高三理数一轮讲义：6.1-数列的概念及简单表示法(练习版)

第1节数列的概念及简单表示法

最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数

.

知识梳理

1.数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限

项与项间的大小关系递增数列a n

＋1

＞a n

其中n∈N*递减数列a n＋1＜a n

常数列a n

＋1

＝a n

摆动数列

从第二项起，有些项大于它的前一项，

有些项小于它的前一项的数列

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.

4.数列的通项公式

(1)通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

(2)递推公式：如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项

a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

[微点提醒]

1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，

S n －S n －1，n ≥2.

2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.

3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )

(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )

2.(必修5P33A4改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）n

a n －1(n ≥2)，则a 5等于( )

A.32

B.53

C.85

D.23

3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.

4.(2019·衡水中学摸底)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，S n 为其前n 项和，则S 5的值为( ) A.57 B.61

C.62

D.63

5.(2019·北京朝阳区月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12

B.cos n π2

C.cos n ＋12π

D.cos n ＋22π

6.(2019·郑州一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）

3，若a 4＝32，则a 1＝

________.

考点一 由数列的前几项求数列的通项

【例1】 (1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)

n －1

＋1

B.a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数

C.a n ＝2sin n π

2

D.a n ＝cos(n －1)π＋1

(2)已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，61

64，…，则数列{a n }的一个通项公式是________. 规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.

(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理.

【训练1】 写出下列各数列的一个通项公式： (1)－

11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (2)12，2，92，8，25

2，…； (3)5，55，555，5 555，…. 考点二 由a n 与S n 的关系求通项

易错警示

【例2】 (1)(2019·广州质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________________.

(2)(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.

规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1

若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.

易错警示 在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形.例如例2第(1)题易错误求出a n ＝2n (n ∈N *).

【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.

考点三 由数列的递推关系求通项

易错警示

【例3】 (1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )

A.2＋ln n

B.2＋(n －1)ln n

C.2＋n ln n

D.1＋n ＋ln n

(2)若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________.

规律方法 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1(a 1≠0)，且

a n

a n －1

＝f (n )，可用“累乘法”求a n .

(3)已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可用待定系数法确定)，可转化