密码学数学基础第四讲 同余式(3)

第四讲 同余式（3）
教师：李艳俊
本讲内容
一、原根的定义 二、x k 1(mod n) 的解 三、基本性质
四、存在性问题
五、基本计算方法
一、原根的定义
回顾：欧拉定理 设m 1 是正整数，a是与m互素的正整数，则
a ( m ) 1(mod m)
问题： (m)是否为使得上述同余式成立的最小的正整数，
例1 求模41的所有原根。 解： (41) 40 23 5 所以40的素因数为2，5，而 40/2=20，40/5=8，
8 20 计算 g , g 模41是否为1 ：
28 mod 41 10,220 mod 41 1 48 mod 41 18,420 mod 41 1 68 mod 41 10,620 mod 41 40
m
的简化剩余系；
(4)
m (a) m (a ) , d 0 ，进一步，如果g是模m的 ( m (a ), d ) 原根，则 g d 是模m的原根的充分必要条件是 (d , (m)) 1；
d
(5)如果模m存在一个原根g，则模m有 ( (m)) 个不同原根； (6)如果(a, m) 1, (b, m) 1，则 ( m (a), m (b)) 1 的充分必要 条件是
640 mod 412 143
6 4120 mod 412 1106
6418 mod 412 903 47 418 mod 412 370
47 40 mod 412 1518
47 4120 mod 412 83
所以6和47都是模1681的原根。
2 例3 设 m 2 41 3362 ，求模m的原根。
定理2.17 设k是正整数，n为整数，p为素数，且不是n的因子，
则同余方程 或无解，或有（k,p-1）个解。 x k n(mod p)
x3 6(mod 7)
例： x3 2(mod 7)
定理2.18 设k是正整数，p为素数，当x遍历模p的一个简化剩
余系时，xk取
p 1 个模p不同余的值。 (k , p 1)
所以
c a sbt (mod m)
四、存在性问题
定理2.29 模m的原根存在的充分必要条件是
m 2, 4, pl , 2 pl
其中，p为奇素数。 例 设整数 m 21 3 7，这时 (21) 12。
a
m (a)
1 1
2 6
4 3
5 6
8 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10 6
11 6
13 2
16 3
l 若g是模 p l 的一个原根，则有r是模2 p 的一个原根。
g r g pl
如果g是奇数 如果g是偶数
五、基本计算方法
定理2.23 设 m 1 ，(m)的所有不同素因数是 q1 , q2 ,, qk ，
则g是模m的一个原根的充分必要条件是
( m)
g
qi
1(mod m), i 1, 2,, k。
三、基本性质
性质 设m>1， n>1是正整数，a是与m互素的整数。 (1)若 a b(mod m) ，则 m (a) m (b) ；
1 (2)设a mod m 为a关于模m的乘法逆元素，则
m (a 1 mod m) m (a);
(3) 1 a0 , a, a 2 ,, a ( a )1 模m两两不同余，特别地，当a是 模m的原根，即 m (a) (m) 时，这 (m)个数组成模m
则有 取
uv [ m (a), m (b)]
s
m (a)
u
t
m (b)
v
根据性质（4）
m (a) m (a ) u ( m (a), s )
s
m (b) m (b ) v ( m (b), t )
t
m (a s bt ) m (a s ) m (bt ) uv [ m (a s ), m (bt )]
a 1, a 2 1, a
p1 2
p 1 也是一个奇素数，设a是 2
1(mod p)
则a是模p的原根。
二、x k 1(mod n) 的解
例：设 1 k 10，计算同余方程 x k 1(mod11) 的解的个数。 根据定理1，当且仅当 11 (a) | k 时，a是该同余方程的解。
38 mod 41 1
58 mod 41 18,520 mod 41 1
(d , (41)) (d ,40) 1 时，6d是模41的原根，即
61 mod 41 6,
63 mod 41 11,
67 mod 41 29,
69 mod 41 19,
611 mod 41 28, 613 mod 41 24, 621 mod 41 35, 623 mod 41 30, 631 mod 41 13, 633 mod 41 17,
a
m (a)
1 1
2 3
3 6
4 3
5 6
6 2
结论：3，5是模7的原根，1，2，4，6不是模7的原根。
例2 设整数 m 10 2 5 ，这时 (10) 4 。
a
m (a)
1
3
7
9
1
4
4
2
结论：3，7是模10的原根，1，9不是模10的原根。
定理1 设m>1是整数，a是与m互素的正整数，则存
当k=1,3,7,9时，仅有一解：
当k=2,4,6,8时，有两个解：
x 1(mod11)
x 1,10(mod11)
当k=5时，有五个解：
当k=10时，有十个解。
x k 1,3, 4,5,9(mod11)
定理2.16 设k是正整数，p为素数，则同余方程 x k 1(mod p)
的解数为（k，p-1）。
在整数d使得
a d 1(mod m)
成立的充分必要条件是
m (a) | d .
推论 设m>1是整数，a是与m互素的正整数，则
m (a) | (m) 。
例3 求整数5模17的阶 17 (5) 。
例4 设m>1是整数，a是与m互素的正整数， s, t 是两 个正整数。假如 m (a) s t ，那么 m (a s ) t 。 例5 设p是一个奇素数，并且 与p互素的正整数，如果
解：6＋1681＝1687和47都是模3362的原根 。
小结
1、（a，m）＝1，使得 a d 1(mod m) 成立的最小d叫做a 对模m的阶 ，记做 m (a) 。 如果 m (a) (m) ，则a叫做模m的原根。
2、模m的原根存在的充分必要条件是
m 2, 4, pl , 2 pl
m (ab) m (a) m (b)
；
(7) 若 (a, m) 1, (b, m) 1，则存在整数c，使得
m (c) [ m (a), m (b)].
v 证明（7） 存在u,v，使得 u | m (a) ， | m (b) ，且 (u, v) 1 。
17 6
19 6
20 2
结论：模21没有原根。
定理2.24－2.26 设p为奇素数，g是模p的原根，则有r是模p2的一个原根。
g r g p
2
如果g p 1 1(mod p 2 ), 如果g p 1 1(mod p 2 ).
p l (l≥2)的一个原根。 若g是模 p 的一个原根，则g也是模
如果是，它会具有什么样的特殊性质 ？
定义 设m>1是整数，a是与m互素的正整数，使得
a d 1(mod m)
成立的最小正整数d叫做a模m的阶，记做 m (a) 。 如果a模m的阶是 (m) ，则a叫做模m的原根(或本原元)。
例1 设整数 m 7 ，这时 (7) 6 。
计算阶如下：
3、g是模m的一个原根的充分必要条件是
( m)
g
qi
1(mod m), i 1, 2,, k。
课后作业
（1）习题19、20 （2）预习第3章 二次剩余
617 mod 41 26, 619 mod 41 34, 627 mod 41 12, 629 mod 41 22, 637 mod 41 15, 639 mod 41 7.
2 例2 求模 m 41 1681 的原根。
解： (412 ) 41 40 23 5 41