概率论与数理统计考研复习资料
省考研数学复习资料概率论与数理统计
省考研数学复习资料概率论与数理统计概率论与数理统计是省考研数学复习中不可或缺的一部分。
在这篇文章中,我将介绍一些概率论与数理统计的重要知识点,并提供一些复习资料和学习方法,帮助考生更好地备考省考研数学。
1. 概率论基础概率论是研究随机现象的数学分支,它主要涉及到随机事件、样本空间、概率等概念。
在复习概率论时,可以从概率的定义开始。
概率的定义通常有公理化定义和频率定义两种,可以选择其中一种进行学习。
此外,还需要了解常用的概率分布,如离散型概率分布(如二项分布、泊松分布)和连续型概率分布(如正态分布、指数分布)等。
2. 数理统计基础数理统计是概率论在统计学中的应用,主要研究如何通过样本推断总体的性质。
在复习数理统计时,需要了解抽样分布、点估计和区间估计等基本概念。
抽样分布包括正态分布、t分布和χ²分布等。
点估计主要包括最大似然估计和矩估计等方法,而区间估计则与置信区间有关。
3. 概率论与数理统计的应用概率论与数理统计在实际问题中有着广泛的应用。
在复习过程中,可以选择一些相关的应用问题进行练习,如假设检验、回归分析等。
此外,还可以结合真实的案例,用概率论与数理统计的方法进行分析和解决问题。
4. 复习资料推荐为了帮助考生更好地复习概率论与数理统计,以下是一些备考资料的推荐:- 《概率论与数理统计教程》刘建中编著,高等教育出版社- 《数理统计学》张家骧编著,高等教育出版社- 《概率与数理统计习题解析》王传喜编著,高等教育出版社以上资料都是经典的教材,内容详尽,例题丰富,适合用来辅助自学和复习。
5. 学习方法在复习概率论与数理统计时,可以采用以下学习方法:- 建立完整的知识体系,确保基础知识的牢固掌握。
- 针对重要概念和公式进行重点记忆,可以制作概念卡片和公式卡片,随时温习。
- 多做题,通过练习巩固知识点,并加深对解题方法的理解。
- 制定合理的学习计划,分配好学习时间,保证每个知识点都得到充分的复习和理解。
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重点解析
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重点解析概率论与数理统计是山东省考研数学中的一个重要部分,学好这一部分内容对于考研的顺利通过至关重要。
本文将对山东省考研数学复习资料中概率论与数理统计的重点进行解析,帮助考生更好地备考。
一、概率论的重点内容1.基本概念与基本规则- 随机试验及其基本概念- 事件与事件关系- 概率的基本性质与运算规则2.条件概率与独立性- 条件概率的定义与性质- 乘法定理- 全概率公式与贝叶斯公式3.随机变量及其分布律与数学期望- 随机变量及其分布函数- 离散型随机变量与连续型随机变量- 期望的定义与性质4.随机变量的函数的分布- 随机变量的函数的分布函数的求法- 随机变量的线性变换与标准化5.多维随机变量及其分布律- 多维随机变量的概念与联合分布函数- 边缘分布函数与条件分布函数- 相互独立的随机变量二、数理统计的重点内容1.抽样分布及极限定理- 抽样分布的概念与性质- 大数定律与中心极限定理2.参数估计- 点估计及其性质- 基本思想与方法- 矩估计与最大似然估计3.假设检验与区间估计- 假设检验的基本概念与步骤- 常用的假设检验方法- 信赖区间的概念与构造4.多元统计分析的基本方法- 样本协方差矩阵与相关系数矩阵- 多元正态分布- 多元正态总体的统计推断以上为山东省考研数学复习资料中概率论与数理统计的重点内容分析。
考生可以根据这些内容,有针对性地进行复习与备考。
在学习过程中,还应该注重理论联系实际,通过做题与练习巩固所学知识。
只有经过系统的学习与练习,才能真正掌握概率论与数理统计的重点知识,提高在考试中的应对能力。
为了更好地复习概率论与数理统计,建议考生使用多种复习资料,包括教材、习题集、考研真题等,多角度地对知识点进行加深理解和掌握。
同时,考生还可以参加相关的考研辅导班或自习室,与同学们一起学习和讨论,相互促进进步。
总之,山东省考研数学复习资料中的概率论与数理统计是一个重要的考点,考生要充分重视并进行有计划、有针对性的复习。
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概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+…2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数). 2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意:连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布 (1)X ~U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0). (3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x ex f -∞<x<∞, σ>0. 特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ~N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意:Φ(zα)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法: (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y ,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y) 关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y ,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j= p i ··p ·j( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X(x)f Y(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六.条件分布1.二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 5.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ2 6.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E {[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l}第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如:样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i XX n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…),}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.抽样分布 即统计量的分布 1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ~N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ~N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点.注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p (x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.文 - 汉语汉字 编辑词条文,wen ,从玄从爻。
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理概率论与数理统计是数学的重要分支,广泛应用于各个领域。
在山东省考研的数学科目中,概率论与数理统计是必考内容之一。
为了帮助考生复习,本文将针对概率论与数理统计的重点知识点进行整理,并提供相应的考点解析和习题练习。
一、概率论基础知识1. 随机事件与概率:事件的概念、随机事件的概率、事件的运算(包括事件的和、积,互斥事件,逆事件等)2. 条件概率与独立性:条件概率的概念、乘法定理、全概率公式、贝叶斯公式、独立事件的概念与性质3. 随机变量与分布函数:随机变量的概念、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量函数的分布4. 数学期望与方差:随机变量的数学期望、方差的性质与计算、条件期望、协方差与相关系数的定义与计算二、概率分布1. 离散型随机变量的分布:伯努利分布、二项分布、泊松分布等,包括分布的概率函数、分布函数、数学期望和方差的计算2. 连续型随机变量的分布:均匀分布、指数分布、正态分布等,包括分布的密度函数、分布函数、数学期望和方差的计算3. 两个随机变量的分布:随机变量之和的分布、两个随机变量的函数的分布三、大数定律与中心极限定理1. 大数定律:切比雪夫不等式、大数定律的独立同分布条件、伯努利大数定律、辛钦大数定律2. 中心极限定理:中心极限定理的独立同分布条件、独立同分布情况下的林德伯格-列维定理、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理四、参数估计与假设检验1. 点估计:估计量与矩估计、最大似然估计、无偏性与有效性、均方误差2. 区间估计:置信区间的构造与解释、枢轴变量法构造置信区间、大样本置信区间与小样本置信区间3. 假设检验:假设检验的基本原理与步骤、拒绝域与接受域、显著性水平与p值、参数检验与非参数检验五、相关分析与方差分析1. 相关分析:相关系数的计算与解释、相关系数的性质与应用、线性回归与最小二乘法2. 方差分析:单因素方差分析、双因素方差分析、方差分析的假设条件与检验方法六、样本调查与抽样分布1. 随机抽样:简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、多阶段抽样等抽样方法2. 样本调查:样本容量的确定、调查问卷设计与分析、样本误差与抽样误差3. 抽样分布:统计量与抽样分布、正态分布与t分布、卡方分布与F分布通过对概率论与数理统计的重点知识点进行整理,希望能够帮助山东省考研数学的考生有一个清晰的复习框架。
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
1.基本思想: 用样本矩(原点矩或中心矩)代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤:
① 求出总体矩,即 ;② 用样本矩代替总体矩,列出矩估计方程:
③ 解上述方程(或方程组)得到 的矩估计量为:
④ 的矩估计值为:
3. 矩估计法的优缺点:
优点:直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
(1) 分布的 分位点 (2) 分布的 分位点 其性质:
(3) 分布的 分位点 其性质
(4)N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本, 为X中的未知参数, 为样本值,构造某个统计
量 作为参数 的估计,则称 为 的点估计量, 为 的估计值.
2.常用点估计的方法:矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数(或联合密度函数) (或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤:
(1)求似然函数:X离散: X连续:
(2)求 和似然方程:
(3)解似然方程,得到最大似然估计值:
(4)最后得到最大似然估计量:
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法,但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型:
1.事件的对立与互不相容是等价的。(X)
2.若 则 。(X)
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ,则n个事件相互独立。(X)
6.当 时,有P(B-A)=P(B)-P(A)。(∨)
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义:设样本空间为 ,变量 为定义在 上的单值实值函数,则称 为随机变量,通常用大写英文字母,用小写英文字母表示其取值。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系,概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳,希望对你的复习有所帮助。
《概率论与数理统计》综合复习资料全
《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10 个球,其中有 3 个红球, 2 个黑球, 5 个白球,从中取球两次,每次取一个(无放回),则:第二次取到黑球的概率为;取到的两只球至少有一个黑球的概率为。
2、 X 的概率密度为 f ( x)1 e x2 2 x 1(x) ,则DX。
3、已知随机变量X ~N(1,1),Y~N(3,1) 且 X 与Y 相互独立,设随机变量Z 2X Y 5,则EX;DX。
4、已知随机变量X 的分布列为X-102P k0.40.2p则: EX=;DX =。
5、设X与Y独立同分布,且X~N(2,22) ,则D( 3X2Y) =。
6、设对于事件A、B、 C有 P(A)P(B)1,P(ABC)1P(C),412P( AB) P( BC )P(AC)1。
,则 A 、 B、 C 都不发生的概率为87、批产品中一、二、三等品各占60% 、30%、 10%,从中任取一件,结果不是三等品,则取到的是二等品的概率为。
8、相互独立,且概率分布分别为1,1 y 3f (x)e ( x 1)x) ;( y)(,其它则:E(X Y)=;E(2X3 2 )=。
Y9 、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为2%和1%,现从由A、 B 工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该产品是 B 工厂的概率为。
10、设X、Y的概率分布分别为, 1 x 54e4 y,y01/ 4( x);( y),,其它0y0则: E(X 2Y) =;(X 2 4 ) =。
E Y二、选择题1、设X 和 Y 相互独立,且分别服从N(1,22) 和N (1,1),则。
A .P{ X Y 1}1/ 2B.P{ X Y0}1/ 2C .P{ X Y0}1/ 2D.P{ X Y 1}1/ 22、已知P( A)0.4,P(B)0.6,P(B | A)0.5 ,则P( A B)。
A .1B.0.7C .0.8D .0.53、设某人进行射击,每次击中的概率为1/3,今独立重复射击10 次,则恰好击中 3 次的概率为。
江苏省考研数学复习资料概率论与数理统计核心公式速记
江苏省考研数学复习资料概率论与数理统计核心公式速记一、概率论核心公式1. 事件与概率公式:(1) 事件的概率:P(A) = N(A) / N(S),其中,N(A)表示事件A发生的样本点个数,N(S)表示样本空间S中的样本点个数。
(2) 互斥事件的加法公式:P(A ∪ B) = P(A) + P(B),其中,A与B 为互斥事件。
(3) 非互斥事件的加法公式:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B),其中,A与B为非互斥事件。
2. 条件概率公式:(1) 事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率:P(A|B) = P(A ∩B) / P(B),其中,P(B) ≠ 0。
(2) 事件B在事件A已经发生的条件下发生的概率:P(B|A) = P(A ∩B) / P(A),其中,P(A) ≠ 0。
(3) 乘法公式:P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B),其中,P(B) ≠ 0。
(4) 全概率公式:P(A) = ∑[P(Bi) * P(A|Bi)],其中,{Bi}为样本空间S的一个划分。
(5) 贝叶斯公式:P(Bj|A) = [P(A|Bj) * P(Bj)] / ∑[P(A|Bi) * P(Bi)],其中,{Bi}为样本空间S的一个划分。
3. 独立事件的条件:事件A与事件B相互独立的条件为:P(A ∩ B) = P(A) * P(B),或P(A|B) = P(A),P(B|A) = P(B)。
二、数理统计核心公式1. 随机变量的概率分布:(1) 二项分布:P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n-k),其中,n为试验次数,k为事件发生的次数,p为事件发生的概率。
(2) 泊松分布:P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!,其中,λ为单位时间/空间内随机事件的平均发生率,k为事件发生的次数。
(3) 正态分布:f(x) = (1/(σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2)),其中,μ为均值,σ为标准差。
概率论与数理统计复习资料
概率论与数理统计复习资料### 概率论与数理统计复习资料#### 第一章:概率论基础1. 概率的定义与性质- 事件的概率定义- 概率的公理化体系- 概率的加法和乘法规则2. 条件概率与事件独立性- 条件概率的计算- 事件独立性的定义与性质- 贝叶斯定理3. 随机变量及其分布- 离散型随机变量及其分布律- 连续型随机变量及其概率密度函数- 随机变量的期望值与方差4. 多维随机变量及其分布- 联合分布函数- 边缘分布函数- 协方差与相关系数5. 大数定律与中心极限定理- 切比雪夫不等式- 伯努利大数定律- 中心极限定理的应用#### 第二章:数理统计基础1. 样本与统计量- 样本均值、方差与标准差- 样本矩- 顺序统计量2. 参数估计- 点估计与区间估计- 估计量的优良性准则- 极大似然估计3. 假设检验- 假设检验的基本原理- 单样本假设检验- 双样本假设检验4. 方差分析- 单因素方差分析- 双因素方差分析- 方差分析的计算步骤5. 回归分析- 一元线性回归- 多元线性回归- 回归模型的诊断#### 第三章:概率分布与随机过程1. 常见概率分布- 二项分布- 泊松分布- 正态分布2. 随机过程的基本概念- 随机过程的定义- 马尔可夫链- 泊松过程3. 随机过程的参数估计- 随机过程的均值与方差估计- 随机过程的回归分析4. 随机过程的模拟- 蒙特卡洛方法- 随机模拟的应用5. 随机过程的统计推断- 随机过程的假设检验- 随机过程的参数估计#### 第四章:统计决策与贝叶斯统计1. 统计决策理论- 损失函数- 风险函数- 决策规则2. 贝叶斯统计- 贝叶斯后验概率- 贝叶斯估计- 贝叶斯决策3. 贝叶斯网络- 贝叶斯网络的结构- 贝叶斯网络的推理- 贝叶斯网络的应用4. 统计推断的贝叶斯方法- 贝叶斯假设检验- 贝叶斯参数估计5. 贝叶斯模型选择- 贝叶斯信息准则- 交叉验证通过以上内容的复习,可以对概率论与数理统计的基本概念、理论及其应用有一个系统的理解。
河南省考研统计学专业复习资料概率论与数理统计核心知识整理
河南省考研统计学专业复习资料概率论与数理统计核心知识整理概率论与数理统计是统计学专业考研的核心科目之一。
它是研究随机现象的定性、定量规律的数学分支,广泛应用于各个领域,具有重要的理论和实践意义。
本文旨在对河南省考研统计学专业的概率论与数理统计核心知识进行整理,以供考生参考。
一、概率论基础知识1. 随机事件与样本空间随机事件是指在一次试验中可能出现的结果,样本空间是指所有可能结果的集合。
应了解事件的概念、事件的运算以及事件的性质。
2. 概率的定义与性质概率是描述随机事件发生可能性的数值,它的定义包括古典概型、几何概型和统计概型,应了解这些概念以及概率的基本性质,如非负性、规范性和可列可加性。
3. 条件概率与独立性条件概率描述在一定条件下某事件发生的概率,独立性指的是两个事件之间相互独立、不影响。
应了解条件概率的定义与性质,以及独立性的概念与应用。
4. 随机变量与概率分布函数随机变量是指能够随机地取不同值的变量,包括离散型和连续型随机变量。
概率分布函数描述随机变量的取值及其对应的概率,应了解随机变量的定义、性质以及概率分布函数的计算方法。
二、数理统计基础知识1. 参数估计参数估计是利用样本对总体未知参数进行估计,包括点估计和区间估计。
应了解最大似然估计、矩估计以及置信区间的概念与计算方法。
2. 假设检验假设检验是通过样本对关于总体的某个假设进行验证,包括原假设和备择假设。
应了解假设检验的基本步骤、判断准则以及常见假设检验方法,如t检验、F检验和卡方检验等。
3. 方差分析方差分析是一种用于分析不同因素对总体差异的统计方法,包括单因素方差分析和多因素方差分析。
应了解方差分析的基本原理、假设条件以及方差分析表的解读。
4. 相关与回归分析相关分析用于描述两个变量之间的关联关系,回归分析则用于构建预测模型。
应了解相关系数的计算方法、回归方程的建立以及模型拟合与评价等相关知识。
三、复习方法与注意事项1. 制定复习计划合理制定复习计划,合理分配时间,将时间集中在重点知识上,并合理安排模拟考试,有助于对知识点进行全面且有效的复习。
江苏省考研数学复习资料概率论与数理统计重点概念整理
江苏省考研数学复习资料概率论与数理统计重点概念整理一、概率论概率论是数学中的一个重要分支,研究随机事件发生的可能性。
在考研数学中,概率论是一个重要的考点,以下是其中的几个重点概念:1. 随机事件与样本空间:随机事件是指具有不确定性的事件,样本空间是指随机试验的所有可能结果构成的集合。
2. 概率:概率是指随机事件发生的可能性大小的度量,通常用一个介于0和1之间的实数表示。
3. 事件的运算:事件的运算包括并、交、差等操作,分别对应事件的合取、析取和互斥。
4. 条件概率:条件概率是指已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率。
5. 独立事件:如果事件A和事件B的发生与否互不影响,那么称事件A和事件B是相互独立的。
6. 排列与组合:排列是指从一组元素中取出一部分元素按照一定的顺序排列;组合是指从一组元素中取出一部分元素不考虑顺序排列。
二、数理统计数理统计是概率论的一个应用领域,主要研究收集的数据的整理、分析与推断。
在考研数学中,数理统计也是一个重要的考点,以下是其中的几个重点概念:1. 参数与统计量:参数是指总体的特征值,统计量是通过样本计算得到的总体参数的估计。
2. 随机变量与分布函数:随机变量是指随机试验结果的变量,分布函数是随机变量的分布规律。
3. 期望与方差:期望是随机变量的平均值,方差是随机变量偏离期望值的度量。
4. 假设检验:假设检验是对总体参数提出假设并通过样本数据来检验的统计方法。
5. 置信区间:置信区间是对总体参数的一个区间估计,表示对总体参数有一定程度的信心。
6. 卡方检验:卡方检验是用于检验观察频数与理论频数之间差异的统计方法。
以上是概率论与数理统计的一些重点概念,希望能给考生们提供一些复习的方向和重点。
当然,除了上述概念,考生们还需要掌握相应的公式和推导方法,通过大量的题目练习来加深对知识点的理解和掌握。
总结起来,要想在江苏省考研数学中取得好成绩,对概率论与数理统计这一部分的重点概念进行彻底理解是非常重要的。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式:
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x),求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时,FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时, FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为:
f
( x,
y)
非常全面的概率论与数理统计复习材料
为 21 的倍数的概率 p2;
解:p1=错误!=错误!, p2= 错误!= 错误!
前提是如果在某一区域任取一 例 1 把长度为 a 的棒任意折成三段,求它们可以构成一个三角形的概率;
点,而所取的点落在中任意两 解:设折得的三段长度分别为 x,y 和 a-x-y,那么,样本空间,S={x,y|0xa,0ya,0a-x-ya};
A、A=
B、AB= C、A错误!=
D、B=错误!
运 A1,A2,…,An 构成的一个完备事件组或分斥指 A1,A2,…,An 两两互不相容,且错误!Ai=
算
交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A 运
结合律 A∪B∪C=A∪B∪C A∩B∩C=A∩B∩C 算
分配律 A∪B∩C=AC∪BC A∩B∪C=A∪C∩B∪C 法
题 例 3 某物品成箱出售,每箱 20 件,假设各箱中含 0、1 件次品的概率分别为和,一顾客在购买时,他可以开箱,从箱中任取
三件检查,当这三件都是合格品时,顾客才买下该箱物品,否则退货;试求:1 顾客买下该箱的概率 ;
2 顾客买下该箱物品,问该箱确无次品的概率 ;
解:设事件 A0—箱中 0 件次品, A1—箱中 1 件次品,事件 B—买下该箱;由已知 PA0=, PA1=,
必然事件---每次试验中必定发生的事件; 不可能事件--每次试验中一定不发生的事件;
事 包含 AB 件 相等 A=B 之 对立事件,也称 A 的逆事件 间 互斥事件 AB=也称不相容事件 的 A,B 相互独立 PAB=PAPB 关
例 1 事件 A,B 互为对立事件等价于 D A、A,B 互不相容 B、A,B 相互独立 C、A∪B=Ω D、A,B 构成对样本空间的一个剖分 例 2 设 PA=0,B 为任一事件,则 C A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容
四川省考研数学复习资料概率论与数理统计重点知识点
四川省考研数学复习资料概率论与数理统计重点知识点概率论与数理统计是数学学科的重要分支,也是考研数学中的一大难点。
在四川省考研数学复习中,概率论与数理统计是必备的知识点。
本文将介绍概率论与数理统计的重点知识点,以帮助考生更好地复习。
一、概率论1. 随机事件与概率- 随机事件:具有不确定性的事件。
- 概率:随机事件发生的可能性大小。
2. 概率的性质与运算- 事件的互斥与相容:互斥事件指两个事件不可能同时发生,相容事件指两个事件可能同时发生。
- 概率的加法定理:指两个互斥事件发生的概率等于各自事件发生的概率之和。
- 概率的乘法定理:指两个相容事件发生的概率等于各自事件发生的概率之积。
3. 条件概率与独立性- 条件概率:指在已知一事件发生的情况下,另一事件发生的概率。
- 独立事件:指两个事件之间没有相互影响,一个事件的发生不会影响另一个事件发生的概率。
4. 随机变量与概率分布- 随机变量:随机试验结果的量化描述。
- 离散型随机变量:取有限或可数个数值的随机变量。
- 连续型随机变量:取连续数值范围内任意一个数值的随机变量。
二、数理统计1. 抽样与估计- 抽样:从总体中选取一部分观察对象的过程。
- 点估计:利用样本数据对总体参数进行估计。
- 区间估计:利用样本数据对总体参数进行区间估计。
2. 假设检验- 假设检验的基本步骤:提出原假设和备择假设、确定显著性水平、计算检验统计量、判断拒绝域、作出决策。
3. 方差分析- 方差分析的基本思想:通过对组间方差与组内方差进行比较,判断组间因素对总体均值的影响。
- 单因素方差分析:用于分析单个因素对结果的影响。
4. 回归分析- 线性回归分析:通过建立自变量与因变量之间的线性关系,对因变量进行预测与分析。
5. 相关分析- 相关系数:用于衡量两个变量之间的相关关系的强度与方向。
三、总结与复习建议概率论与数理统计在考研数学中占有重要的比重,考生在复习时应注重以下几点:首先,理解概念。
考研数学概率论与数理统计笔记知识点(全)
三 二二维连续型随机变量量(积分积出来的就是连续的)
1.定义:概率密度积分(二二重积分)
2.联合概率密度
1)性质:1.非非负性;2.规范性
2)应用用:求P,就是求二二重积分
在f(x,y)的连续点上,分布求二二阶倒数就是概率密度
步骤:1)画图(为了了解不不等式)
2)讨论
3)代入入(注意端点)
第三章 多维随机变量量及其分布
知识点:一一 二二维随机变量量及其分布函数 二二 二二维离散型随机变量量 三 二二维连续型随机变量量 四 二二维随 机变量量函数的分布
一一 二二维随机变量量及其分布函数
1.二二维随机变量量就是一一个(X,Y)向量量
要注意是一一维的(是用用一一个变量量表示)
4.离散+连续(一一定是使用用全概率公式的)
定义:X为离散型,Y为连续型,且相互独立立
六 全概率公式与⻉贝叶斯公式(关键在于完备事件组)
1.完备事件组:互斥是对立立的前提条件
2.全概率公式:由因到果(推导,画图)(全部路路径)
3.⻉贝叶斯公式:由果到因(推导,画图)(所占的比比例例)
Note:关键是1.完备事件组必须完备;2.要画图3注意抽签原理理
题型一一:概率的基本计算
1.事件决定概率,但是概率推不不出事件
3.边缘概率密度
1)具体就是边缘分布函数求导(详⻅见笔记)
Note:注意边缘的公式,在求时,注意取值范围,以及上下限(一一根直线传过去)(类似于 二二重积分的先积部分——后积先定限,限内画条线)
2)G是从几几何看出来的,不不要死记公式,要结合图像(G为非非零区域)
Note:1.在写公式之前要先保证分⺟母不不为0,即要先确定范围
山西省考研数学复习资料概率论与数理统计重要知识点总结
山西省考研数学复习资料概率论与数理统计重要知识点总结山西省考研数学复习资料—概率论与数理统计重要知识点总结一、概率论重要知识点总结概率论作为数学的一个重要分支,是研究随机事件规律的数学理论。
在山西省考研数学复习中,下面列举了一些概率论的重要知识点。
1. 随机事件与样本空间随机事件是指在一定条件下可能发生的结果。
样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合。
在概率论中,样本空间是一个基本概念,通过确定样本空间,可以明确随机事件的范围和可能性。
2. 概率公理概率公理是概率论的基础,包括两个公理:非负性和归一性。
非负性要求概率值必须大于等于0,归一性要求整个样本空间的概率之和等于1。
3. 条件概率与乘法公式条件概率是指在已知某一事件发生的条件下,另一事件发生的概率。
条件概率可以通过乘法公式计算,即P(A|B) = P(AB) / P(B),其中P(A|B)表示在B发生的条件下,A发生的概率。
4. 独立性与乘法公式两个事件A和B独立是指事件A的发生与否不受事件B的影响,反之亦然。
若A独立于B,则P(A|B) = P(A),P(B|A) = P(B)。
乘法公式可以用于计算独立事件的概率,即P(AB) = P(A)P(B)。
5. 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式是指通过已知条件下的多个互不相容事件,计算某一事件发生的概率。
贝叶斯公式是一种基于已知观测数据对事件发生概率进行调整的方法。
二、数理统计重要知识点总结数理统计是概率论在实际问题中的应用,是通过样本数据对总体进行推断的一种方法。
下面列举了一些数理统计的重要知识点。
1. 抽样与抽样分布抽样是指从总体中选取一部分个体进行观察和测量的过程。
抽样分布是指在一定条件下,样本统计量的分布规律。
常见的抽样分布有正态分布、t分布和F分布等。
2. 参数估计与区间估计参数估计是指通过样本数据对总体参数进行估计的方法。
常见的参数估计方法有矩估计和最大似然估计。
区间估计是指对总体参数给出一个范围估计,常用于给出参数估计的可信区间。
海南省考研数学(三)复习资料概率论与数理统计重点整理
海南省考研数学(三)复习资料概率论与数理统计重点整理概率论与数理统计是海南省考研数学(三)课程中的重要内容,对于考生来说是必须要掌握的知识点。
为了帮助考生更好地复习和准备这一部分内容,本文将对概率论与数理统计的重点进行整理,并提供相应的复习资料。
一、概率论概率论是研究不确定性情况下事件发生可能性的数学理论。
在海南省考研数学(三)中,概率论的复习重点主要包括以下几个方面:1. 随机变量与概率分布随机变量是指能够随机地取某个值的变量,概率分布描述了随机变量所取各个取值的概率。
在复习此部分内容时,可以重点关注离散型和连续型随机变量的概率分布,如二项分布、泊松分布、正态分布等。
2. 大数定律与中心极限定理大数定律描述了在独立重复试验的条件下,随着试验次数的增加,频率会趋近于概率的稳定值。
中心极限定理则指出,对于独立同分布的随机变量和,其和的标准化形式近似服从标准正态分布。
复习时需掌握大数定律和中心极限定理的表述和应用。
3. 随机过程随机过程可以看作是随机变量在时间上的演化,其中最重要的是马尔可夫过程和泊松过程。
对于海南省考研数学(三)而言,掌握其定义、特性和应用是重点内容。
二、数理统计数理统计是利用统计方法对数据进行收集、整理、分析和解释的学科。
在海南省考研数学(三)中,数理统计的复习重点主要包括以下几个方面:1. 参数估计参数估计是根据样本数据来估计总体参数值的方法,其中最常用的是点估计和区间估计。
复习时要熟悉常用的参数估计方法,如最大似然估计、矩估计等,并了解其性质和应用。
2. 假设检验假设检验是根据样本数据来对总体参数的假设进行检验的方法。
重点复习假设检验的基本思想、步骤和常见检验方法,如正态总体均值的检验、两样本均值的检验等。
3. 方差分析与回归分析方差分析用于比较两个或多个总体均值是否存在显著差异,回归分析则是用于研究自变量与因变量之间的关系。
在复习这两个部分时,需熟悉其基本原理和应用方法,并能够理解和解释相应的统计结果。
考研数学《概率论与数理统计》知识点总结
考研数学《概率论与数理统计》知识点总结引言《概率论与数理统计》是考研数学中的一个重要分支,它不仅要求学生掌握理论知识,还要求能够运用这些知识解决实际问题。
本文档旨在对《概率论与数理统计》的核心知识点进行总结,帮助考生系统复习。
第一部分:概率论基础1. 随机事件与样本空间随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
样本空间:所有可能结果的集合。
2. 概率的定义古典定义:适用于有限样本空间,每个样本点等可能发生。
频率定义:长期频率的极限。
主观定义:基于个人信念或偏好。
3. 概率的性质非负性:概率值非负。
归一性:所有事件的概率之和为1。
加法定理:互斥事件概率的和。
4. 条件概率与独立性条件概率:已知一个事件发生的情况下,另一个事件发生的概率。
独立性:两个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
5. 随机变量及其分布离散型随机变量:可能取有限个或可数无限个值。
连续型随机变量:可能取无限连续区间内的任何值。
分布函数:随机变量取值小于或等于某个值的概率。
第二部分:随机变量及其分布1. 离散型随机变量的分布概率质量函数:描述离散型随机变量取特定值的概率。
常见分布:二项分布、泊松分布、几何分布等。
2. 连续型随机变量的分布概率密度函数:描述连续型随机变量在某区间的概率密度。
常见分布:均匀分布、正态分布、指数分布等。
3. 多维随机变量及其分布联合分布:描述多个随机变量联合取值的概率。
边缘分布:从联合分布中得到的单一随机变量的分布。
条件分布:给定一个随机变量的条件下,另一个随机变量的分布。
第三部分:数理统计基础1. 数理统计的基本概念总体与样本:总体是研究对象的全体,样本是总体中所抽取的一部分。
统计量:根据样本数据计算得到的量。
2. 参数估计点估计:用样本统计量估计总体参数的单个值。
区间估计:在一定概率下,总体参数落在某个区间的估计。
3. 假设检验原假设与备择假设:研究问题中的两个对立假设。
检验统计量:用于决定是否拒绝原假设的量。
《概率论与数理统计》复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1.事件的关系φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2.运算规则(1)BAAB A B B A =⋃=⋃ (2))()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃(3)))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃(4)BA AB B A B A ⋃==⋃ 3.概率)(A P 满足的三条公理及性质:(1)1)(0≤≤A P (2)1)(=ΩP (3)对互不相容的事件n A A A ,,,21 ,有∑===nk kn k kA P A P 11)()( (n 可以取∞)(4)0)(=φP (5))(1)(A P A P -=(6))()()(AB P A P B A P -=-,若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)()(B P A P ≤(7))()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃(8))()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃4.古典概型:基本事件有限且等可能5.几何概率6.条件概率(1)定义:若0)(>B P ,则)()()|(B P AB P B A P =(2)乘法公式:)|()()(B A P B P AB P =若n B B B ,,21为完备事件组,0)(>i B P ,则有(3)全概率公式:∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()((4)Bayes 公式:∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7.事件的独立性:B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1.离散随机变量:取有限或可列个值,i i p x X P ==)(满足(1)0≥i p ,(2)∑iip=1(3)对任意R D ⊂,∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2.连续随机变量:具有概率密度函数)(x f ,满足(1)1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ;(2)⎰=≤≤badx x f b X a P )()(;(3)对任意R a ∈,0)(==a X P 3.几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布),1(p B p X P ==)1(,pq X P -===1)0(p pq 二项式分布),(p n B n k q p C k X P kn k k n ,2,1,0,)(===-,npnpqPoisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλλλ几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P k p 12p q 均匀分布),(b a U b x a a b x f ≤≤-= ,1)(,2b a +12)(2a b -指数分布)(λE 0,)(≥=-x e x f x λλλ121λ正态分布),(2σμN 222)(21)(σμσπ--=x ex f μ2σ4.分布函数)()(x X P x F ≤=,具有以下性质(1)1)( ,0)(=+∞=-∞F F ;(2)单调非降;(3)右连续;(4))()()(a F b F b X a P -=≤<,特别)(1)(a F a X P -=>;(5)对离散随机变量,∑≤=xx i ii px F :)(;(6)对连续随机变量,⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数,且在)(x f 连续点上,)()('x f x F =5.正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数,则有(1)5.0)0(=Φ;(2))(1)(x x Φ-=-Φ;(3)若),(~2σμN X ,则()(σμ-Φ=x x F ;(4)以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数,则)(1)(αααu u X P Φ-==>6.随机变量的函数)(X g Y =(1)离散时,求Y 的值,将相同的概率相加;(2)X 连续,)(x g 在X 的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=,若不单调,先求分布函数,再求导。
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概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P ∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为:(1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意:连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布 (1)X ~U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2 )参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--x t dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ~N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意:Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法:(1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立. 3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六.条件分布1.二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 ,}{},{jj i j j i pp y Y P y Y x X P ∙=====P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量 分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x) 数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)]i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如:样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i kik X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…),}{},{∙=====i ji i j i p p x X P y Y x X P二.抽样分布 即统计量的分布 1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ~N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点.3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ~N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP→∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.。