运筹学网络图PPT课件
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运筹学-7、图与网络分析PPT课件
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终止条件
所有节点都在同一连通分量中， 即生成树形成。
算法思想
从边开始，每次选择权值最小的 边加入，若形成回路则舍去，直 到生成树形成。
算法特点
适用于稀疏图，时间复杂度为 O(eloge)，其中e为边数。
最小生成树问题的应用
通信网络设计
在构建通信网络时，需要在保证所有节点连通的前提下，使得建设 成本最低。最小生成树算法可以用于求解此类问题。
活动时间的估计
对每个活动进行时间估计，包括乐观时间（a）、最 可能时间（m）和悲观时间（b），并计算期望时间 （t=（a+4m+b）/6）。
项目工期的计算
根据活动的逻辑关系和网络结构，计算项目 的期望工期，并确定项目的关键路径。
网络计划技术的应用
项目进度管理
网络计划技术可用于制定详细 的项目进度计划，确保项目按
图与网络的应用背景
图与网络分析的方法
介绍图与网络分析中常用的最短路径 算法、最小生成树算法、最大流算法 等。
阐述图与网络在交通运输、电路设计、 社交网络等领域的应用。
学习目标与要求
学习目标
掌握图与网络分析的基本概念和 常用算法，能够运用所学知识解 决实际问题。
学习要求
熟悉图与网络分析的基本概念和 常用算法，了解相关应用领域， 具备一定的编程能力和数学基础。
算法步骤
初始化距离数组和访问标记数组；从起点开始，选择距离起点最近的未访问节点进行访问 ，并更新其邻居节点的距离；重复上述步骤，直到所有节点都被访问。
运筹学课件 第8章 网络计划
• 美国海军武器局—计划评审技术PERT：类似流程 图的箭线图，它描绘出项目包含的各种活动的先 后顺序，表明每项活动的时间或相关的成本。主 要用于研究与开发项目。
基本概念
• 网络图（赋权有向图）：由箭线和节点构成，用 来表示工作流程的有向、有序的网状图形。它反 映整个工程任务的分解和合成。
5
1
2
a
网络计划
网络图 时间参数的计算 网络计划的优化和实施管理 图解评审法简介
基本概念
• 网络计划是通过网络图的制作，进行计划的优化， 通过其关键路线，实现管理者对工程项目的进度 控制。简单说，就是用网络分析的方法进行工程 项目计划和控制的一项管理技术。
• 杜邦公司—关键路线法CPM：是一个动态系统， 会随着项目的进度不断更新。主要用于以往在类 似工程中已取得一定经验的承包工程。
还要注意以下规则：
（1）网络图只能有一个总起点事项，一个总终 点事项
3
4
1
6
7
9
2
5
8
（2）网络图是有向图，不允许有回路
3
5
1
2
6
7
4
（3）节点i、j之间不允许有两个或两个以上的工 作
b
1
2
a
（4）虚工序的运用
3
4
7
1
6
9
2
5
8
（5）必须正确表示工作之间的前行、后继关系
b a
c
a c
b
1a
c4
• 路线的长度：完成该路线上的各项工序持续时间 的长度之和。
• 关键路线：网路中花费时间最长的时间和活动的 序列
• 次关键路线：花费时间次长的时间和活动的序列 • 关键工序：关键路线上的工序 • 工序时间（权），完成工序的时间消耗
基本概念
• 网络图（赋权有向图）：由箭线和节点构成，用 来表示工作流程的有向、有序的网状图形。它反 映整个工程任务的分解和合成。
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a
网络计划
网络图 时间参数的计算 网络计划的优化和实施管理 图解评审法简介
基本概念
• 网络计划是通过网络图的制作，进行计划的优化， 通过其关键路线，实现管理者对工程项目的进度 控制。简单说，就是用网络分析的方法进行工程 项目计划和控制的一项管理技术。
• 杜邦公司—关键路线法CPM：是一个动态系统， 会随着项目的进度不断更新。主要用于以往在类 似工程中已取得一定经验的承包工程。
还要注意以下规则：
（1）网络图只能有一个总起点事项，一个总终 点事项
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（2）网络图是有向图，不允许有回路
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（3）节点i、j之间不允许有两个或两个以上的工 作
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（4）虚工序的运用
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（5）必须正确表示工作之间的前行、后继关系
b a
c
a c
b
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• 路线的长度：完成该路线上的各项工序持续时间 的长度之和。
• 关键路线：网路中花费时间最长的时间和活动的 序列
• 次关键路线：花费时间次长的时间和活动的序列 • 关键工序：关键路线上的工序 • 工序时间（权），完成工序的时间消耗
xht运筹学课件——第6讲 双代号网络图
• 结点表示一个事项，又称为事件，代表工序的开始或 者结束。
• 在双代号网络图中，每道工序首尾都必须采用结点来 表示，连接工序箭尾的结点称为该工序的紧前事项， 连接工序箭头的结点称为该工序的紧后事项。
• 网络图的开始结点称为总开工事项，而最后工序的结 束结点称为完工事项。
• 在双代号网络图中，结点采用圆圈表示，圈内标注上 该结点的序号。
1 A1 2 A2 3 A3 5 B1 4 B2 6 B3 7
1 A 2 B 3E 5 D4C
平行工序的绘制：错误图
A
7
B 10
C
平行工序的绘制：正确图
8 A
E
B
7
10
C
F
9
交叉工序的绘制
a1
a2
a3
b1
b2
b3
网络图绘制 例 1
工序名称 A
B
C
D
紧前工序 — — A
B
2
C
A
4 1
B
3D
网络图绘制 例 2 正确吗？
• 工序最早结束时间tEF(i,j)： tEF(i,j)= tE(i)+ t(i,j)
• 工序最迟结束时间tLF(i,j)： tLF(i,j)= tL(j)
• 工序最迟开始时间tLS(i,j)： tLS(i,j)= tLF(i)- t(i,j)
工序的时差
• 工序总时差TF（i,j）:指在不影响整个工期的前提下， 工序最早开始（或结束）的时间可以推迟的时间。工 序总时差=最迟开工时间-最早开工时间 =最迟完工时间-最早完工时间
能结束时间。 • 箭头事项的最早时间等于箭尾事项最早时间加上作
业时间t(i,j) ，当同时有两个以上箭线指向箭
• 在双代号网络图中，每道工序首尾都必须采用结点来 表示，连接工序箭尾的结点称为该工序的紧前事项， 连接工序箭头的结点称为该工序的紧后事项。
• 网络图的开始结点称为总开工事项，而最后工序的结 束结点称为完工事项。
• 在双代号网络图中，结点采用圆圈表示，圈内标注上 该结点的序号。
1 A1 2 A2 3 A3 5 B1 4 B2 6 B3 7
1 A 2 B 3E 5 D4C
平行工序的绘制：错误图
A
7
B 10
C
平行工序的绘制：正确图
8 A
E
B
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C
F
9
交叉工序的绘制
a1
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网络图绘制 例 1
工序名称 A
B
C
D
紧前工序 — — A
B
2
C
A
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B
3D
网络图绘制 例 2 正确吗？
• 工序最早结束时间tEF(i,j)： tEF(i,j)= tE(i)+ t(i,j)
• 工序最迟结束时间tLF(i,j)： tLF(i,j)= tL(j)
• 工序最迟开始时间tLS(i,j)： tLS(i,j)= tLF(i)- t(i,j)
工序的时差
• 工序总时差TF（i,j）:指在不影响整个工期的前提下， 工序最早开始（或结束）的时间可以推迟的时间。工 序总时差=最迟开工时间-最早开工时间 =最迟完工时间-最早完工时间
能结束时间。 • 箭头事项的最早时间等于箭尾事项最早时间加上作
业时间t(i,j) ，当同时有两个以上箭线指向箭
第六章运筹学图与网络-PPT课件
C
哥尼斯堡七桥问题变为,能否从图 的某一点开始不重复地一笔画出 这个图形.你能一笔画出吗?
B 欧拉在论文中证明了这是不可 能的.为什么?
A
D
理由是:图上的每一个顶点都与 奇数条边相连接,不可能一笔画 出.
第一节 图的基本概念与基本定理 一.图的基本概念 日常生活中我们见过大量的图,如各种交通图, 各种管网图(电网图,自来水管网,煤气管网,计 算机网络).都是用点表示研究对象,用线(边) 表示这些对象间的关系.因此,图可以定义为点 和边的集合.记作G=[V,E],其中V是点的集合,E 是边的集合.在图的点和边上赋予权值(如距离, 费用,容量等)则称这样的图为网络图记为N,网 络图又可分有向网络图和无向网络图.
B
C
结果:比赛顺序 是A,C,B,F,E,D.
D
A
F
E
练习1 有甲,乙,丙,丁,戊,己六名运动员报名参 加A,B,C,D,E,F六个项目比赛.报名情况如下表, 问六个项目的比赛顺序如何安排,做到每名运 动员不连续参加两项比赛.
A 甲 乙 丙 丁 戊 己 * * * * * * * B C D * * * * * E F *
铁路的转用线,管理机构图,学科分类图,AHP决策方法 等,都可用树来表示.
树的特点:1.树是边数最多的无圈连通图,即在 树上再任意增加一条边,必定出现圈; 2.树的任意两点间,有一条且仅有一 条通路.也可以说,树是最脆弱的连通图,只要 在树中去掉任一条边,图就不连通了.
图的最小部分树(最小生成树):设 G 2 是一个图,如 果 G 1 是 G 2 的支撑子图(部分图),且 G 1 是一个树, 则称 G 1 是 G 2 的部分树.树的各条边称为树枝.在 图的每条边上赋予权值的图称为赋权图. 在 G 2 中一般含有许多部分树,其中树枝总长为 最小的部分树,称为该图的最小部分树.
哥尼斯堡七桥问题变为,能否从图 的某一点开始不重复地一笔画出 这个图形.你能一笔画出吗?
B 欧拉在论文中证明了这是不可 能的.为什么?
A
D
理由是:图上的每一个顶点都与 奇数条边相连接,不可能一笔画 出.
第一节 图的基本概念与基本定理 一.图的基本概念 日常生活中我们见过大量的图,如各种交通图, 各种管网图(电网图,自来水管网,煤气管网,计 算机网络).都是用点表示研究对象,用线(边) 表示这些对象间的关系.因此,图可以定义为点 和边的集合.记作G=[V,E],其中V是点的集合,E 是边的集合.在图的点和边上赋予权值(如距离, 费用,容量等)则称这样的图为网络图记为N,网 络图又可分有向网络图和无向网络图.
B
C
结果:比赛顺序 是A,C,B,F,E,D.
D
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E
练习1 有甲,乙,丙,丁,戊,己六名运动员报名参 加A,B,C,D,E,F六个项目比赛.报名情况如下表, 问六个项目的比赛顺序如何安排,做到每名运 动员不连续参加两项比赛.
A 甲 乙 丙 丁 戊 己 * * * * * * * B C D * * * * * E F *
铁路的转用线,管理机构图,学科分类图,AHP决策方法 等,都可用树来表示.
树的特点:1.树是边数最多的无圈连通图,即在 树上再任意增加一条边,必定出现圈; 2.树的任意两点间,有一条且仅有一 条通路.也可以说,树是最脆弱的连通图,只要 在树中去掉任一条边,图就不连通了.
图的最小部分树(最小生成树):设 G 2 是一个图,如 果 G 1 是 G 2 的支撑子图(部分图),且 G 1 是一个树, 则称 G 1 是 G 2 的部分树.树的各条边称为树枝.在 图的每条边上赋予权值的图称为赋权图. 在 G 2 中一般含有许多部分树,其中树枝总长为 最小的部分树,称为该图的最小部分树.
管理运筹学第7章网络计划.ppt
—
— A A D C， E
4
10 3 6 8
G
H I J K
制定生 产计划 筹备设 备 筹备原 材料 安装设 备 调集人 员
F
B， G B， G H G
3
2 8 5 2
F
2
L
准备开 I，J， 工生产 K
1
14
A 4
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D 6
3 E 8
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G 3
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K 2
B 10
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9 J 5
L 1
10
16
①最乐观时间：指在顺利情况下，完成工序所需的最少时间，用a表示 ②最可能时间：指在正常情况下，完成工序所需的时间，用m表示 ③最悲观时间：指在不利的情况下，完成工序所需的最长时间，用b表示 利用这三个时间，每道工序的期望工时可估计为：
a4 mb t(i, j) 6
ba 6
最低成本日程
费 用 总费用
直接费用
间接费用 优化工期 时间
30
【例2】某工程项目的初始网络计划如图所示。该工程有六道工序， 各工序的正常完成时间以及最短完成时间和直接费用表见表，工 程间接费率为0.25万元/月。试调整网络计划，降低工程总费用。
27
【例1】 在【引例】中为获得18万元的资金奖励，能否把 项目工期缩短为41周？如何对项目进行管理？
22 6
26 G 7
29 8
33 H 9
38 9
42
0 1
0 A 2
2 2
2 B 4
6 3
6 C 10
16
D 16 4 E 4 I 7 6
运筹学胡运权第五版(第6章)课件
零图： 边集为空集的图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学课件-第六章图与网络分析
运筹学课件-第六章 图与网络分析
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
运筹学第六章图与网络分析(ppt文档)
§6.1 图的基本概念和模型
一、概念
（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物
的抽象。记作 G=｛V,E｝, V=｛v1,v2,···,vn｝, 点：表示所研究的事物对象； E=｛e1,e2,···,em｝
边：表示事物之间的联系。
e0
（2）若边e的两个端点重 合，则称e为环。
（3）多重边：若某两端点之 间多于一条边，则称为多重边。
D 8 64 5 0 15
E 7 53 4 1 0 6
T 14 11 9 10 5 6 0
i
dir（1）
r
drj（1）
j
⑷ 构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短距 离矩阵 D（3）= dij（3）
其中
dij（3）=
min
r
{
dir（2）+
drj（2）
}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 13
dir（0）
r i
drj（0）
j
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达的最短距 离矩阵 D（2）= dij（2）
其中
dij（2）=
min
r
{
dir（1）+
drj（1）}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 14
A 2 0 2 3 6 5 11
B 4 20 1 43 9 D（2）= C 4 3 1 0 5 4 10
2. 破圈法：
⑴ 任取一圈，去掉其中一条最长的边， ⑵ 重复，至图中不存在任何的圈为止。
2. 破圈法
A
S
5 × B 5× D 5 T
C
4× E
最小部分树长Lmin=14
运筹学图与网络分析.pptx
{a12,a14,a34}
{a26,a46 } φ
min{ li Wij | Vj J } lh Whk
iI
min{l1+W12, l1+W13, l1+W14}= min{0+3,0+2,0+5}=2= l1+W13 min{l1+W12, l1+W13, l3+W34}= min{0+3,0+5,2+1}=3= l1+W12, l3+W34 min{l2+W26, l4+W46}= min{3+7,3+5}=8= l4+W46
{ a57,a68 }
min{ li Wij | Vj J } lh Whk
iI
min{l1+W12, l1+W13, l1+W14}= min{0+2,0+6,0+3}=2= l1+W12 min{l1+W13, l1+W14, l2+W23, l2+W26}= min{0+6,0+3,2+3, 2+7}=3= l1+W14 min{l1+W13,l2+W23, l2+W26, l4+W45}= min{0+6,2+3,2+7,3+6}=5= l2+W23 min{l2+W26, l3+W35, l3+W36, l4+W45}= min{2+7,5+3,5+7,3+6}=8= l3+W35 min{l2+W26, l3+W36, l5+W56, l5+W57}= min{2+7,5+7,8+1,8+6}=9= l2+W26, l5+W56 min{ l5+W57, l6+W68}= min{8+6,9+4}=13= l6+W68
{a26,a46 } φ
min{ li Wij | Vj J } lh Whk
iI
min{l1+W12, l1+W13, l1+W14}= min{0+3,0+2,0+5}=2= l1+W13 min{l1+W12, l1+W13, l3+W34}= min{0+3,0+5,2+1}=3= l1+W12, l3+W34 min{l2+W26, l4+W46}= min{3+7,3+5}=8= l4+W46
{ a57,a68 }
min{ li Wij | Vj J } lh Whk
iI
min{l1+W12, l1+W13, l1+W14}= min{0+2,0+6,0+3}=2= l1+W12 min{l1+W13, l1+W14, l2+W23, l2+W26}= min{0+6,0+3,2+3, 2+7}=3= l1+W14 min{l1+W13,l2+W23, l2+W26, l4+W45}= min{0+6,2+3,2+7,3+6}=5= l2+W23 min{l2+W26, l3+W35, l3+W36, l4+W45}= min{2+7,5+3,5+7,3+6}=8= l3+W35 min{l2+W26, l3+W36, l5+W56, l5+W57}= min{2+7,5+7,8+1,8+6}=9= l2+W26, l5+W56 min{ l5+W57, l6+W68}= min{8+6,9+4}=13= l6+W68
精选运筹学课件第八章图与网络分析资料
运筹学教程
v2
v6
e3
v3 e7
v5
运筹学教程
V= （ v1， v2，…... v6） E= （ e1， e2，…... e8） （e1）= （v1， v2） （e2）= （v1， v2） （e7）= （v3， v5） （e8）= （v4， v4） (e8)= (v4， v4),称为自回路(环)； v6是孤立点，v5为悬挂点，e7为悬挂边，顶点v3的次为 4，顶点v4的次为4。
2l23+ 2l36+ l69+ l98+ l23+ 2l87+ 2l74+ l41+ l12=51
运筹学教程
第二步：调整可行方案，使重复边最多为一次
重复边 的总长：
v3
l69+ l98+ l41+ l12=21
5
v2
第三步：检查每个初等圈是否 5
v1
定理条件2，如果不满足，进行
2 v6 4 v9
例：求解网络的中国邮路问题
运筹学教程
v3
5
v2
5
v1
2 v6 4 v9
3
3
6 v5 4 v8
4
4
9
v4 4 v7
v3
5
v2
5
v1
2 v6 4 v9
3
3
6
v5 4 v8
4
4
9
v4 4 v7
第一步：确定初始可行方案
先检查图中是否有奇点，如果无奇点，为欧拉图；如果
有奇点，图中的奇点的个数比为偶数个，所以可以两两 配对，构造二重边。图中有4个奇点，v2,v4,v6,v8,配对 v2-v4,v6-v8，构造二重边。重复边 的总长：
运筹学8图与网络分析PPT课件
v2
[v3 ,v4],[v1 ,v4],
[v2 ,v4], [v3 ,v3]}
v3 v4
图8.4
第12页/共166页
图8.5 是一个有向图D=（V，A）
其中V={v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 ,v6 ,v7}
A={(v1,v2),(v1,v3),(v3 ,v2)(v3 ,v4),(v2 ,v4),(v4 ,v5),
定理8.1 所有顶点度数之和等于所有边数
的2倍。
证明：因为在计算各个点的度时，每条边
被它的两个端点个用了一次。
第18页/共166页
定理8.2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。 证明：设 V1，V2 分别是图G中奇点和偶点的
集合，由定理8.1 ，有
d(v) d(v) d(v) 2q
vV1
随着科学技术的进步，特别是电子计算 机技术的发展，图论的理论获得了更进一步 的发展，应用更加广泛。如果将复杂的工程 系统和管理问题用图的理论加以描述，可以 解决许多工程项目和管理决策的最优问题。 因此，图论越来越受到工程技术人员和经营 管理人员的重视。
关于图的第一篇论文是瑞士数学家欧拉 （E. Euler）在1736年发表的解决“哥尼
(v4 ,v6),(v5 ,v3),(v5 ,v4), (v5 ,v6),(v6 ,v7)}
v3
v5
v7
v1 v6
v2
v4
图8.5
第13页/共166页
下面介绍一些常用的名词：
一 个 图 G 或 有 向 图 D 中 的 点 数 , 记 作 P(G) 或 P(D),简记作P,边数或者弧数,记作q(G)或者q(D), 简记作q 。
简单链：链中所含的边均不相同；
初等链：链中所含的点均不相同, 也称通路； 圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称 为闭链或回路或圈；
清华大学运筹学完整ppt课件2024新版
分支定界法的优缺点
优点是可以求解较大规模的整数规划 问题，缺点是计算量较大，需要多次 迭代和比较。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加割平面来切割掉原问题中不满足整数约束条件的部分，从而得到新的可行域，并 在新的可行域上继续求解。
割平面法的步骤
构造一个割平面，将原问题的可行域切割为两部分；求解切割后的问题，若得到的最优解 满足整数约束条件，则停止迭代；否则继续添加割平面进行切割，直到得到满足整数约束 条件的最优解或确定原问题无解。
线性规划问题的对偶理论与灵敏度分析
对偶问题
每一个线性规划问题都有一个与 之对应的对偶问题，对偶问题的 目标函数和约束条件与原问题密 切相关。
对偶性质
原问题和对偶问题之间存在一系 列重要的性质，如弱对偶性、强 对偶性等。
灵敏度分析
灵敏度分析用于研究当原问题的 参数发生变化时，最优解和最优 值会如何变化。这对于实际问题 中的决策制定具有重要意义。
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感谢聆听
最优解
03
目标函数等值线与可行域的交点中，使目标函数达到最优（最
大或最小）的点称为最优解。
单纯形法
初始基可行解
单纯形法从一个初始基可行解开始，该解通常是通过添加人工变 量构造的。
迭代过程
单纯形法通过一系列迭代过程，不断改进当前解，直到找到最优 解或确定问题无解。
旋转操作
在每次迭代中，单纯形法通过旋转操作将当前非基变量替换为基 变量，同数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是一类要求部分或全部 决策变量取整数值的数学规划问 题。
02
整数规划问题的分 类
根据整数变量的取值范围，可分 为纯整数规划、混合整数规划和 0-1整数规划。
运筹学_网络图共70页
பைடு நூலகம்
运筹学_网络图
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
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[TE (i) Tij ]
i
TE (1) 0
• 事项最迟时间
min TL (i)
[TL ( j) Tij ]
i
TL (n) TE (n)
11 14
3
D
B7
8
00 4 4
14
1A 2 4
14 5
E 12
10 C
F
7 4
14
14
26 26 31 31 35 35
8
G 5
9
H 4
10
第四章第九节
前言 第一节 网络图
一 、画网络图的规则 二、实例 三、网络图的分类
作 业 五 -1
网络计划
4.9 网络计划技术
• 网络计划技术的基本概念 • 网络图的绘制 • 网络图的时间参数计算 • 网络优化
一、网络计划技术的基本概念
• 工程计划与甘特图
–不易表现工程全貌 –不便于对各项工作的安排进行筹划和推敲 –不能识别影响进度的关键工作 –不能反映一项工作不能按进度完成时对工程进
2
B
5
C
C
4
绘制网络图的基本原则
• 网络图应从左向右延伸，编号应从小到大，且不 重复。箭头事项编号大于箭尾事项编号
• 网络图只能一个开始节点，一个终止节点 • 不能出现循环路线 • 尽量少交叉，采用暗桥；有层次性。
2
A
B
1
C
3
D 4
1A 2B 3 C 4D 5
2 使用暗桥
1
4
3
网络图的绘制步骤
作业时间的确定
• 对具有标准的作业，采用单一时间估计法 • 对一般性作业，采用三点时间估计法
–最乐观时间：a –最可能时间：m –最悲观时间：b
• 计算时间期望值和方差
作业时间计算方法
Te
a
4m 6
b
(b a) / 6
am
b
分布
事项参数的计算
• 事项最早时间
i Tij j
max TE ( j)
的总时间叫做工期 • 看下面的例子
网络图的路线
2
D
2
A 1
1
C3
E6
B
5
3
F
5
4 G 5
6
H 3
5
• 以上网络图共有8条路线
• 可以计算出这8条路线的总时间，最长的是16天。
• 关键路线是
1B 3 E 4 G 6
5
6
5
• 当某些工作的时间调整后，可能引起关键路线的变 化和工期的变化。例如将工作E的时间缩短为4天， 则工期缩短为13天，关键路线将变为
• 确定目标，做好准备工作 • 任务分解和分析 • 绘制网络图
表4-1 调查项目的任务分解和分析
作业代号 作业说明
周期(天) 紧前作业
A
系统地提出问题
4-
B
研究选点问题
7A
C
准备调研方案
10 A
D
收集资料，安排工作
8BB、C
F
准备有关表格
7C
G
实地调查
5 D、E、F
H
分析调查数据，写调查报告
图上计算法
矩阵法计算事项时间
TL TE
01 42 11 3 14 4 14 5 26 6 31 7 35 8
0 4 14 14 14 26 31 35
1 2 3 4 567 8
[0] 4 [0] 7 10 [3] [0]
08 07
[0] 12 [0] 5 [0] 4
[0]
作业时间参数的计算
• 作业开始最早时间 • 作业结束最早时间 • 作业开始最迟时间 • 作业结束最迟时间
度的影响
• 计划评审技术(PERT)与关键路线法(CPM)
–系统性和协调性 –动态性和可控性 –科学性
甘特图
时间 活动 一月 二月 三月四月 五月 六月 七月 八月 九月 A B C D E
前甘特图的网络图
4
E
B 2
2
1
C A2
3D 6
5
3
2
二、网络图的绘制
• 网络图的构成
• 作业（工作、工序、活动），箭头表示， 箭头之上表示工作名称，之下表示工作 时间。可有虚工作。
• 总时差 • 单时差
作业最早时间
TES (i, j) TE (i) TEF (i, j) TES (i, j) T (i, j)
作业最迟时间
TLF (i, j) TL ( j) TLS (i, j) TLF (i, j) T (i, j)
SUCCESS
THANK YOU
2019/5/30
4 14 4 14
1B 3 F 5 H 6
5
5
3
• 作业的串联
• 作业的并联 网络图的画法
3
B
1A2
C
D 4
5
E
6
• 作业的交叉
网络图的画法
1 a1
• 作业的合并
a2
2
3
a3
4
5 b1 6 b2 7
b3 8
3
B
D
1A2
E
5G
6
C
F
4
1A2
X
5
G
6
绘制网络图的基本原则
• 两事项间只能有一项作业
A
3
改为 A
2
B
5
4G
绘制作业图的方法
• 试探性绘制法 • 计算机辅助绘制法 • 流程图过渡绘制法
试探性绘制法：试探
3 B 1A 2 C
4
D
6
5E
8 G 9 H 10
F
7
试探性绘制法：修改
3
B7 1A 2
4 10 C
4
D 8
5
E 12
F 7
8
G 5
9
H 4
10
流程图过渡绘制法：流程图
F
C
E
G
H
A
B
D
流程图过渡绘制法：加事项
F
C
E
G
H
A
B
D
流程图过渡绘制法：去方框
7 F 10 3 C 5 8 E 11 13G 14 15 H 16 1 A 2 4 B 6 9 D 12
流程图过渡绘制法：修改
1A
5 C
4 B6
7F 8 E 13 G
D
15 H 16
三、网络图时间参数计算
• 作业时间的确定 • 事项时间参数的计算 • 作业时间参数的计算 • 关键路线的寻找方法 • 按期完成计划的概率
TE ( j) TLF TL ( j)
rij
Rij
Rij TE (i)
作业i-j
TLS
TE ( j) TLF TL ( j)
表4-3 作业时间参数计算
作业 作业时间
最早时间 最迟时间
代号 T(i,j)
紧前作业 开始 结束 开始 结束 总时差
A
4-
0
40
4
0
B
7A
4 11 7 14
3
C
10 A
• 事项，节点表示，表示某个工作的结束 和另一工作的开始。
工作名称
D
1
时间
2
i
0
j
一个基建项目网络图
1 始节点
设计
装配厂房 建设
制造
装配
3
4
制造结束 终节点 厂房装配开始
2 设计结束 制造开始
二、网络图的绘制
• 从开始节点到结束节点的一条路经叫做路线 • 一个网络图的有多条路线，每条路线有一个
总时间 • 总时间最长的路线叫做关键路线，关键路线
时差
总时差 单时差
Rij TLS (i, j) TES (i, j) TLF (i, j) TLS (i, j)
rij TE ( j) TEF (i, j) TES ( j, k) TEF (i, j)
时差之间的关系
TES TE (i) 作业i-j Tij
TEF