弹性碰撞一动一静专题
8弹性碰撞问题
弹性碰撞考点规律分析(1)若两个物体在水平面上发生弹性碰撞，则这两个物体组成的系统动量守恒，同时总动能也不变。
即：m 1v 1＋m 2v 2＝m 1v 1′＋m 2v 2′ 12m 1v 21＋12m 2v 22＝12m 1v 1′2＋12m 2v 2′2 两个质量相等的物体在同一直线上发生弹性碰撞，由方程的对称性可知v 1′＝v 2，v 2′＝v 1，则速度互相交换。
(2)若碰撞前，有一个物体是静止的，设v 2＝0，则碰撞后的速度分别为 v 1′＝(m 1－m 2)v 1m 1＋m 2，v 2′＝2m 1v 1m 1＋m 2①若m 1＝m 2，v 1′＝0，v 2′＝v 1，碰后实现了动量和动能的全部转移。
②若m 1≫m 2，v 1′≈v 1，v 2′≈2v 1，碰后m 1几乎仍保持原来速度运动，质量小的m 2将以2v 1向前运动。
③若m 1≪m 2，v 1′≈－v 1，v 2′≈0，碰后m 1以原来速率向相反方向运动，m 2几乎未动。
典型例题(多选)质量为M 的带有14光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如图所示，一质量也为M 的小球以速度v 0水平冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左端，则( )A ．小球以后将向左做平抛运动B ．小球将做自由落体运动C ．此过程小球对小车做的功为12M v 20D ．小球在弧形轨道上升的最大高度为v 22g[规范解答] 小球上升到最高点时与小车相对静止，有相同的速度v ′，由动量守恒定律和机械能守恒定律有M v 0＝2M v ′，12M v 20＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12M v ′2＋Mgh ，联立解得h ＝v 204g ，D 错误；从小球滚上轨道到返回并离开小车，小球和小车组成的系统在水平方向上动量守恒，由于无重力以外的外力做功，系统机械能守恒，此过程类似于弹性碰撞，小车和小球质量相等，作用完成后两者交换速度，即小球速度变为零，之后做自由落体运动，A 错误，B 、C 正确。
高考物理碰撞中“一动一静”一维弹性碰撞模型复习
高考物理碰撞中“一动一静”一维弹性碰撞模型复习摘要：一运动的物体与一静止的物体发生弹性碰撞构成一种重要碰撞模型，即“一动一静”一维弹性碰撞模型，碰撞过程动量、机械能守恒，碰后两物体速度可求．两物体通过弹簧弹力作用，把一物体的动能转移给另一物体；或一物体在另一物体表面运动，通过物体间的弹力作用，把一物体的动能转移给另一物体也可构成“隐蔽”的“一动一静”一维弹性碰撞模型．关键词：“一动一静”一维弹性碰撞，动量守恒，机械能守恒，动能，弹性势能，重力势能。
2017届全国考纲把选修3-5由先前的选考内容角色变换成必考内容角色，这要求我们广大高三物理老师提高对选修3-5复习的重视程度，下面谈谈我如何复习选修3-5动量中“一动一静”一维弹性碰撞重要模型，不足之处请同仁指正．一运动的弹性小球碰撞一静止的弹性小球，两小球接触碰撞过程中相互作用的力较大，时间又短，系统动量守恒；两小球从开始接触到共速这短暂过程中小球的动能向小球的弹性势能转化，两小球从共速到开始分离这短暂过程中小球的弹性势能向小球的动能转化，系统机械能也守恒．如图，在光滑的水平面上质量m1、速度v1弹性小球1向右运动与质量m2、静止弹性小球2发生正碰．设m1、m2碰撞分离后的速度分别为v’1、v’2系统动量守恒m1v1=m1v’1+m2v’2系统机械能守恒12m1v12 =12m1v’12+12m2v’22解得错误!或错误!（增根舍去）（Ⅰ）当m1>m2时，v’1与v1同向（大撞小，同向跑）；当m1>>m2时,v’1≈v1、v’2≈2v1（Ⅱ）当m1=m2时，v’1与v1换速，即v’1=0、v’2=v1（Ⅲ）当m1<m2时，v’1与v1反向（小撞大，被弹回）；当m1<<m2时,v’1≈-v1、v’2≈0下面从三个方面分析“一动一静”一维弹性碰撞模型的应用情景一：两弹性体组成的系统，系统能量由动能→物体间挤压的弹性势能→动能例1、如图所示，两个半径相同的小球A、B分别被不可伸长的细线悬吊着，静止时两根细线竖直，两小球刚好接触，且球心在同一条水平线上．现向左移动小球A，使A球与最低点的高度差为h（悬吊A球的细线张紧），然后无初速释放小球A，小球将发生碰撞．碰撞过程没有机械能损失，且碰撞前后小球的摆动平面不变．碰后A、B上升的最大高度分别为h A 和h B（最大高度均未超过绳长）（）A ．若m A ＜mB ，则h A 、h B 中有一个可能大于hB ．若m A ＞m B ，则一定为h B ＞h ＞h AC ．若m A ＞m B ，则h A =h B 是可能的D ．无论质量关系如何，h A 、h B 一定不可能相等【解答】小球A 下摆过程，机械能守恒，由机械能守恒定律得：m A gh=12m A v A 2 解得：v A =2gh两个小球碰撞过程在水平方向动量守恒，系统机械能守恒（“一动一静”一维弹性碰撞模型）. 错误!解得：v A ’=错误!v A ，v B ’=错误!v A碰撞后两小球向上运动的过程中，两小球机械能守恒：12 m A v A ’2=mgh A ，12m B v B ’2=mgh B A 、若m A ＜m B ，碰撞后A 球反弹，向左摆动，B 球向右摆动，系统机械能守恒，h A 、h B 可能相等，但都不可能大于h ，故AD 错误；B 、若m A ＞m B ，碰撞后两球都向右摆动，则一定为h B ＞h ＞h A ，h A 、h B 不可能相等，故B 正确，C 错误；故选B ．例2、如图，光滑水平面上两个体积相同的小球A 和B 静止在同一直线上，B 球右侧有一固定的竖直挡板。
物理人教版(2019)选择性必修第一册1.5弹性碰撞和非弹性碰撞(共25张ppt)
二、非弹性碰撞
（1）非弹性碰撞： 如果碰撞过程中机械能不守恒，但损失机械能（动能）不是最大的碰
撞叫做非完全弹性碰撞。
Ek1＋Ek2 >E′k1＋E′k2
二、非弹性碰撞（动能损失最大）
（2）完全非弹性碰撞： 碰撞后两物体“合”为一体，具有共同的速度，这种碰撞动能损失最大．
Ek1＋Ek2 >Ek总
典例分析 如图，在光滑水平面上，两个物体的质量都是m，碰撞前一 个物体静止，另一个以速度v 向它撞去。碰撞后两个物体粘在一 起，成为一个质量为2m 的物体，以一定速度继续前进。碰撞后该 系统的总动能是否会有损失？
v1
v1'
v2'
m1
m2
m1 m2
动量守恒
动能守恒
变形得：
变形得：
弹性碰撞的实例分析：一动碰一静
条件
碰前：m1速度v1，m2静止 碰后：m1速度源自1′，m2速度v2 ′v1
v1'
v2'
m1
m2
m1 m2
变形得：
①
变形得：
②
②除以①式得：
带入①式得：
解得：
弹性碰撞的实例分析：一动碰一静
条件
碰前：m1速度v1，m2静止 碰后：m1速度v1′，m2速度v2 ′
v1
v1'
v2'
m1
m2
m1 m2
动量守恒
动能守恒
解得
弹性碰撞的实例分析：一动碰一静
1.若m1=m2时
2.若m1>>m2时
3.若m1<<m2时
牛顿摆
保龄球击打球瓶
乒乓球撞篮球
弹性碰撞的实例分析：一动碰一静
2024届高考物理一轮复习课件：弹性碰撞
弹性碰撞
一、动量守恒定律的判断和计算
二、动量守恒定律的应用之1——碰撞 1、碰撞 2、完全非弹性碰撞：子弹打木块模型 3、完全弹性碰撞： 4、弹簧模型(含2、3)
1、已知A、B两个钢性小球质量分别是m1、m2，小
球B静止在光滑水平面上，A以初速度v0与小球B
发生弹性碰撞，求碰撞后小球A的速度v1，物体B
【典例】 如图所示，在足够长的光滑水平面上，物体 A、B、C 位于同一直 线上，A 位于 B、C 之间．A 的质量为 m，B、C 的质量都为 M，三者均处于静止 状态．现使 A 以某一速度向右运动，求 m 和 M 之间应满足什么条件，才能使 A 只 与 B、C 各发生一次碰撞．设物体间的碰撞都是弹性的．
2、质量为M的小车静止于光滑的水平面上，小车
的上表面和圆弧的轨道均光滑，如图所示，一个
质量为m的小球以速度v0水平冲向小车，当小球
返回左端脱离小车时，下列说法正确的是：
A．小球一定沿水平方向向左做平抛运动
B．小球可能沿水平方向向左作平抛运动
C．小球可能沿水平方向向右作平抛运动
D．小球可能做自由落体运动
小球A与地面的碰撞是弹性的，而且AB都是从同一高
度释放的，所以AB碰撞前的速度大小相等于设为v0， 根据机械能守恒有:
mA gH
1 2
mAv02
化简得: v0 2gH
设A、B碰撞后的速度分别为vA和vB，以竖直向上为
速度的正方向，根据A、B组成的系统动量守恒和动
能不变得:
mAv0 mBv0 mAvA mBvB
碰撞及弹性碰撞作为中间环节的几题
弹性碰撞作为中间环节的几题一．特点，时间极短，内力远远大于外力 二．遵循三方面规律： 1．运动和力的关系2．动量关系：P 前=P 后︒'+=+22112111v m v m v m v m 特例：221101v m v m v m +=3．能量关系：E 前≥E 后，或E 前=E 后+ΔE 。
E v m v m v m v m ∆++=+︒'22221122121121212121 E v m v m v m ∆++=222211201212121三方面的规律都遵守，尤其是运动和力的关系学生最容易忽略。
三．碰撞的分类： 1．正碰、斜碰2．弹性碰撞、非弹性碰撞（完全非弹性碰撞） 四．特例：弹性正碰设质量分别为m 1 、 m 2的两个物体，发生弹性碰撞，碰前速度分别为v 1 、v 2 ,碰后的速度分别为v '1 、v '2根据系统动量守恒得：'22'112211v m v m v m v m +=+ ① 根据系统动能守恒得：2221222211'2'121212121v m v m v m v m +=+ ② （注：凡是初、末状态符合这两个守恒的习题，均可按弹性碰撞计算） 联解方程组得： 221212121'12v m m m v m m m m v +++-=③121112112'22v m m m v m m m m v +++-=④注：在解方程时，消掉一组根：'11'22v v v v ==此组根是相互能越过对方时的情况若碰前m 2静止，即02=v 则有： 12121'1v m m m m v +-=⑤1211'22v m m m v +=⑥分析：由于m 1 , m 2的关系，形成的'2'1,v v 的范围：1、当21m m 〉时， 0'1〉v ， 1'2v v 〉2、当21m m 〉〉时， 1'1v v → ， 1'22v v → （如：子弹碰尘埃） 3、当21m m =时， 0'1=v ， 1'2v v =4、当21m m 〈 时， 0'1〈v ， 1'20v v 〈〈5、当21m m 〈〈 时 1'1v v -→ ， 0'2→v （如：乒乓球碰铅球） 所以，'1v 的范围：11v v →- ； '2v 的范围： 120v → 对于一动一静的情况：221101v m v m v m +=222211201212121v m v m v m += 1、（90上海高考）A 、B 在光滑的水平面上沿同一直线、同一方向运动。
活用“一静一动”弹性碰撞速度公式
活用“一静一动”弹性碰撞速度公式作者：汤金武来源：《物理教学探讨》2008年第06期位于光滑水平面上的两个弹性小球，质量分别是m1和m2，速度分别是v1和v2，其中v1≠0,v2=0。
若两球发生完全弹性碰撞，根据机械守恒定律和动量守恒定律可导出两球碰撞后的速度v′1和v′2的大小分别是：v′1=m1-m2m1+m2v1①v′2=2m1m1+m2v1②笔者拟以公式①②为基础，导出两球速度均不为零时；发生完全弹性碰撞后的速度公式，并通过典型的例题分析说明它们的具体应用。
1 光滑水平面上的两小球速度方向相反，发生完全弹性碰撞。
如图1，两球质量分别是m1和m2，碰撞前速度分别是v1和v2，且v1≠0,v2≠0，求碰撞后的速度v′1和v′2。
分析与解以质量为m2的小球为参照物，并取v1的方向为正方向，m1相对于m2的速度大小-(-由公式①、②可得到以m2为参照物的碰后速度公式：-m2m1+m2(v1+v2)③④再以大地为参照物，则两球碰撞后的速度v′1和v′2分别为：-v2=m1-m2m1+m2(v1+v2)-v2⑤-v2=2m1m1+m2(v1+v2)-v2⑥2 光滑水平面上两球的速度方向相同，发生完全弹性碰撞。
如图2，设两球质量分别是m1和m2，速度大小分别是v1和v2，且v1≠0,v2≠0，v1>v2，求两球碰撞后的速度v′1和分析与解以质量为m2的小球为参照物，m1相对于m2的速度-v2。
由公式①、②可得到以m2为参照物的碰后速度公式：-m2m1+m2(v1-v2)⑦-v2)⑧再以大地为参照物，则两球碰后的速度v′1和v′2大小分别为：-m2m1+m2(v1-v2)+v2⑨-v2)+v2⑩3 例题分析如图（3）所示，一轻弹簧直立在水平地面上，其下端固定，上端连一质量为M的钢板，处于静止状态，现有一质量为m的小球，从距钢板5米高处自由落下，并与钢板发生碰撞，碰撞时间极短且无机械能损失，已知M=3m，不计空气阻力，取g=10m/s2。
弹性碰撞模型-动量守恒的十种模型(解析版)
动量守恒的八种模型弹性碰撞模型模型解读1.碰撞过程的四个特点(1)时间短：在碰撞现象中，相互作用的时间很短。
(2)相互作用力大：碰撞过程中，相互作用力先急剧增大，后急剧减小，平均作用力很大。
(3)位移小：碰撞过程是在一瞬间发生的，时间极短，在物体发生碰撞的瞬间，可忽略物体的位移，认为物体在碰撞前后仍在同一位置。
(4)满足动量守恒的条件：系统的内力远远大于外力，所以即使系统所受合外力不为零，外力也可以忽略，系统的总动量守恒。
(5).速度要符合实际(i)如果碰前两物体同向运动，则后面物体的速度必大于前面物体的速度，即v后>v前，否则无法实现碰撞。
碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体的速度大于或等于原来在后的物体的速度v'前≥v'后。
(ii)如果碰前两物体是相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。
若碰后沿同向运动，则前面物体的速度大于或等于后面物体的速度，即v'前≥v'后。
2.动动弹性碰撞已知两个刚性小球质量分别是m1、m2，m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'，1 2m1v21+12m2v22=12m2v'22+12m乙v2乙，3.一动一静"弹性碰撞模型如图所示，已知A、B两个刚性小球质量分别是m1、m2，小球B静止在光滑水平面上，A以初速度v0与小球B发生弹性碰撞，取小球A初速度v0的方向为正方向，因发生的是弹性碰撞，碰撞前后系统动量守恒、动能不变，有m1v0=m1v1+m2v21 2m1v20=12m1v21+12m2v22联立解得v1=(m1-m2)v0m1+m2,v2=2m1v0m1+m2讨论：(1)若m1>m2，则0<v1<v0、v2>v0，物理意义：入射小球质量大于被碰小球质量，则入射小球碰后仍沿原方向运动但速度变小，被碰小球的速度大于入射小球碰前的速度。
2025人教版高考物理一轮复习讲义-第七章 第3课时 专题强化：碰撞模型及拓展
考点二 碰撞模型拓展
规定向左为正方向。冰块在斜面体上上升到最大高度时两者达到共同
速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3。对冰块与斜面体分析， 由水平方向动量守恒和机械能守恒得
m2v0＝(m2＋m3)v
①
12m2v02＝12(m2＋m3)v2＋m2gh
②
式中v0＝3 m/s为冰块推出时的速度，联立①②式并代入数据得v＝
考点二 碰撞模型拓展
从小球滚上小车到滚下并离开小车的过程，系统 在水平方向上动量守恒，由于无摩擦力做功，机 械能守恒，此过程类似于弹性碰撞，作用后两者 交换速度，即小球返回小车左端时速度变为零， 开始做自由落体运动，小车速度变为 v0，动能为12Mv02，即此过程小球 对小车做的功为12Mv02，故 B、C 正确，A 错误。
49 D. 9 h
考点一 碰撞模型
设小球 P、Q 的质量分别为 m、2m，落地前的瞬间二者速度 均为 v，由动能定理可得 3mgh＝12×3mv2，解得 v＝ 2gh， Q 与地面碰撞后速度等大反向，然后与 P 碰撞，P、Q 碰撞 过程满足动量守恒、机械能守恒，规定向上为正方向，则有 2mv－mv＝mvP＋2mvQ，12×3mv2＝12mvP2＋12×2mvQ2，解得 vP＝53 2gh， 碰后小球 P 机械能守恒，则有 mgh′＝12mvP2，解得 h′＝295h，故选 B。
考点一 碰撞模型
例3 (2023·天津卷·12)已知A、B两物体mA＝2 kg，mB＝1 kg，A物体从h ＝1.2 m处自由下落，且同时B物体从地面竖直上抛，经过t＝0.2 s相遇碰 撞后，两物体立刻粘在一起运动，已知重力加速度g＝10 m/s2，求： (1)碰撞时离地高度x； 答案 1 m
对物体 A，根据运动学公式可得 x＝h－21gt2＝1.2 m－12×10×0.22 m＝1 m
一动一静弹性碰撞模型方程组另一组解的启示
一动一静弹性碰撞模型方程组另一组解的启示摘要一动一静弹性碰撞是碰撞模型中，很多教师通常只强调记住这种模型的一组解的情况，其实是不完整的，笔者发现教材在分析这一模型的时候，也回避了这一模型的二元二次方程组的另外一组解。
本文人教版教科书选择性必修第一册第21页“弹性碰撞的实例分析”出发，依据教材中呈现的例子，结合数学知识和真实物理情景对一动一静弹性碰撞模型再次进行拓展分析，或许能给我们一些启示。
关键词：一动一静；弹性碰撞；另一组解；教学启示1、教材情景再现---“一动一静”弹性碰撞模型［1］2019人教版新课标教材关于弹性碰撞的实例分析：如图1，两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线。
这种碰撞称为正碰，也叫作对心碰撞或一维碰撞。
下面我们分析一下，发生弹性碰撞的两个物体，由于质量不同，碰撞后的速度将有哪些特点。
为使研究问题简单，我们假设物体m1以速度v1与原来静止的物体m2发生正碰，如图2所示。
碰撞后它们的速度分别为v1′和v2′。
碰撞过程遵从动量守恒定律，据此可以列出包含上述各已知量和未知量的方程①弹性碰撞中没有动能损失，于是可以列出另一个方程②从方程（1）（2）可以解出两个物体碰撞后的速度分别为③④2、“一动一静”弹性碰撞快速求解“一动一静”弹性碰撞模型是中学物理经常遇到的典型碰撞问题，两个物体碰撞后的速度有两种情况，笔者作以下分析。
我们重新快速求解①、②组成的方程组：将方程①、②移项得⑤⑥⑤式除以⑥式得：⑦约分得：⑧⑧式代入①式得：⑨⑨式代入⑧式得：⑩综上所述，⑨、⑩两个速度为两个物体碰撞后的速度与教科书上所给出的结论一致。
3、“一动一静”弹性碰撞求解过程及结果的讨论从数学的角度，方程①、②建构的方程组为二元二次方程组。
而二元二次方程组应该有两组解，教科书只给出一组解，这是符合其所给物理情景的。
但是，在实际的物理情景中也有满足第二组解的情景，下面加以分析说明。
高中物理：弹性碰撞与完全非弹性碰撞
解得：v1'= （主动球速度下限）v2'= （被碰球速度上限）
讨论（1）：
当m1>m2时，v1'>0，v2'>0 v1′与v1方向一致；当m1>>m2时，v1'≈v1，v2'≈2v1(高射炮打蚊子)
当m1=m2时，v1'=0，v2'=v1即m1与m2交换速度
C．初动能EK1一定，当m1=m2时，EK2'=EK1
◆完全非弹性碰撞应满足：
◆一动一静的完全非弹性碰撞（子弹打击木块模型）是高中物理的重点。
特点：碰后有共同速度，或两者的距离最大(最小)或系统的势能最大等等多种说法.
（主动球速度上限，被碰球速度下限）
讨论：
E损可用于克服相对运动时的摩擦力做功转化为内能
代入上式可将机械能的损失△E表为u1的函数为：
△E=－ u12－ u1+[( m1υ12+ m2υ22)－ ( m1υ1+m2υ2)2]
这是一个二次项系数小于零的二次三项式，显然：当u1=u2= 时，
即当碰撞是完全非弹性碰撞时，系统机械能的损失达到最大值
Em= m1υ12+ m2υ22－
E损=fd相= mg·d相= 一 = d相= =
也可转化为弹性势能；
转化为电势能、电能发热等等；（通过电场力或安培力做功）
由上可讨论主动球、被碰球的速度取值范围
“碰撞过程”中四个有用推论
推论一：弹性碰撞前、后，双方的相对速度大小相等，即：换。
高中物理：弹性碰撞与完全非弹性碰撞
◆弹性碰撞：弹性碰撞应同时满足：
（这个结论最好背下来，以后经常要用到。）
2023届高考物理一轮复习知识点精讲与2022高考题模考题训练专题44碰撞(含详解)
（2）两弹珠碰撞瞬间的机械能损失，并判断该同学能否胜出。
7.(16分)
(2022山东烟台期中)如图所示，在水平地面上固定一倾角为θ=37°的足够长斜面，斜面.上有两个质量均为m=1kg的小物块A、B。t=0时刻，A、B间的距离为L=6.5m，此时A、B的瞬时速度方向均沿斜面向上，大小分别为v1=18m/s、v2=20m/s，若A与斜面间的摩擦力不计，B与斜面间的动摩擦因数为µ=0.5，A、B之间的碰撞时间极短，已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，从t=0时刻起，在此后的运动过程中，求：
4.碰撞过程的四个特点
（1）时间短：在碰撞现象中，相互作用的时间很短。
（2）相互作用力大：碰撞过程中，相互作用力先急剧增大，后急剧减小，平均作用力很大。
（3）位移小：碰撞过程是在一瞬间发生的，时间极短，在物体发生碰撞的瞬间，可忽略物体的位移，认为物体在碰撞前后仍在同一位置。
（4）满足动量守恒的条件：系统的内力远远大于外力，所以即使系统所受合外力不为零，外力也可以忽略，系统的总动量守恒。
2023高考一轮知识点精讲和最新高考题模拟题同步训练
第八章动量
专题44碰撞
第一部分知识点精讲
1．碰撞：碰撞是指物体间的相互作用持续时间很短，而物体间的相互作用力很大的现象。
2．特点
在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒。
3．分类
（1）按照碰撞过程机械能是否有损失，可分为：
（1）求B从半圆弧轨道飞出后落到水平面的位置到Q点的距离；
（2）当A由C点沿半圆弧轨道下滑到D点时，OD与OQ夹角为θ，求此时A所受力对A做功的功率；（3）求碰撞过程中A和B损失的总动能。
活用“一静一动”弹性碰撞速度公式
．３ １．
活 用 “ 静 一 动 弹 性 撞 速三 中 学 ， 州 省 开 阳县 ５ ０ ０ 贵 ５ ３０
位 于 光 滑 水 平 面 上 的 两 个 弹 性 小 球 ， 量 质 分 别 是 ｍ ｍｚ 速 度分 别是 和 ｚ 其 中 ≠ 和 ， ， 笔 者拟 以公 式 ①② 为 基 础 ， 出两 球速 度 导 均 不 为零 时 ； 生 完 全 弹 性 碰 撞 后 的速 度 公 式 ， 发
２ ｍ ｖ ＝ （ ＋ ） ｎ Ｍ
本题 常 用 的方 法 是 对 每一 次 碰 撞 用 动量 守 恒 定律 。 每 次小 球 Ｂ 射 入后 再 射 出 时 ， 设 小球 Ａ
的速度 依 次 为 ｌ 、３ 、２ …… 卜 、 ， ０ ｌ 由动 量守 恒定 理得 ：
Ｍｙ ｏ— ｐ — Ｍ ｙ ＋ ｐ ｌ Ｍｙ ｌ— ｐ ＝ Ｍ ｙ ＋ ｐ ２
Ｍｙ ２～ ｐ — Ｍ ｙ ＋ ｐ ３
・
人 不 能 接 到 球 的 条 件 是
≥ ， 得 ≥
３ ／ ， 以接 了 ９次 后再 抛 出就 不能 接 到球 。 ３４所 例 ３ 在 纳 米技 术 中需 要移 动 式修 补 原 子 ， 必须 使在 不 停 地 做 热 运 动 的原 子 几 乎 静 止 下 来 且能 在一 个 小 的空 间 区域 内停 留一 段 时 间 。 为此
华 裔诺 贝 尔 物 理 奖 得 主 朱 棣 文 发 明 了 “ 光 致 激
Ｊ 卜 — ｐ ！ ，ｌ Ⅵ
０＋ ｐ
等 式两 边相 加得 ： 。 ｎ ； ｎ Ｍｙ 一 ｐ ｐ
＝
冷”技 术 。 把 原 子 和 入 射 光 子 看 成 两 个 小 球 ， 若
则“ 激光 致 冷”与 下 述 力 学 模 型 类 似 。 质 量 为 一
一动一静弹性碰撞公式(1)
一动一静弹性碰撞公式完全弹性碰撞,没有能量损失,同时满足能量守恒方程和动量守恒方程能量守恒方程：(1/2)M1V1²+(1/2)M2V2²=(1/2)M1V1'²+(1/2)M2V2'²M1V1+M2V2=M1V1'+M2V2'其中,V2=0(1/2)M1V1²=(1/2)M1V1'²+(1/2)M2V2'²M1V1=M1V1'+M2V2'由第二个方程解得V2'=(M1V1-M1V1')/M2,代入第一个方程解得V1'==(M1+M2)V1/(M1+M2)代回求得V2'=2M1V1/(M1+M2)一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？图1设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得：m1v1=m1v1＇+m2v2＇①②由①③由②④由④/③⑤联立①⑤解得⑥⑦上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。
为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共，由动量守恒定律得：m1v1= （m1+m2）v共解出v共=m1v1 /（m1+m2）。
而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到向前的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。
如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。
在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式解释。
弹性碰撞习题归类
1 1 1 2 '2 '2 × 2mυA = × 2mυA + × 2mυB 2 2 2
③
2mυA = 2mυ + mυ
' A
' B
④
由②③④解得 ②③④解得
1 υ = 2 gL 4
' A
⑤
3 υA = 2 gL 4
⑥
作平抛运动,设从抛出到落地时间为 （3）碰后球 作平抛运动 设从抛出到落地时间为 平抛 ）碰后球A作平抛运动 设从抛出到落地时间为t,平抛 高度为h,则 高度为 则
O
规律
o L 律 将
x
这 些 过 运动 程 ， 按 一 个
A球碰后做 球碰后做 什么运动？ 什么运动？ B球 球 AB 个过程? 个过程 球A 什么 球
β A
y
什么 ，
v10
v20
碰 动
顺 序 写 下 来 !
后， 后， A球 球 碰？ 碰？ 怎么 到 ？
动
理
参考答案示例： 参考答案示例：
' υB （1）设碰撞后瞬间球 的速度为 ）设碰撞后瞬间球B的速度为
L ' = υ At 2
1 h = gt2 2
⑦
⑧
设弹簧弹力所做的功为W, 球A从静止位置运动到最高点过程， 从静止位置运动到最高点过程， 设弹簧弹力所做的功为 从静止位置运动到最高点过程 依据动能定理有 2 ⑨ A
1 W − 2mg (h + H ) = × 2mυ 2
又
由 ⑤~⑩式解得 . ⑩
H = 2h
,由 由 于碰后球B恰好摆到与悬点 同一高度, 于碰后球 恰好摆到与悬点O同一高度 恰好摆到与悬点 同一高度 根据动能定理: 根据动能定理
一动一静弹性碰撞公式 推导过程是什么
一动一静弹性碰撞公式推导过程是什么
由于弹性碰撞后的速度公式不好推导，该公式又比较繁杂不好记。
因此导致这类考题的得分率一直较低。
下面小编整理了一动一静弹性碰撞公式，供大家参考！
1弹性碰撞公式有哪些完全弹性碰撞,没有能量损失,同时满足能量守恒方程和动量守恒方程
能量守恒方程：
(1/2)M1V1²+(1/2)M2V2²=(1/2)M1V1’²+(1/2)M2V2’²
M1V1+M2V2=M1V1’+M2V2’
其中,V2=0
(1/2)M1V1²=(1/2)M1V1’²+(1/2)M2V2’²
M1V1=M1V1’+M2V2’
由第二个方程解得V2’=(M1V1-M1V1’)/M2,代入第一个方程
解得V1’==(M1+M2)V1/(M1+M2)
代回求得V2’=2M1V1/(M1+M2)
1弹性碰撞公式推导过程完全弹性碰撞的速度公式是怎幺推导的无从得知，书上没讲，很多资料也没有讲，我想多半是为了不要影响思维的连贯性，所以将之省略了。
我终于明白书上为什幺没有把这个推导过程放在书里了，的确是太复杂，学习的时候多半会干扰对碰撞本身的关注。
但是这幺放弃也有点不甘心，就又花了些时间，第三次准备将其推导出来。
由动量守恒：
m1*v1+m2*v1=m1*u1+m2*u2。
(完整版)“一动一静”碰撞模型及解题技巧(经典)
s 2ds 1v 0v“一动一静”碰撞模型及解题技巧(经典）一、“一动一静”完全非弹性碰撞模型 建立模型在光滑水平面上，质量为的物体以初速度去碰撞静止的物体，碰后两物体粘在一起具有共同的速度，这种碰撞称为“一动一静”完全非弹性碰撞，此时系统动能损失最大。
（1）基本特征碰后两物体速度相等，由动量守恒定律得：（2）功能关系系统内力做功，实现系统动能与其它形式能量的转化。
当两物体速度相等时，系统动能损失最大，即：()2212112121v m m v m E k +-=∆二、 应用（1）滑动摩擦力做功，系统动能转化为内能例1. 在光滑水平面上，有一静止的质量为M 的木块，一颗初动量为的子弹mv 0，水平射入木块，并深入木块d ，且冲击过程阻力(f )恒定。
解析：()m v m m v 1112=+()2212121v m M mv E +-= 得：21)(2v M m mM E +=例2.如图所示，质量为M 的长木板静止在光滑水平面上，质量为m 的小物块以水平速度v0从长木板左端开始运动，为使小物块不从长木板右端滑落，长木板至少多长？分析：小物块不从长木板上滑落的临界情况是，当小物块滑至长木板右端时，二者刚好具有共同速度，符合“一动一静”完全非弹性碰撞模型，系统损失的动能转化为系统产生的内能，结合摩擦生热公式可解出长木板的长度。
解：小物块不从长木板上滑落的临界情况是小物块滑至长木板右端时，二者刚好具有共同速度。
据动量守恒定律：()vm M mv +=0据能量的转化与守恒：220)(2121v m M mv mgL +-=μ联立解得：)(220m Mg Mv L +=μ 即为长木板的最小长度例3.光滑水平面上静止一长木板A ，A 的两端各有一竖直挡板。
另有一木块B （可视为质点）以的初速度v1=5m/s 向右运动，如图所示。
若A 与B 之间的动摩擦因数μ=0.05，且A 与B 的质量相等，求B 在A 上滑行的总路程（假设B 与挡板碰撞时无机械能损失）。
“一动一静”谈碰撞
碰撞的“一动一静”模型在物理中的应用碰撞的过程是指:作用时间很短,作用力很大.碰撞过程两物体产生的位移可忽略.一个运动物体以以一定的速度碰撞一个静止的物体是一个常见的碰撞问题,下面就”一动一静”谈谈碰撞问题.一、”一动一静”的弹性正碰.如图( 1 )一个质量为m 1的小球以速度v 0向右运动,与一个静止的质量为m 2的小球发生弹性正碰,这种最典型的碰撞具有一系列应用广泛的重要规律.(1)动量守恒,初、末动能相等,即101122m v m v m v ①222101122111222m v m v m v ② (2)根据①、②式,碰撞结束时,主动球(m 1)与被动球(m 2)的速度分别为:12101212122m m v v m m m v v m m(3)判断碰撞后的速度方向当m 1>m 2时,v 1>0,v 2>0,两球均沿v 0方向运动.当m 1=m 2时, v 1=0,v 2=v 0,两球交换速度,主动球停止,被动球以v 0开始运动. 当m 1<m 2时,v 1<0,v 2>0, 主动球反弹,被动球沿v 0方向开始运动.1112212121000211121222122,,011m m m m m m m m m v v v v v v v m m m m m m m m 当时,主动球以v 0反弹,被动球静止不动.(4)不动球获得最大速度、最大动量和最大动能的条件01202121122m01201022211222v 2m 1m m m ,v v 2v 2m m v 2m v m v m m m 1m m v v m m P 当时最大为 所示当m 2>>m 1,P 2最大为P m =2m 1v 0=2 P 01这一结果还可以简捷地根据21P P ∆=-∆得出,请读者试一试.2221012k 222210212122m v 4m m 111m v m m v 22m m 2m m E当m 2=m 1时,E k2最大为2k210k011m v 2E E 例(1)带有光滑圆弧轨道的滑块质量为M 静止在光滑水平面上,轨道足够高且轨道下端的切线方向水平.今有一质量为m 的小球以水平初速度v 0滚上滑块,如图(2)所示,求(1)小球沿圆弧轨道上升的最大高度h (2)小球又滚回来和轨道分离时两者的速度大小解: 小球沿光滑圆弧轨道运动的过程可以看作弹性正碰的过程,系统总动量和总机械能守恒(1)当小球与滑块的速度相同时,小球上升的高度最大,设此时小球和滑块的共同速度为v,有:02201122mv m M vmv mghm M v得: 202Mv hM m g(2)设小球又滚回来时,M 的速度为v 1,球的速度为v 2,有:012222012111222mv Mv mv mv Mv mv 的: 10202,mm Mv v v v M m M m例(2)如图(3)所示,质量为M 的平板车在光滑水平面上以速度v 0匀速运动,车身足够长,其上表面粗糙,质量为m 的小球自h 高处由静止下落,与平板车碰撞后,每一次上升高度仍然为h,每次碰撞过程中,由于摩擦力的冲量不能忽略,撞击几次后,小球水平方向的速度逐渐增大.求平板车的最终速度解: 准确理解题意，应用动量守恒的条件判断，挖掘隐含条件是解决本题的关键.车和球组成的系统在水平方向上动量守恒，由动量守恒定律得：0v m v M M＝∴0v v mM＝二、”一动一静”的完全非弹性碰撞.如图(4)在光滑的水平面上,有一静止的质量为M 的木块,一颗质量为m 的子弹以速度v 0水平射入木块,并射入木块深度为d,且冲击过程中阻力f 恒定.(1)碰撞后共同速度 (v),根据动量守恒,共同速度0mv v M m①(2)木块的冲击位移(s)分别以木块和子弹为研究对象,根据动能定理,有:212fs Mv ②2201122f s d mv mv ③由①②和③式可得:m sdd Mm在物体可视为质点时;d=0;s=0.这就是两质点碰撞瞬间时,它们的位置变化不计的原因.(3)冲击时间(t)以子弹为研究对象,根据子弹相对木块作末速度为零的匀减速直线运动,相对位移012d v t ,所以冲击时间为02d tv (4)产生的内能(Q)在认为损失的动能全部转化为热能(即内能)的条件下:2012kM QE f s fdmv M m相对例 (3)在原子核物理中,研究原子与核子关联的最有效途径是”双电荷交换反应”.这类反应的前半部分过程和下述力学模型相似.两个小球A 和B 用轻质弹簧相连,在光滑的水平直轨道上处于静止状态.在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P,右边有一个小球C 沿轨道以速度v 0射向B 球,如图(5)所示,C 与B 发生碰撞并立即结成一个整体D,在它们继续向左运动的过程中,当弹簧长度变到最短时,长度突然被锁定,不再改变.然后,A 球与挡板P 发生碰撞,碰后A 、D 都静止不动,A 与P 接触而不粘连.这一段时间,突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失).已知A 、B 、C 三球的质量均为m.(1)求弹簧长度刚被锁定后A 球的速度(2)求在A 球离开挡板P 之后的运动过程中,弹簧的最大弹性势能.解:(1)设C 球与B 球粘连结成D 时,D 的速度为v 1,由动量守恒,有:01mv m m v ①当弹簧压至最短时,D 与A 的速度相等,设此速度为v 2,由动量守恒,有:()123m m v mv += ②由①②两式得A 的速度:2013v v = ③(2)设弹簧长度被锁定后,贮存在弹簧中的势能为E P ,由能量守恒,有: 2212112322P mv mv E ⨯=⨯+ ④ 撞击P 后,A 与D 的动能都为零.解除锁定后,当弹簧刚恢复到自然长度时,势能全部转变成D 的动能,设D 的速度为v 3,则有:()23122P E m v =⑤以后弹簧伸长,A 球离开挡板P,并获得速度.当A 、D 的速度相等时,弹簧伸长到最长,设此时的速度为v 4, 由动量守恒,有:()343m m v mv += ⑥当弹簧伸长到最长时,其势能最大,设此时势能为'P E ,由能量守恒,有:22'34112322Pmv mv E ⨯=⨯+⑦ 解以上各式得:'2136P E mv = 例(4)如图(6)所示, A 、B 是静止在水平地面上完全相同的两块长木板.A 的左端和B 的右端相接触.两板的质量皆为M=2.0kg,长度皆为L=1.0m.C 为一质量为m=1.0kg 的小木块.现给它一初速度v 0=2.0m/s,使它从B 板的左端开始向右滑动,已知地面是光滑的,而C 与A 、B 之间的动摩擦因数为μ=.求最后ABC 各以多大的速度作匀速运动(g=10m/s 2)解:C 可能停在B 上,也可能停在A 上,还有可能滑离A,先假设停在B 上,A 、B 、C 的共同速度为v 1,由动量守恒定律得:()012mv m M v =+ ① 设C 在B 上滑动的距离为s 1,木板B 的位移为s 则C 对地的位移为s 1+s,由动能定理得:对木块AB: 21122mgs Mv μ=⨯ ②对小物块C:()220011122mg s s mv mv μ+=- ③ 由②③式得: ()2200111222mgs mv m M v μ=-+ ④ 由①④式得:()200 1.62Mv s m L g M m μ==>+,所示C 将滑离B 板.设C 刚滑到A 板上时的速为'0v ,此时AB 两板的速度为v B ,由动量守恒得:'2002B mv mv Mv =+由功能关系得:2'22001112222BmgL mv mv Mv μ=--⨯'082205B v v ∴==合理的解是: '0820.155/, 1.38/205B v m s v m s -∴==== 当C 滑到A 上,B 以0.155m/s 的速度匀速运动了,设C 停在A 上,速度为v A ,相对A 滑行距离为s A , 由动量守恒得:()'0B A Mv mv M m v +=+解得: 0.563/A v m s =由功能关系得:()'2220111222A B Amgs mv Mv m M v μ=+-+ 代入数据得0.50A s m L =<,C 不能滑离A 板,最后A 、B 、C 的速度分别为0.563/A v m s 0.155/Bv m s0.563/C A v v m s ==。
备考会：弹性碰撞 - 修改七
思考：若圆弧并非足够大，v0 很大，又会是什么样的结果？
谢谢
能力提升
1、如图所示，在足够长的光滑水平面上，物体A、 B、C位于同一直线上，A位于B、C之间．A的质量 为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态．现 使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么 条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞．设物体间 的碰撞都是弹性的．
v1
v2'
2m1v1 m2 m1 m1 m2
v2
“品味”一： 两和相等
结论： v1 v1' v2 v2'
“品味”二： “偷梁换柱”
结论： 若 m1 m2，则 v1' v2 , v2' v1
结论： 若 m1 m2 ，且v2 0 则 v’ 1 v1，v’2 2v1
“品味”四： 反向弹回
结论：若 m1 m2,且 v2 0 则 v’ 1 0，v’2 0
“品味”五： 蚍蜉撼树
结论： 若 m1 m2,且v2 0 则 v’ 1 v1，v’2 0
2、碰撞分类： 弹性碰撞：碰撞过程 无 机械能损失 非弹性碰撞：碰撞过程 有 机械能损失 完全非弹性碰撞：碰撞过程 有机械能损失且 最大
高三一轮复习动量备考专题：
弹性碰撞
模型回顾
“一静一动”模型碰撞的分析：
地面光滑
v1
v2 = 0
重点
m1
m2
m1v1 m1v1' m2v2'
1 2
m1v12
面质量 m3应满足的条件．
m3
42 19
Kg
能力提升
3、用放射源钋的α射线轰击铍时，能发射出一种穿透力极 强的中性射线，这就是所谓铍“辐射”。1932年，查德威克用铍 “辐射”分别照射（轰击）氢和氮（它们可视为处于静止状态）， 测得照射后铍“辐射”方向高速运动的氢核和氮核的速度之比为 7.0。查德威克假设铍“辐射”是由一种质量不为零的中性粒子构 成的，从而通过上述实验在历史上首次发现了中子。假定铍 “辐射”中的中性粒子与氢或氮发生弹性正碰，试在不考虑相对 论效应的条件下计算构成铍“辐射”的中性粒子的质量。（质量 用原子质量单位等于一个12C原子量的十二分之一。取氢核和 氮核的质量分别为1.0u和14u 。）
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一动一静弹性碰撞专题
机械波损失的几种形式：1摩擦产热2硬碰碰撞热3软碰撞---弹簧的弹性势能（自由---压缩最短—伸长- 恢复自由）4软碰撞电场的存在转化为电势能（离开电场时电势能消失）5电磁感应---产生电流
命题特点：能的转化和守恒弹簧的特征设置过程系统机械能转化为弹簧弹性势能然后又释放弹性势能满足一动一静弹性的条件
熟练记住：此条件下碰后两个物体的速度表达式
例题1.如图所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑的水平面上，物体A被水平速度为v0的子弹射中并且嵌入其中。
已知物体B的质量为m，物体A的质量是物体B的质量的3/4，子弹的质量是物体B的质量的1/4
①求弹簧压缩到最短时B的速度。
②弹簧的最大弹性势能。
（3）弹簧恢复原长时，两滑块的速度
例题2如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。
A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，
求和之间满足什么条件才能使A只与B、C
各发生一次碰撞。
设物体间的碰撞都是弹性的
例题3如图,光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C.B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计).设A以速度v0朝B运动,压缩弹簧;当A、B速度相等时,B与C恰好相碰并粘接在一起,然后继续运动.假设B和C碰撞过程时间极短.求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中:
(1)整个系统损失的机械能;
(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能.
例题4如图所示，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直：a和b相距l；b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m，两物块与地面间的动摩擦因数均相同，
现使a以初速度向右滑动，此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞，重力加速度大小为g，求物块与地面间的动摩擦力因数满足的条件。
例题5如图所示，一对平行金属板竖直固定在置于光滑水平面上的光滑绝
缘板上，它们的总质量为M=0.3kg，金属板间距离为d=0.04m，金属板间
加一适当电压的电源，一个质量为m=0.1kg，带电量为q=-2.0×10-6 C的
小球，以初速度v0=10m/s从右板底部小孔沿绝缘板射入两金属板之间，
小球恰好不与左端金属板相碰最终从右端金属板返回，假设小球带电量始
终保持不变，求：
（1）两金属板所加电压
（2）从小球进入板间至小球达到左侧金属板处，绝缘板向左滑行的距离
（3）小球从右侧小孔飞出时小球及金属板的速度
例题6如图所示质量为M的天车静止在光滑水平轨道上，下面用长为L的细线悬挂着质量为m的沙箱，一颗质量为m0的子弹以v0的水平速度射入沙箱，并留在其中，在以后运动过程中
（1）沙箱上升的最大高度。
（2）天车的最大速度。