f x f f x f
∵对于区间[1,1]-上任意两个自变量的值12,x x ，
都有|)()(||)()(|min max 21x f x f x f x f -≤-4|)2(2||)()(||)()(|min max 21=--=-≤-∴
x f x f x f x f （Ⅲ）)1)(1(333)('2
-+=-=x x x x f ，
∵曲线方程为3
3y x x =-，∴点(1,)A m 不在曲线上，
设切点为M(x 0,y 0)，则点M 的坐标满足03
003x x y -=。

因)1(3)('200-=x x f ，故切线的斜率为1
3)1(3003
020
---=-x m
x x x ，
整理得03322
030=++-m x x 。

∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线，
∴关于0x 的方程03322
030=++-m x x 有三个实根。

…………………………9分
设332)(20300++-=m x x x g ，则2
000()6g x gx x '=-，
由0()0g x '=，得00x =或01x =
)(0x g ∴在(,0),(1,)-∞+∞上单调递增，在（0,1）上单调递减。

∴函数332)(2
0300++-=m x x x g 的极值点为00x =，01x = …………11分
∴关于0x 方程03322
030=++-m x x 有三个实根的充要条件是
⎩
⎨
⎧<>0)1(0
)0(g g ，解得32m -<<- 故所求的实数a 的取值范围是32m -<<- ……12分 8、已知函数2
()ln f x x ax x =-+-（a ∈R ）．
（1）当3a =时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值；
（2）当函数()f x 在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
单调时，求a 的取值范围； 解：（1）3a =时，21231(21)(1)
'()23x x x x f x x x x x
-+--=-+-=-=-，
函数()f x 在区间1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
仅有极大值点1x =，故这个极大值点也是最大值点， 故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
最大值是(1)2f =，…………5分
（2）1'()2f x x a x =-+-
，令1()2g x x x =+，则21'()2g x x
=-，
则函数在1,22⎛
⎝⎭
递减，在22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭递增，由132g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，9(2)2g =，
(
)2g =()g x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域为92⎡
⎫⎪⎢⎣
⎭。

若'()0f x ≤在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
恒成立，即12a x x ≤+在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，
只要a ≤'()0f x ≥在在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
恒成立，即12a x x ≥+在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，
只要9
2
a ≥。

即a 的取值范围是(
9,4⎡⎫
-∞+∞⎪⎢⎣⎭。

…………12分
9、设函数()()
21x x f x e ax =-- （Ⅰ）若a=
1
2
，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当x ≥0时()f x ≥0，求a 的取值范围 解： （Ⅰ）12a =
时，21()(1)2
x
f x x e x =--，'()1(1)(1)x x x f x e xe x e x =-+-=-+。

当(),1x ∈-∞-时'()f x >0;当()1,0x ∈-时，'()0f x <;当()0,x ∈+∞时，'()0f x >。

故()f x 在(),1-∞-，()
0,+∞单调增加，在（-1，0）单调减少。

（Ⅱ）()(1)a
f x x x ax =--。

令()1a
g x x ax =--，则'()x
g x e a =-。

若1a ≤，则当()0,x ∈+∞时，
'()g x >0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当x ≥0时()g x ≥0，即()f x ≥0.
若a >1，则当()0,ln x a ∈时，'()g x <0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当()0,ln x a ∈时()g x ＜0，即()f x ＜0.
综合得a 的取值范围为(],1-∞此题不宜用变量分离法
10、已知函数32
()92f x ax bx x =-++，若()f x 在x ＝1处的切线方程为360x y +-=。

（1） 求()f x 的解析式及单调区间；
（2） 若对任意的x ∈1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
都有()f x ≥2
21t t --成立，求函数()g t ＝2
2t t +-的最值。

解: 由已知得切点为(1,3), 且/2
()329f x ax bx =-+ ----------1分
(1)由题意可得/
(1)923
(1)3293
f a b f a b =-++=⎧⎨
=-+=-⎩ 解得412a b =⎧⎨=⎩, --------------2分 故32()41292f x x x x =-++ /2
()12249f x x x =-+, ------------3分
由/
()0f x =得: 1322x =
或, 由/()0f x >得: 31
22x ><或x ------------4分 由/
()0f x <得: 1322
<<x , ------------5分
()f x 的单调增区间为31
(,),(,)22
+∞-∞，()f x 的单调减区间为13(,)22----6分
(2)由(1)可知()f x 的极大值为3
()22
f =, ------------------7分
又157
()416
f = ，(2)4f =,∴()f x 在1[,2]4上的最小值为2, ---------------8分
由12)(2--≥t t x f 对]2,4
1[∈x 恒成立, 则2122≤--t t ,即0322
≤--t t ,解得31≤≤-t , 0′
而4
9
)2
1(2)(2
2
-+=-+=t t t t g , 故当21=t 时,)(t g 最小值为49-,当3=t 时,)(t g 最大值为10
11、已知函数.ln )(2x a x x f +=
（1）当2,()a e f x =-时求函数的单调区间； （2）若函数x
x f x g 2
)()(+=在[1，3]上是减函数，求实数a 的取值范围．
解：（I ）函数).,0()(+∞的定义域为x f
当.)
)((222)(,2x
e x e x x e x x
f e a -+=-
='-=时 …………2分
当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下：
由上表可知，函数),0()(e x f 的单调递减区间是；单调递增区间是).,(+∞e
极小值是.0)(=e f …………6分
（II ）由.22)(,2ln )(22
x x a x x g x x a x x g -+='+
+=得 又函数x
x a x x g 2ln )(2
++=为[1，3]上单调减函数，
则0)(≤'x g 在[1，3]上恒成立，所以不等式0222≤+-x a
x
x 在[1，3]上恒成立．
即2
22x x a -≤在[1，3]上恒成立． …………10分
又2
22)(x x
x -=ϕ在[1，3]为减函数，
所以.3
52
)3()(-
=ϕϕ的最小值为x 所以.352-≤a …………12分 12、（本小题满分12分）设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。

（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对任意的[0,3]x ∈，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围。

解：（Ⅰ）2
()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=.。