(完整版)湘教版八年级上册单元小结与复习(可编辑修改word版)
湘教版数学八年级上册 第1章 小结与复习
归纳总结
分式有意义的条件是分母不为 0，分式无意义的 条件是分母的值为 0；分式的值为 0 的条件是： 分子为 0 且分母不为 0.
针对训练
1. 若分式 1 无意义，则 x 的值为 x3
-3
.
2. 如果分式 a 2 的值为零，那么 a 的值为 -2 . a2
考点二 分式的有关计算
例2
已知 x
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元， 其余视为辅元，那么这些辅元可以用含有主元的代数 式表示，从而起到减元和化繁为简的目的.
针对训练
解：由 x
y
9. 已知 2 ，得
3
x y
x
2 3
2 3
，求 y，
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
的值.
本题还可以由已
原式 = (x y)(x y) 2x(x y) 知条件设 x = 2m，
3.分式的基本性质 分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得
分式与原分式相等.
即对于分式
f ，有
g
f g
f ·h g ·h
( h 0 ).
分式的符号法则：
f f ，f f f . g g g g g
二、分式的运算
1. 分式的乘除法法则
分式的乘法
分式的除法
a c ac b d bd
2. 分式的加减
a 2b 14
a2 b2
解【：解因析为】2由a已 b知可3 以，变所形以为a用 4bb来. 表示 a 的形式，
得
a 4 5
所以
ba5454，bb2代b22 入1bb约422 分 即49可1. 求值5.
归纳总结
湘教版八年级数学上册知识点总结
湘教版八年级数学上册知识点总结湘教版八年级数学上册知识点总结第1章分式1.1 分式1.2 分式的乘法和除法1.3 整数指数幂1.4 分式的加法和减法1.5 可化为一元一次方程的分式方程本章复与测试第2章三角形2.1 三角形2.2 命题与证明2.3 等腰三角形2.4 线段的垂直平分线2.5 全等三角形2.6 用尺规作三角形本章复与测试第3章实数3.1 平方根3.2 立方根3.3 实数第4章一元一次不等式（组）4.1 不等式4.2 不等式的基本性质4.3 一元一次不等式的解法4.4 一元一次不等式的应用4.5 一元一次不等式组本章复与测试第5章二次根式5.1 二次根式5.2 二次根式的乘法和除法5.3 二次根式的加法和减法本章复与测试知识点总结第一章：分式一、课前构建：认真阅读教材P1-40，回顾相关知识。
二、课堂点拨：知识点一：分式的概念考点1：分式的定义。
知识点二：分式的性质考点4：分式的基本性质：1.分式的分子与分母都乘，所得分式与原分式相等。
2.分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。
3.分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
考点5：最简分式1.约分：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。
2.最简分式：分子与分母没有公因式。
知识点三：分式的运算考点6：分式的加减法1.同分母分式相加减，分子相加减，分母不变。
2.异分母分式相加减，先找到最简公分母，然后分子相加减，分母不变。
考点7：分式的乘除法1.分式乘法：分子乘分子，分母乘分母，然后约去公因式。
2.分式除法：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式的乘方：分子、分母各自乘方。
第二章：三角形知识点一：三角形的定义知识点二：三角形的分类知识点三：三角形的性质知识点四：三角形的全等第三章：实数知识点一：实数的定义知识点二：实数的分类知识点三：实数的运算第四章：一元一次不等式（组）知识点一：不等式的定义知识点二：不等式的性质知识点三：一元一次不等式的解法知识点四：一元一次不等式的应用知识点五：一元一次不等式组的解法第五章：二次根式知识点一：二次根式的定义知识点二：二次根式的运算以上是八年级数学上册的知识点总结。
湘教版八年级初二上册单元小结与总结复习
湘教版八年级上册单元小结与复习第一章：分式班级： 学号： 姓名：一、课前构建：认真阅读教材P 1－40回顾相关知识：—分式的定义—分式的概念——分式无意义—分式的值为零—分式的性质例 ★考点3例3知识点二：分式的性质★考点4:分式的基本性质：分式的分子与分母都乘 ，所得分式与原分式相等。
即 （其中0≠h ） 分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。
即 （其中0≠h ） 分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
即 。
例4、如果把分式yx xy +中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值（ ） A 、扩大4倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、缩小2倍例5、根据分式的基本性质，分式ba a --可变形为（ ） A 、b a a -- B 、b a a + C 、b a a -- D 、ba a +- ★考点5:最简分式（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。
约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。
（2）最简分式：分子与分母没有 分式，叫做最简分式。
分式运算的最终结果若是分式，一定要化成最简分式。
例6、化简y x -222的结果是（ ）A 、y x - B 、y x + C 、y x - D 、y x -★考点6①②例8） A ★考点7例9例10、先化简211x x x +÷ ⎪-+⎝⎭，再取一个你认为合理的x 值，代入求原式的值。
知识点四：分式方程★考点8:分式方程的解法：⑴去分母法①去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解方程：解上面所得的整式方程；③检验：把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使 的根是原方程的根，使 的根是增根。
⑵换元法 也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数。
例11、解下列方程：⑴x x x x -+-=+-3)2(4523 ⑵253113=-+-+-x x x x ★考点9:分式方程的应用：分析清楚题目中各个量，找出它们的等量关系。
新湘教版八年级数学上册第一章分式小结与复习
混合运算
03
CHAPTER
分式方程
根据实际问题或数学问题，通过数学模型将问题转化为分式方程。
方程的建立
利用分式方程的解法，如去分母、换元法等，求解分式方程。
方程的求解
方程的建立与求解
利用分式方程解决与速度、时间和距离相关的实际问题，如追及问题、相遇问题等。
通过建立分式方程，解决与工作效率相关的实际问题，如工程问题、工作分配问题等。
分式与其他知识点的联系
整式和分式都是代数的基本形式，整式是由数字和字母通过有限次加、减、乘运算得到的代数式，而分式是整式的一种特殊形式，其分母中含有字母。
分式可以看作是整式的除法运算，即一个分式除以另一个分式等于被除数乘以除数的倒数。
分式的约分和通分也是基于整数的约分和通分原理，通过因式分解或找最大公约数来实现。
在几何学中，我们经常需要计算图形的面积或体积。当知道图形的边长或其他尺寸时，我们可以通过分式来表示和计算面积或体积。例如，计算矩形的面积时，我们可以用分式来表示长度和宽度的关系。
详细描述
面积、体积问题
分式在解决其他实际问题中也有广泛应用，如溶液的稀释、金融投资等。
总结词
除了速度、时间、距离和面积、体积问题外，分式在现实生活中还有许多应用。例如，在化学实验中，我们经常需要稀释溶液，这时可以用分式来表示稀释的比例。在金融领域，分式可以用来表示投资回报率或利率等经济指标。
Hale Waihona Puke 与整式的联系分式方程可以转化为整式方程，通过去分母或消去分母的方法，将分式方程转化为整式方程进行求解。
解分式方程时，需要注意验根，因为分母不能为零。
分式经常出现在方程中，尤其是高次方程和分式方程。
与方程的联系
新湘教版八年级数学上册第一章分式小结与复习
X2-2x+3
<-2
≥7
>-1
7.要使分式 的值为正数,则x的取值范围是
x-1
-2
x<1
二、分式的基本性质：
1.分式的基本性质: 分式的分子与分母同乘以(或除以) 分式的值 用式子表示: (其中M为 的整式)
x２＋y２
１0．已知分式 的值为 ５／３， 若a，b的值都扩大到原来的５倍，则扩大后分式的值是
３a
２a＋b
C
5/3
二、分式的约分与通分：
1.约分
2.通分 (1) (2)
x
6a2b
与
y
9ab2c
a-1
a2+2a+1
与
6
a2-1
(1) (2) (3)
12:15 D x≠－1
THANKS FOR WATCHING
The End
A
B
4.分式 > 0 的条件:
A
B
A
B
形如 ,其中 A ,B 都是整式, 且 B 中含有字母.
1.下列各式(1) (2) (3) (4) (5) 是分式的有( )个。
3
2x
3
2x
x
2x2
x
∏
分式的加减
同分母相加
异分母相加
通分
在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式； 注意：过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式。
（6）计算：
解：
（7）当 x = 200 时，求 的值. 解: 当 x = 200 时,原式=
（8） 已知 求A、B
３－２m
m－４
５．下列各式正确的是（ ）
湘教版八年级上册单元小结与复习
湘教版八年级上册单元小结与复习姓名：一、课前构建：认真阅读教材P1－40回顾相关知识：分式的概念分式无意义分式的性质分式乘、除运算加、减运算5是25的平方根；（） (2)、25的平方根是3)２的平方根是最简二次根式二次根式性质—二次根式的运算二、课堂点拨：知识点一：二次根式的概念二次根式：式子叫做二次根式。
★考点1: 最简二次根式：①被开方数的因数是，因式是；②被开方数中不含。
例1：在根式中，最简二次根式有。
★考点2: 同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数二次根式，叫同类二次根式。
例2：若最简二次根式与是同类二次根式，则= 。
知识点二：二次根式的性质⑴、⑵、⑶、⑷、例3：（1）已知，化简的结果是。
（2）化简的结果是。
知识点三：二次根式的运算⑴二次根式的加减：将各根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。
⑵二次根式的乘法：二次根式相乘，把被开方数相乘，所得的积仍作为积的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。
①乘法通式：②多项式的乘法公式适用于二次根式的乘法。
⑶二次根式的除法：二次根式相除，把被开方数相除，所得的商仍作为商的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。
除法通式：补充：分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。
注：有理化因式：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不再含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。
常用的有理化因式有:与,⑸二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。
例4：先化简，再求值：，其中。
三、随堂巩固：1、化简:=________。
2、已知25, 化简 =___________。
3、如果最简二次根式与是同类二次根式, 则=__________。
4、从、、、4中随机抽取一个根式与是同类二次根式的概率是_____。
5、等式中的括号应填入。
6、观察分析下列数据，按规律填空：,2,,2,,…, (第个数)。
7、将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为。
初中数学湘教版八年级上册小结练习
分子_等__于_0____，且分母不__等_于__0_____. 4.最简分式:指分子与分母没有公__因__式___的分式
自我检测交流
1.下列各式(1)
2x 3
(2)
3 2x
(3)
2x2 x
(4)
x
π
(5)
1-
3 2a
是分式的有__3_____ 个
2.下列分式是最简分式的是（ B ）
5.当x为何值时,下列分式的值为0?
(1)x-4 x+1
x =4
(2)_∣_x_∣_-_3__ x-3
x =-3
分式的基本性质:
1.分式的分子与分母都乘_同__一_个__非__零__整__式__， 所得分式与原分式相等
2.分式的分子与分母都除以它们的_公_因__式___，
所得分式与原分式相等.
f g
m+2
(3)
m2+4m+4
m2 - 4
=__m_-_2___.
3.通分
(a-1)2
a-1
a2+2a+1=__(a_+_1_)_2(_a_-_1_) __.
6(a+1) 6 a2-1 =__(_a_+_1_)2_(_a_-1_)__.
本节课有什么收获？
2-x x-2 C x-1 = 1-x
42
D
=
2a+b a+b
2.填空:
-a-b c-d
a+b
= ( d-c
)
-x +y x-y =
x+y ( -x-y )
3.如果把分式
x x＋y
湘教版八年级数学上册知识点总结
湘教版八年级数学上册知识点总结第1章分式1.1 分式1.2 分式的乘法和除法1.3 整数指数幂1.4 分式的加法和减法1.5 可化为一元一次方程的分式方程】本章复习与测试第2章三角形2.1 三角形2.2 命题与证明2.3 等腰三角形2.4 线段的垂直平分线2.5 全等三角形2.6 用尺规作三角形-本章复习与测试第3章实数3.1 平方根3.2 立方根3.3 实数第4章一元一次不等式（组）4.1 不等式4.2 不等式的基本性质(4.3 一元一次不等式的解法4.4 一元一次不等式的应用4.5 一元一次不等式组本章复习与测试第5章二次根式5.1 二次根式5.2 二次根式的乘法和除法5.3 二次根式的加法和减法…本章复习与测试知识点总结第一章：分式一、课前构建：回顾相关知识：认真阅读教材P1－40二、课堂点拨：知识点一：分式的概念.★考点1:分式的定义：知识点二：分式的性质★考点4:分式的基本性质：分式的分子与分母都乘，所得分式与原分式相等。
即（其中）分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。
即（其中）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
即。
…★考点5:最简分式（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。
约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。
（2）最简分式：分子与分母没有分式，叫做最简分式。
.知识点三：分式的运算★考点6:分式的加减法①同分母分式相加减，分母，把分子。
即。
②异分母分式相加减，要先，即把各个分式的分子与分母都乘适当的同一个非零多项式，化为同分母的分式，再加减。
即。
①最简公分母的系数是各分母系数的最小公倍数；—②最简公分母的字母和式子是各分母的所有字母和式子。
③最简公分母的每个字母或式子的指数是它在各分母中次数最高。
例7、计算的结果是。
★考点7:分式的乘除法乘：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式。
湘教版数学八年级上册 第2章 小结与复习
证明：∵△ACM 和△BCN 都为等边三角形，
N
∴∠1＝∠3＝60°.
M
∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2，
即∠ACN＝∠MCB. ∵ CA＝CM，CB＝CN，
A
1 23
C
B
∴△CAN≌△CMB(SAS).
∴ AN＝BM.
11. 已知：△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点 B，C，
D 在一条直线上. BE、AC 相交于点 F，AD、CE 相交于
点 G. 求证：(1)△CAD≌△CBE；(2)△CFG是等边三角形.
证明：(1) 证明略.
E
(2) 由 (1) 知∠CDA =∠CEB.
A
∵∠ACB +∠ACE +∠DCE = 180°，
∠ACB =∠DCE = 60°，
F
G
∴∠ACE =∠DCE = 60°.
B
C
D
又∵CE = CD，∴△CEF≌△CDG (ASA).
(3) 三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.
二、命题与证明
1. 命题 (1) 定义：对某一件事情作出判断的语句 (陈述句) 叫作命题.
(2) 结构形式：命题都是由条件和结论两部分组成. (3) 表达形式：命题都可以写成“如果……，那么……”
的形式，“如果”引出的部分是条件， “那么”引出的部分是结论.
线，顶点和垂足之间的线段.三条高或其延长线相交于
一点，如图①.
中线：连接一个顶点和它的对边中点的线段.三条中线
相交于一点（重心），如图②.
角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这
个角的顶点与交点之间的线段.三条角平分线相交于一
点，如图③. 图①
湘教版-数学-八年级上册-第二章 一次函数复习与小结1
【同步教育信息】一. 本周教学内容：第二章一次函数复习与小结二. 教学目标：1. 回顾：思考本章内容，进一步了解函数的概念及三种表示方法。
2. 进一步巩固一次函数图象和性质。
3. 进一步巩固一次函数模型，会用待定系数法求解析式。
4. 运用本章所学知识解决有关问题，从而提高学生综合运用所学知识解决问题的能力。
三. 教学重点和难点：重点：一次函数的图象和性质，一次函数模型的建立。
难点：函数的概念，一次函数的应用。
四、教学知识要点：（一）本章小结：1. 知识网络结构图一次函数函数定义函数值表示方法图象法列表法公式法一次函数定义解析式图象性质一次函数的应用待定系数法两直线的位置关系图象法解二元一次方程组⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪（二）规律与方法1. 构成函数的条件是：①两个变量。
②对自变量x在取值范围内的每一个值，y都有唯一的值与其对应。
2. 函数关系的三种表示法：图象法、表格法、公式法。
3. 一次函数与正比例函数的联系与区别：①正比例函数是一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）中b＝0的特殊情形；因此正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。
②一次函数＝＋的图象是一条过，和，两点的直线；y kx b 0b ()()-bk 0正比例函数y ＝kx 的图象是一条过原点（0，0）和（1，k ）的直线。
4. 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤是：①写出函数表达式的一般形式，其中包括未知系数（即待定系数）。
②把自变量与函数的对应值代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程（组）。
③解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数的表达式。
5. 规律与方法：利用一次函数的图象解决实际问题的关键是由图象获取有关信息，用一次函数关系来拟定变量的函数关系。
6. 一次函数的性质：y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）， ①当k ＞0时，y 随x 的增大而增大； ②当k ＜0时，y 随x 的增大而减小。
(完整版)湘教版八年级数学上册复习提纲(可编辑修改word版)
⎪那么这个非负数x 就叫做a 的算术平方根，记为 a ， a a a a a 2 3-a ⎩ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪第一章 实数八年级数学上册复习提纲1。
平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果 x 2 = a ，那么 x 是 a 的平方根，记作： ± ；其中 叫做 a 的算术平方根。
（2）性质：①当 a ≥0 时， ≥0；当 a ＜０时， 无意义；② ( a )2 ＝ a ；③ = a 。
2。
立方根的概念及其性质：（1）概念：若 x 3 = a ，那么 x 是 a 的立方根，记作： 3 a ；（2）性质：① 3 a 3 = a ；② ( 3 a )3 = a ；③ ＝ - 3 a3。
实数的概念及其分类：（1） 概念：实数是有理数和无理数的统称；（2） 分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。
无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。
（书上有图）4、无理数：无限不循环小数 ⎧算术平方根定义如果一个非负数x 的平方等于a ，即x 2 = a ⎪ ⎪ ⎪算术平方根为非负数 ≥ 0 ⎪ ⎧正数的平方根有 2 个，它们互为相反数 ⎪ 平方根⎨0的平方根是 0 ⎪ ⎪ ⎪负数没有平方根 ⎪2. 无理数的表示⎨定义：如果一个数的平方等于a ，即x 2 = a ，那么这个数就 ⎪ ⎪ ⎪ ⎧正数的立方根是正数 ⎪ ⎪ ⎪立方根⎨负数的立方根是负数 ⎪ ⎪0的立方根是 0 ⎪ ⎪定义：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3 = a ，那么这个数x ⎪ ⎪⎩5。
与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内， 有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。
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x + y一、课前构建：湘教版八年级上册单元小结与复习第一章：分式班级：学号：姓名：认真阅读教材 P 1－40 回顾相关知识：—分式的定义—分式的概念——分式无意义—分式的值为零—分式的性质 分式— —乘、除运算—分式的运算——整数指数幂的运算—加、减运算—分式方程二、课堂点拨：知识点一：分式的概念 ★考点 1:分式的定义：f一个整式 f 除以一个（），所得的商 叫做分式。
g例 1、下列式子 x - y 2x 6x 2 , 5 x 3 - y 2 , , x中，是分式的是 。
★考点 2:分式无意义：f在分式 中，当 g时，分式无意义； g时，分式有意义。
gx1例 2、当 x =时，分式没有意义；当 x时，分式有意义。
★考点 3:分式的值为零：f2x + 1x + 1在分式 中，当 f且 g时，分式的值为 0。
g例 3、若分式x +1的值为零，则 x 的值为 。
知识点二：分式的性质 ★考点 4:分式的基本性质：分式的分子与分母都乘，所得分式与原分式相等。
即（其中h ≠ 0 ） 分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。
即 （其中h ≠ 0 ） 分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
即 。
xy例 4、如果把分式 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，则分式的值（）x + yA 、扩大 4 倍B 、扩大 2 倍C 、不变D 、缩小 2 倍x -11 1 ⎭ ⎝ -a例 5、根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ） a - baA 、- a - baB 、a + bC 、 - a - bD 、 - a + b★考点 5:最简分式 （1） 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。
约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。
（2） 最简分式：分子与分母没有 分式，叫做最简分式。
注：分式运算的最终结果若是分式，一定要化成最简分式。
x 2 - y 2例 6、化简x 2 + xy的结果是（）A 、x - y2xx + y B 、xx - yC 、x + yx - y D 、x知识点三：分式的运算 ★考点 6:分式的加减法①同分母分式相加减，分母 ，把分子 。
即 。
②异分母分式相加减，要先 ，即把各个分式的分子与分母都乘适当的同一个非零多项式，化为同分母的分式，再加减。
即。
注：最简公分母：①最简公分母的系数是各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母和式子是各分母的所有字母和式子。
③最简公分母的每个字母或式子的指数是它在各分母中次数最高。
4a例 7、计算+ 1+ a - 1- a 的结果是 。
a 2-1 1- a 例 8、已知两个分式： A = 1+ a 4 x 2 - 4， B = + x + 2 2 - x ，其中 x ≠ ±2 ，则 A 与 B 的关系是（）A 、相等B 、互为倒数C 、互为相反数D 、A 大于 B★考点 7:分式的乘除法乘：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式。
即 。
除：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即 （其中 ）。
分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母各自乘方。
即 （其中 n 是正整数）。
例 9、化简⎛1 + 1 ⎫÷ x = 。
x - 1⎪x 2 - 1 ⎛ x 2 - 2x +1 1 ⎫ 1例 10、先化简 x 2 -1 + x ⎪ ÷ x +1 ，再取一个你认为合理的 x 值，代入求原式的值。
⎝ ⎭aax - 1知识点四：分式方程★考点 8:分式方程的解法：⑴去分母法①去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解方程：解上面所得的整式方程； ③检验：把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使的根是原方程的根，使 的根是增根。
⑵换元法 也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数。
例 11、解下列方程： 3 - x⑴2 + x= 5 -4(2 + x ) 3 - x x - 3 ⑵- x + 1 x + 1 = 53 - x 2★考点 9:分式方程的应用：分析清楚题目中各个量，找出它们的等量关系。
除了解分式方程必须检验外，还需要检查原方程的根是否符合实际问题的要求。
例 12、曙光中学计划组织学生观看爱国主义教育影片，包场费 1500 元；后来实验中学的 200 名师生也一同观看了影片，商定包场费 1500 元由两校按人数均摊，这样曙光中学人均比原来少支付 2 元，问曙光中学有多少人观看了影片？三、随堂巩固：1、当 x ＝时，分式1x －3没有意义；当 x2时，分式无意义。
x 2 + 4x + 3 2、当分式的值为零时， x =。
a 2 -b 2 ⎛ a 2 + b 2 ⎫3、化简a -b ÷ 2 + ⎝⎪ = 。
ab ⎭1 2 3 3 2 1 1 1 1 4、若 + + = 5, + + = 7 ，则 + + =。
x y z x y zx x -1 x y z5、方程x +1 += 2 的解是 。
x x - 5⎝ ⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎪ 6、某同学解分式方程 x - 1= 0 ，得出原方程的解为 x = 1 或 x = -1 。
你认为他的解答对吗?请你作出判 x - 1断，并说明理由。
2 7、当 k = 时，方程 x + 1 x + 33+ = x - 1 kx 2- 1无解。
8、分式(x + 3)(x + 4)有意义，则 x 应满足（ ）A 、 x ≠-4B 、 x ≠-3C 、 x ≠-4 或 x ≠-3D 、 x ≠-4 且 x ≠-39、化简⎛ a - a ⎫ 4 - a 2的结果是（ ） a - 2 a + 2 ⎪ aA 、-4B 、4C 、 2aD 、 2a +410、若关于 x 的方程m -1 x -1 - x = 0 有增根，则 m 的值是（ ）x -1A 、3B 、2C 、1D 、－111、化简与计算：⎛ ⑴、 x 2 + 1 -x 2 - 1 ⎫ x + 1 ÷⑵、(1 + x - 3) ÷ 2x⑶、解方程： 2 - x= 1-1x 2 - 3x x 2 - 2x - 3 ⎪ xx + 3 x 2 - 9 x - 3 3 - x⎛ x -1 2x ⎫1 12、先化简代数式： x +1 + x2 -1⎪ ÷ x 2 -1，然后选取一个使原式有意义的 x 的值代入求值。
a -1 a 2 - 4 1 213、先化简再求值： a + 2 a 2 - 2a +1 ÷ a 2 -1，其中 a 满足 a - a = 0 。
一、知识构建湘教版八年级上册单元小结与复习第二章：三角形班级：学号：姓名：二、知识点拨★考点 1：三角形三边的关系 三角形的任意两边之和 第三边。
例 1：已知一个三角形的两边长分别是 1 和 5，则第三边 C 的取值范围是（ ）A ．1<C<5B ．4≤C≤6C ．4<C<6D ．1<C<6 ★考点 2：三角形的高、角平分线和中线 ①从三角形的一个 向它的所在直线作，和之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高；②在三角形中，一个角的 与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；③在三角形中，连接一个顶点和它的对边 的线段叫做三角形的中线。
例 2：能把一个三角形分成两个面积相等的小三角形的是（ ）A.中线B.高C.角平分线D.以上都不是★考点 3：三角形的内角和三角形的内角和等于 。
例 3、已知△ABC 中，∠A=20°，∠B －∠C=40°，则∠B=。
★考点 4：三角形按角分类 三角形中，三个角都是 的三角形叫做锐角三角形；有一个角是的三角形叫做直角三角形；有一个角是的三角形叫做钝角三角形。
例 4：满足下列条件的△ABC 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？ (1)∠A=20°,∠B =65°，则△ABC 是；(2) ∠A = 1 ∠B = 1∠C ，则△ABC 是2 3 (3)∠A:∠B:∠C=2:3:4，则△ABC 是★考点 5：三角形的外角①定义：三角形的一边与另一边的 所组成的角叫做三角形的外角；②性质：三角形的一个外角等于。
例 5：在△ABC 中，∠A 的外角是 80°，则∠B+∠C=（ ）A ．100°B ．80°C ．60°D ．40°★考点6：命题与逆命题①一般地，对某一件事情做出的语句（陈述句）叫做命题，命题常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是，“那么”引出的部分是；②对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的，那么这两个命题称为，其中一个叫做，另一个叫做。
例6：下列语句是命题的是（）（1）两点之间，线段最短；（2）请画出两条互相平行的直线；（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（4）如果两个角的和是90 度，那么这两个角互余.A．（2）（3）B．（3）（4）C．（1）（2）D．（1）（4）★考点7：真命题与假命题正确地命题叫做，错误的命题叫做。
例7、下列命题中，属于假命题的是（）A.若a-b=0，则a=b=0 B．若a-b＞0，则a＞bC．若a-b＜0，则a＜b D．若a-b≠0，则a≠b★考点8：等腰三角形的性质定义：的三角形叫做等腰三角形；①对称性：等腰三角形是图形，对称轴是；②“三线合一”：等腰三角形上的高、中线及的角平分线重合；③“等边对等角”：等腰三角形的两相等。
例8：等腰三角形的两边长为25cm 和12cm，那么它的第三条边长为；等腰三角形的一个外角是70°，则其底角等于°；等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数有条。
★考点9：等边三角形的性质定义：的三角形叫做等边三角形；①等边三角形的三个内角，且都等于；②等边三角形是特殊的三角形。
例9：等边三角形的对称轴有（）A.1条B．2 条C．3 条D．4 条★考点10：等腰（等边）三角形的判定等腰三角形的判定定理：的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）；等边三角形的判定定理：①三个角都是的三角形是等边三角形；②有一个角是的三角形是等边三角形。
例10：下列叙述不正确的是（）A、有两个内角是700和400的三角形是等腰三角形B、一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形C、有两个内角不相等的三角形一定不是等腰三角形D、三个外角都相等的三角形是等边三角形★考点11：线段的垂直平分线定义：且一条线段的叫做这条线段的垂直平分线；性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离；性质定理的逆定理：到线段两端距离的点在线段的垂直平分线上。