中考数学压轴题汇编(2020年整理).pdf

合集下载

2020年中考数学压轴题十大题型(含详细答案)

2020年中考数学压轴题十大题型(含详细答案)函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。

求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。

几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。

一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。

求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。

找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。

求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。

而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。

解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过树立点与数即坐标之间的对应干系，一方面可用代数方法研究几何图形的性子，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

关键是把握几种常用的数学思想方法。

一是运用函数与方程思想。

以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。

二是运用分类讨论的思想。

对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。

三是运用转化的数学的思想。

由已知向未知，由复杂向简单的转换。

中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。

因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。

(完整word版)中考数学压轴题100题精选

我选的中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线y a(x 1)2 3.3 (0)经过点A( 2, 0),抛物线的顶点为D，过O作射线OM // AD •过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC•(1 )求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动, 设点P运动的时间为t(s) •问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若OC OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t (s), 连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.My【002】如图16,在Rt A ABC中，/ C=90° AC = 3, AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP 于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t> 0).(1) ____________________ 当t = 2时，AP = __________ ，点Q到AC 的距离是_______________________ ;(2)在点P从C向A运动的过程中，求△ APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C (8，0)、D (8，8)•抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1) 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；⑵动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE± AB 交AC于点E，①过点E作EF丄AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ.在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得厶CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值。

2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(二)四边形中的计算和证明综合(原卷版)

图1@2 图3 二、四边形中的计算和证明综合题1. （2020安徽）如图1,已知四边形ABCD 是矩形，点E 在的延长线上，AE=AD. EC 与8D 相交于点 G,与A 。

相交于点F, AF=AB.求证：BDREC ；2. （2020黑龙江七台河）以Rt&BC 的两边AB 、AC 为边，向外作正方形ABDE 和正方形ACFG,连接EG, 过点A 作AMLBC 于M,延长MA 交EG 于点N.(1)如图①，若ZBAC=90° , AB=AC,易证：EN=GN ：(2)如图②，ZBAC=90c :如图③，匕8ACK90° , (1)中结论, 形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由.(2) 若AB=1,求AE 的长:如图2,连接AG,求证：EG ・DG= y/^AG.是否成立，若成立，选择一个图 (3) ® 1ENGB M C3.(2020黑龙江绥化)如图，在正方形A8CD中，A8=4,点G在边8C上，连接AG,作。

EVAG于点E,BGBFA.AG 于点、F,连接BE、OF,设ZEDF=a. ZEBF=B，— =k.BC(1)求证：AE=BF；(2)求证：tana=k・tai】。

：(3)若点G从点B沿8C边运动至点C停止，求点E, F所经过的路径与边A8围成的图形的面积.4. (2020湖南长沙)在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把左ADE沿AE翻折，使点。

恰好落在BC边上的点F.(1)求证：△ABFs/^FCE；(2)若AB=2V5, AO=4,求EC 的长：(3)若AE・DE=2EC,记N8AF=a, ZME=p.求tana+tanp 的值.5. （2020江苏连云港）（1）如图1,点P为矩形ABCD对角线上一点，过点P作EF〃BC,分别交A8、CD 于点、E、F.若BE=2, PF=6, ZkAEP 的面积为Si, 的面积为则Si+S2=:（2）如图2,点P为"ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点.设四边形AEPH的面积为Si，四边形PFCG的面积为S2 （其中S2>Si）,求△P8O的面积（用含Si、S?的代数式表示）：（3）如图3,点P为"BCD内一点（点P不在BD上）,过点P作EF〃A。

四川省成都市华阳中学2020年九年级中考数学第二轮压轴题：统计综合练习题(无答案,Word版)

四川省成都市华阳中学2019-2020 学年九年级中考数学第二轮压轴题：统计综合练习1、为积极响应成都市委政府“加快建设天蓝•水碧•地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种．为了更好地了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成如图两个不完整的统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）这次参与调查的居民人数为：；（2）请将条形统计图补充完整；（3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；（4）已知该街道辖区内现有居民 8 万人，请你估计这 8 万人中最喜欢玉兰树的有多少人？2、网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对 12﹣35 岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．请根据图中的信息，解决下列问题：（1）求条形统计图中 a 的值；（2）求扇形统计图中 18﹣23 岁部分的圆心角；（3）据报道，目前我国 12﹣35 岁网瘾人数约为 2000 万，请估计其中 12﹣23 岁的人数．3、小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）计算被抽取的天数；（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数；（3）请估计该市这一年（365 天）达到优和良的总天数．4、我市党的群众路线教育实践活动不断推进并初见成效．某县督导小组为了解群众对党员干部下基层、查民情、办实事的满意度（满意度分为四个等级：A、非常满意；B、满意；C、基本满意；D、不满意），在某社区随机抽样调查了若干户居民，并根据调查数据绘制成下面两个不完整的统计图．请你结合图中提供的信息解答下列问题．（1）这次被调查的居民共有户；（2）请将条形统计图补充完整．（3）若该社区有 2000 户居民，请你估计这个社区大约有多少户居民对党员干部的满意度是“非常满意”．根据统计结果，对党员干部今后的工作有何建议？5、“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中 B 等级所占圆心角的度数．6、为了了解学生在一年中的课外阅读量，九（1）班对九年级 800 名学生采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查的结果分为四种情况：A．10 本以下；B.10～15 本；C.16～20 本；D.20 本以上．根据调查结果统计整理并制作了如图所示的两幅统计图表：各种情况人数统计频数分布表课外阅读情况 A B C D频数20 x y 40（1）在这次调查中一共抽查了名学生；（2）表中x，y 的值分别为：x=，y=；（3）在扇形统计图中，C 部分所对应的扇形的圆心角是度；（4）根据抽样调查结果，请估计九年级学生一年阅读课外书 20 本以上的学生人数．7、某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：（1）求被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有 1200 名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？8、为了响应成都市政府“低碳出行、绿色出行”的号召，某中学数学兴趣小组在全校 2000 名学生中就上学方式随机抽取了 400 名学生进行抽样调查，经统计整理绘制出图 a、图 b 两幅不完整的统计图：A：步行；B：骑自行车；C：乘公共交通工具；D：乘私家车；E：其他．请根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）图a 中“B”所在扇形的圆心角为；（2）请在图 b 中把条形统计图补充完整；（3）请根据样本数据估计全校骑自行车上学的学生人数．9、某校八年级一班进行为期 5 天的图案设计比赛，作品上交时限为周一至周五，班委会将参赛逐天进行统计，并绘制成如图所示的频数直方图．已知从左到右各矩形的高度比为 2 ：3 ：4 ：6 ．且已知周三组的频数是 8．（1）本次比赛共收到件作品．（2）若将各组所占百分比绘制成扇形统计图，那么第五组对应的扇形的圆心角是度．（3）本次活动共评出 1 个一等奖和 2 个二等奖，若将这三件作品进行编号并制作成背面完全相同的卡片，并随机抽出两张，请你求出抽到的作品恰好一个一等奖，一个二等奖的概率．10、某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了 50 名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有 2000 名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号 A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．11、某校组织了一批学生随机对部分市民就是否吸烟以及吸烟和非吸烟人群对他人在公共场所吸烟的态度（分三类：A 表示主动制止；B 表示反感但不制止，C 表示无所谓）进行了问卷调查，根据调查结果分别绘制了如下两个统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）图1 中，“吸烟”类人数所占扇形的圆心角的度数是多少？（2）这次被调查的市民有多少人？（3）补全条形统计图．（4）若该市共有市民 760 万人，求该市大约有多少人吸烟？12、某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共 3000 本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．（1）这次统计共抽取了本书籍，扇形统计图中的m=，∠α的度数是；（2）请将条形统计图补充完整；（3）估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．13、为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：（1）在扇形统计图中，“合格”的百分比为；（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有人；（3）若该校九年级有400 名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有人．14、中央电视台举办的“中国汉字听写大会”节目受到中学生的广泛关注．某中学为了了解学生对观看“中国汉字听写大会”节目的喜爱程度，对该校部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图．在条形图中，从左向右依次为 A 类（非常喜欢），B 类（较喜欢），C 类（一般），D 类（不喜欢）．已知 A 类和B 类所占人数的比是 5：9，请结合两幅统计图，回答下列问题：（1）写出本次抽样调查的样本容量；（2）请补全两幅统计图；（3）若该校有 2000 名学生．请你估计观看“中国汉字听写大会”节目不喜欢的学生人数．15、亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了 100 名初中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表．类别时间 t（小时）人数A t≤0.5 5B 0.5＜t≤120C 1＜t≤1.5 aD 1.5＜t≤230E t＞2 10请根据图表信息解答下列问题：（1）a=；（2）补全条形统计图；（3）小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼的时间在什么范围内？（4）据了解该市大约有 30 万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在 1小时以上的人数．16、某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目（每位同学仅选一项）．根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：运动项目频数（人数）频率篮球30 0.25羽毛球m 0.20乒乓球36 n跳绳18 0.15其它12 0.10请根据以上图表信息解答下列问题：（1）频数分布表中的m=，n=；（2）在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为；（3）从选择“篮球”选项的30 名学生中，随机抽取3 名学生作为代表进行投篮测试，则其中某位学生被选中的概率是．17、随着人民生活水平不断提高，我市“初中生带手机”现象也越来越多，为了了解家长对此现象的态度，某校数学课外活动小组随机调查了若干名学生家长，并将调查结果进行统计，得出如下所示的条形统计图和扇形统计图．问：（1）这次调查的学生家长总人数为．（2）请补全条形统计图，并求出持“很赞同”态度的学生家长占被调查总人数的百分比．（3）求扇形统计图中表示学生家长持“无所谓”态度的扇形圆心角的度数．18、中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校 3000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩 x／分频数频率50 ≤x＜60 10 0. 0560 ≤x＜70 20 0. 1070 ≤x＜80 30 b80 ≤x＜90 a 0. 3090 ≤x＜100 80 0. 40请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=，b=；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在分数段；（4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优”等约有多少人？19、某学校举行一次体育测试，从所有参加测试的中学生中随机的抽取 10 名学生的成绩，制作出如下统计表和条形图，请解答下列问题：（1）孔明同学这次测试的成绩是87 分，则他的成绩等级是等；（2）请将条形统计图补充完整；（3）已知该校所有参加这次测试的学生中，有 60 名学生成绩是 A 等，请根据以上抽样结果，估计该校参加这次测试的学生总人数是多少人．编号成绩等级编号成绩等级①95 A ⑥76 B②78 B ⑦85 A③72 C ⑧82 B④79 B ⑨77 B⑤92 A ⑩69 C20、在中央文明办对 2019 年全国文明城市测评中，郴州市在全省五个全国文明城市提名城市中排名第一，成绩的取得主要得力于领导高度重视、整改措施有效、市民积极参与及市民文明素质进一步提高．郴州市某中学数学课外兴趣小组随机走访了部分市民，对 A（领导高度重视）、B（整改措施有效）、C（市民积极参与）、D（市民文明素质进一步提高）四个类别进行满意度调查（只勾选最满意的一项），并将调查结果制作了如下两幅不完整的统计图．（1）这次调查共走访市民人，∠α=度．（2）请补全条形统计图．（3）结合上面的调查统计结果，请你对郴州市今后的文明城市创建工作提出好的建议．21．在 2019CCTV 英语风采大赛中，成都市参赛选手表现突出，成绩均不低于 60 分．为了更好地了解娄底赛区的成绩分布情况，随机抽取利了其中 200 名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100 分）作为样本进行了整理，得到如图的两幅不完整的统计图表：根据所给信息，解答下列问题：（1）在表中的频数分布表中，m=，n=．成绩频数频率60≤x＜70 60 0.3070≤x＜80 m 0.4080≤x＜90 40 n90≤x≤10020 0.10（2）请补全图中的频数分布直方图．（3）按规定，成绩在 80 分以上（包括 80 分）的选手进入决赛．若娄底市共有 4000 人参数，请估计约有多少人进入决赛？22、为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学教学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中信息，解决下列问题：（1）求此次调查中接受调查的人数．（2）求此次调查中结果为非常满意的人数．（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的 4 位市民中随机选择 2 为进行回访，已知 4 为市民中有2 位来自甲区，另 2 位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率．23、在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：分组频数频率第一组（0≤x＜15） 3 0.15第二组（15≤x＜30） 6 a第三组（30≤x＜45）7 0.35第四组（45≤x＜60） b 0.20（1）频数分布表中a=，b=，并将统计图补充完整；（2）如果该校七年级共有女生 180 人，估计仰卧起坐能够一分钟完成 30 或30 次以上的女学生有多少人？（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？24、二孩政策的落实引起了全社会的关注，某校学生数学兴趣小组为了了解本校同学对父母生育二孩的态度，在学校抽取了部分同学对父母生育二孩所持的态度进行了问卷调查，调查分别为非常赞同、赞同、无所谓、不赞同等四种态度，现将调查统计结果制成了如图两幅统计图，请结合两幅统计图，回答下列问题：（1）在这次问卷调查中一共抽取了名学生，a=%；（2）请补全条形统计图；（3）持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为度；（4）若该校有 3000 名学生，请你估计该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和．25、某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年 365 天中随机抽取了 80 天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：AQI 指数质量等级天数（天）0﹣50 优m51﹣100 良44101﹣150 轻度污染n151﹣200 中度污染 4201﹣300 重度污染 2300 以上严重污染 2（1 ）统计表中m=，n=．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占%；（2 ）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？（3）据调查，严重污染的 2 天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．26、在读书月活动中，某校号召全体师生积极捐书，为了解所捐书籍的种类，图书管理员对部分书籍进行了抽样调查，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图表．请你根据统计图表所提供的信息回答下面问题：某校师生捐书种类情况统计表种类频数百分比A．科普类12 nB．文学类14 35%C．艺术类m 20%D．其它类 6 15%（1）统计表中的m=，n=；（2）补全条形统计图；（3）本次活动师生共捐书 2000 本，请估计有多少本科普类图书？。

2020中考数学函数型综合压轴题整理汇总

初中常见函数1、一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；2、反比例函数，它所对应的图像是双曲线；3、二次函数，它所对应的图像是抛物线。

求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。

典型伤J题1:如图1,二次函数尸*\2x+l的图象与一次函数产女他（鞋0）的图象交于4 8两点，点工的坐标为（0, 1）,点5在第一象限内，点。

是二次函数图象的顶点，点M是一次函数产/6（b0）的图象与x轴的交点，过点3作轴的垂线, 垂足为M 且S E^4]UDI S=a./avs=li 48.（1）求直线.函和直线3c的解析式；（2）点尸是线段.48上一点，点。

是线段BC上一点，尸。

，屋轴，射线尸0与抛物线交于点G,过点尸作尸£卜轴于点£,尸产1BC于点F.当PF与人的乘积最大时，在线段.络上找一点4（不与点4点月重合），使G小争H的值最小，求点H 的坐标和GH^BH的最小值；（3）如图2,直线.43上有一点K （3, 4）,将二次函数尸学一沿直线3c平移，平移的距离是r （之0）,平移后抛物线上点儿点C的对应点分别为点4,点C,当△4CK 是直角三角形时，求r的值.解：（1）.・.点C是二次函数）寺-2^1图象的顶点, /.C （2, -1）, TPElx 轴，AVlx 轴，:.XMAgXMBN,•S 二2%/QVB=】：48,S二49,/. OAi BN=h 7,OA=1/.BA=7,2 (舍)，X2=6・'・B (6, 7),•.N的坐标为(0, 1),.二直线AB解析式为尸什1, VC (2, -1) , B (6, 7), ・,・直线8c解析式为尸2x-5.设点尸（xo, xo+l ）,/ Xn+6 、:・D （C-, xo+1）,2・・・尸丹尸产最大时，尸Expo 也最大,PExP 氏(xo+1) (3-全)=-%哆o+3,・•・当x 管t ，PExPD 最大,即，PExPF 最大.此时G (5, -)是等腰直角三角形，过3作x 轴的平行线，G 小装4的最小值转化为求G 小H 氏的最小值，二当GH 和加I 在一条直线上时，的值最小, 此时H (5, 6),最小值为7-悬乙乙(3)令直线8c 与x 轴交于点/,/./ (1. 0)7:.N, 2V, AV=h 2,・•・沿直线BC 平移时，横坐标平移m 时,纵坐标则平移2m,平移后，(m1+2m), C (2+m, - 1+2 用), ：.4CT, dK=5启-18kl8, "=5m 2 - 22m+26,当/4KU=90。

2020年中考数学压轴题题型专练：规律探索题(含答案)

2020中考数学压轴题题型专练：规律探索题类型一数式规律1. 将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10；23，14，4，32，25；…若2的位置记为(1，2)，23的位置记为(2，1)，则38这个数的位置记为________．(4，4)【解析】∴当10n －2＝38时，n ＝4，∴38这个数的位置记为(4，4)． 2. 按一定规律排列的一列数：－12，1，－1，，－911，1113，－1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．1 【解析】将原来的一列数变形为－12，33，－55，，－911，1113，－1317，…，观察这列数可得奇数项为负数，偶数项为正数，分子是依次从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.3. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．－12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝ 22＋12，－103＝－32＋13，174＝ 42＋14，－265＝－52＋15，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.4. 已知a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－a 1，a 3＝ 11－a 2，…，a n ＋1＝ 11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2018＝ ________(用含t 的代数式表示)． 1－t 【解析】根据题意得：a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－t t －1＝ 1－t ，a 3＝ 11－1＋t ＝ 1t ，a 4＝ 11－1t＝ t t －1， (2018)3＝ 672……2，∴a 2018的值为1－t . 5. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，…，这列数是由小明按照一定规律写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么30后三个连续数应该是________．31，62，63 【解析】通过观察可知，下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的2倍，在同一组数中的前后两个数相差1，由此可得30后三个连续数为31，62，63.类型二图形累加规律1. 如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案中有5个菱形纸片，第2个图案中有9个菱形纸片，第3个图案中有13个菱形纸片，按此规律，第10个图案中有________个菱形纸片．第1题图41【解析】观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1＋1个菱形纸片，第2个图案有9＝4×2＋1个菱形纸片，第3个图案中有13＝4×3＋1个菱形纸片，…，第n个图形中有4n＋1个菱形纸片，故第10个图案中有4×10＋1＝41个菱形纸片．2. 如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第2题图n2＋n【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的正方形的个数为n(n＋1)＝n2＋n.3. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为________．第3题图85【解析】可以分两部分观察，上半部分小圆圈个数为：1＋2＋3＋…＋n ＋n＋1，下半部分小圆圈个数为n2，所以第⑦个图形小圆圈个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋72＝85.4. 如图是用棋子摆成的“T”字图案：从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．则摆成第n个图案需要________枚棋子．第4题图3n＋2【解析】观察图案可知，图案分成两部分，横向的横子数量依次为3，5，7，…，纵向的棋子数量依次为2，3，4，…，∴第n个图案棋子数量为2n＋1＋(n＋1)＝3n＋2.5. 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上(包括两个顶点)都摆有n(n≥3)盆花，每个图案中花盆总数为S，按照图中的规律可以推断S与n(n≥3)的关系是________．第5题图n2－n【解析】n＝3时，S＝6＝3×2，n＝4时，S＝12＝4×3，n＝5时，S ＝20＝5×4，…，依此类推，当边数为n时，S＝n(n－1)＝n2－n.类型三图形成倍递变规律1. 如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝33x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为()A. (32)2015 B. (32)2016C. (32)2017 D. (32)2018第1题图B【解析】由y＝33x，得直线l的倾斜角为30°，∵点A0坐标为(2，0)，∴OA0＝2，∴OA1＝32OA0＝3，OA2＝32OA1＝32，OA3＝32OA2＝334，OA4＝32OA3＝98，…，∴OA n＝(32)n OA0＝2×(32)n.∴OA2016＝2×(32)2016，A2016A2017＝12×2×(32)2016＝(32)2016.2. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．第2题图8，2n-1【解析】∵函数y＝x与x轴正半轴的夹角为45°，∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A(8，4)，∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n－1.3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2，…，如此操作下去，得到菱形I2016，则I2016的面积是________．第3题图(12)4033ab 【解析】由题意得，菱形I 1的面积为：12AG ·AE ＝12×12a ×12b ＝(12)3ab ，菱形I 2的面积为：12FQ ·FN ＝12×(12×12a )×(12×12b )＝(12)5ab ；…；菱形I n 的面积为：(12)2n ＋1ab .∴当n ＝2016时，菱形I 2016的面积为(12)4033ab .4. 如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以O 10为圆心，O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径长是________．第4题图29 【解析】如解图，作O 1C 、O 2D 、O 3E 分别⊥OB ，∵∠AOB ＝30°，∴OO 1＝2CO 1，OO 2＝ 2DO 2，OO 3＝2EO 3，∵O 1O 2＝DO 2，O 2O 3＝ EO 3，O 1C ＝1，∴O 2D ＝2，O 3E ＝4，∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On 的半径为2n －1CO 1，∵⊙O 1的半径为1，∴⊙O 10的半径长＝ 29.第4题解图类型四图形周期变化规律1. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)第1题图B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2018个梅花图案中，共有________个“”图案．第2题图505【解析】∵2018÷4＝504……2，∴有505个．3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．第3题图(0，21009)【解析】点B的位置依次落在第一象限、y正半轴、第二象限、x负半轴、第三象限、y负半轴、第四象限、x正半轴…，每8次一循环.2018÷8＝252……2，所以B2018落在y轴正半轴，故B2018的横坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，所以OB2018＝(2)2018＝21009，所以B2018的坐标为(0，21009)．4. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．第4题图(5，3)，(134633＋896)π 【解析】如解图，翻滚3次后点B 的对应点是B 3，作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝ 5，B 3E ＝ 3，B 3(5，3)，观察图象可知翻滚3次为一个循环，一个循环点M 的运动路径为MM 1︵、M 1M 2︵、M 2M 3︵，120 ·π ·3180＋120 ·π ·1180＋120 ·π ·1180＝23＋43π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672×23＋43π＋23π3＝ (134633＋896)π.第4题解图。

2020年中考数学10道压轴题(附答案)(4)

2020年中考数学10道压轴题（附答案）1.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22）2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=o ，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向A BCD ERP H QA BCM N P图 3OABC MND图 2OACMNP图 1O旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于3，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，4请说明理由.5如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.6如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点.（1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.7.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能，求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．8.如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数xk y 的图象上．（1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1，则点P 1的坐标为，点Q 1的坐标为．C D A BE F NMxO yAB 友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．x O y 123 1 QP 2 P 1Q 19.如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线223(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，3OB =，矩形ABOC绕点O 按顺时针方向旋转60o 后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；A OxyBFC（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11.已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式．（2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？y xOD EC FA B12.在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标X A,X B是关于X的方程2(2)10-++-=的两根:x m x n(1)求m，n的值(2)若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式(3)过点D任作一直线`l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则11+的值是否为定值，若是，求出定值，若不CM CN是，请说明理由13.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. (1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；(3)△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bac a b 44,22）14.已知抛物线c bx ax y ++=232，ACO BNDML`（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．15.已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．图②A Q CPB图①QP16.已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点.第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线k y x=上的动点.过点B 作BD ∥y 轴于点D.过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k y x=于点E ，交BD 于点C.（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值. （2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式.（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA ＝pMP ，MB ＝qMQ ，求p －q 的值.压轴题答案1. 解：（ 1）由已知得：310c b c =⎧⎨--+=⎩解得c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为2y x =-+(2)4）所以对称轴为x=1,A,E 关于称，所以E(3,0)D BCE NO A Myx设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅=11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9 （3）相似如图，2222112BG DG +=+=22223332BO OE +=+= 22222425DF EF ++=所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且2AO BO BD BE ==所以AOB DBE ∆∆:.2 解：（1）Q Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．Q 点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=o Q ，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=g ．（2）QR AB Q ∥，90QRC A ∴∠=∠=o ．C C ∠=∠Q ，RQC ABC ∴△∽△， RQ QCAB BC∴=，10610y x-∴=，即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+．（3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=o Q ，290C ∠+∠=o ，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BAC CR CA ==Q ， 366528x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形． 3解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．∴AM AN AB AC=，即43x AN =． ∴ AN ＝43x ． (2)分ABCD ERP H QM 21 A BCD E RP HQA BCD E R PHQACM NP 图 1O∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ……………3分（2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ．在Rt △ABC 中，BC ＝22AB AC +=5．由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =， ∴58OD x =． (5)分过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==．在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QMBC AC=．∴55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线B C 相切． (7)分（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ． ∴ △AMO ∽ △ABP ． ∴12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2． ABCMND图 2O QAC MNP图 3O故以下分两种情况讨论： ① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x＝2时，2332.82y =⨯=最大 (8)分② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ． ∴ ()424PF x x x =--=-．又△PEF ∽ △ACB ． ∴2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴ ()2322PEF S x ∆=-． (9)分MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．……………………1分当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ∴当83x =时，满足2＜x＜4，2y =最大． (11)分综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是ABCMN图 4OEF2． …………………………12分4 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23B(3∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33k =-,以直线AB 的解析式为343y x =-+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o , ∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=2219AO OP +如图，作BE ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30° ∴GD=12BD=33+3=53,∴GB=32BD=32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+= ∴D(532,72) (3)设OP=x,则由（2）可得D(323,22x x +)若ΔOPD 的面积为：133(2)2x x +=g 解得：2321x -±=所以2321-±,0) yxH G E DBA OP567解：（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ． ……………1分 ∵ AB ∥CD ，∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ．∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1．∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°， ∴ △AGD ≌△BHC （HL ）．∴ AG ＝BH ＝2172-=-GH AB ＝3． ………2分 ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4．C D ABE F NMG H∴()174162ABCD S +⨯==梯形． ………………………………………………3分（2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ， ∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ． ∴ 四边形MEFN 为矩形． ∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）．∴ AE ＝BF ． ……………………4分设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ． ……………5分 ∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ． ∴ DGMEAG AE =．∴ME ＝x 34． …………………………………………………………6分 ∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN矩形． (8)分当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．……………9分（3）C D E FNMG H能． ……………………………………………………………………10分由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34．若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．即=34x 7－2x ．解，得1021=x ． ……………………………………………11分∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4．∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形．8解：（1）由题意可知，()()()131-+=+m m m m ．解，得 m ＝3． ………………………………3分∴ A （3，4），B （6，2）；∴ k ＝4×3=12． ……………………………4分（2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设M 1点坐标为（x 1，0），N 1点坐标为（0，y 1）．∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形，∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 点坐标为（3，4），B 点坐标为（6，2）， ∴ N 1点坐标为（0，4－2），即N 1（0，2）； ………………………………5分xO yAB M 1N 1M 2 N 2M 1点坐标为（6－3，0），即M 1（3，0）． ………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ，把x ＝3，y ＝0代入，解得321-=k ．∴ 直线M 1N 1的函数表达式为232+-=x y ． (8)分②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为（x 2，0），N 2点坐标为（0，y 2）．∵ AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， ∴ N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称． ∴ M 2点坐标为（-3，0），N 2点坐标为（0，-2）． ………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22-=x k y ，把x ＝-3，y ＝0代入，解得322-=k ，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为232--=x y ．所以，直线MN 的函数表达式为232+-=x y 或232--=x y ． (11)分（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分 9解：（1）Q 直线33y x =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(03)C -， ········································· 1分Q 点A C ，都在抛物线上，23033a c c ⎧=++⎪∴⎨⎪-=⎩ 333a c ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为2323333y x x =-- ····················· 3分 ∴顶点4313F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ··········································· 4分（2）存在 ················································ 5分 1(03)P -， ··················································· 7分 2(23)P -， ··················································9分（3）存在 ·············································· 10分理由：解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点．······························· 11分过点B '作B H AB '⊥于点H ．B Q 点在抛物线2323333y x x =--上，(30)B ∴，在Rt BOC △中，3tan 3OBC ∠=，30OBC ∴∠=o ，23BC =，在Rt BB H '△中，1232B H BB ''==，36BH B H '==，3OH ∴=，(323)B '∴--， (12)分设直线B F '的解析式为y kx b =+A O xyBFC HBM233433k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨-=+⎪⎩ 解得36332k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩33362y x ∴=- ············································ 13分3333362y x y x ⎧=--⎪∴⎨=-⎪⎩ 解得371037x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，310377M ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴在直线AC上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时310377M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． ··········································· 14分解法二：过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交AC 于点M ，则点M 即为所求． 11分过点F 作FG y ⊥轴于点G ，则OB FG ∥，BC FH ∥．90BOC FGH ∴∠=∠=o ，BCO FHG ∠=∠HFG CBO ∴∠=∠同方法一可求得(30)B ，．在Rt BOC △中，3tan 3OBC ∠=，30OBC ∴∠=o ，可求得33GH GC ==，GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形， AC ∴垂直平分FH ．即点H 为点F 关于AC 的对称点．5303H ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭， ············· 12分设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得A OxyBF C HM G03533k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得539533k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩553393y ∴=··········································· 13分55339333y x y x ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 解得37103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩310377M ⎛∴- ⎝⎭， ∴在直线AC上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时31037M ⎛ ⎝⎭． 110解：（1）点E 在y 轴上 ·································· 1分理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =Q ，3BO =，2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠=o 由题意可知：60AOE ∠=o306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=o o oQ 点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． (3)分（2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =Q ，30DOM ∠=o∴在Rt DOM △中，12DM =，32OM =Q 点D 在第一象限，∴点D 的坐标为3122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ····································· 5分由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，∴点A 的坐标为(31)， ······································ 6分Q 抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=由题意，将(31)A ，，312D ⎫⎪⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得 3321331242a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得8953a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线表达式为：285329y x x =-+ (9)分（3）存在符合条件的点P ，点Q ． ······················ 10分理由如下：Q 矩形ABOC 的面积3AB BO ==g ∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为3由题意可知OB 为此平行四边形一边，又3OB =QOB ∴边上的高为2 ······································· 11分依题意设点P 的坐标为(2)m ，Q 点P 在抛物线285329y x x =-+上 2853229m ∴-+= 解得，10m =，2538m =-1(02)P ∴，，25328P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，Q 以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，3PQ OB ==， ∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q 的坐标分别为1(32)Q -，，2(32)Q ，；当点2P 的坐标为5328⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，时，点Q 的坐标分别为313328Q ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，43328Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． ·············· 14分（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分） 11解：（1）在2334y x =-+中，令0y =23304x ∴-+= 12x ∴=，22x =-(20)A ∴-，，(20)B ， ······················ 1分又Q 点B 在34y x b =-+上 302b ∴=-+ 32b = BC ∴的解析式为3342y x =-+ ·································2分（2）由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 2220x y =⎧⎨=⎩ ···················· 4分914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)B ，y xO D EC FA B Mx yA B CE M D P N O4AB ∴=，94CD = ··········································· 5分 1994242ABCS ∴=⨯⨯=△ ·········································6分（3）过点N 作NP MB ⊥于点PEO MB ⊥Q NP EO ∴∥BNP BEO ∴△∽△ ············································7分 BN NPBE EO∴=················································· 8分由直线3342y x =-+可得：302E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴在BEO △中，2BO =，32EO =，则52BE = 25322t NP∴=，65NP t ∴= ········································ 9分 16(4)25S t t ∴=-g g2312(04)55S t t t =-+<< ······································ 10分2312(2)55S t =--+ ·········································· 11分Q 此抛物线开口向下，∴当2t =时，125S =最大∴当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为125．12解： (1)m=-5,n=-3 (2)y=43x+2(3)是定值.因为点D 为∠ACB 的平分线，所以可设点D 到边AC,BC 的距离均为h ，设△ABC AB 边上的高为H, 则利用面积法可得：222CM h CN h MN H⋅⋅⋅+=（CM+CN ）h=MN ﹒HCM CN MNH h+=又 H=CM CNMN⋅化简可得 (CM+CN)﹒1MN CM CN h=⋅故 111CM CN h+=13解：（ 1）由已知得：310c b c =⎧⎨--+=⎩解得 c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅=11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9 （3）相似如图，2222112BG DG +=+=yxDEA BFOG22223332BO OE +=+= 22222425DF EF ++=所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且22AO BO BD BE ==所以AOB DBE ∆∆:.14解（Ⅰ）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ，方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，312=x ．∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫⎪⎝⎭，． ········· 2分（Ⅱ）当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤31． ······ 3分①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ．此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫-⎪⎝⎭，． · 4分②当31<c 时，11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，c c y +=++=5232．由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31-=x ，应有1200.y y ⎧⎨>⎩≤，即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，解得51c -<-≤．综上，31=c 或51c -<-≤． ······························ 6分（Ⅲ）对于二次函数c bx ax y ++=232，由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ，又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23．于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．∴0>>c a ． ············································· 7分 ∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式0])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b ，∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方．8分又该抛物线的对称轴abx 3-=，由0=++c b a ，0>c ，02>+b a ，得a b a -<<-2， ∴32331<-<a b ．又由已知01=x 时，01>y ；12=x 时，02>y ，观察图象，可知在10<<x 范围内，该抛物线与x 轴有两个公共点． ··· 10分15 解：（1）由题意：BP ＝tcm ，AQ ＝2tcm ，则CQ ＝(4－2t)cm ， ∵∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，∴AB ＝5cm ∴AP ＝（5－t ）cm ，x∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP ∶AB ＝AQ ∶AC ，即（5－t ）∶5＝2t ∶4，解得：t ＝107∴当t 为107秒时，PQ ∥BC ………………2分（2）过点Q 作QD ⊥AB 于点D ，则易证△AQD ∽△ABC ∴AQ ∶QD ＝AB ∶BC ∴2t ∶DQ ＝5∶3，∴DQ ＝65t∴△APQ 的面积：12×AP ×QD ＝12（5－t ）×65t ∴y 与t 之间的函数关系式为：y ＝2335t t -………………5分（3）由题意：当面积被平分时有：2335t t -＝12×12×3×4，解得：t 55± 当周长被平分时：（5－t ）＋2t ＝t ＋（4－2t ）＋3，解得：t ＝1∴不存在这样t 的值………………8分（4）过点P 作PE ⊥BC 于E易证：△PAE ∽△ABC ，当PE ＝12QC 时，△PQC 为等腰三角形，此时△QCP ′为菱形∵△PAE ∽△ABC ，∴PE ∶PB ＝AC ∶AB ，∴PE ∶t ＝4∶5，解得：PE ＝45t∵QC ＝4－2t ，∴2×45t ＝4－2t,解得：t ＝109∴当t ＝109时，四边形PQP ′C 为菱形此时，PE ＝89，BE ＝23，∴CE ＝73………………10分在Rt △CPE 中，根据勾股定理可知：PC 22PE CE +2287()()93+＝5059505cm ………………12分16 解：（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入14y x =中，得y ＝－2.∴B 点坐标为（－8，－2）.而A 、B 两点关于原点对称，∴A （8，2）从而k ＝8×2＝16（2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A ，B ，M ，E 四点均在双曲线上,∴mn ＝k ，B （－2m ，－2n），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）DCNO S 矩形＝2mn ＝2k ，DBO S △＝12mn ＝12k ，OEN S △＝12mn ＝12k.∴OBCE S 矩形＝DCNO S 矩形―DBO S △―OEN S △＝k.∴k ＝4.由直线14y x =及双曲线4y x=，得A （4，1），B （－4，－1） ∴C （－4，－2），M （2，2）设直线CM 的解析式是y ax b =+，由C 、M 两点在这条直线上，得4222a b a b -+=-⎧⎨+=⎩，解得a ＝b ＝23∴直线CM 的解析式是y ＝23x ＋23.（3）如图，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1，M设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a.于是111A M MA a mp MP M O m-===，同理MB m aq MQ m+== ∴p －q ＝a m m -－m am+＝－2D B CE N O A My xQ A 1M 1。

陕西中考数学压轴题(2020年7月整理).pdf

陕西中考数学历年压轴题1、（15）如图，在每一个四边形ABCD 中，均有AD//BC,CD ⊥BC, ∠ABC=60°，AD=8，BC=12.(1)如图①，点M 是四边形ABCD 边AD 上的一点，则△BMC 的面积为__________； (2)如图②，点N 是四边形ABCD 边AD 上的任意一点，请你求出△BNC 周长的最小值；(3)如图③，在四边形ABCD 的边AD 上，是否存在一点P,使得cos ∠BPC 的值最小？若存在，求出此时cos ∠BPC 的值；若不存在，请说明理由。

2、（14）问题探究（1）如图①，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果BC 边上存在点P,使△APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰△APD ，并求出此时BP 的长；（2）如图②，在△ABC 中，∠ABC=60°，BC=12，AD 是BC 边上的高，E,F 分别为边AB 、AC 的中点，当AD=6时，BC 边上存在一点Q ，使∠EQF=90°。

求此时BQ 的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面为③的五边形ABCDE ，山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB ，现只要使∠AMB 大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳。

已知∠A=∠E=∠D=90°。

AB=270m 。

AE=400m ，ED=285m,CD=340m,问在线段CD 上是否存在点M ，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM 的长；若不存在，请说明理由。

┓ ② ③C A AB C F ED CAA B E D A3、（13）问题探究（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由.问题解决（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB+CD=BC ，点P 是AD 的中点.如果AB=a ，CD=b ，且b ＞a ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由.4、（12）如图，正三角形ABC的边长为．（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E F 、在边AB 上，顶点N 在边AC 上．在正三角形ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形''''E F P N ，且使正方形''''E F P N 的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形''''E F P N 的边长；（3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE EF 、在边AB 上，点P N 、分别在边CB CA 、上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由． 5、（2011）如图①，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于F ，然后展开铺平，则以B 、E 、F 为顶点的三角形△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕△BEF”是一个等腰三角形（2）如图②、在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E 位于AD 的（第25题图） ① ② ③中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？6、（2010）问题探究（1）请你在图①中做一条．．直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。

2020年中考数学几何压轴题训练及答案

2020年中考几何压轴题训练及答案几何压轴题（一）1、面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m＞0，四边形ABCD是矩形。

（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，求m，n的值；（2）在图2中，画出矩形ABCD，简要说明点C，D的位置是如何确定的，并直接用含m的代数式表示点C的坐标；（3）探究：当m为何值时，矩形ABCD的对角线AC的长度最短。

2、△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．3、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB=6cm，BC=cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．4、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．5、以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知A（﹣4，0），B（0，﹣2），M（0，4），P为折线BCD上一动点，作PE⊥y轴于点E，设点P的纵坐标为a．（1）求BC边所在直线的解析式；（2）设y=MP2+OP2，求y关于a的函数关系式；（3）当△OPM为直角三角形时，求点P的坐标．6、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．7、如图，一次函数y=k1x+5（k1＜0）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y=（k2＞0）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1．（1）求k2﹣k1的值；（2）若=，求反比例函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由．8、已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．①写出BP，BD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．9、（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE 是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．10、边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C 不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．（1）连接CQ，证明：CQ=AP；（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE= BC；（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．11、如图在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q 为圆心，PQ长为半径作⊙Q．（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1、【解答】解：（1）如图1，过点D作DE⊥y轴于E，∴∠AED=∠AOB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∴∠DAE+∠BAO=90°，∴∠ADE=∠BAO，在△ABO和△ADE中，，∴△ABO≌△ADE，∴DE=OA，AE=OB，∵A（0，3），B（m，0），D（n，4），∴OA=3，OB=m，OE=4，DE=n，∴n=3，∴OE=OA+AE=OA+OB=3+m=4，∴m=1；（2）画法：如图2，①过点A画AB的垂线l1，过点B画AB的垂线l2，②过点E（0，4），画y轴的垂线l3交l1于D，③过点D画直线l1的垂线交直线l2于点C，所以，四边形ABCD是所求作的图形，过点C作CF⊥x轴于F，∴∠CBF+∠BCF=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠ABO+∠CBF=90°，∴∠BCF=∠ABO，同理：∠ABO=∠DAE，∴∠BCF=∠DAE，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF=n，AE=CF=1，易证△AOB∽△DEA，∴，∴，∴n=，∴OF=OB+BF=m+，∴C（m+，1）；（3）如图3，由矩形的性质可知，BD=AC，∴BD最小时，AC最小，∵B（m，0），D（n，4），∴当BD⊥x轴时，BD有最小值4，此时，m=n，即：AC的最小值为4，连接BD，AC交于点M，过点A作AE⊥BD于E，由矩形的性质可知，DM=BM=BD=2，∵A（0，3），D（n，4），∴DE=1，∴EM=DM﹣DE=1，在Rt△AEM中，根据勾股定理得，AE=，∴m=，即：当m=时，矩形ABCD的对角线AC的长最短为4。

中考数学压轴题汇编二次函数综合题训练(含答案)

2020中考数学压轴题汇编二次函数综合题训练（含答案）1.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A，B，C，已知点A的坐标为(－3，0)，点B坐标为(1，0)，点C在y轴的正半轴，且∠CAB＝30°.(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线l∶y＝3x＋m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D，E.①当m＞0时，在线段AC上是否存在点P，使得P，D，E构成等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l的对称线段A′C′与该二次函数图象有交点，请直接写出m的取值范围．解：（1）在Rt△AOC中，∠CAB＝30°，∵A(－3，0)，即OA＝3，∴OC＝3，即C(0，3)，可设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，将C(0，3)代入解析式得－3a＝3，解得a＝－3 3 .∴y＝－33(x＋3)(x－1)＝－33x2－233x＋3；（2）由题意可知，OE＝m，OD＝33m，∠DEO＝30°，第1题解图①①(ⅰ)如解图①，当PD ⊥DE ，PD ＝DE 时，作PQ ⊥x 轴于点Q ， ∴∠PQD ＝∠EOD ＝90°，∴∠PDQ ＋∠EDO ＝90°，∠EDO ＋∠DEO ＝90°， ∴∠DEO ＝∠PDQ ＝30°， ∴△DPQ ≌△EDO (AAS)， ∴DQ ＝OE ＝m ，∵∠PAQ ＝∠PDQ ＝30°， ∴PA ＝PD ，∴AQ ＝DQ ＝m ， ∴OA ＝2m ＋33 m ＝3，∴m ＝96＋3＝18－3311>0，∴x p ＝－(OE3＋QD )＝－15＋3311，y p ＝PQ ＝AQ 3＝63－311，∴P (－15＋3311，63－311)；(ii)如解图②，当PE ⊥DE ，PE ＝DE 时，作PQ ⊥y 轴于点Q ，第1题解图②同理可得OE ＝m ，CQ ＝EQ ＝OD ＝33m ，∴OC ＝m ＋233 m ＝3，∴m ＝6－33>0；设直线PE 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1， ∵PE ⊥l ，∴k 1＝－13＝－33，代入E (0，6－33)得y 1＝－33x ＋6－33，设直线AC 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2， ∵过点A (－3，0)和点C (0，3)，∴y 2＝33x ＋ 3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－33x ＋6－33y 2＝33x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33－6y ＝3－3，即点P (33－6，3－3)；(iii)如解图③，当PD ⊥PE ，DP ＝PE 时，作DM ⊥AC ，EN ⊥AC ，第1题解图③可得AP ＝AD ＝9－3m 3，PN ＝DM ＝12AD ＝9－3m 6，CN ＝3－m2，∴AC ＝9－3m 3＋9－3m 6＋3－m2＝23，∴m ＝9－333＋1＝63－9>0.过点P 作PK ⊥x 轴于点K ， ∵AP ＝9－3m3，∠KAP ＝30°，∴KP ＝12×9－3m 3＝33－32，∴AK ＝3KP ＝9－332，∴OK ＝AO －AK ＝33－32，即点P (3－332，33－32)．综上所述，当m ＞0时，在线段AC 上存在点P ，使得P ，D ，E 构成等腰直角三角形，点P 的坐标为(－15＋3311，63－311)或(33－6，3－3)或(3－332，33－32)；②m 的取值范围为－33≤m ≤ 3.2.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过点(2，6)，且与直线y ＝12x ＋1相交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (4，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)若P 是直线AB 上方该抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AB 于点E ，求线段PE 的最大值；(3)在(2)的条件下，设PC 与AB 相交于点Q ，当线段PC 与BE 互相平分时，请求出点Q 的坐标．第2题图解：（1）∵BC ⊥x 轴，垂足为点C (4，0)，且点B 在直线y ＝12x ＋1上，∴点B 的坐标为(4，3)，∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过点(2，6)和点B (4，3)，∴⎩⎨⎧4a ＋2b ＋1＝616a ＋4b ＋1＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝92，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋92x ＋1；（2）设动点P 的坐标为(x ，－x 2＋92x ＋1)(0<x <4)，则点E 的坐标为(x ，12x ＋1)，∵PD ⊥x 轴于点D ，且点D 在x 轴上， ∴PE ＝PD －ED ＝(－x 2＋92x ＋1)－(12x ＋1)＝－x 2＋4x＝－(x －2)2＋4，则当x ＝2时，线段PE 的值最大，最大值为4；（3）∵线段PC 与BE 互相平分， ∴△PEQ ≌△CBQ ， ∴PE ＝BC ，∴－x 2＋4x ＝3，即x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∵点Q 分别是PC ，BE 的中点，且点Q 在直线y ＝12x ＋1上，∴①当x ＝1时，点Q 的横坐标为1＋42＝52，则点Q 的坐标为(52，94)；②当x ＝3时，点Q 的横坐标为3＋42＝72，则点Q 的坐标为(72，114)．综上所述，点Q 的坐标为(52，94)或(72，114)．3.如图，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点B ，E 两点，与y 轴交于点A ，OB＝8，tan ∠ABD ＝1，动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C ，D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C ，D 停止运动．(1)求抛物线的解析式；(2)求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式；当t 为何值时，△CED 的面积最大？最大面积是多少？(3)当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，若存在，直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：（1）∵OB ＝8，tan ∠ABD ＝1， ∴OA ＝OB ＝8，∴A (0，8)，B (8，0)．把点A (0，8)，B (8，0)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝8－12×82＋8b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝3c ＝8，∴抛物线解析式为y ＝－12x 2＋3x ＋8；（2）令y ＝0时，有－12x 2＋3x ＋8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8， ∴E (－2，0)， ∴BE ＝10，∵S △CED ＝12DE ·OC ，∴S ＝12t (10－t )＝－12t 2＋5t ，∴S 与t 的函数解析式为S ＝－12t 2＋5t ＝－12(t －5)2＋252(0≤t ≤8)，∴当t ＝5时，△CED 的面积最大，最大面积为252；（3）存在，P 点坐标为(8，0)或(43，1009)或(343，－2009)．【解法提示】当△CED 的面积最大时，t ＝5，即BD ＝DE ＝5，此时要使S △PCD ＝S △CED ，CD 为公共边，只需求出过点B 、或点E 且平行于CD 的直线即可，如下：第3题解图设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，由(2)可知OC ＝5，OD ＝3， ∴C (0，5)，D (3，0)，把C (0，5)、D (3，0)代入，得⎩⎨⎧b ＝53k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－53b ＝5， ∴直线CD 的解析式为y ＝－53x ＋5，∵DE ＝DB ＝5，∴过点B 且平行于CD 的直线为y ＝－53(x －5)＋5，过点E 且平行于CD 的直线为y ＝－53(x ＋5)＋5，与抛物线解析式联立得方程①：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x －5)＋5，解得x 1＝8，x 2＝43，方程②：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x ＋5)＋5，解得x 3＝343，x 4＝－2，分别将x 的值代入抛物线的解析式，得y 1＝0，y 2＝1009，y 3＝－2009，y 4＝0，又∵P 点不与E 点重合，∴满足题意的P 点坐标有3个，分别是P 1(8，0)，P 2(43，1009)，P 3(343，－2009)．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y 轴交于点C ，且其对称轴l 为直线x ＝－1，点P 是抛物线上B ，C 之间的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P 的位置时发现：当动点N 在对称轴l 上时，存在PB ⊥NB ，且PB ＝NB 的关系，请求出点P 的坐标；(3)是否存在点P 使得四边形PBAC 的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC 面积的最大值，若不存在，请说明理由．第4题图解：（1）y ＝x 2＋2x －3；【解法提示】∵A (1，0)，对称轴l 为直线x ＝－1， ∴B (－3，0)，∴⎩⎨⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3；（2）如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，连接BP ，过点B 作BN ⊥PB 交直线l 于点N ，设抛物线的对称轴与x 轴交于点Q ， ∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°. ∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°. ∴∠BPM ＝∠NBQ . 又∵PB ＝NB ， ∴△BPM ≌△NBQ . ∴PM ＝BQ .由(1)得y ＝x 2＋2x －3， ∵Q (－1，0)，B (－3，0) ∴BQ ＝2， ∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点，且点P 的纵坐标为－2，将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3，解得x1＝－1－2，x2＝－1＋2(不合题意，舍去)，∴点P 的坐标为(－1－2，－2)；第4题解图①（3）存在．如解图②，连接AC ，BC ，CP ，PB ，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ， ∵A (1，0)，B (－3，0)，C (0，－3)， ∴S △ABC ＝12×3×4＝6，直线BC 的解析式为y ＝－x －3.设P (t ，t 2＋2t －3)，则D (t ，－t －3)，∴S △BPC ＝12×3×(－t －3－t 2－2t ＋3)＝－32t 2－92t ，∴S 四边形PBAC ＝－32t 2－92t ＋6＝－32(t ＋32)2＋758，当t ＝－32时，S 四边形PBAC 存在最大值，最大值为758.此时点P 的坐标为(－32，－154)．第4题解图②5.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE.已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)分别求出点B和点E的坐标；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．第5题图解：（1）抛物线的函数表达式为y＝12x2－3x－8；（2）点B的坐标为(8，0)．点E的坐标为(3，－4)；（3）需分两种情况进行讨论：①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，如解图①，第5题解图①∵点E 的坐标为(3，－4)， ∴OE ＝32＋42＝5，过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则OM OP ＝OE OQ， ∴OM ＝OE ＝5，∴点M 的坐标为(0，－5)，设直线ME 的函数表达式为y ＝k 1x －5， ∴3k 1－5＝－4，解得k 1＝13，∴直线ME 的函数表达式为y ＝13x －5，H 在直线ME 上，令y ＝0，解得x ＝15， ∴点H 的坐标为(15，0)．又∵MH ∥PB ，∴OP OM ＝OB OH ，即－m 5＝815， ∴m ＝－83；②当QO ＝QP 时，△OPQ 是等腰三角形，如解图②，∵当x ＝0时，y ＝12x 2－3x －8＝－8，第5题解图②∴点C 的坐标为(0，－8)， ∴CE ＝32＋（8－4）2＝5，∴OE ＝CE ， ∴∠1＝∠2，又∵QO ＝QP ， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴CE ∥PB .设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为y ＝k 2x －8， ∴3k 2－8＝－4，解得k 2＝43，∴直线CE 的函数表达式为y ＝43x －8，令y ＝0，得43x －8＝0，∴x ＝6，∴点N 的坐标为(6，0)． ∵CN ∥PB .∴OP OC ＝OB ON，∴－m 8＝86，解得m ＝－323.综上所述，当m 的值为－83或－323时，△OPQ 是等腰三角形．6.如图，点A (－2，0)、B (4，0)、C (3，3)均在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，点D 在y 轴上，且DC ⊥BC ，∠BCD 绕点C 顺时针旋转后两边与x 轴、y 轴分别相交于点E ，F . (1)求抛物线的解析式；(2)CF 能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E 的坐标；若不能，说明理由； (3)若△FDC 是等腰三角形，求点F 的坐标．第6题图解：（1）∵抛物线与x 轴有两个交点A (－2，0)、B (4，0)， ∴可设抛物线解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)，将C (3，3)代入得a (3＋2)(3－4)＝3，解得a ＝－35，故抛物线的解析式是y ＝－35(x ＋2)(x －4)＝－35x 2＋65x ＋245；（2）能，理由如下：如解图①，过点C 作CH ⊥y 轴于点H ，CS ⊥x 轴于点S .第6题解图①由抛物线的解析式可以求得顶点M 的坐标为M (1，275)，∴由C ，M 两点坐标可以求得CM 即CF 的直线方程为y ＝－65x ＋335，∴F 点坐标为(0，335)．∵∠FCH ＋∠HCE ＝90°，∠ECS ＋∠HCE ＝90°， ∴∠ECS ＝∠HCF ，又∵CH ＝CS ，∠CHF ＝∠CSE ＝90°， ∴△FCH ≌△ECS (ASA)， ∴FH ＝SE ＝335－3＝185，∴EO ＝185－3＝35，∴E (－35，0)，即CF 能经过抛物线的顶点，此时点 E 的坐标为(－35，0)（3）如解图②，由C ，B 两点坐标利用待定系数法可以求得CB 直线方程为：y ＝－3x ＋12，过点C 作CH ⊥y 轴于点H ，CS ⊥x 轴于点S ，第6题解图②∵C(3，3)，B(4，0)，四边形HOSC是正方形，OS＝3，∴BS＝1，∵∠HCD＋∠DCS＝90°，∠BCS＋∠DCS＝90°，∴∠DCH＝∠BCS，∴△DCH≌△BCS(ASA)，∴DH＝SB＝1，OD＝2，∴D(0，2)，由C、D两点坐标可以求得CD＝10，则△FDC是等腰三角形可以有三种情形：①FC＝CD＝10，则DH＝1，FH＝1，则F点坐标为(0，4)；②FD＝CD＝10，则F点坐标为(0，2＋10)；③FD＝FC，设F(0，m)，∵FC2＝FH2＋HC2，∴FC2＝(m－3)2＋32，又∵FD＝m－2，∴(m－3)2＋32＝(m－2)2，∴m＝7，故F(0，7)．综上所述，点F的坐标为(0，4)或(0，2＋10)或(0，7)．7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋6x＋c(a≠0)交y轴于点A，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知点A的坐标为(0，－5)，点B的坐标为(1，0)．(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：（1）抛物线解析式为y＝－x2＋6x－5，顶点坐标为(3，4)；（2）抛物线的对称轴与⊙C相离．∵当y＝0时，x＝1或x＝5，∴B(1，0)，C(5，0)，由(1)知抛物线的对称轴为x＝3，如解图①所示，设切点为E，连接CE，第7题解图①由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，∴ABBC＝OBCE，即52＋124＝1CE， ∴CE ＝426＝42626＝22613；而点C 到对称轴x ＝3的距离为2，∵2＞22613， ∴抛物线的对称轴与⊙C 相离；（3）存在．当AC 为直角边时，有两种情况：①∠PCA ＝90°，②∠PAC ＝90°. ①当∠PCA ＝90°时，如解图②所示，点P 在x 轴上方．第7题解图②∵A (0，－5)，C (5，0)，∴△AOC 为等腰直角三角形，∠OCA ＝45°；∵PC ⊥AC ，∴∠PCO ＝45°.过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，则△PCF 为等腰直角三角形．设点P 的的坐标为(m ，－m 2＋6m －5)，则PF ＝FC ，∴－m 2＋6m －5＝5－m ，解得：m ＝2或m ＝5.当m ＝5时，点P 与点C 重合，故舍去，∴点P 坐标为(2，3)；②当∠PAC ＝90°时，如解图③所示，点P 在x 轴下方．∵A (0，－5)，C (5，0)，∴△AOC 为等腰直角三角形，∠OAC ＝45°；过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，第7题解图③∵PA⊥AC，∴∠PAF＝45°，即△PAF为等腰直角三角形．设点P的坐标为(t，－t2＋6t－5)，且AF＝PF，∴－5－(－t2＋6t－5) ＝t，解得：t＝0或t＝7，当t＝0时，点P的与点A重合，故舍去，∴点P坐标为(7，－12)．综上所述，存在点P使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，点P的坐标为(2，3)或(7，－12)．8.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F，使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．第8题图解：（1）∵点A (－2，0)与点B 关于直线x ＝1对称，∴B (4，0)，将点A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝016a ＋4b ＋c ＝0c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝1c ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；（2）不存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17，理由如下：第8题解图∵B (4，0)，C (0，4)，∴BC 的解析式为y ＝－x ＋4，如解图，过点F 作x 轴垂线，交BC 于G ，设F 点的坐标为(m ，－12m 2＋m ＋4)，则G (m ，－m ＋4)， ∴FG ＝(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m ， ∴S 四边形ABFC ＝S △ABC ＋S △BCF＝12AB ·y C ＋12FG ·(x B －x C ) ＝12×6×4＋12×4(－12m 2＋2m )＝17，整理得m 2－4m ＋5＝0，∵b 2－4ac ＝16－4×1×5＝－4<0.∴方程无解，∴F 点不存在；（3）当x ＝1时，－12x 2＋x ＋4＝92，即D (1，92)．当x ＝1时，－x ＋4＝3，即E (1，3)，∴DE ＝92－3＝32. 设Q 点坐标为(m ，－12m 2＋m ＋4)，则P (m ，－m ＋4)． ∴|PQ |＝|(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)|＝|－12m 2＋2m |. 由PQ ∥DE ，PQ ＝DE 得|－12m 2＋2m |＝32， ∴－12m 2＋2m ＝32或－12m 2＋2m ＝－32，解得m 1＝1(PQ 与DE 重合，舍去)，m 2＝3，m 3＝2＋7，m 4＝2－7.∴P 点坐标为(3，1)或(2＋7，2－7)或(2－7，2＋7)．9.如图，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ，点M 为抛物线的对称轴上的一个动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点M 在x 轴的上方时，求四边形COAM 周长的最小值；(3)在平面坐标内是否存在点N ，使以C ，P ，M ，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图备用图解：（1）∵直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，∴B (3，0)，C (0，3)，把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得 ⎩⎨⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝－4c ＝3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；（2）∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2，∵点A 与点B (3，0)关于直线x ＝2对称，∴点A 的坐标为(1，0)，∴OC ＝3，OA ＝1，OB ＝3，∴BC ＝OC 2＋OB 2＝32，∵四边形COAM 的周长＝OA ＋OC ＋MA ＋MC ，∴当点M 为线段BC 与抛物线的对称轴的交点时，MA ＋MC 的值最小，且线段BC 的长就是MA ＋MC 的最小值，∴四边形COAM 周长的最小值＝OC ＋OA ＋BC ＝3＋1＋32＝4＋32；（3）存在，以C ，P ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，即存在以C ，P ，M 为顶点的三角形是等腰三角形，点M 的坐标为(2，32)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)．【解法提示】∵对称轴为x ＝2，P (2，－1)，设M (2，t )，且C (0，3)，∴MC ＝22＋（t －3）2 ＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25，∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC ＝MP 、MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M (2，32)； ②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M (2，7)；③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M (2，－1＋25)或(2，－1－25)．10. 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与点A 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA －MC |最大？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，∴⎩⎨⎧9＋3b ＋c ＝01＋b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4c ＝3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；（2）令x ＝0，则y ＝3，∴C (0，3)，则直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，设点P (x ，x 2－4x ＋3)，∵PD ∥y 轴，∴点D (x ，－x ＋3)，∴PD ＝(－x ＋3)－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x＝－(x －32)2＋94， ∵a ＝－1<0，∴当x ＝32时，线段PD 的长度有最大值，最大值为94；（3）存在．由抛物线的对称性得，对称轴垂直平分线段AB ，∴MA ＝MB ，当M 、B 、C 不在同一条直线上时，由三角形的三边关系得，|MA －MC |＝|MB －MC |<BC ，当M 、B 、C 三点共线时，|MA －MC |＝|MB －MC |＝BC ，∴|MA －MC |≤BC ，即当点M 在BC 的延长线上时，|MA －MC |最大，最大值即为BC 的长度，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵B (1，0)，C (0，3)，∴⎩⎨⎧k ＋b ＝0b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－3b ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝－3x ＋3，∴当x ＝2时，y ＝－3×2＋3＝－3，∴点M (2，－3)，即抛物线对称轴上存在点M (2，－3)，使|MA －MC |最大．。

2020年中考九年级数学旋转压轴题专题复习(WORD版,包含答案)

四川省渠县三中 2020 年中考九年级数学旋转压轴题专题复习练习1、填空或解答：点 B、C、E 在同一直线上，点 A、D 在直线 CE 的同侧，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，直线 AE、BD 交于点 F．（1）如图①，若∠BAC=60°，则∠AFB=；如图②，若∠BAC=90°，则∠ AFB= ；（2）如图③，若∠BAC=α，则∠AFB=（用含α的式子表示）；（3）将图③中的△ABC绕点 C 旋转（点 F 不与点 A、B 重合），得图④或图⑤．在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是∠AFB=90°；在图⑤中，∠AFB与∠ α的数量关系是．请你任选其中一个结论证明．2、如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P 在AC 上，将△ABP绕顶点 B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；（2）当AB=4，AP：PC=1：3 时，求 PQ 的大小；（3）当点 P 在线段 AC 上运动时（P 不与 A 重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．3、如图 1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板 DEF 的直角顶点 D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为 DE，长直角边为 DF），将直角三角板 DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．（1）在图 1 中，DE 交AB 于M，DF 交BC 于N．①证明 DM=DN；②在这一过程中，直角三角板 DEF 与△ABC的重叠部分为四边形 DMBN，请说明四边形 DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图 2 的位置，延长 AB 交DE 于M，延长 BC 交DF 于N，DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图 3 的位置，延长 FD 交BC 于N，延长 ED 交AB 于M，DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出写出结论，不用证明．4、已知△ABC中，∠ACB=135°，将△ABC绕点A 顺时针旋转90°，得到△AED，连接 CD，CE．（1）求证：△A CD 为等腰直角三角形；（2）若BC=1，AC=2，求四边形 ACED 的面积．5、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，tan∠B=，点P 在BC 边上，且BP=3．以点 P 为中心，将△ABC中按逆时针方向旋转90°至△A′B′C′，A′C′与 AC、BC 分别交于点 R、Q，B′C′与AC、BC 分别交于点 S、P．求：（1）线段PC′的长；（2）线段 RS 的长．6、如图，把一块含60°的三角尺 ACB 与边长为 2 的正方形 ACFG 按如图所示重叠在一起，∠B=30°．若把三角尺绕直角顶点 C 按顺时针方向旋转，使斜边 AB 恰好经过正方形 ACFG 的顶点 F，得△PCN，PC，PN 交AB 于D、E．（1）求∠BAC的度数；（2）△ACB至少旋转多少度才能得到△PCN？请通过计算说明理由；（3）试求出△ACB与△PCN的重叠部分（即四边形 CDEF）的面积（精确到 0.01）．7、如图 1，△ABC与△DEF中，AB=AC，D 为BC 的中点，∠EDF+∠BAC=180°，直线DF 、 DE 分别交直线AB 、AC 于点P 、Q．（1）如图 2，∠BAC=60°，猜想 BP+QC 与BC 的关系，并说明理由；（2）当∠BAC=120°，BP+QC 与BC 的关系为；（3）当∠BAC=α，探究 BP+QC 与BC 的关系，并说明理由；（4）如图 3，当△DEF绕点 D 旋转时，其他条件不变，（3）中的结论是否一定成立？若成立，请你写出一个真命题；若不成立，请你画图说明．8、把两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 EFG（其直角边长均为 4）叠放在一起（如图①），且使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合．现将三角板 EFG 绕 O 点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH 与 CK 有怎样的数量关系四边形 CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连接 HK ，在上述旋转过程中，设 BH=x ，△GKH 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的？若存在，求出此时 x 的值；若不存在，说明理由．9、将两块含 30°角且大小相同的直角三角板如图 1 摆放．（1）将图 1 中△A 1B 1C 绕点 C 顺时针旋转 45°得图 2，点 P 1 是 A 1C 与 AB 的交点，求证：CP 1=AP 1；（2）将图 2 中△A 1B 1C 绕点 C 顺时针旋转 30°到△A 2B 2C （如图 3），点 P 2 是 A 2C与 AB 的交点．线段 CP 1 与 P 1P 2 之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图 3 中线段 CP 1 绕点 C 顺时针旋转 60°到 CP 3（如图 4），连接 P 3P 2，求证： P 3P 2⊥AB．10、如图，平面直角坐标系中，△ABC 为等边三角形，其中点 A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，﹣1）、（﹣3，﹣3）、（﹣3+，﹣2）．现以 y 轴为对称轴作△ABC 的对称图形，得△A 1B 1C 1，再以 x 轴为对称轴作△A 1B 1C 1 的对称图形，得△A 2B 2C 2．（1）直接写出点 C 1、C 2 的坐标；（2）能否通过一次旋转将△ABC 旋转到△A 2B 2C 2 的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）；（3）设当△ABC 的位置发生变化时，△A 2B 2C 2、△A 1B 1C 1 与△ABC 之间的对称关系始终保持不变．①当△ABC向上平移多少个单位时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合并直接写出此时点C 的坐标；②将△ABC绕点A 顺时针旋转α°（0≤α≤180），使△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时α的值为多少点 C 的坐标又是什么？11、如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF 和BE．（1）线段 AF 和BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论；（2）将图 a 中的△CEF绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，这时（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；（3）若将图 a 中的△ABC绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形（草图即可），（1）中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．12、如图，已知△A BC 是等腰直角三角形，CD 是斜边AB 的中线，△ADC绕点D 旋转一定角度得到△A'DC'，A'D 交AC 于点E，DC'交BC 于点F，连接EF，若，则的值？13、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，在△DCE中，∠DCE=90°，DC=EC=6，点D 在线段 AC 上，点E 在线段 BC 的延长线上．将△DCE绕点C 旋转60°得到△D′CE′（点D 的对应点为点D′，点E 的对应点为点E′），连接AD′、BE′，过点 C 作CN⊥BE′，垂足为 N，直线 CN 交线段AD′于点 M，求MN 的长？14、如图，在等腰Rt△ABC中，P 是斜边 BC 的中点，以 P 为顶点的直角的两边分别与边 AB，AC 交于点 E，F，连接 EF．当∠EPF绕顶点 P 旋转时（点E 不与A， B 重合），△PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由．答案：1、【解答】解：（1）∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=60°，∴△ABC∽△EDC，∴∠CBD=∠CAE，∴∠AFB=180°﹣∠CAE﹣∠BAC﹣∠ABD=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=∠ACB，∴∠AFB=60°，同理可得：∠AFB=45°；（2）∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，∴△ABC∽△EDC，∴∠ACB=∠ECD，，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD=∠CAE，∴∠AFB=180°﹣∠CAE﹣∠BAC﹣∠ABD，=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=∠ACB，∵AB=AC，∠BAC=α，∴∠ACB=90°﹣，∴∠AFB=90°﹣．故答案为：∠AFB=90°．（3）图4 中：∠AFB=90°；图5 中：∠AFB=90°+．∠AFB=90°的证明如下：∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，∴△ABC∽△EDC，∴∠ACB=∠ECD，，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD=∠CAE，∴∠AFB=180°﹣∠CAE﹣∠BAC﹣∠ABD，=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=∠ACB，∵AB=AC，∠BAC=α，∴∠ACB=90°﹣，∴∠AFB=90°﹣．∠AFB=90°+的证明如下：∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，∴△ABC∽△EDC，∴∠ACB=∠ECD，，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴∠BDC=∠AEC，∴∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF，=∠CDE+∠CED=180°﹣∠DCE，∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠DEC=α，∴∠DCE=90°﹣，∴∠AFB=180°﹣（90°﹣）=90°+．2、【解答】解：（1）由题意知，△ABP≌△CQB，∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°，∴△BPQ 是等腰直角三角形，△PCQ 是直角三角形．（2）当AB=4，AP：PC=1：3 时，有AC=4，AP=，PC=3，∴PQ==2 ．（3）存在 2PB2=PA2+PC2，由于△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ=PB，∵AP=CQ，∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，故有 2PB2=PA2+PC2．3、【解答】解：（1）①如图 1，连接 DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴DB=DC=AD，∠BDC=90°，∴∠ABD=∠C=45°，∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，∴∠MDB=∠NDC，∴△BMD≌△CND（ASA），∴DM=DN；②四边形 DMBN 的面积不发生变化；由①知△BMD≌△CND，∴S△BMD =S△CND，∴S四边形DMBN =S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC=S△ABC=×=；（2）DM=DN 仍然成立；证明：如图 2，连接 DB，在Rt△ABC 中，AB=BC，AD=DC，∴DB=DC，∠BDC=90°，∴∠DCB=∠DBC=45°，∴∠DBM=∠DCN=135°，∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，∴∠CDN=∠BDM，则在△BMD和△CND中，，∴△BMD≌△CND（ASA），∴DM=DN．（3）DM=DN．4、【解答】证明：（1）∵△AED是△ABC旋转90°得到的，∴△ABC≌△AED，∴∠CAD=90°，AC=AD，∠ADE=∠ACB=135°，∴△ACD 是等腰直角三角形；解：（2）∵△ACD是等腰直角三角形，∴∠ADC=∠ACD=45°，AC=AD=2，∴CD==2 ，由（1）知，∠ADE=135°，∴∠CDE=∠ADE﹣∠ADC=90°，∵D E=BC=1，∴S四边形ADEC =S△ACD+S△CDE=AC•AD+ CD•DE= ×2×2+×2×1=2+．5、【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，tan∠B=，∴AC=3× =4，BC===5，∵BP=3，∴PC=BC﹣BP=5﹣3=2，∵△ABC 按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，∴PC′=PC=2；（2）由题意可知∠SPC=90°，∴∠PSC=∠B，在Rt△SPC中，∠SPC=90°，tan∠PSC=，PC=2∴SP=2÷= ，∴SC===，∴SC′=PC′﹣SP=，∵∠RSC′=∠PSC，∠C′=∠C，∴△RSC′∽△PSC，∴= ，即= ，解得RS=．6、【解答】解：（1）∠BAC=90°﹣30°=60°．（2）∵AC=CP=CF，又∠CPN=∠CAB=60°，∴△PCF 是等边三角形．∴∠PCF=60°．∴∠ACP=90°﹣∠PCF=30°，即△ABC 旋转30°时，得到△PCN．（3）在△ACD 中，∠ACD=30°，∠BAC=60°，∴∠ADC=90°，AD=AC=1，CD=AC•Sin60°=，∴PD=2﹣，DE=PD•tan60°=2﹣3．∴△PDE的面积为： PD•DE==CF•CP•sin60°=．又∵S△PCF，∴四边形DCFE 的面积为：﹣（）≈1.67． 7、【解答】解：（1）BP+QC=BC；理由如下：过 D 作DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 于 N，则∠MDN=∠PDQ=180°﹣∠BAC．∵∠B=∠C，BD=DC，∠DMB=∠DNC，∴△BDM≌△CDN，得 DM=DN，BM=NC．∵∠MDP=∠MDN﹣∠PDN，∠NDQ=∠PDQ﹣∠PDN，且∠MDN=∠PDQ，∴∠MDP=∠NDQ．又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，∴△DMP≌△DNQ，得 MP=NQ．∴BP+QC=BM+MP+NC﹣NQ=2BM．Rt△BDM中，∠B=60°，则BM=BD•cos∠B=BD，∴BP+QC=2BM=×2BD=BC．（2）BP+QC=BC．（证法可参照（1）（3））（3）BP+QC=BC•cos（90°﹣α）．解法同（1），过 D 作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠MDN=∠PDQ=180°﹣∠BAC．∵∠B=∠C，BD=DC，∠DMB=∠DNC，∴△BDM≌△CDN，得 DM=DN，BM=NC．∵∠MDP=∠MDN﹣∠PDN，∠NDQ=∠PDQ﹣∠PDN，且∠MDN=∠PDQ，∴∠MDP=∠NDQ，又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，∴△DMP≌△DNQ，得 MP=NQ．∴BP+QC=BM+MP+NC﹣NQ=2BM．Rt△BDM中，∠B=（180°﹣α）=90°﹣α，则BM=BD•cos∠B=BD•cos（90°﹣α）；∴BP+QC=2BM=2BD•cos（90°﹣α）=BC•cos（90°﹣α）．（4）当P、Q 分别在线段 BA、AC 上时，（3）的结论依然成立，即BP+QC 与BC 的关系为：BP+QC=BC•cos（90°﹣α）．（证法同（3））当P、Q 在BA、AC 的延长线上时，（3）的结论不成立．如图 3，同（3）可得：BM=NC，MP=NQ．∴BP+CQ=BM+MP+NQ﹣NC=BM+MP+BM﹣MP=2BM=2NQ．因此（3）的结论不成立．8、【解答】解：（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形 CHGK 的面积不变．证明：连接 CG，KH，∵△ABC 为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，∴CG=BG，CG⊥AB，∴∠ACG=∠B=45°，∵∠BGH 与∠CGK 均为旋转角，∴∠BGH=∠CGK，在△BGH 与△CGK 中，∴△BGH≌△CGK（ASA），∴BH=CK，S△BGH =S△CGK．∴S四边形CHGK =S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=S△ABC=××4×4=4，即：S四边形CHGK的面积为 4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；（2）∵AC=BC=4，BH=x，∴CH=4﹣x，CK=x．由S△GHK =S四边形CHGK﹣S△CHK，得y=4﹣x（4﹣x），∴y=x2﹣2x+4．由0°＜α＜90°，得到 BH 最大=BC=4，∴0＜x＜4；（3）存在．根据题意，得x2﹣2x+4= ×8，解这个方程，得 x1=1，x2=3，即：当x=1 或x=3 时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的．9、【解答】（1）证明：过点 P1作CA 的垂线，垂足为D．易知：△CDP1为等腰直角三角形，△P1DA 是直角三角形，且∠A=30°，所以CP1=P1D，P1D= AP1，故CP1=AP1．（2）解：过点 P1 作CA2 的垂线，垂足为 E，易知：△P1EP2是等腰直角三角形，（其中∠2=∠A+∠P2CA=45°），因为△P1CE 是直角三角形，且∠1=30°，所以CP1=2P1E，P1E=P1P2，故CP1=P1P2．（3）证明：将图 3 中线段 CP1 绕点 C 顺时针旋转60°到CP3，易证：△CP1P2≌△CP3P2，于是∠CP3P2=∠CP1P2=105°，∴∠P1P2P3=360°﹣105°×2﹣60°=90°，故 P2P3⊥AB．10、解：（1）点C1、C2的坐标分别为（3﹣，﹣2）、（3﹣，2）．（2）能通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2 的位置，所旋转的度数为180°；（3）①当△ABC向上平移 2 个单位时，△A1B1C1 与△A2B2C2 完全重合，此时点 C 的坐标为（﹣3+，0）（如图1）；②当α=180时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时点C 的坐标为（﹣3﹣，0）（如图 2）．11、【解答】解：（1）AF=BE．证明：在△AFC和△BEC中，∵△ABC 和△CEF 是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60°，∴△AFC≌△BEC．∴AF=BE．（2）成立．理由：在△AFC 和△BEC 中，∵△ABC 和△CEF 是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°，∴∠ACB﹣∠FCB=∠FCE﹣∠FCB，即∠ACF=∠BCE．∴△AFC≌△BEC，∴AF=BE．（3）此处图形不惟一，仅举几例．如图，（1）中的结论仍成立．12、【解答】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，CD 是斜边 AB 的中线，∴CD⊥AB，CD=AD，∠A=∠BCD=45°．又∵∠ADE=90°﹣∠CDE=∠CDF，∴△ADE≌△CDF （ASA）∴DE=DF．∵DA=DA′，DC=DC′，∴DE：DA′=DF：DC′，∴EF∥A′C′．∴△DEF∽△DA′C′，∴．∵，则，∴．13、【解答】解：①若将△DCE 绕点 C 顺时针旋转60°得到△D′CE′，如图中左边所示，过点 B 作E′C的垂线交其延长线于 F 点，过点D′作CM 的垂线交 CM 于H 点，过 A 点作CM 的垂线交其延长线于 G 点．∵∠ACD′=60°，∠ACB=∠D′CE′=90°，∴∠BCE′=360°﹣∠ACD′﹣∠ACB﹣∠D′CE′=120°．∴∠BCF=180°﹣∠BCE′=60°，BF=sin∠BCF•BC= ×10=，=BF•CE′=．∴S△BCE′∵∠ACG+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，∴∠ACG=∠CBN，又∵AC=BC，∴Rt△ACG≌Rt△CBN，∴AG=CN，CG=BN．同理△CD′H≌△E′CN，D′H=CN，CH=NE′．∴AG=D′H，在△AMG 和△D′MH 中，∴△AMG≌△D′MH，∴HM=MG，∴M为GH 中点，CM=（CG+CH）= （NB+NE′）=BE′．又∵BF=，∠BCF=60°，∴CF=5，FE′=CF+CE′=11，∴BE′== =14，∴CM=BE′=7．又∵SCN•BE′，△BCE′=÷BE′=，∴CN=2S△BCE′∴MN=CM+CN=7．②同理，当△CDE逆时针旋转60°时，MN 如图中右边所示，MN=7﹣．故答案为：7+或7﹣．14、【解答】解：理由如下：连接 PA，∵PA 是等腰△ABC 底边上的中线，∴PA⊥PC（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一））．又AB⊥AC，∴∠1=90°﹣∠PAC，∠C=90°﹣∠PAC，∴∠1=∠C（等量代换）．同理可得PA⊥PC，PE⊥PF，∴∠2=90°﹣∠APF，∠3=90°﹣∠APF，∴∠2=∠3．由 PA 是Rt△ABC 斜边上的中线，得：PA=BC=PC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．在△PAE和△PCF中，∠1=∠C，PA=PC，∠2=∠3，∴△PAE≌△PCF（ASA）．∴PE=PF（全等三角形对应边相等），则△PEF始终是等腰直角三角形．。

2020年中考数学冲刺专题卷专题12 压轴题(解析版)

2020年中考数学冲刺专题卷12 压轴题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆，''B C 与BC ，AC 分别交于点D ，E.设CD DE x +=，AEC ∆'的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接B′C ，作AH ⊥B′C′，垂足为H ，∵AB=AC ，∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∵△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆，∴AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°，∴AH=12AC′=1， ∴223AC AH '-=∴3，∵AB′=AC ，∴∠AB′C=∠ACB′，∵∠AB′D=∠ACD=30°，∴∠AB′C -∠AB′D=∠ACB′-∠ACD ，即∠DB′C=∠DCB′，∴B′D=CD ，∵CD+DE=x ，∴B′D+DE=x ，即B′E=x ，∴C′E=B′C′-B′E=23-x ，∴y=12C E AH 'g =12×(23-x)×1=132x -+，观察只有B 选项的图象符合题意，故选B.2．（2019·四川中考真题）如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（）A ．3B ．412C ．72D ．4 【答案】C【解析】∵抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点 ∴A （-4,0），B （4,0），即OA=4.在直角三角形COB 中BC=2222345+=+=OC OB∵Q 是AP 上的中点，O 是AB 的中点∴OQ 为△ABP 中位线，即OQ=12BP 又∵P 在圆C 上，且半径为2，∴当B 、C 、P 共线时BP 最大，即OQ 最大此时BP=BC+CP=7OQ=12BP=72. 3．（2019·山东中考真题）如图，点A 的坐标是(-2,0)，点B 的坐标是(0,6)，C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到A B C '''∆．若反比例函数k y x=的图象恰好经过A B '的中点D ，则k 的值是（）A ．9B ．12C ．15D ．18【答案】C【解析】作A H y '⊥轴于H ．∵90AOB A HB ABA ∠=∠'=∠'=︒，∴90ABO A BH ∠+∠'=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，∴BAO A BH ∠=∠'，∵BA BA ='，∴()AOB BHA AAS 'V V ≌，∴OA BH =，OB A H ='，∵点A 的坐标是()2,0-，点B 的坐标是()0,6，∴2OA =，6OB =，∴2BH OA ==，6A H OB '==，∴4OH =，∴()6,4A '，∵BD A D ='，∴()3,5D ，∵反比例函数k y x =的图象经过点D ， ∴15k =．故选：C ．4．（2019·四川中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AB DC P ，90ADC ∠=o ，5AB =，3CD AD ==，点E 是线段CD 的三等分点，且靠近点C ，FEG ∠的两边与线段AB 分别交于点F 、G ，连接AC 分别交EF 、EG 于点H 、K ．若32BG =，45FEG ∠=o ，则HK =( )A ．223B ．526C ．322D ．1326【答案】B【解析】∵90ADC ∠=o ，3CD AD ==，∴32AC =∵5AB =，32BG =，∴72AG =， ∵AB DC P ，∴CEK AGK ∆∆:，∴CE CK EK AG AK KG ==， ∴172CK EK AK KG ==，∴27CK EK AK KG ==， ∵32CK AK +=，∴22CK =，过E 作EM AB ⊥于M ，则四边形ADEM 是矩形，∴3EM AD ==，2AM DE ==，∴32MG =， ∴2235EG EM MG =+=， ∵27EK KG =，∴53EK =， ∵45HEK KCE ∠=∠=o ，EHK CHE ∠=∠，∴HEK HCE ∆∆:，∴55HE EC HK EK ===，∴设3HE x =，5HK x =，∵HEK HCE ∆∆:，∴EH HK HC EH=， ∴532253x x x =+，解得：106x =，∴526HK =，故选：B ．5．（2019·辽宁中考真题）如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△GHF ；③2BC CG =﹣1；④HOM HOG S S V V ＝2﹣2，其中正确的结论是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 【答案】A【解析】如图，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCE ＝∠DCG ，在△BCE 和△DCG 中，BC CDBCE DCG CE CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴∠BEC ＝∠BGH ，∵∠BGH+∠CDG ＝90°，∠CDG ＝∠HDE ，∴∠BEC+∠HDE ＝90°，∴GH ⊥BE ．故①正确；∵△EHG 是直角三角形，O 为EG 的中点，∴OH ＝OG ＝OE ，∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上，∵EF ＝FG ，∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°，∠HEG ＝∠HFG ，∴△EHM ∽△GHF ，故②正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴BH ＝EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO ∥BG ，∴△DHN ∽△DGC ，DN HN DC CG∴= 设EC 和OH 相交于点N ．设HN ＝a ，则BC ＝2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC ＝b ，CD ＝2a ，222b a a a b-∴= 即a 2+2ab ﹣b 2＝0，解得：a ＝b ＝（﹣b ，或a ＝（﹣1b （舍去），212a b∴=1BC CG∴= 故③正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴EG ＝BG ，∵HO 是△EBG 的中位线，∴HO ＝12BG ， ∴HO ＝12EG ，设正方形ECGF 的边长是2b ，∴EG ＝b ，∴HOb ，∵OH ∥BG ，CG ∥EF ，∴OH ∥EF ，∴△MHO △MFE ，∴OM OH EM EF 2b 2===， ∴EMOM ，∴1OM OE ===，∴1HOM HOES S ∆∆= ∵EO ＝GO ，∴S △HOE ＝S △HOG ，∴1HOM HOGS S ∆∆= 故④错误，故选：A ．6．（2019·湖北中考真题）抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①0ab >且0c <；②420a b c -+>；③8>0+a c ；④33c a b =-；⑤直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，则12125x x x x ++⋅=-.其中正确的个数有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】C【解析】 ∵对称轴在y 轴左侧，图象与y 轴交于y 轴正半轴，∴ab>0，c>0，故①错误，∵图象过点（1，0），对称轴为x=-1，∴图象与x 轴的另一个交点为（-3，0），∵抛物线的开口向下， ∴a<0，∴x=-2时，4a-b+c>0，故②正确，∵对称轴x=2b a -=-1， ∴b=2a ，∵x=1时，a+b+c=0，∴3a+c=0，∴8a+c=5a<0，故③错误，∵3a+c=0，∴c=-3a ，∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c ，故④正确， ax 2+bx+c=2x+2，整理得：ax 2+(b-2)x+c-2=0，∵直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，∴x 1+x 2+x 1⋅x 2=2b a --+2c a -=22(3)2a a a-++--=-5，故⑤正确，综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个.故选C.7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是A．CE=3DE B．CE=2DEC．CE=3DE D．CE=2DE【答案】B【解析】过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，根据勾股定理可得DH=AB=2222DC CH-=，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，又∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴Rt△ADE∽Rt△BEC，∴AD AE DE BE BC CE==，设BE=x，则AE22x=-，即122xx-=，解得x=2，∴2DECE=，即CE=2DE，故选B．8．（2019·山东中考真题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF、有以下结论：①AN＝EN，②当AE＝AF时，BEEC＝22，③BE+DF＝EF，④存在点E、F，使得NF＞DF，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】①如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴AM MN BM EM，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵AB ADABE ADF90AE AF︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt△CEF中，OC＝12EF＝22x，△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，∴OE＝BE，∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），∴AO＝AB＝1，∴AC2＝AO+OC，∴1+22x2，x＝22，∴BEEC＝1(22)22---＝(21)(22)-+＝2；故②不正确；③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，∵∠ABE＝∠ABH＝90°，∴H、B、E三点共线，在△AEF和△AEH中，AE AEFAE HAEAF AH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故③正确；④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，∠FDN＝45°，∴DF＞FN，故存在点E、F，使得NF＞DF，故④不正确；故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．若数a使关于x 的不等式组2122224x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2a y +- 22y-=2有非负数解，则满足条件的整数a 的值是__________．【答案】-2【解析】解不等式组2122224x x x a -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩，可得342x a x ≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩，∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴-1≤42a +-<0，∴-4<a ≤-2，解分式方程222a y y +--=2，可得y =22a +，又∵分式方程有非负数解，∴y ≥0，且y ≠2，即22a +≥0，22a +≠2，解得a ≥-2且a ≠2，∴-2≤a ≤3，且a ≠2， ∴满足条件的整数a 的值为-2，故答案为：-2．10．（2019·江苏中考真题）如图，过点C(3,4)的直线2y x b =+交x 轴于点A ，∠ABC=90°，AB=CB ，曲线0k y x x=>（）过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为________．【答案】4【解析】分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行线，两条平行线相交于点M ，与x 轴的交点为N ，则∠M=∠ANB=90°，把C(3,4)代入2y x b =+，得4=6+b ，解得：b=-2，所以y=2x-2，令y=0，则0=2x-2，解得：x=1，所以A(1，0)，∵∠ABC=90°，∴∠CBM+∠ABN=90°，∵∠ANB=90°，∴∠BAN+∠ABN=90°，∴∠CBM=∠BAN ，又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC ，∴△ABN ≌△BCM ，∴AN=BM ，BN=CM ，∵C(3，4)，∴设AN=m ，CM=n ，则有413m n m n +=⎧⎨+-=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩， ∴ON=3+1=4，BN=1，∴B(4，1)，∵曲线0k y x x =>（）过点B ，∴k=4，∴4y x=， ∵将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A 移动后对应点的坐标为(1，a)， ∴a=4，故答案为：4.11．（2019·四川中考真题）如图，反比例函数()0k y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为______．【答案】4【解析】∵E 、M 、D 位于反比例函数图象上，∴12OCE S k ∆=，12OAD S k ∆=，过点M 作MG y ⊥轴于点G ，作MN x ⊥轴于点N ，∴四边形ONMG 是矩形，∴ONMG S k =矩形，∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，∴44ABCO ONMG S S k ==矩形矩形，∵函数图象在第一象限，∴0k >，∴ABCO S =矩形OCE S ∆+OAD S ∆+S 四边形ODBE =12422k k k ++=，解得：4k =．故答案为：412．（2019·辽宁中考真题）如图，直线113y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，过点A 作AB AM ⊥，交x 轴于点B ，以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCA 1，延长A 1C 交x 轴于点B 1，以A 1B 1为边在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1C 1A 2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA 1，A 1B 1C 1A 2，…，111n n n n A B C A ---中的阴影部分的面积分别为S 1，S 2，…，S n ，则S n 可表示为_____．【答案】42223n n -．【解析】在直线113y x =+中，当0x =时，1y =；当0y =时，3x =-； ∴1OA =，3OM =，∴1tan 3AMO ∠=， ∵90OAB OAM ︒∠+∠=，90AMO OAM ︒∠+∠=，∴OAB AMO ∠=∠， ∴1tan 3OB OAB OA ∠==，∴13OB =． ∵正方形ABCA 1中的四个小正方形都与△AOB 全等， ∴第一个阴影正方形的边长为：12133-=， ∴212439S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，同理：111tan tan 3B C CBB OAB BC ∠==∠=， ∴11111333B C BC AC AB ===， ∴1143A B AB =， ∴221141639S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，同理可得2321161699S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3431161699S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，…，11116164999n n n S S --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭142442422222222222233333n n n n n ----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：42223n n -．三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2019·山西中考真题）综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 (1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=，设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=，解得11m =(舍)，23m =，∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154，当点N 的纵坐标为154时，如点N 2，此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ；当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4，此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-，415(114,)4N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合， ∵115(1,)4N -，D(3，154)， ∴N 1D=4，∴BM 1=N 1D=4，∴OM 1=OB+BM 1=8，∴M 1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(14(14M M M M -，，，，，，，.14．（2019·广东中考模拟）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=3，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【答案】（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．【解析】（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC，∴BC∥DF，∴∠F=∠PBC，∵四边形BCDF是圆内接四边形，∴∠F+∠DCB=180°，∵∠PCB+∠DCB=180°，∴∠F=∠PCB ，∴∠PBC=∠PCB ，∴PC=PB ；（2）如图2，连接OD ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB ，∴BG ∥DC ， ∵BC ∥DE ，∴四边形DHBC 是平行四边形，∴BC=DH=1，在Rt △ABC 中，3tan ∠ACB=3AB BC ∴∠ACB=60°，∴BC=12AC=OD ， ∴DH=OD ，在等腰△DOH 中，∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，设DE 交AC 于N ，∵BC ∥DE ，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD ）=40°，∴∠DOC=∠DOH ﹣∠NOH=40°，∵OA=OD ，∴∠OAD=12∠DOC=20°， ∴∠CBD=∠OAD=20°，∵BC ∥DE ，∴∠BDE=∠CBD=20°．15．（2019·广西中考真题）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一个动点（点E 与点,A B 不重合），连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于点G ，交AD 于点F ．（1）求证：ABF BCE ∆∆≌；（2）如图2，当点E 运动到AB 中点时，连接DG ，求证：DC DG =；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C 作CM DG ⊥于点H ，分别交,AD BF 于点,M N ，求MN NH的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）54MN NH =. 【解析】（1）证明：∵BF CE ⊥，∴90CGB ∠=︒，∴90GCB CBG ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90,CBE A BC AB ∠=︒=∠=，∴90FBA CBG ∠+∠=︒，∴GCB FBA ∠=∠，∴()ABF BCE ASA ∆∆≌；（2）证明：如图2，过点D 作DQ CE ⊥于Q ，设2AB CD BC a ===，∵点E 是AB 的中点， ∴12EA EB AB a ===， ∴5CE a =，在Rt CEB ∆中，根据面积相等，得BG CE CB EB ⋅=⋅， ∴25BG =， ∴2255CG CB BG a =-=， ∵90,90DCE BCE CBF BCE ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴DCE CBF ∠=∠，∵,90CD BC CQD CGB =∠=∠=︒，∴()CQD BGC AAS ∆∆≌，∴25CQ BG ==， ∴55GQ CG CQ a CQ =-==， ∵,90DQ DQ CQD GQD =∠=∠=︒，∴()DGQ DCQ SAS ∆∆≌，∴CD GD =；（3）解：如图3，过点D 作DQ CE ⊥于Q ，1122CDG S CG DQ CH DG ∆=⋅=⋅， ∴85CG DQ CH a DG ⋅==，在Rt CHD ∆中，2CD a = ，∴2265DH CD CH a =-=， ∵90,90MDH HDC HCD HDC ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴MDH HCD ∠=∠，∴CHD DHM ∆∆∽，∴34DH HM H DH C ==， ∴910HM a =，在Rt CHG ∆中，458,5CG CH a ==， ∴2245GH CG CH a =-=， ∵90,90NGH CGH HCG CGH ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴NGH HCG ∠=∠，∴NGH GCH ∆∆∽，∴HN HG HG CH=， ∴225HG HN a CH ==， ∴12MN HM HN a =-=，∴152245a MNNH a==。

2020年中考数学压轴题(含答案) (2)

2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．B．C．D．第1题第2题2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（3，0），若在直线y＝﹣x+m上存在点P满足∠APB＝60°，则m的取值范围是（）A．≤m≤B．﹣﹣5≤m≤+5C．﹣2≤m≤+2D．﹣﹣2≤m≤+2二、填空题18．如图，点G是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点G作EF∥AB交AD于E，交BC 于F，若EG＝5，BF＝2，则图中阴影部分的面积为．第3题第4题24．如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B 两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：①abc＞0；②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；③m+n＝1；④m＜﹣1；⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）三、解答题5．如图，已知点A（1，0），B（0，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，设E为AD的中点．（1）若F为CD上一动点，求出当△DEF与△COD相似时点F的坐标；（2）过E作x轴的垂线l，在直线l上是否存在一点Q，使∠CQO＝∠CDO？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可．【解答】A．∵EF∥AB，∴＝，故本选项正确，B．∵DE∥BC，∴＝，∵EF∥AB，∴DE＝BF，∴＝，∴＝，故本选项正确，C．∵EF∥AB，∴＝，∵CF≠DE，∴≠，故本选项错误，D．∵EF∥AB，∴＝，∴＝，故本选项正确，故选：C．2．【分析】作等边三角形ABE，然后作外接圆，求得直线y＝﹣x+m与外接圆相切时的m的值，即可求得m的取值范围．【解答】解：如图，作等边三角形ABE，∵A（﹣3，0），B（3，0），∴OA＝OB＝3，∴E在y轴上，当E在AB上方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P1重合时m的值最大，当P与P1重合时，连接QP1，则QP1⊥直线y＝﹣x+m，∵OA＝3，∴OE＝3，设⊙Q的半径为x，则x2＝32+（3﹣x）2，解得x＝2，∴EQ＝AQ＝PQ＝2，∴OQ＝，由直线y＝﹣x+m可知OD＝OC＝m，∴DQ＝m﹣，CD＝m，∵∠ODC＝∠P1DQ，∠COD＝∠QP1D，∴△QP1D∽△COD，∴＝，即＝，解得m＝+2，当E在AB下方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P2重合时m的值最小，当P与P2重合时，同理证得m＝﹣﹣2，∴m的取值范围是﹣﹣2≤m≤+2，故选：D．二、填空题3．【分析】由矩形的性质可证明S矩形AEGM＝S矩形CFGN＝2×5＝10，即可求解．【解答】解：作GM⊥AB于M，延长MG交CD于N．则有四边形AEGM，四边形DEGN，四边形CFGN，四边形BMGF都是矩形，∴AE＝BF＝2，S△ADB＝S△DBC，S△BGM＝S△BGF，S△DEG＝S△DNG，∴S矩形AEGM＝S矩形CFGN＝2×5＝10，∴S阴＝S矩形CFGN＝5，故答案为：5．4．【分析】由图象分别求出a＞0，c＝﹣2，b＝﹣a＜0，则函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2，则对称轴x＝，由开口向上的函数的图象开口与a的关系可得：当a变大，函数y＝ax2﹣ax﹣2的开口变小，依据这个性质判断m的取值情况．【解答】解：由图象可知，a＞0，c＝﹣2，∵对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣a＜0，∴abc＞0；∴①正确；A、B两点关于x＝对称，∴m+n＝1，∴③正确；a＞0时，当a变大，函数y＝ax2﹣ax﹣2的开口变小，则AB的距离变小，∴⑤不正确；若m＜﹣1，n＞2，由图象可知n＞1，∴④不正确；当a＝1时，对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，当a＞1时，函数开口变小，则有m＞﹣1的时候，∴②不正确；故答案①③．三、解答题5．【分析】（1）当△DEF∽△COD时，＝，DF＝DE cos∠CDO＝，据此求出EF的长度和点F的坐标即可；（2）首先以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，则PQ＝CD＝；然后求出点P的坐标是多少；设Q（﹣1，a），则（）2+（a﹣）2＝，据此求出a的值是多少，进而求出Q点坐标是多少即可．【解答】解：（1）∵A（1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，∴OC＝1，OD＝3，∴C（0，1），D（﹣3，0），如图1，当△DEF∽△COD时，＝∴EF＝，∴F（﹣1，）；当△DEF∽△COD时，DF＝DE cos∠CDO＝，作FK⊥OD于K，则FK＝DF sin∠CDO＝，DK＝DF cos∠CDO＝，∴F（﹣，）；（2）如图2，以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，则PQ＝CD＝，又∵P为CD中点，P（﹣，），设Q（﹣1，a），则（）2+（a﹣）2＝，解得a＝2或﹣1，∴Q（﹣1，2）或（﹣1，﹣1）．6．【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；（3）（i）点F在y轴上时，P在第一象限或第二象限，如图2，3，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH＝CO＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，可得PS＝PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，可得PN＝PM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标．由此即可解决问题．【解答】解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，∴A（﹣4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，∴抛物线的解析式为；（2）如图1，作PF∥BO交AB于点F，∴△PFD∽△OBD，∴，∵OB为定值，∴当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），∴PF＝＝，∵且对称轴是直线x＝﹣2，∴当x＝﹣2时，PF有最大值，此时PF＝2，；（3）∵点C（2，0），∴CO＝2，（i）如图2，点F在y轴上时，若P在第二象限，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠HPC＝∠OCF，在△CPH和△FCO中，，∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH＝CO＝2，∴点P的纵坐标为2，∴，解得，，x＝﹣1+（舍去）．∴，如图3，点F在y轴上时，若P在第一象限，同理可得点P的纵坐标为2，此时P2点坐标为（﹣1+，2）（ii）如图4，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，∴PS＝PK，∴P点的横纵坐标互为相反数，∴，解得x＝2（舍去），x＝﹣2，∴，如图5，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，∴PN＝PM，∴P点的横纵坐标相等，∴，解得，（舍去），∴，综合以上可得P点坐标为，，．。

2020年中考数学复习(通用)专题：几何压轴题型含答案

几何压轴题型类型一动点探究型在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．(1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积．【分析】 (1)要求BP与CE的数量关系，连接AC，由菱形和等边三角形的性质根据SAS可证明△ABP≌△ACE，从而证得BP＝CE，且∠ACE＝30°，延长CE交AD于点F，可得∠AFC＝90°，所以CE⊥AD；(2)无论选择图②还是图③，结论不变，思路和方法与(1)一致；(3)要求四边形ADPE的面积，观察发现不是特殊四边形，想到割补法，分成钝角△ADP和正△APE，分别求三角形的面积，相加即可．【自主解答】解：(1)BP＝CE；CE⊥AD；(2)选图②，仍然成立，证明如下：如解图①，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BA＝BC，例1题解图①∴△ABC为等边三角形，∴BA＝CA.∵△APE为等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAP＝∠CAE.在△BAP和△CAE中，例1题解图②∴△BAP≌△CAE(SAS)，∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°.∵AC和BD为菱形的对角线，∴∠CA D＝60°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.选图③，仍然成立，证明如下：如解图②，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H，同理得△BAP≌△CAE(SAS)，BP＝CE，CE⊥AD.(3)如解图③，连接AC交BD于点O，连接CE交AD于点H，由(2)可知，CE⊥AD，CE＝BP.在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥BC.∵BC＝AB＝23，BE＝219，∴在Rt△BCE中，CE＝（219）2－（23）2＝8，例1题解图③∴BP＝CE ＝8.∵AC 与BD 是菱形的对角线， ∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD，∴BD＝2BO ＝2AB·cos 30°＝6， AO ＝12AB ＝3，∴DP＝BP －BD ＝8－6＝2， ∴OP＝OD ＋DP ＝5.在Rt△AOP 中，AP ＝AO 2＋OP 2＝27， ∴S 四边形ADPE ＝S △ADP ＋S △APE ＝12DP·AO＋34·AP 2 ＝12×2×3＋34×(27)2 ＝8 3.【难点突破】本题的难点：一是如何找到全等的三角形，根据含60°内角菱形的特点，连接AC 是解决问题的关键；二是点P 是动点，当它运动到菱形的外部时，在其运动过程中由“手拉手”模型找全等三角形；三是求不规则四边形的面积，要想到运用割补法，将四边形分解成两个三角形求解．点拔几何压轴题中的“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质．1．已知，△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端点重合)，BN＝AM，连接AN，BM.射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE.(1)如图，当∠ACB＝90°时：①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；(2)当∠ACB＝α，其他条件不变时，∠BDE的度数是____________________；(用含α的代数式表示)(3)若△ABC是等边三角形，AB＝33，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①若点G为DE中点，求FG的长；第2题图②若DG＝GF，求BC的长；(2)已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．类型二新定义型我们定义：如图①，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知(1)在图②，图③中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图②，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD ＝________BC ； ②如图③，当∠BAC＝90°，BC ＝8时，则AD 长为________．猜想论证(2)在图①中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用(3)如图④，在四边形ABCD 中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC ＝12，CD ＝23，DA ＝6.在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【分析】 (1)①证明△ADB′是含有30°角的直角三角形，则可得AD ＝12AB′＝12BC ；②先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可；(2)结论：AD ＝12BC.如解图①中，延长AD 到点M ，使得AD ＝DM ，连接B′M ，C′M，先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M ，即可解决问题； (3)存在．如解图②中，延长AD 交BC 的延长线于点M ，作BE⊥AD 于点E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于点P ，交BC 于点F ，连接PA ，PD ，PC ，作△PCD 的中线PN ，连接DF 交PC 于点O.先证明PA ＝PD ，PB ＝PC ，再证明∠APD＋∠BPC ＝180°即可．【自主解答】解：(1)①12；【解法提示】 ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ＝AB ＝AB′＝AC′. ∵DB′＝DC′， ∴AD⊥B′C′.∵α＋β＝180°，∴∠BAC＋∠B′AC′＝180°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠B′AC′＝120°， ∴∠B′＝∠C′＝30°， ∴AD＝12AB′＝12BC.②4；【解法提示】 ∵α＋β＝180°， ∴∠BAC＋∠B′AC′＝180°. ∵∠BAC＝90°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°.∵AB＝AB′，AC ＝AC′， ∴△BAC≌△B′AC′(SAS)， ∴BC＝B′C′. ∵B′D＝DC′， ∴AD＝12B′C′＝12BC ＝4.(2)结论：AD ＝12BC.证明：如解图①中，延长AD 到点M ，使得AD ＝DM ，连接B′M，C′M.例2题解图①∵B′D＝DC′，AD ＝DM ，∴四边形AC′MB′是平行四边形， ∴AC′＝B′M＝AC. ∵α＋β＝180°，∴∠BAC＋∠B′AC′＝180°. ∵∠B′AC′＋∠AB′M＝180°， ∴∠BAC＝∠MB′A. ∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M(SAS)， ∴BC＝AM ，∴AD＝12BC.(3)存在．证明：如解图②中，延长AD 交BC 的延长线于点M ，作BE⊥AD 于点E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于点P ，交BC 于点F ，连接PA ，PD ，PC ，作△PCD 的中线PN ，连接DF 交PC 于点O.例2题解图②∵∠ADC＝150°， ∴∠MDC＝30°，在Rt△DCM 中，∵CD＝23，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°， ∴CM＝2，DM ＝4，∠M＝60°. 在Rt△BEM 中，∵∠BEM＝90°，BM ＝14，∠MBE＝30°， ∴EM＝12BM ＝7，∴DE＝EM －DM ＝3. ∵AD＝6，∴AE＝DE. ∵BE⊥AD， ∴PA＝PD. ∵PF 垂直平分BC ，∴PB＝PC.在Rt△CDF中，∵CD＝23，CF＝6，∴tan∠CDF＝3，∴∠CDF＝60°＝∠CPF.易证△FCP≌△CFD，∴CD＝PF.∵CD∥PF，∴四边形CDPF是平行四边形．∵∠DCF＝90°.∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠ADC－∠CDP＝60°，∴△ADP是等边三角形．∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，∴∠APD＋∠BPC＝180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”．在Rt△PDN中，∵∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝3，∴PN＝DN2＋PD2＝（3）2＋62＝39.【难点突破】第(3)问根据新定义判断点P的存在性是本题难点，但运用“直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半”的性质以及三角形全等添加合适辅助线即可求解．点拔解决这类问题，首先要理解新定义的含义及实质；其次要注意，在证明线段、角度相等或某个特殊图形时，主要应用全等，在计算线段的长或图形的周长、面积时，常注意运用相似、勾股定理及图形面积公式等．1．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图①，若PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心．求解：(1)如图②，CD 为等边△ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB 的度数；(2)已知△ABC 为直角三角形，斜边BC ＝5，AB ＝3，准外心P 在AC 边上，求PA 的长．2．如图①，在△ABC中，过顶点A作直线与对边BC相交于点D，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若其中有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“顶似线”．(1)等腰直角三角形的“顶似线”的条数为______；(2)如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：BD是△ABC的“顶似线”；(3)如图③，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝6，求△ABC的“顶似线”的长．3．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为这条边上的“奇特三角形”，这条边称为“奇特边”．(1)如图①，已知△ABC是“奇特三角形”，AC＞BC，且∠C＝90°.①△ABC的“奇特边”是________；②设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求a∶b∶c；(2)如图②，AM是△ABC的中线，若△ABC是BC边上的“奇特三角形”，找出BC2与AB2＋AC2之间的关系；(3)如图③，在四边形ABCD中，∠B＝90°(AB＜BC)，BC＝27，对角线AC把它分成了两个“奇特三角形”，且△ACD是以AC为腰的等腰三角形，求等腰△ACD 的底边长．4．如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝__________；(2)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．(3)如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．类型三操作探究型【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．(1)请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；(2)在(1)所画图形中，∠AB′B＝__________．【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC ＝120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．(一种方法即可)【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD ＝5，AD＝kAB(k为常数)，求BD的长(用含k的式子表示)．【分析】【操作发现】(1)先找到点B，C的对应点B′，C′，再连接构成三角形即可；(2)求∠AB′B的度数可先判断△AB′B是等腰直角三角形，再求角度；【问题解决】根据两种不同的想法，选择其中一个进行证明；【灵活运用】需将△ABD绕点A旋转得到△ACG，再证明∠CDG＝90°即可．【自主解答】解：【操作发现】(1)如解图①所示，△AB′C′即为所求；(2)45°.【解法提示】连接BB′.∵△AB′C′是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到的，∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°.【问题解决】如解图②，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°－90°－120°＝150°，∴PP′＝AP ，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°， ∴PP′＝32PC ，即AP ＝32PC.∵∠APC＝90°，∴AP 2＋PC 2＝AC 2，即(32PC)2＋PC 2＝72，∴PC＝27，∴AP＝21，∴S △APC ＝12AP·PC＝73；【灵活运用】如解图③，连接AC.∵AE⊥BC，BE ＝EC ，∴AB＝AC ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转使得AB 与AC 重合，点D 的对应点为G ，连接DG.则BD ＝CG.例3题解图③∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG.∵AB＝AC ，AD ＝AG ，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG.∴DG＝kBC＝4k.∵∠BAE＋∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG＋∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝DG2＋CD2＝16k2＋25.∴BD＝CG＝16k2＋25.【难点突破】在【灵活运用】一问中，要确定BD与k的数量关系，关键在于旋转△ABD，使得AB与AC重合，从而证明∠CDG＝90°，构造直角三角形是解决本题的难点，也是解决问题的突破口．点拔对于操作探究问题，首先掌握图形变换的性质，如图形的折叠：折痕为对称轴，有折痕就有角平分线，有折痕就有垂直平分等；图形的平移：有平移就有平行；图形的旋转：旋转前后图形全等，对应边相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线所成的角为旋转角，有旋转就有等腰三角形；其次注意运用全等证明线段相等，利用勾股定理或相似求线段的长．1．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB.(1)若四边形ABCD为正方形．①如图①，请直接写出AE与DF的数量关系______________；②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF 的数量关系，并说明理由．(2)若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其他条件都不变．①如图③，猜想AE与DF的数量关系，并说明理由；②将△EBF绕点B逆时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图④中画出草图，并直接写出AE′和DF′的数量关系．2．(1)操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC 的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是______________；位置关系是______________．(2)类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．(3)深入研究：如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变，试判断△GMN的形状，并给予证明．3．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点(不与点A重合)，DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE.(1)如图①，当点D与点M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如图②，当点D不与点M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．(3)如图③，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM.①求∠CAM的度数；②当FH＝3，DM＝4时，求DH的长．参考答案类型一1．解：(1)①∵CA＝CB，BN＝AM，∴CB－BN＝CA－AM，∴CN＝CM，∵∠ACB＝∠ACB，BC＝CA，∴△BCM≌△ACN.②解：∵△BCM≌△ACN，∴∠MBC＝∠NAC.∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA.∵AG∥BC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∠ADB＝∠DBC，∴∠ADB＝∠NAC，∴∠ADB＋∠EDA＝∠NAC＋∠EAD，∵∠ADB＋∠EDA＝180°－90°＝90°；∴∠BDE＝90°.(2)α或180°－α；(3)43或3 2.2．解：(1)①在正方形ACDE中，DG＝GE＝6，在Rt△AEG中，AG＝AE2＋EG2＝6 5.∵EG∥AC，∴△ACF∽△GEF，∴FGAF＝EGAC＝12，∴FG＝13AG＝2 5.第2题解图①②如解图①，在正方形ACDE中，AE＝ED，∠AEF＝∠DEF＝45°.∵EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠1＝∠2，设∠1＝∠2＝x.∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x.∵GF＝GD，∴∠3＝∠2＝x，在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B＝180°，∴x＋(x＋90°)＋x＝180°，解得x＝30°，∴∠B＝30°，∴在Rt△ABC中，BC＝ACtan 30°＝12 3.(2)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝122＋92＝15，如解图②，当点D在线段BC上时，此时只有GF＝GD.第2题解图②∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA，∴BDDG＝BCAC＝34，∴设BD＝3x，则DG＝4x，BG＝5x，AE＝CD＝9－3x，∴GF＝GD＝4x，则AF＝15－9x.∵AE∥CB，∴△AEF∽△BCF，∴AEBC＝AFBF，∴9－3x9＝15－9x9x，整理得x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5(舍去)，∴腰长GD为4.如解图③，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AE上方时，此时只有GF＝DG，设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，第2题解图③∴FG＝DG ＝12＋4x.∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF， ∴AE BC ＝AF BF ， ∴3x 9＝9x ＋129x ＋27，解得x ＝2或－2(舍去)， ∴腰长DG 为20.如解图④，当点D 在线段BC 的延长线上，且直线AB ，EC 的交点在BD 下方时，此时只有DF ＝DG ，过点D 作DH⊥FG 于点H.第2题解图④设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ，DG ＝4x ＋12， ∴FH＝GH ＝DG·cos∠DGB＝(4x ＋12)×45＝16x ＋485，∴GF＝2GH ＝32x ＋965，∴AF＝GF －AG ＝7x ＋965.∵AC∥DG，∴△ACF∽△GEF， ∴AC EG ＝AF FG ，∴124x ＝7x ＋96532x ＋965，解得x ＝12147或－12147(舍去)，∴腰长GD 为84＋48147，如解图⑤，当点D 在线段CB 的延长线上时，此时只有DF ＝DG ，过点D 作DH⊥AG 于点H.设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ，DG ＝4x －12， ∴FH＝GH ＝DG·cos∠DGB＝16x －485，第2题解图⑤∴FG＝2FH ＝32x －965，∴AF＝AG －FG ＝96－7x5.∵AC∥EG，∴△ACF∽△GEF， ∴AC EG ＝AF FG ，∴124x ＝96－7x 532x －965，解得x ＝12147或－12147(舍去)，∴腰长DG 为－84＋48147.综上所述，等腰三角形△DFG 的腰长为4或20或84＋48147或－84＋48147.类型二1．解：(1)①如解图①，若PB ＝PC ，连接PB ，则∠PCB＝∠PBC. ∵CD 为等边三角形的高，∴AD＝BD ，∠PCB＝30°， ∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴PD＝33DB ＝36AB ，与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PB≠PC；②若PA ＝PC ，连接PA ，同理可得PA≠PC； ③若PA ＝PB ，由PD ＝12AB ，得PD ＝AD ，∴∠APD＝45°，故∠APB＝90°. (2)∵BC＝5，AB ＝3，∠BAC＝90°， ∴AC＝BC 2－AB 2＝52－32＝4.①若PB ＝PC ，设PA ＝x ，则PC ＝PB ＝4－x ， ∴x 2＋32＝(4－x)2，∴x＝78，即PA ＝78；②若PA ＝PC ，则PA ＝2；③若PA ＝PB ，由解图②知，在Rt△PAB 中，不可能存在．综上所述，PA 的长为2或78.2．(1)解：1.(2)证明： ∵AB＝AC ，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°. ∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠A＝∠CBD. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC， ∴BD 是△ABC 的“顶似线”．(3)解：①如解图①，当△ADC∽△BAC 时，AD 为△ABC 的“顶似线”，则AD AB ＝AC BC ，即AD 4＝36，∴AD＝2； ②如解图②，当△ADC∽△ACB 时，CD 为△ABC 的“顶似线”，则CD CB ＝AC AB ，即CD 6＝34，∴CD＝92； ③过顶点B 的“顶似线”不存在．综上所述，△ABC 的“顶似线”的长为2或92.3．解：(1)①AC；②如解图①，过点B 作AC 边上的中线BE ，则BE ＝AC ＝b ，CE ＝AE ＝12b.在Rt△ABC 中，a 2＋b 2＝c 2，在Rt△BCE 中，a 2＋(12b)2＝b 2.解得a ＝32b ，c ＝72b.∴a∶b∶c＝3∶2∶7.(2)如解图②，过点A 作AF⊥BC 于点F ，则∠AFB＝∠AFC＝90°. 设AM ＝BC ＝a ，AF ＝h ，MF ＝x ，则BM ＝CM ＝12a.在Rt△ABF 中，AB 2＝BF 2＋AF 2＝(a2＋x)2＋h 2，在Rt△ACF 中，AC 2＝CF 2＋AF 2＝(a2－x)2＋h 2，∴AB 2＋AC 2＝a22＋2x 2＋2h 2.在Rt△AMF 中，AM 2＝MF 2＋AF 2，即a 2＝x 2＋h 2.∴AB 2＋AC 2＝5a 22＝52BC 2.(3)∵∠B＝90°，BC ＞AB ，∴BC 为△ABC 的“奇特边”． ∵BC＝27，∴由(1)②知AB ＝32BC ＝21，AC ＝72BC ＝7.设等腰△ACD 的底边长为y ，由(2)中结论知：①当腰为“奇特边”时，有72＋y 2＝52×72，解得y ＝726(负值已舍去)．②当底边为“奇特边”时，有72＋72＝52×y 2，解得y ＝1455(负值已舍去)．∴等腰△ACD 的底边长为726或145 5.4．解：(1)∵∠C＞90°，∠A＝60°， ∴β＝60°，α＝15°，∴∠B＝15°.(2)若存在一点E ，使得△ABE 也是“准互余三角形”，则2∠EBA＋∠EAB＝90°.如解图①，作射线BF ，使得∠FBE＝∠ABE ，延长AE 交BF 于点F ，则∠BFE＝90°.即BE 为∠FBA 的角平分线，过点E 作EG⊥AB 于点G ，则EG ＝EF ，可得△BEF≌△BEG. 又∵△BEG∽△BAC，∴△BEF∽△BAC， ∴BF BC ＝EF AC ，∴BF 5＝EF4①. 又∵△BEF∽△AEC，∴EF CE ＝BF AC ，∴EF 5－BE ＝BF 4②，由①②可得，BE ＝1.8.(3)如解图②，将△BCD 沿BC 翻折得△BCE，则CE ＝CD ＝12，∠ABD＝2∠BC D ＝∠DCE，∠DCE＋∠DBE＝180°，即∠ABD＋∠DBE＝180°，∴点A ，B ，E 共线，易知2∠ACB＋∠BAC＝90°不成立，存在2∠BAC＋∠ACB＝90°，易证得△ECB∽△EAC，∴EC AE ＝BE EC ，即127＋BE ＝BE 12，解得BE ＝9(负值已舍去)，∴AE＝16，在Rt△AEC 中，利用勾股定理得，AC ＝AE 2＋CE 2＝20.类型三1．解：(1)①DF＝2AE ； ②DF＝2AE ；理由：∵∠EBF＝∠ABD＝45°，∴∠ABE ＝∠FBD.∵BE BF ＝AB BD ，∴△ABE∽△DBF，∴AE DF ＝AB BD ＝22，∴DF＝2AE.(2)①如解图①，过点F 作FG⊥AD 于点G ，则四边形AEFG 是矩形，∴GF＝AE. ∵tan∠FDG＝BAAD ＝GFDG ，AD ＝BC ＝mAB ，∴DG＝mGF ，在Rt△DGF 中，由勾股定理得DF ＝GF 2＋DG 2＝1＋m 2GF ，∴DF＝1＋m 2AE.②画出草图如解图②，DF′＝1＋m2AE′.2．解：(1)GM＝GN；GM⊥GN.【解法提示】如解图①，连接BE，CD相交于点H.∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°∴∠CAD＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB(SAS)，∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∴∠BDC＋∠DBH＝∠BDC＋∠ABD＋∠ABE＝∠BDC＋∠ABD＋∠ADC＝∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠BHD＝90°，∴CD⊥BE.∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG 12 CD.同理：NG 12BE，∴MG＝NG，MG⊥NG.(2)小明发现的上述结论成立．理由：如解图②，连接CD ，BE 相交于点H. ∵∠DAB＝∠CAE＝90°，∴∠DAC＝∠BAE.∵DA＝BA ，CA ＝EA ，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴∠FBH＝∠ADF，DC ＝BE.∵M 是BD 的中点，G 是BC 的中点，∴MG＝12DC ，同理NG ＝12BE ，∴MG＝NG. 设CD 交AB 于点F ，则∠FHB＝180°－(∠FBH＋∠BFH)＝180°－(∠ADF＋∠AFD)＝90°，∴CD⊥BE，∴MG⊥NG；(3)△GMN 为等腰直角三角形．证明：如解图③，连接EB ，DC ，延长线相交于点H ，同(1)的方法得，MG ＝NG ，同(1)的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD，∴∠CEH ＋∠ECH ＝∠AEH －∠AEC ＋180°－∠ACD －∠ACE ＝∠ACD －45°＋180°－∠ACD－45°＝90°，∴∠DHE＝90°，同(1)的方法得，MG⊥NG.3．(1)证明： ∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠ABM.∵CE∥AM，∴∠ECD＝∠ADB.∵AM 是△A BC 的中线，且点D 与点M 重合，∴BD＝DC ，∴△ABD≌△EDC(ASA)，∴AB＝ED.∵AB∥ED，∴四边形ABDE 是平行四边形．(2)解：结论成立．理由如下：第3题解图①如解图①，过点M作MG∥DE交CE于点G.∵CE∥AM，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED＝GM，且ED∥GM.∵AB∥DE，∴AB∥GM，∴∠ABM＝∠GMC.∵AM∥CE，∴∠AMB＝∠GCM.∵AM为△ABC的中线，∴BM＝MC.∴△ABM≌△GMC(ASA)，∴AB＝GM，∴AB＝DE.∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形．(3)解：①如解图②，取线段HC的中点I，连接MI，第3题解图②∵BM＝MC，∴MI 是△BHC 的中位线，∴MI∥BH，MI ＝12BH. ∵BH⊥AC，且BH ＝AM.∴MI＝12AM ，MI⊥AC， ∴∠CAM＝30°.②设DH ＝x ，则AH ＝3x ，AD ＝2x ， ∴AM＝4＋2x ，∴BH＝4＋2x.∵四边形ABDE 是平行四边形，∴DF∥AB， ∴HF HA ＝HD HB ，∴33x ＝x 4＋2x ，解得x ＝1＋5或x ＝1－5(舍去)， ∴DH＝1＋ 5.。

2020年中考数学选择填空压轴题汇编最值问题含解析

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：最值问题1.（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为2 2 ．【解答】解：如图，连接BE，BD．由题意BD2，∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为22．故答案为22．2.（2020•玉林）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A．﹣4 B．0 C．2 D．6【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y ＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∵（m﹣1）a+b+c≤0，∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，∵a＞0，∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，∴m的最大值为6，故选：D．3.（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′2，的长l，∴阴影部分周长的最小值为2．故答案为：．4.（2020•鄂州）如图，已知直线y x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为2．【解答】解：如图，在直线y x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x，∴OB＝4，OA，∴tan∠OBA，∴∠OBA＝30°，由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，∴PQ，由于OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP OB＝2，此时PQ，BP2，∴OQ OP，即∠OPQ＝30°，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，∴EP BP，∴BE3，∴OE＝4﹣3＝1，∵OE OP，∴∠OPE＝30°，∴∠EPM＝30°+30°＝60°，即∠EMP＝30°，∴PM＝2EP＝2．故答案为：2．5.（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2B．2C．6D．3【解答】解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN），如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ2，∴AC+BD的最小值为2．故选：B．6.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2 ．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值5×（1）＝2，故答案为2．7.（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为99 ．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM AB3，∴OA3，∴CM＝OC+OM＝33，∴S△ABC AB•CM6×（33）＝99．故答案为：99．8.（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为9．【解答】解：作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，∴CH＝4，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF∥CG，∴△EOD∽△GOC，∴，∵DF DE，∴，∴，∴，∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH＝EO，∴EO＝4，∴GO＝5，∴EG的最小值是，故答案为：9．9.（2020•聊城）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为4+2．【解答】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，∴AC∥x轴，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（3，3）∴C（3，1），∴AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，∴AE2，∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2，故答案为：4+2．10.（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A． 1 B．C．2 1 D．2【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝21，∴OM CD，即OM的最大值为；故选：B．11.（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．B．C．﹣2 D．【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ BP最大，而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，解得：m2，∴k＝m（﹣m），故选：A．12.（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15 ．【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．13.（2020•新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 6 ．【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH，AA'＝2，∠C＝30°，∴Rt△CDE中，DE CD，即2DE＝CD，∵A与A'关于BC对称，∴AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'23，∴AD+DE的最小值为3，即2AD+CD的最小值为6，故答案为：6．。

2020年中考数学选择填空压轴题汇编二次函数图像与系数含解析

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：二次函数图像与系数1．（2020福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；故选：C．2．（2020广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以1，可得b＝﹣2a，由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，即8a+c＜0，故③正确；由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．3．（2020贵州黔西南）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝ADC．a D．OC•OD＝16【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，∴A（0，4），∵对称轴为直线x，AB∥x轴，∴B（5，4）．故A无误；如图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5，∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ACO，∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，∴∠ACO＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝5，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，∴C（8，0），∵对称轴为直线x，∴D（﹣3，0）∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，∴AD＝5，∴AB＝AD，故B无误；设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），∴a，故C无误；∵OC＝8，OD＝3，∴OC•OD＝24，故D错误．综上，错误的只有D．故选：D．4．（2020贵州遵义）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x2，∴4a﹣b＝0，所以①正确；∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，∴c＞3a，所以②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），∴抛物线与直线y＝2有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴3，∴b2+12a＝4ac，∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，∵a＜0，∴b＝4a＜0，∴b2+2b＞4ac，所以④正确；故选：C．5．（2020黑龙江大兴安岭）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x ＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，故选：C．6．（2020黑龙江牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（）①abc＞0；②4a+b＞0；③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，c＜0，，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，∴对称轴在直线x＝2右侧，即，∴，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正确；∵M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，0＜x1＜x2，可得：抛物线y＝ax2+bx+c在上，y随x的增大而增大，在上，y随x的增大而减小，∴y1＞y2不一定成立，故③错误；若抛物线对称轴为直线x＝3，则，即b＝﹣6a，则a（m﹣3）（m+3）﹣b（3﹣m）＝a（m﹣3）2≤0，∴a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m），故④正确；∵AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，当x＝1时，代入，y＝a+b+c≥0，当x＝4时，16a+4b+c＝0，∴a，则，整理得：4b+5c≥0，则4b+3c≥﹣2c，又c＜0，﹣2c＞0，∴4b+3c＞0，故⑤正确，故正确的有4个．故选：B．7．（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x ＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，故选：C．8．（2020湖北荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N （x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3．其中正确结论的序号为①④．【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；②△ABC的面积AB•y C AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故②错误，不符合题意；④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3，故④正确，符合题意；故答案为：①④．9.（2020湖北随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴对称轴为直线x1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确，当x＝1时，0＝a﹣b+c，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c＝3b，故②错误；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）∴点C（0，﹣3a），当BC＝AB时，4，∴a，当AC＝BC时，4，∴a，∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点D（1，4a），∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，∴a，若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，∴a＝﹣1，∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或，故④错误．故选：B．10．（2020湖南湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（）A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；②由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故此选项错误；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故此选项错误；④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确；⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x1，即a，代入得9（）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；故④⑤正确．故选：D．11．（2020江苏南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是①②④．【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．12．（2020山东青岛）已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y的图象如图所示，则一次函数y x﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵二次函数开口向下，∴a＜0；∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，∴b符号与a相异，b＞0；∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，∴0，﹣b＜0，∴一次函数y x﹣b的图象经过二三四象限．故选：B．13．（2020四川南充）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m 与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则a≤﹣1或1≤a；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a或a≥1．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x，∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；故①正确；当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5＜y≤﹣5，∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，∴1≤a，若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y＜﹣3a﹣5，∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，∴a≤﹣1，故②正确；若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，∴，∴a≥1，若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，∴，∴a，综上所述：当a或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．故选：D．14．（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n ＞0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A．①③B．①②③C．①④D．②③④【解答】解：依照题意，画出图形如下：∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．∴a＜0，c＞0，对称轴为x1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵对称轴为x＝﹣1，∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；∵顶点为（﹣1，n），∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，联立方程组可得：，可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，∵无法判断△是否大于0，∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；当﹣3≤x≤3时，当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，故选：C．。

2020年中考数学专题训练：压轴题

2020年中考数学专题训练：压轴题一、选择题1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，8）和B（4，2）两点，点P是线段AB 上一动点（不与点A和B重合），过P点分别作x轴，y轴的垂线PC，PD交反比例函数图象于点E，F，则四边形OEPF面积的最大值是（）A．3 B．4 C．D．6第1题第2题2．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P 是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C 运动到点D时，点G移动的路径长为（）A．1 B．2 C．3 D．63．如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A，B两点，在x轴有一点C（3，0），AC⊥BC，连结AC交反比例函数图象于点D，若AD＝CD，则k的值为（）A．B．2 C．2D．44．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，如图正方形ABCD可以制作一副七巧板，现将这副七巧板拼成如图2的“风车”造型（内部有一块空心），连结最外围的风车顶点M、N、P、Q得到一个四边形MNPQ，则正方形ABCD与四边形MNPQ的面积之比为（）A．5：8 B．3：5 C．8：13 D．25：495．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y＝（x＞0）上，若图中S△OBP＝4，则k的值为（）A．B．﹣C．﹣4 D．46．有一个著名的希波克拉蒂月牙问题：如图1，以直角三角形的各边为直径分别向上作半圆，则直角三角形的面积可表示成两个月牙形的面积之和，现将三个半圆纸片沿直角三角形的各边向下翻折得到图2，把较小的两张半圆纸片的重叠部分面积记为S1，大半圆纸片未被覆盖部分的面积记为S2，则直角三角形的面积可表示成（）A．S1+S2B．S2﹣S1C．S2﹣2S1D．S1•S2二、填空题1．如图，四边形ABCD，四边形EBFG，四边形HMPN均是正方形，点E、F、P、N分别在边AB、BC、CD、AD上，点H、G、M在AC上，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于．第3题第4题2．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0，k1＜0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴于点D，交AB于点E．若△ABC与△DBC的面积之差为3，＝，则k1的值为．3．如图，矩形ABCD中，将△BCD绕点B逆时针旋转得△BEF，其中点C的对应点E恰好落在BD上．BF，EF分别交边AD于点G，H．若GH＝4HD，则cos∠DBC的值为．第3题第4题4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线BD上的动点，以BP为直径作圆，当圆与矩形ABCD的边相切时，BP的长为．5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，∠AOC＝60°，点D为AB边上的一点，经过O，A，D三点的抛物线与x轴的正半轴交于点E，连结AE交BC于点F，当DF⊥AB时，CE的长为．第5题第6题6．如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，以点C为圆心，4为半径作圆．点D是⊙C上的一个动点，连接AD、BD，则AD+BD的最小值为．三、解答题1．如图1，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足AD2+BE2＝DE2，则称DE为Rt△ABC的“完美分割线”．显然，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC 的一条完美分割线．（1）如图1，AB＝10，cos A＝，AD＝3，若DE为完美分割线，则BE的长是．（2）如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得DP＝DA，过点P画PE⊥PD交BC于点E，连结DE，求证：DE是直角△ABC的完美分割线．（3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割线，点P是斜边AB 的中点，连结PD、PE，求cos∠PDE的值．2．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为4，直线MD⊥x轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，N为线段MD上一个动点，以N为等腰三角形顶角顶点，NA为腰构造等腰△NAG，且G点落在直线CM上．若在直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，请直接写出点N的坐标．（3）如图，点P为第一象限内抛物线上的一点，点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q 的横坐标比点P的横坐标大1，连接PC、AQ．当PC＝AQ时，求S△PCQ的值．3．定义：有一组对边与一条对角线均相等的四边形为对等四边形，这条对角线又称对等线．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠C＝∠BDC，E为AB的中点，DE⊥AB．求证：四边形ABCD是对等四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的对等四边形ABCD，使BD是对等线，C，D在格点上．（3）如图3，在图（1）的条件下，过点E作AD的平行线交BD，BC于点F，G，连结DG，若DG⊥EG，DG＝2，AB＝5，求对等线BD的长．4．如图，AB为⊙O的直径，点C为下方的一动点，连结OC，过点O作OD⊥OC交BC 于点D，过点C作AB的垂线，垂足为F，交DO的延长线于点E．（1）求证：EC＝ED．（2）当OE＝OD，AB＝4时，求OE的长．（3）设＝x，tan B＝y．①求y关于x的函数表达式；②若△COD的面积是△BOD的面积的3倍，求y的值．5．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD＝3，请求出点P的坐标．（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．6．如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△P AB关于直线P A的对称△P AB′，设点P的运动时间为t（s）．（1）若AB＝2．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△P AB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠P AM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠P AM＝45°”是否总是成立？请说明理由．参考答案一、选择题1．【分析】利用A和B两个点求出解析式，将面积转化为二次函数的形式，利用二次函数的性质求最大值；【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，反比例函数解析式为y＝，∵A（1，8）和B（4，2）是两个函数图象的交点，∴y＝，∴，∴，∴y＝﹣2x+10，∵S△ODF＝S△ECO＝4，设点P的坐标（x，﹣2x+10），∴四边形OEPF面积＝xy﹣8＝x（﹣2x+10）﹣8＝﹣2x2+10x﹣8＝﹣2（x﹣）2+，∴当x＝时，面积最大为；故选：C．2．【分析】设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，判断出G的运行轨迹为△CSD的中位线，从而求出点G移动的路径长．【解答】解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，∴G为PS的中点，即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，∴G的运行轨迹为△CSD的中位线，∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝6﹣1﹣1＝4，∴点G移动的路径长为×4＝2．故选：B．3．【分析】设A（t，），利用线段的中点坐标公式得到D点坐标为（，），则•＝k，解得t＝1，所以A（1，k），再证明OC为Rt△ACB斜边上的中线，则OA＝OC＝3，然后利用勾股定理得到12+k2＝32，最后解方程即可．【解答】解：设A（t，），∵C（3，0），AD＝CD，∴D点坐标为（，），∵点D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴•＝k，解得t＝1，∴A（1，k），∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，∴OC＝OA＝OB＝3，∴12+k2＝32，解得k＝2．故选：C．4．【分析】设AC＝4a，解直角三角形求出AB、MQ，再求出两正方形的面积，即可得出答案．【解答】解：设AC＝a+a+a+a＝4a，则AB＝BC＝AC×sin45°＝2 a，所以正方形ABCD的面积是（2 a）2＝8a2；图2中ME＝3a，EQ＝2a，由勾股定理得：MQ＝＝a，所以正方形MNPQ的面积为（a）2＝13a2，所以图中正方形ABCD，MNPQ的面积比为，故选：C．5．【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB＝∠CAD＝60°，故可得出AD ∥OB，所以S△ABP＝S△AOP，故S△AOB＝S△OBP＝4，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．【解答】解：如图：∵△AOB和△ACD均为正三角形，∴∠AOB＝∠CAD＝60°，∴AD∥OB，∴S△ABP＝S△AOP，∴S△AOB＝S△OBP＝4，过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE＝S△ABE＝S△AOB＝2，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴S△OBE＝k，∴k＝4故选：D．6．【分析】设以Rt△ABC的斜边为直径的半圆为大半圆，以AC为直径的半圆为中半圆，以BC为直径的半圆为小半圆，根据圆的面积公式得到S小半圆＝π×＝BC2，S＝AC2，S大半圆＝AB2，根据勾股定理于是得到S△ABC＝S2﹣S1．中半圆【解答】解：设以Rt△ABC的斜边为直径的半圆为大半圆，以AC为直径的半圆为中半圆，以BC为直径的半圆为小半圆，∵S小半圆＝π×＝BC2，S中半圆＝AC2，S大半圆＝AB2，∴S大半圆﹣S中半圆﹣S小半圆＝（AB2﹣BC2﹣AC2）＝0，∵S△ABC+S大半圆﹣S中半圆﹣S小半圆+S1＝S2，∴S△ABC+S1＝S2，∴S△ABC＝S2﹣S1，∴直角三角形的面积可表示成S2﹣S1，故选：B．二、填空题1．【分析】设DP＝DN＝m，则PN＝m，PC＝2m，AD＝CD＝3m，AC＝3m，CG＝AG＝m，求出两个阴影部分的面积即可解决问题．【解答】解：设DP＝DN＝m，则PN＝m，PC＝2m，AD＝CD＝3m，AC＝3m，CG＝AG＝m，∴S1＝m2，S2＝••CG2＝m2，∴＝＝，故答案为4：9．2．【分析】设CE＝2t，则DE＝3t，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到C（，5t），B（，3t），A（，3t），再根据三角形面积公式得到×（﹣）×2t﹣×5t （﹣）＝3，然后化简后可得到的值．【解答】解：设CE＝2t，则DE＝3t，∵点B，C在反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴，∴C（，5t），B（，3t），∴A（，3t），∵△ABC与△DBC的面积之差为3，∴×（﹣）×2t﹣×5t（﹣）＝3，∴k1＝﹣9．故答案为﹣9．3．【分析】由旋转的性质可得∠FBE＝∠DBC，BF＝BD，BE＝BC，∠BEF＝∠C＝90°，再由矩形的性质得出∠EDH＝∠DBC，设HD＝x，GH＝4x，设BE＝BC＝y，分别用x和y表示出BC、BD、DE、DH，根据cos∠DBC＝cos∠EDH，列出比例式，化简得＝，即cos∠DBC＝．【解答】解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转得△BEF，其中点C的对应点E恰好落在BD上．∴∠FBE＝∠DBC，BF＝BD，BE＝BC，∠BEF＝∠C＝90°，∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EDH＝∠DBC，∴∠FBE＝∠DBC＝∠EDH，∴BG＝DG，∵GH＝4HD，∴设HD＝x，GH＝4x，设BE＝BC＝y，则BG＝DG＝5x，∵∠DHE+∠EDH＝90°，∠F+∠FBE＝90°，∠FBE＝∠EDH，∴∠F＝∠DHE，∵∠FHG＝∠DHE，∴∠F＝∠FHG，∴GF＝GH＝4x，∴BF＝BD＝9x，DE＝9x﹣y，∵cos∠DBC＝cos∠EDH，∴＝，∴＝，∴xy＝81x2﹣9xy，∴10xy＝81x2，∴10y＝81x，∴＝，即cos∠DBC＝．故答案为：．4．【分析】BP为直径的圆的圆心为O，作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，如图，设⊙O的半径为r，先利用勾股定理计算出BD＝5，根据切线的判定方法，当OE＝OB时，⊙O与AD相切，根据平行线分线段成比例定理得＝，求出r得到BP的长；当OF＝OB时利用同样方法求出BP的长．【解答】解：BP为直径的圆的圆心为O，作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，如图，设⊙O的半径为r，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴BD＝＝5，当OE＝OB时，⊙O与AD相切，∵OE∥AB，∴＝，即＝，解得r＝，此时BP＝2r＝；当OF＝OB时，⊙O与DC相切，∵OF∥BC，∴＝，即＝，解得r＝，此时BP＝2r＝；综上所述，BP的长为或．故答案为或．5．【分析】先求出A（1，），B（3，），设BF＝x，则CF＝2﹣x，再由菱形的性质求出D（3﹣x，），由于抛物线经过O，A，D、E，根据抛物线的对称性可知点A与点D的中点横坐标与点O与点E的中点横坐标相同，可求E（4﹣x，0），由平行线分线段成比例可得＝，从而建立等量关系＝，求出x即可求CE．【解答】解：∵菱形OABC的边长为2，∠AOC＝60°，∴OA＝2，∴A（1，），∵菱形OABC，∴AB＝OC＝2，AB∥OC，∴B（3，），设BF＝x，则CF＝2﹣x，在菱形OABC中，∠B＝∠AOC＝60°，∵DF⊥AB，∴D（3﹣x，），∴点A与点D的中点为（2﹣x，），∵抛物线经过O，A，D、E，∴点O与点E的中点为（2﹣x，0），∴E（4﹣x，0），∴CE＝4﹣x﹣2＝2﹣x，∵AB∥CE，∴＝，∴＝，∴x＝4+2（舍）或x＝4﹣2，∴CE＝，故答案为．6．【分析】在CB上找一点E，连接ED，使ED＝BD，然后根据两间之间线段最短原量即可解决问题．【解答】解：如图，在CB上取一点E，使CE＝2，连接CD、DE、AE．∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，所以AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵CD＝4，∴＝＝，∴△CED∼△CDB，∴＝＝，∴ED＝BD，∴AD+BD＝AD+ED≥AE，当且仅当E、D、A三点共线时，AD+BD取得最小值AE＝＝2．三、解答题1．【分析】（1）由勾股定理求出BC＝6，设BE＝x，则CE＝6﹣x，则AD2+BE2＝DE2，可得出32+x2＝52+（6﹣x）2，解得：x＝，则答案可求出；（2）证得AD2+BE2＝DP2+EP2＝DE2，则结论得证；（3）延长DP至F，使PF＝PD，连接BF，EF，证明△APD≌△BPF（SAS），得出AD ＝BF，∠A＝∠FBP，则∠EPD＝90°，过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，则∠MPD＝∠NPE ＝90°﹣∠MPE，证明△MPD∽△NPE，得出PE＝2PD，设PD＝a，则PE＝2a，则DE ＝a，则可求出答案．【解答】解：（1）∵AB＝10，cos A＝，∴cos A＝，∴AC＝8，CD＝5，∴＝＝6，设BE＝x，则CE＝6﹣x，在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2＝52+（6﹣x）2，∵DE为完美分割线，∴AD2+BE2＝DE2，∴32+x2＝52+（6﹣x）2，解得：x＝．∴BE＝．故答案为：．（2）证明：如图2，∵DA＝DP，∴∠DAP＝∠DP A，∵PE⊥PD，∴∠DP A+∠EPB＝90°，又∠A＝∠B，∴∠EPB＝∠B，∴EP＝EB，∴AD2+BE2＝DP2+EP2＝DE2，∴DE是直角△ABC的完美分割线．（3）解：延长DP至F，使PF＝PD，连接BF，EF，∵AP＝BP，∠APD＝∠BPF，∴△APD≌△BPF（SAS），∴AD＝BF，∠A＝∠FBP，∴∠EBF＝∠CBA+∠FBP＝∠CBA+∠A＝90°，∵DE是完美分割线，∴DE2＝AD2+BE2＝BF2+BE2＝EF2，即ED＝EF．又PD＝PF，∴∠EPD＝90°，过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，则∠MPD＝∠NPE＝90°﹣∠MPE，∴△MPD∽△NPE，∴，设PD＝a，则PE＝2a，则DE＝＝a，∴cos∠PDE＝＝．2．【分析】（1）求出对称轴得到顶点坐标，代入解析式求出a值即可．（2）当直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，可分两种情况讨论：①NG⊥CM，且NG＝NA，如图2，作CH⊥MD于H，如图2．设N（1，n），易得NG＝MN＝（4﹣n），NA2＝22+n2＝4+n2，由题可得NG＝NA，由此即可得到关于n的方程，解这个方程就可解决问题；②A、N、G共线，且AN＝GN，如图3，过点GT⊥x轴于T，则有AD＝DT＝2，运用待定系数法求出直线CM的解析式，从而得出点G的坐标，然后运用三角形的中位线定理就可解决问题．（3）根据点P在第一象限，点Q在第二象限，且横坐标相差1，进而设出点P（3﹣m，﹣m2+4m）（0＜m＜1）；得出点Q（4﹣m，﹣m2+6m﹣5），得出CP2，AQ2，最后建立方程求解即可．【解答】解：（1）将顶点M坐标（1，4）代入解析式，可得a＝﹣1，抛物线解析式为y ＝﹣x2+2x+3（2）当直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，①NG⊥CM，且NG＝NA，如图1，作CH⊥MD于H，则有∠MGN＝∠MHC＝90°．设N（1，n），当x＝0时，y＝3，点C（0，3）．∵M（1，4），∴CH＝MH＝1，∴∠CMH＝∠MCH＝45°，∴NG＝MN＝（4﹣n）．在Rt△NAD中，∵AD＝DB＝2，DN＝n，∴NA2＝22+n2＝4+n2．则（4﹣n）2＝4+n2整理得：n2+8n﹣8＝0，解得：n1＝﹣4+2，n2＝﹣4﹣2（舍负），∴N（1，﹣4+2）．②A、N、G共线，且AN＝GN，如图2．过点GT⊥x轴于T，则有DN∥GT，根据平行线分线段成比例可得AD＝DT＝2，∴OT＝3．设过点C（0，3）、M（1，4）的解析式为y＝px+q，则，解得，∴直线CM的解析式为y＝x+3．当x＝3时，y＝6，∴G（3，6），GT＝6．∵AN＝NG，AD＝DT，∴ND＝GT＝3，∴点N的坐标为（1，3）．综上所述：点N的坐标为（1，﹣4+2 ）或（1，3）．（3）如图3，过点P作PD⊥x轴交CQ于D，设P（3﹣m，﹣m2+4m）（0＜m＜1）；∵C（0，3），∴PC2＝（3﹣m）2+（﹣m2+4m﹣3）2＝（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]，∵点Q的横坐标比点P的横坐标大1，∴Q（4﹣m，﹣m2+6m﹣5），∵A（﹣1，0）．∴AQ2＝（4﹣m+1）2+（﹣m2+6m﹣5）2＝（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]∵PC＝AQ，∴81PC2＝25AQ2，∴81（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]＝25（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]，∵0＜m＜1，∴[（m﹣1）2+1]≠0，∴81（m﹣3）2＝25（m﹣5）2，∴9（m﹣3）＝±5（m﹣5），∴m＝或m＝（舍），∴P（，），Q（，﹣），∵C（0，3），∴直线CQ的解析式为y＝﹣x+3，∵P（，），∴D（，﹣），∴PD＝+＝∴S△PCQ＝S△PCD+S△PQD＝PD×x P+PD×（x Q﹣x P）＝PD×x Q＝＝．3．【分析】（1）由∠C＝∠BDC，得出BC＝BD，由等腰三角形的性质得出BD＝AD，即可得出结论；（2）有两种画法：①作AB的垂直平分线与方格纸上的格点的交点即为点D，再以点B为圆心、以BD长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点C，连接AD、BC、CD，则AD＝BC＝BD；②以点B为圆心、以AB长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点D，再以点D为圆心、以BD长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点C，连接AD、BC、CD，则AB＝CD＝BD；（3）过点E作EH⊥AD于H，易证四边形DGEH是矩形，得出EH＝DG＝2，求出AE ＝BE＝AB＝，S△ADE＝S△BDE，设DE＝x，AD＝BD＝y，S△ADE＝EH•AD＝y，S△BDE ＝BE•DE＝x，由勾股定理得出BD2＝BE2+DE2，即y2＝（）2+x2，则，解方程组即可得出结果．【解答】（1）证明：∵∠C＝∠BDC，∴BC＝BD，∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴BD＝AD，∴BC＝AD＝BD，∴四边形ABCD是对等四边形；（2）解：有两种画法：①作AB的垂直平分线与方格纸上的格点的交点即为点D，再以点B为圆心、以BD长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点C，连接AD、BC、CD，则AD＝BC＝BD，如图2﹣1所示；②以点B为圆心、以AB长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点D，再以点D为圆心、以BD长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点C，连接AD、BC、CD，则AB＝CD＝BD，如图2﹣2所示；（3）解：过点E作EH⊥AD于H，如图3所示：则∠EHD＝90°，∵EG∥AD，DG⊥EG，∴∠EGD＝∠HDG＝90°，∴四边形DGEH是矩形，∴EH＝DG＝2，∵E为AB的中点，AB＝5，∴AE＝BE＝AB＝，S△ADE＝S△BDE，设DE＝x，AD＝BD＝y，则S△ADE＝EH•AD＝×2×y＝y，S△BDE＝BE•DE＝××x＝x，∵在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∴BD2＝BE2+DE2，即y2＝（）2+x2，∴，解得：，∴BD＝．4．【分析】（1）欲证明EC＝ED，只要证明∠ECD＝∠EDC．（2）证明△ECD是等边三角形，推出∠E＝60°即可解决问题．（3）①连接AC．首先证明x＝＝，再证明∠ACF＝∠B，推出tan∠B＝tan∠ACF ＝＝y，令OC＝k，则OF＝kx，CF＝＝＝k•，推出AF＝OA﹣OF＝k﹣kx＝k（1﹣x），根据y＝计算即可．②作OH⊥BC于H．设BD＝m，利用相似三角形的性质求出OH，BH（用m表示）即可解决问题．【解答】（1）证明：∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠OCD+∠ODC＝90°，∵EC⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠B+∠ECB＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCD，∴∠ODC＝∠ECB，∴EC＝EB．（2）解：∵OE＝OD，OC⊥ED，∴CE＝CE，∵EC＝ED，∴EC＝ED＝CD，∴△ECD是等边三角形，∵∠E＝60°，在Rt△EOC中，∵∠EOC＝90°，OC＝AB＝2，∴OE＝＝．（3）解：①连接AC．∵EC＝ED，∠EOC＝90°∴＝＝sin∠ECO，∵∠OFC＝90°，∴sin∠ECO＝，∴x＝＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠AFC＝90°，∴∠ACF+∠A＝90°，∠B+∠A＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴tan∠B＝tan∠ACF＝＝y，令OC＝k，则OF＝kx，CF＝＝＝k•，∴AF＝OA﹣OF＝k﹣kx＝k（1﹣x），∴y＝＝＝（0＜x＜1）．②作OH⊥BC于H．设BD＝m，∵△COD的面积是△BOD的面积的3倍，∴CD＝3BD＝3m，CB＝4m，∵OH⊥BC，∴CH＝BH＝2m，∴HD＝m，∵∠OCH+∠COH＝90°，∠COH+∠DOH＝90°，∴∠OCH＝∠DOH，∵∠OHC＝∠OHD＝90°，∴△OHC∽△DHO，∴＝，∴OH2＝2m2，∴OH＝m，∴y＝tan B＝＝＝．5．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入求出a的值即可得出答案；（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，求出直线BD的解析式，设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），可得出S△PBD＝﹣m，解方程可求出m的值，则答案可求出；（3）设M（a，0），证明△AMN∽△ABD，可得，再由△DNM∽△BMD，可得，得出关于a的方程，解方程即可得出答案．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝×PQ×（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△ABD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．6．【分析】（1）①利用勾股定理求出AC，由△PCB′∽△ACB，推出＝，即可解决问题．②分三种情形分别求解即可：如图2﹣1中，当∠PCB′＝90°时．如图2﹣2中，当∠PCB′＝90°时．如图2﹣3中，当∠CPB′＝90°时．（2）如图3﹣2中，首先证明四边形ABCD是正方形，如图3﹣2中，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝，∵∠PCB′＝∠ACB，∠PB′C＝∠ABC＝90°，∴△PCB′∽△ACB，∴＝，∴＝，∴PB′＝2﹣4．∴t＝PB＝2﹣4．②如图2﹣1中，当∠PCB′＝90°时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∴DB′＝＝，∴CB′＝CD﹣DB′＝，在Rt△PCB′中，∵B′P2＝PC2+B′C2，∴t2＝（）2+（3﹣t）2，∴t＝2．如图2﹣2中，当∠PCB′＝90°时，在Rt△ADB′中，DB′＝＝，∴CB′＝3在Rt△PCB′中则有：，解得t＝6．如图2﹣3中，当∠CPB′＝90°时，易证四边形ABP′为正方形，易知t＝2．综上所述，满足条件的t的值为2s或6s或2s．（2）如图3﹣1中，∵∠P AM＝45°∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°又∵翻折，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠ADM＝∠AB′M，AM＝AM，∴△AMD≌△AMB′（AAS），∴AD＝AB′＝AB，即四边形ABCD是正方形，如图，设∠APB＝x．∴∠P AB＝90°﹣x，∴∠DAP＝x，易证△MDA≌△B′AM（HL），∴∠BAM＝∠DAM，∵翻折，∴∠P AB＝∠P AB′＝90°﹣x，∴∠DAB′＝∠P AB′﹣∠DAP＝90°﹣2x，∴∠DAM＝∠DAB′＝45°﹣x，∴∠MAP＝∠DAM+∠P AD＝45°．。

2020年中考数学选择填空压轴题汇编规律探索含解析

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：规律探索1.（2020甘肃天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【解答】解：∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故选：A．2．（2020贵州铜仁）观察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝m（2m﹣1）（结果用含m的代数式表示）．【解答】解：∵220＝m，∴220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．3．（2020黑龙江鹤岗）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标2×32020﹣1，32020．【解答】解：∵点B坐标为（1，1），∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2（17，9），同理可得B4（53，27），B5（161，81），…由上可知，Bn（2×3n﹣1，3n），∴当n＝2020时，Bn（2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．4.（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．【解答】解：∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为2，∴第2个等腰直角三角形的面积4＝22，∵A4（10，4），∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，∴第3个等腰直角三角形的面积8＝23，…则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．5．（2020黑龙江绥化）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是119 ．【解答】解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，……∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．故答案为：119．6.（2020•湖北鄂州）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…B n在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．（2，0）B．（0，）C．（0，）D．（0，2）【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，∵A1（1，1），∴OB1＝2，设A2（m，2+m），则有m（2+m）＝1，解得m1，∴OB2＝2，设A3（a，2n），则有n＝a（2a）＝1，解得a，∴OB3＝2，同法可得，OB4＝2，∴OB n＝2，∴B n（0，2）．故选：D．7．（2020湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C （1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C 的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为（﹣1，8）．【解答】解：由题意得，作出如下图形：N点坐标为（﹣1，0），N点关于A点对称的N1点的坐标为（﹣3，0），N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），N2点关于C点对称的N3点的坐标为（﹣3，8），N3点关于A点对称的N4点的坐标为（﹣1，8），N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，﹣4），N5点关于C点对称的N6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6＝336……4，即循环了336次后余下4，故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，8）．8．（2020湖北仙桃）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2020的横坐标为21010．【解答】解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上，∴P1（1，1），∵P1P2∥x轴，∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，∵P2在直线y x上，∴1x，∴x＝﹣2，∴P2（﹣2，1），即P2的横坐标为﹣2＝﹣21，同理，P3的横坐标为﹣2＝﹣21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝﹣23，P7＝﹣23，P8＝24…，∴P4n＝2，∴P2020的横坐标为221010，故答案为：21010．9.（2020湖南常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．10.（2020湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是（0，﹣22019）．【解答】解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OP n＝2n﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．11.（2020湖南怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2，0）．【解答】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），把B1（t，t）代入y得t•t，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D m，则B2的坐标表示为（2+m，m），把B2（2+m，m）代入y得（2+m）m，解得m1或m1（舍去），∴A1D，A1A2，OA2，∴A2（，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2n，n），把B3（2n，n）代入y得（2n）•n，∴A2E，A2A3，OA3，∴A3（，0），综上可得：A n（，0），故答案为：．12.（2020湖南湘西州）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是A1N＝A n M，∠NOA n．【解答】解：∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也有类似的结论是A1N＝A n M，∠NOA n．故答案为：A1N＝A n M，∠NOA n．13．（2020山东德州）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148 B．152 C．174 D．202【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．14．（2020山东菏泽）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝5050（个），其中写有“心”字的正方体有100个，∴抽到带“心”字正方体的概率是，故选：D．15．（2020山东威海）如图①，某广场地面是用A，B，C三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作（1，1），第二块（B型）地砖记作（2，1）…若（m，n）位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条件是m、n 同为奇数或m、n同为偶数．【解答】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数．故答案为m、n同为奇数或m、n同为偶数．16．（2020山东潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是4039π．【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，AD n﹣1＝AA n＝4（n﹣1）+1，BA n＝BB n＝4（n﹣1）+2，故的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，的弧长．故答案为：4039π．17．（2020四川达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是（﹣1，1）；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为S k，则S1＝，S1+S2+S3+…+S100的值为．【解答】解：∵直线11：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；∵直线12：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．∵直线11：y＝kx+k+1与x轴的交点为（，0），直线12：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（，0），∴S K||×1，∴S1；∴S1+S2+S3+…+S100[][（1）+（）+…+（）]（1）．故答案为（﹣1，1）；；．18．（2020四川遂宁）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若．（n为正整数），则n的值为4039 ．【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，∴a n＝n（n+1），∵，∴，∴2×（1），∴2×（1），1，解得n＝4039，经检验：n＝4039是分式方程的解，故答案为：4039．19．（2020四川自贡）如图，直线y x+b与y轴交于点A，与双曲线y在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4，前25个等边三角形的周长之和为60 ．【解答】解：设直线y x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y x+b，∴当y＝0时，x b，即点D的坐标为（b，0），当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝﹣b，OD b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO，∴∠ADO＝60°．∵直线y x+b与双曲线y在第三象限交于B、C两点，∴x+b，整理得，x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2k，即EB•FC k，∵cos60°，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC k＝16，解得：k＝4．由题意可以假设D1（m，m），∴m2•4，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，n），∵（4+n）•n＝4，解得n＝22，∴E1E2＝44，即第二个三角形的周长为1212，设D3（4a，a），由题意（4a）•a＝4，解得a＝22，即第三个三角形的周长为1212，…，晨鸟教育∴第四个三角形的周长为1212，∴前25个等边三角形的周长之和12+1212+1212121212121260，故答案为4，60．Earlybird。

2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总--将军饮马问题及其11种变形汇总

2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总---------将军饮马专题古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归问题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：1.定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题．2．确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．3.定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．4．全局最短路径问题：求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”。

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】“化曲为直”题型一：两定一动，偷过敌营。

题型二：两定一动，将军饮马。

例1：如图， AM ⊥EF ，BN ⊥EF ，垂足为M 、N ，MN ＝12m ，AM ＝5m ，BN ＝4m ， P 是EF 上任意一点，则PA ＋PB 的最小值是______m ．分析：这是最基本的将军饮马问题，A ，B 是定点，P 是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A 关于EF 的对称点A ’，根据两点之间，线段最短，连接A ’B ，此时A ’P ＋PB 即为A ’B ，最短．而要求A ’B ，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．解答：作点A 关于EF 的对称点A ’，过点A ’作A ’C ⊥BN 的延长线于C ．易知A ’M ＝AM ＝NC ＝5m ，BC ＝9m ，A ’C ＝MN ＝12m ，在Rt △A ’BC 中，A ’B ＝15m ，即PA ＋PB 的最小值是15m ．例2：如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值解：点C 关于直线AD 的对称点是点B ，连接BE ，交AD 于点M ，则ME+MD 最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2 - CH 2 = 62 - 32 = 3 3在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 = (33)2 + 12 = 27DB CD CBP E D C B A E D C B AA （3对应练习题1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是。

2020年中考数学二次函数压轴题专题训练(含答案)

2020年中考数学二次函数压轴题专题训练(名师精选全国真题，值得下载练习)1.“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的50%标价.已知按标价的九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,该店平均每月可售出51辆;若每辆自行车每降价20元,每月可多售出3辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少?设进价为x元,则标价是1.5x元,由题意得1.5x×0.9×8－8x=(1.5x－100)×7－7x,解得x=1 000,1.5×1 000=1 500(元),答:进价为1 000元,标价为1 500元;×3)(1 500－1 000(2)设该型号自行车降价a元,利润为w元,由题意得w=(51+a20－a),(a－80)2+26 460,=－320∵－3<0,∴当a=80时,w最大=26 460,20答:该型号自行车降价80元出售每月获利最大,最大利润是26 460元.2.如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.解(1)设AB=x m,则BC=(100－2x)m,根据题意得x(100－2x)=450,解得x1=5,x2=45,当x=5时,100－2x=90>20,不合题意舍去;当x=45时,100－2x=10,答:AD的长为10 m.(2)设AD=x m,∴S=12x(100－x)=－12(x－50)2+1 250,当a≥50时,则x=50时,S的最大值为1 250;当0<a<50时,则当0<x≤a时,S随x的增大而增大,当x=a时,S的最大值为50a－12a2,综上所述,当a≥50时,S的最大值为1250;当0<a<50时,S的最大值为50a－12a2.3.如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式;(2)连接PO,P C,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP'C.若四边形POP'C为菱形,请求出此时点P的坐标;(3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.将点B和点C的坐标代入函数解析式,得{9a+6+c=0,c=3,解得{a=－1,c=3,二次函数的解析是为y=－x2+2x+3.(2)若四边形POP'C为菱形,则点P在线段CO的垂直平分线上,图1如图1,连接PP',则PE⊥CO,垂足为E,∵C(0,3),∴E(0,32),∴点P的纵坐标32,当y=32时,即－x 2+2x+3=3, 解得x 1=2+√102,x 2=2－√102(不合题意,舍),∴点P 的坐标为(2+√102,32).图2(3)如图2,P 在抛物线上,设P (m ,－m 2+2m+3), 设直线BC 的解析式为y=kx+b ,将点B 和点C 的坐标代入函数解析式,得{3k +3=0,b =3,解得{k =－1,b =3.直线BC 的解析为y=－x+3,过点P 作x 轴的垂线,交BC 于点Q ,交x 轴于点F , 设点Q 的坐标为(m ,－m+3),PQ=－m 2+2m+3－(－m+3)=－m 2+3m. 当y=0时,－x 2+2x+3=0,解得x 1=－1,x 2=3,OA=1,AB=3－(－1)=4, S 四边形ABPC =S △ABC +S △PCQ +S △PBQ =12AB ·OC+12PQ ·OF+12PQ ·FB =12×4×3+12(－m 2+3m )×3=－32(m －32)2+758,当m=3时,四边形ABPC的面积最大.当m=32时,－m2+2m+3=154,即P点的坐标为(32,154).当点P的坐标为(32,154)时,四边形ACPB的最大面积值为758.4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(－1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标;(3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.设抛物线解析式为y=a(x+1)(x－3),即y=ax2－2ax－3a,∴－2a=2,解得a=－1,∴抛物线解析式为y=－x2+2x+3;当x=0时,y=－x2+2x+3=3,则C(0,3),设直线AC的解析式为y=px+q,把A (－1,0),C (0,3)代入得{－p +q =0,q =3,解得{p =3,q =3,∴直线AC 的解析式为y=3x+3.(2)∵y=－x 2+2x+3=－(x －1)2+4,∴顶点D 的坐标为(1,4),作B 点关于y 轴的对称点B',连接DB'交y 轴于M ,如图1,则B'(－3,0),∵MB=MB',∴MB+MD=MB'+MD=DB',此时MB+MD 的值最小,而BD 的值不变, ∴此时△BDM 的周长最小, 易得直线DB'的解析式为y=x+3, 当x=0时,y=x+3=3,∴点M 的坐标为(0,3). (3)存在.过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ,如图2,∵直线AC 的解析式为y=3x+3, ∴直线PC 的解析式可设为y=－13x+b , 把C (0,3)代入得b=3,∴直线PC 的解析式为y=－13x+3,解方程组{y =－x 2+2x +3,y =－13x +3,解得{x =0,y =3或{x =73,y =209,则此时P 点坐标为(73,209); 过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ,直线PC 的解析式可设为y=－13x+b ,把A (－1,0)代入得13+b=0,解得b=－13,∴直线PC 的解析式为y=－13x －13,解方程组{y =－x 2+2x +3,y =－13x －13,解得{x =－1,y =0或{y =103,y =－139,则此时P 点坐标为(103,－139),综上所述,符合条件的点P 的坐标为(73,209)或(103,－139).5.在平面直角坐标系xOy 中(如图).已知抛物线y=－12x 2+bx+c 经过点A (－1,0)和点B (0,52),顶点为C ,点D 在其对称轴上且位于点C 下方,将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°,点C 落在抛物线上的点P 处. (1)求这条抛物线的表达式; (2)求线段CD 的长;(3)将抛物线平移,使其顶点C 移到原点O 的位置,这时点P 落在点E 的位置,如果点M 在y 轴上,且以O ,D ,E ,M 为顶点的四边形面积为8,求点M 的坐标.把A (－1,0)和点B (0,52)代入y=－12x 2+bx+c 得{－12－b +c =0,c =5,解得{b =2,c =52,∴抛物线解析式为y=－12x2+2x+52.(2)∵y=－1(x－2)2+9,∴C(2,92),抛物线的对称轴为直线x=2,如图,设CD=t,则D(2,92－t),∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处, ∴∠PDC=90°,DP=DC=t,∴P(2+t,92－t),把P(2+t,92－t)代入y=－12x2+2x+52得－12(2+t)2+2(2+t)+52=92－t,整理得t2－2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2, ∴线段CD的长为2.(3)P点坐标为(4,92),D点坐标为(2,52),∵抛物线平移,使其顶点C(2,92)移到原点O的位置,∴抛物线向左平移2个单位,向下平移92个单位,而P点(4,92)向左平移2个单位,向下平移92个单位得到点E,∴E点坐标为(2,－2),设M(0,m),当m>0时,12·(m+52+2)·2=8,解得m=72,此时M点坐标为(0,72);当m<0时,12·(－m+52+2)·2=8,解得m=－72,此时M点坐标为(0,－72);综上所述,M点的坐标为(0,72)或(0,－72).6.如图,抛物线y=ax2－5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点,其中A(－3,0),C(0,4),点B 在x轴上,AC=BC,过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点,且CM=BN,连接MN,AM,AN.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;(2)当△CMN是直角三角形时,求点M的坐标;(3)试求出AM+AN的最小值.把A(－3,0),C(0,4)代入y=ax2－5ax+c得{9a+15a+c=0,c=4,解得{a=－16,c=4,∴抛物线解析式为y=－16x2+56x+4;∵AC=BC,CO⊥AB,∴OB=OA=3,∴B(3,0),∵BD⊥x轴交抛物线于点D, ∴D点的横坐标为3,当x=3时,y=－16×9+56×3+4=5,∴D点坐标为(3,5).(2)在Rt△OBC中,BC=√OB2+OC2=√32+42=5,设M(0,m),则BN=4－m,CN=5－(4－m)=m+1,∵∠MCN=∠OCB,∴当CMCO =CNCB时,△CMN∽△COB,则∠CMN=∠COB=90°,即4－m4=m+15,解得m=169,此时M点坐标为(0,169);当CMCB =CNCO时,△CMN∽△CBO,则∠CNM=∠COB=90°,即4－m5=m+14,解得m=119,此时M点坐标为(0,119);综上所述,M点的坐标为(0,169)或(0,119).(3)连接DN,AD,如图,∵AC=BC,CO⊥AB,∴OC平分∠ACB,∴∠ACO=∠BCO,∵BD∥OC,∴∠BCO=∠DBC,∵DB=BC=AC=5,CM=BN,∴△ACM≌△DBN,∴AM=DN,∴AM+AN=DN+AN,而DN+AN≥AD(当且仅当点A,N,D共线时取等号), ∴DN+AN的最小值=√62+52=√61,∴AM+AN的最小值为√61.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

压轴题选讲中考倒数第三题1. 如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。

(1)求证：CD为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.2、在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B 作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=，BQ=3．（1）求⊙O的半径；（2）若DE=，求四边形ACEB的周长．3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O 在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．4、己知：如图．△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 干点F ，交⊙O 于点D ，DF ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD ．（1）求证：∠DAC=∠DBA （2）求证：P 处线段AF 的中点（3）若⊙O 的半径为5，AF=，求tan ∠ABF 的值．5、已知：如图，锐角△ABC 内接于⊙O ，∠ABC ＝45°；点D 是⌒BC 上一点，过点D 的切线DE 交AC 的延长线于点E ，且DE ∥BC ；连结AD 、BD 、BE ，AD 的垂线AF 与DC 的延长线交于点F ．（1）求证：△ABD ∽△ADE ；（2）记△DAF 、△BAE 的面积分别为S △DAF 、S △BAE ，求证：S △DAF ＞S △BAE ．6、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC于点D ，过点D 作EF ⊥AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ． (1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)当∠BAC ＝60º时，DE 与DF 有何数量关系？请说明理由； (3)当AB ＝5，BC ＝6时，求tan ∠BAC 的值．ABCEOF7、如图，已知CD 是⊙O 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ．(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线．(2)当AC ＝1，BE ＝2，求tan ∠OAC 的值．9、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为C ．延长AB 交CD 于点E ．连接AC ，作∠DAC =∠ACD ，作AF ⊥ED 于点F ，交⊙O 于点G ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）如果⊙O 的半径是6cm ，EC =8cm ，求GF 的长．AEB DO CA OB C F G中考倒数第二题1、某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y 1（元）与月份x （1≤x ≤9，且x 取整数）之间的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9价格y 1（元/件） 560580 600 620 640 660 680 700 720 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y 2（元）与月份x （10≤x ≤12，且x 取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y 1与x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y 2与x 之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p 1（万件）与月份x 满足函数关系式p 1=0.1x+1.1（1≤x ≤9，且x 取整数）10至12月的销售量p 2（万件）与月份x 满足函数关系式p 2=﹣0.1x+2.9（10≤x ≤12，且x 取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a 的整数值．（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）2、如图，已知抛物线249y x bx c =−++与x 轴相交于A 、B 两点，其对称轴为直线2x =，且与x 轴交于点D ，AO=1．(1) 填空：b=_______。

c=_______，点B 的坐标为(_______，_______)：(2) 若线段BC 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交x 轴于点F ．求FC 的长；(3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使⊙P 与x 轴、直线BC 都相切？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

3、我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润()216041100P x =−−+（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润()()2992941001001601005Q x x =−−+−+（万元） ⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？4、2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办.型号Ⅰ型设备 Ⅱ型设备金额投资金额x （万元） x5 x 2 4 补贴金额y （万元）)0(1≠=k kx y2)0(22≠+=a bx ax y 2.43.2（1）分别求1y 和2y 的函数解析式；（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.5、使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。

例如，对于函数1y x =−，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =−的零点。

己知函数222(3)y x mx m =−−+ (m m 为常数)。

（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=−，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =−上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式。

6、如图，已知二次函数y=﹣x 2+mx+4m 的图象与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点（B 点在A 点的右边），与y 轴的正半轴交于点C ，且（x 1+x 2）﹣x 1x 2=10．（1）求此二次函数的解析式．（2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；（3）连接BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S．请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．8、如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．9、如图9，已知抛物线经过定点．．A （1，0），它的顶点P 是y 轴正半轴上的一个动点．．，P 点关于x 轴的对称点为P ′，过P ′ 作x 轴的平行线交抛物线于B 、D 两点（B 点在y 轴右侧），直线BA 交y 轴于C 点．按从特殊到一般的规律探究线段CA 与CB 的比值：（1）当P 点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA 与CB 的比值；（2）若P 点坐标为（0，m ）时（m 为任意正实数），线段CA 与CB 的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．10、如图，已知二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象经过A （﹣2，﹣1），B （0，7）两点．（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）当x 为何值时，y ＞0？（3）在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C ，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过点C ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．图9xyB AP P 1OCD... . . .11、如图，抛物线1l 1 :y=-x 2平移得到抛物线2l ，且经过点O(0.0)和点A(4.0)，2l 的顶点为点B ，它的对称轴与2l 相交于点C,设1l 、2l 与BC 围成的阴影部分面积为S,解答下列问题：（1）求2l 表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标。

（2）求点C 的坐标，并直接写出S 的值。

（3）在直线AC 上是否存在点P ，使得S △POA ＝12S ？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

12、已知A (1，0)、B (0，－1)、C (－1，2)、D (2，－1)、E (4，2)五个点，抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)经过其中的三个点．(1)求证：C 、E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上；(2)点A 在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上吗？为什么？ (3)求a 和k 的值．l 2l 1第27题AC OBxya b 图113、已知二次函数32−+=bx x y 的图象经过点P （－2，5）（1）求b 的值并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；（2）设)y 2()y 1()y (32211，，、，++m P m P m P 在这个二次函数的图象上， ①当m=4时，321y y y 、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当m 取不小于5的任意实数时，321y y y 、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由。

14、问题提出：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M 、N 的大小，只要作出它们的差M －N ，若M －N ＞0，则M ＞N ；若M －N ＝0，则M ＝N ；若M －N ＜0，则M ＜N ．问题解决如图1，把边长为a ＋b (a ≠b )的大正方形分割成两个边长分别是a 、b 的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M 与两个矩形面积之和N 的大小．解：由图可知：M ＝a 2＋b 2，N ＝2ab ．∴M －N ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2． ∵a ≠b ，∴(a －b )2＞0． ∴M －N ＞0．∴M ＞N ．类别应用(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为a ＋b2元/千克和2aba ＋b元/千克(a 、b 是正数，且a ≠b )，试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M 1、N 1的大小(b ＞c )．联系拓广小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示(其中b ＞a ＞c ＞0)，售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，吻哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．15、设函数1)12(2+++=x k kx y （k 为实数）（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图像；（2）根据所画图像，猜想出：对任意实数k ，函数的图像都具有的特征，并给予证明；（3）对任意负．实数k ，当m x <时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值中考最后一题图3a ＋bb ＋3cb ＋ca －c图2图4图5 图6 图7a bc第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图1例2 如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()=−+−(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且y x x mm点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．图1例3 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．图11.2因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图例2 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例3 如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图11.3 因动点产生的直角三角形问题例1 如图1，抛物线233384y x x =−−+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1例2 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．例3 如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设xAB=．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？图11.4 因动点产生的平行四边形问题例1 如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．图1例2 将抛物线c1：233=−x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．y x（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图1例3 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图11.5 因动点产生的面积问题例1 如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；（2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1例 2 如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p −(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和my x=−(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图11.6 因动点产生的相切问题例1 如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1A=时，求AP的长；tan2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4A=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，tan3试求⊙M的半径的长．图1 图2 图3例2 如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1第二部分函数图象中点的存在性问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3例2 如图，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．2.2 由面积产生的函数关系问题例1 如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =−+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1例2 如图1，抛物线213922y x x =−−与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D．①当△ABC的面积等于1时，求a的值②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．例2 已知抛物线y n＝－(x－a n)2＋a n（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜a n）与x轴的交点为A n－1(b n－1,0)和A n(b n,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；（3）探究下列结论：①若用A n－1 A n表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出A n－1 A n；②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．备用图（仅供草稿使用）3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．。