经济研究中的计算方法1

综上所述，若每年结算m次，则第t年末的本利之和为 r mt A t = A 0 (1 + ) m 这里不论m是多少次，只要是按上式计算本利之 和的都称之为“复利”。并且每年结算的次数越多， 本利之和就越大。
但是不是结算次数m的不断增加，可以使本利 之和A t 无限地增大呢？
其实，这是一个极限问题。

则称 Lt lt 为“模型误差”， 105 是 0.01 测误差”。
(2.38 0.01) 10
5

c
的“观
截断误差
在解决实际问题时，数学模型常常难于直
接求解，往往要近似代替，其近似解与精
确解之间的误差称为截断误差。
截断误差例题

例3
求 e x 时，可将 e x 展开为级数形式： 2 n
发展与创新。主要内容包括误差的一般概念、插
值法、数据拟合法、非线性方程的数值解法、线
性代数方程组的数值解法、数值积分法、数值微
分法、常微分方程初值问题的数值解法和矩阵特 征值与特征向量的求法等。
数值计算方法的定义
数值计算方法是研究常见的基本数学问题的数值
解法及其相关理论的一门数学分支，它包含了数 值代数、数值微分与积分，常微分方程数值解等 内容。
复利、连续复利与贴现
设某顾客在银行存入本金A 0元,若存款的年利率 为r，试计算t年后该顾客存款的本利之和A t . 若每年结算一次，则 第一年末的本利之和是 A 1 = A 0 + A 0 r = A 0(1+ r) 第二年末的本利之和是 A 2 = A（1+ r)= A 0(1+ r)2 1 第t年末的本利之和是 A t = A 0 (1 + r) t (1)
3.1416 0.0000074
3.1415 0.0000926
有效数位为4位
有效数字位数例题
例：设x 0.034039，那么 取2位，x* 0.034，有效数字位数为2位； 取3位，x* 0.0340，有效数字位数为3位； 取4位，x* 0.03404，有效数字位数为4位；

让我们分析一下：因为篮子重0.5 斤，连鸡蛋一起称为0.55斤，故篮子重 了0.05斤。故张老师就知道这10斤蛋肯 定少了。设用摊主的秤称应补x斤鸡蛋， 则 0.5÷0.55=10÷10+x。

解得x=1。 经检验x=1是原方程的解且符合题意。 所以用摊主秤称应补给张老师一斤鸡蛋。 通过以上例题让学生明白上街买菜虽是 小事，但每天必做。生活确实离不开数 学。
模型误差

用数学模型来描述具体的物理现象时，往往要忽 略许多次要因素，把模型“简单化”、“理想 化”，因此模型本身就包含有误差，这种误差称 为模型误差。
模型误差例题
1 2， （g 为重力加速度） 例1 我们用s (t ) gt 2
来描述物体自由下落时距离与时间的关系．设自
由落体在时间
t 时的实际下落距离为 st ，则
x x e 1 x ... ... 2 n
x
2
n
舍入误差
在计算时总是只能取有限位有效数字进行
计算而引起，初始参数与中间结果都必须
进行四舍五入，这个误差称为舍入误差。
舍入误差例题

例4 3.1415926 ， 2 1.41421356 ， 1 0.3333等，在计算机上运算时只能用有限 3 位小数，如果取小数点后四位数字，则
课程的主要目的
数值计算方法课程的主要目的就是为人类解决很
多实际问题而提供的一种计算工具，故同学们的 任务就是学习、掌握并利用这个工具。

培养学生基本的和必要的数值计算方面的知识； 在学完数学分析、高等代数之后继续提高运用数 学知识，解决数值计算问题的能力。
误差来源
1、模型误差 2、观测误差 3、截断误差 4、舍入误差
*
则说x* 近似表示 x 准确到小数后第n位，并从这第n位起
直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字， 并把有效数字的位数称为有效位数。
1 3.1416 104 2
3.14159 105
1 2
3.14 0.0015926
有效数位为3位 有效数位为5位
x x* er r x x
有效数字位数

定义1.3 如果近似值 x *的绝对误差限 是某一位 数字的半个单位，我们就说 x *准确到该位，从这 一位起直到前面的第一位非零数字为止的所有数 字称为 x *的有效数字。
有效数字位数(续)
1 x x 10 n 2
l1 3.1416 0.000074
l2 1.4142 2 0.000013
1 l3 0.3333 0.000033 3
, ， ，
就是“舍入误差 ”
误差来源分析
总之，误差一般来自模型误差、观测误差、截断误差、 舍入误差。在计算方法课程中，不分析模型误差；观测误 差作为初始舍入误差；截断误差是主要讨论对象，是计算 中误差的主要部分。在各种算法中，通过数学方法可推导 出截断误差限的公式；舍入误差产生往往有很大的随机性， 讨论比较困难，在问题本身呈现病态或不稳定时，它可能 成为计算中误差的主要部分。 误差分析是一门专门的学科，经过训练的计算工作者， 当发现计算结果与实际不符时，应当能找出误差的来源，
相对误差

定义1.2 误差与精确值的比值
e x x* x x
称作近似值
x *的相对误差，记作 er。相对误差
是无量纲的量，常用百分比表示，它可正可负。
相对误差限

相对误差也不能准确计算，而是用相对误差限来 估计的：
计，所以以后我们就用 表示相对误差限。
x*
r 就是相对误差限．当 r 较小时，可以忽略不
例如，我国财政部发行的所谓“贴现国债”， 老百姓只要花80多元钱，就可以买到面值100元 的国债。它就是用贴现的方法计算出来的。
在（3）式中，r = 0.03,t = 3,A 3 = 100 则 A 0 = 100e
-0.09
=?
根据微积分中的泰勒展开式，我们可以得到 这样近似计算公式 1 2 1 3 1 n e ≈1+ x + x + x + + x 2! 3! n!
在近似计算中应该注意的事项
1、避免两个相近的数相减； 2、避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法； 3、要防止大数“吃掉”小数； 4、尽可能减少运算次数； 5、要设法控制误差的传播。
经济研究中的 计算方法
一个生活问题

星期天，小明和张老师提着篮子（篮子 重0.5斤）去集市买10斤鸡蛋，当张老师往篮 子里放称好的鸡蛋时，感觉比过去买10斤鸡 蛋时个数少很多。于是她将鸡蛋装进篮子再 让摊主一起称，共称得10.55斤。她即刻要求 摊主补给少称部分的蛋。旁边的小明感到疑 惑不解。聪明的你，张老师怎么知道蛋肯定 少了。若用摊主的秤称应补多少斤？
正时，近似值偏大，叫强近似值；当绝对误差为
负时，近似值偏小，则称弱近似值。
பைடு நூலகம்
绝对误差限

通常我们并不知道准确值 x ，也不能算出误差的 准确值，但能根据测量工具或计算情况估计出误差 的绝对值的上限，这个上限称为近似值 x *的误差 限。记为 。

x x*
在工程中常记为：
即
e


我们将A 0 称为资金的“现值”，而将按年利率r 以连续复利形式计算出来的A t 称为资金A 0的“t 年未来值”，这就是所谓资金的时间价值。
由公式(2)可以推出 A 0 = A te -rt 3） （ 利用这个公式可以在已知资金的“t年未来 值”A t的情况下求资金现值A 0，这个过程称为 “贴现”。
例题分析

例 若 x* 3587.64 是 x 的具有六位有效数字的 近似值，那么它的误差限是：
1 1 46 x * x 10 102 2 2

若 x* 0.0023156 是 x 的具有五位有效数字的近似 值，则误差限是： 1 1 2 5 x * x 10 107 2 2
st s(t ) 就是 “模型误差”。
观测误差
在数学模型中总要包含一些观测数据，这
些观测数据受工具、方法、观测者的主观
因素、不可预料的随机干扰等影响必然带
入误差，这种误差称为观测误差。
观测误差例题
例2 设一根铝棒在温度 t 时的实际长度为 Lt ，在t 0 时的实际长度为 L0 ，用 t 来表示铝棒在温度为 lt 时 的长度计算值，并建立数学模型： lt L0 (1 t ) ， 其中 是实验观测到的常数：
x x *
绝对误差限例题

例5 我们用一把毫米刻度的米尺来测量桌子的长 度 x ，读出的长度为 x* 1235mm ， x *是 x 的近似值，由于米尺的精度知道，它的 误差限为0.5mm，则有
x x * x 1235 0.5mm 即 1234.5 x 1235.5 x 1235 0.5mm 这表明x在区间[1234.5,1235.5]内，写成
x
复利、连续复利与贴现的例子
某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(t = 0) 就出售，总收入为R 0元；如果窖藏t年后按陈酒出 售，则总收入为R = R 0e
2 t 5
元。假定银行的年利率
为r，并以连续复利计息，那么，这批酒窖藏多 少年出售才能使总收入的现值最大呢？
什么是“总收入的现值”？
资金的时间价值体现在这个计算公式中
当m → +∞时，At的极限是否存在？
可以算出 r mt rt lim A t = lim A 0 (1 + ) = A 0 e (2) m →∞ m →∞ m
这个结果表明，结算周期无穷小，即银行要
连续不断地向顾客付利息，这种计息方式就 称为------连续复利。 但这种连续复利的结果也不是无穷大。
重要定理、结论

定理1.1 设近似值 x* 0.a1a2 an 10m a1 0 有n位 ， 有效数字，则其相对误差限为
1 r 10 n 1 2a1

定理1.2 设近似值 x* 0.a1a2 an 10m 的相对误差 限为： 1 10 n 1 2(a1 1) ， a1 0 ， 则它有n位有效数字。
第一章 误 差
主要知识点
数值计算方法的主要内容； 数值计算方法的定义； 近似计算时，常采用的一些方法； 误差的来源； 计算某值的绝对误差、绝对误差限、相对
误差、相对误差限，有效数字位数； 数值运算中应注意的事项。
数值计算方法的主要内容
数值计算方法这门学科是根据解决实际问题 的需要而产生，并随着科学技术的发展而不断地
并采取相应的措施加以改进，甚至对模型进行修改。
误差理论
误差、误差限、有效数字 相对误差及与有效数字的联
系
算术运算的误差和相对误差
误差的概念

定义1.1 设 x 为准确值， x* 为 x 的一个近似值， 称
x x*为 x 近似值的绝对误差，简称误差。

误差是有量纲的量 ，它可正可负，当绝对误差为
若每月结算一次（即每年结算12次），则月利率 r 以 计，于是由（1）式可得第t年末的本利之和是 12 r 12t A t = A 0 (1 + ) 12
同样道理，若每天结算一次（即每年结算365次）， r 则日利率以 计，于是由（1）式可得第t年末的 365 本利之和是 r 365t A t = A 0 (1 + ) 365
At = A 0ert
其中A 0为资金的现值，A t为按年利率r以连续复利 计息的t年未来值；另外，上式也可写成 A 0 = A te-rt
回到原来的问题。设t年末总收入R的现值为R， 则 R = Re-rt =(R 0e
2 t 5
)e-rt = R 0e
2 t -rt 5
1 用微积分中求极值的方法可以算出，当t = 时， 2 25r 1 R取得最大值。即这批酒窖藏 年出售可使总 2 25r 收入的现值最大。
x x e 1 x 2! n!
x
在实际计算时，我们只取前面有限项（例如 n 项） 2 n 计算部分和 Sn ( x) 作为 e x 的值必然产生误差，其误 e 差为： Rn ( x) x n 1 在0与x之间 (n 1)! 这个误差就是“截断误差”。
x x S n ( x) 1 x 2! n!