2空气动力学基础-2-3 环量与涡量

§2.5.3 理想流中的涡定理 定理1的推广： 一根涡管在流体里不可能中断， 可以伸展到无限远去，可以自相连接成一个涡环 （不一定是圆环），也可以止于边界，固体的边 界或自由边界（如自由液面）。
这条定理可以用第一定理的结论推演而得 到证明。第一定理说，涡强沿涡管不变。 如果涡管到某处突然中止了，那末涡强也 就应该随之变为零，而这是违反第一定理 的，所以是不可能的。
practice
①
②
写出Euler法中三个方向加速度的表达，并说明各项的 意义。 分别写出积分形式的质量方程和动量方程，并说明方 程的物理意义和应用条件。 写出Bernoulli方程并说明其应用条件。 问下面的流动能否代表一平面定常不可压缩流动？
本章基本要求
• 了解两种描述流场的方法的区别与特点，重点掌握Euler法下加 速度的表达和意义
• 掌握流体微团的几种变形和运动及其数学表达，掌握流体微团的 运动分解与刚体运动的异同； • 了解系统分析方法与控制体分析方法的区别与联系，掌握 Reynolds输运方程的表达及意义； • 空气动力学基本方程是本章重点，积分形式方程要掌握质量方程 、动量方程表达和意义，并会用它们解决实际工程问题；微分形 式方程要重点掌握连续方程、Euler方程的表达和意义；掌握微 元控制体分析方法；掌握Bernoulli方程的表达、意义、条件和应 用； • 重点需要掌握的概念：流线、流量、散度、旋度、位函数、环量 与涡的表达、意义及其相互之间的关系；
§ 2.5.1 环量与涡的概念
V ds V cos ds
L L
如果把一个速度向量分成三个 坐标轴方向的三个分量u,v,w , 把线段ds也分解成dx, dy, dz 三 (a) 沿曲线AB作速度的线积分 (b) 沿闭曲线速度的线积分 个方向的三个线段，有： V ds udx vdy wdz
§ 2.5.2 环量与涡量的关系 现在把一条强度为Γ的直涡线对线外一点所产生
的诱导速度写一下。参看下图。AB是涡线，P为
线外一点，P到AB的距离是h。令任意微段 ds 与 P的连线和AB垂线PN之间夹角为γ，则
ds d (h tg ) h sec d
2
sin sin( ) cos
涡量可写为：rotV 2 V
旋转轴线都按右手定则确定。合角速度是个向量， 它的三个方向余弦是ωx/ω,ωy/ω ,ωz/ω。
§ 2.5.1 环量与涡的概念
像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲 线，该线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条 曲线叫涡线。涡线的微分方程是（给定时刻，t 为参量）： dx dy dz 涡线 x y z
上式即为二维问题中的格林公式。
表明：沿平面上一封闭围线 L做速度的线积分，所
得的环量等于曲线所围面积上每个微团角速度的 2倍
乘以微团面积之和，即等于通过面积S的涡通量。
§ 2.5.2
环量与涡量的关系
如果围线内没有涡通量，那末沿围线的环量必是 零。如果把围线放大一些，尽管面积放大了，但 只要包进去的面积里没有涡通量，那么环量值并 不会改变。沿任何围线只要速度环量等于零，就 说明围线内无涡通量。
其实这就是是斯托克斯公式，描述曲线积分与曲面 积分之间的关系。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系 表明：沿空间封闭曲线 L 的环量，等于穿过张在
L上任意曲面 S上的涡通量，涡通量的数值与所张
的曲面形状无关，只跟围线所包含的涡量有关， 无旋时涡通量为零从而沿封闭曲线的速度环量也
为零。 对于无旋流动还有：
于是环量表达式为：
(udx vdy wdz )
L
§ 2.5.1 环量与涡的概念 如果流动是无旋的， 存在位函数Φ ， 那末上式 中的 u ,v ,w 都可以用Φ 的偏导数表达：
u x v y w z
(V ds ) ( dx dy dz ) d 0 x y z L L L
L S S
展开即：
(udx vdy wdz )
L
w v u w v u ( ) cos(n, x) ( ) cos(n, y ) ( ) cos(n, z )dS y z z x x y s
(
S
w v u w v u )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
§ 2.4 环量与涡 § 2.4.1 环量与涡的概念 研究流动的问题，还有两面个极重要的概念，一 个叫环量，一个叫做涡。
速度环量：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该 封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。
速度环量的符号决定于流场的速度方向和绕行方向 规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的 区域总在行进方向的左侧。
涡线和环量的概念在空气动力学中十分重要。凡 是升力的问题都和涡及环量有关。
§2.5.3 理想流中的涡定理 描述理想流体中的涡线或涡管有三条定理：
定理1 沿涡线或涡管涡强不变。
见图，在涡管上两条围线PQR和P’Q’R’作两条重合的连线PP’和 RR’,沿P’PQRR’Q’P’ 这样一条围线计算环量，由于所张曲面就是原 来涡管的一部分，没有涡线穿过，故总的环量为零：
ds dV sin 2 4r
涡与诱导速度
§ 2.5.2 环量与涡量的关系 或：
dS r dV 4 r 3
这个 dV 是一个垂直于线段 dS 与受扰点P所组成 的平面的速度（如图），其值正比于涡强 Γ和涡 段长度dS，但反比于距离 r 的平方，另外还要乘 上 r 与 ds 的夹角的 θ 的正弦。这个公式在形式 上和电磁学的电磁感应的比奥—萨瓦公式一样， 仍叫比奥—萨瓦公式。

ds

这个诱导速度是垂直于纸面的，按图示Γ的方向， 它向外指。如果涡线一头是无限长的，那就有：
V (1 cos ) 4h
§ 2.5.2 环量与涡量的关系 如果涡线是半无限长，且P点至涡线之垂直足N与 涡线的一端重合，则：
VBaidu Nhomakorabea 4h
如果涡线两头都伸展到无限远，则：
V 2h
给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线） 的所有涡线构成的曲面称为涡面。 由封闭涡面组成的管状涡面称为涡管。
涡管 涡面
§ 2.5.1 环量与涡的概念 涡线是截面积趋于零的涡管。涡线和涡管的强度 都定义为绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。 涡量在一个截面上的面积分称为涡通量，在平面 问题中，涡通量就是：
h r PS cos

ds

dV cos d 4h
直线涡的诱导速度
§ 2.5.2 环量与涡量的关系 再令PA与AB的夹角为α；PB与BA的夹角为β。上
到 2
式积分，γ 由
得： 2
V (cos cos ) 4h
dy dy 2 dy dy 2
§ 2.5.2
环量与涡量的关系
绕整个封闭曲线的速度环量为（上图中微元矩形
块的重合部分做线积分时因正负号相反而相消）
v u V ds (udx vdy) ( )dS 2 z dS L x y L s s
n γ
(udx vdy wdz)
A
B
v
B

A
三维流中环量与涡的关系
说明位函数差的意义是沿线段的速度线积分。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
一条强度为Γ 的涡线的一段 dS 对线外的一点P会 产生一个诱导速度，情况正像电流会产生磁力的 一样。表达涡段所产生的诱导速度的公式是：
涡管强度守恒（左图）和涡管可能存在的形式（右图）
此定理称为海姆霍兹第二定理，或简称第二涡定理。
§2.5.3 理想流中的涡定理
上述涡管的三种存在形式，都有实际的例子。吸香烟的人 会吐出烟圈来，烟圈是一种自相连接的涡环。三维机翼上 的涡线（与翼展同向的）在左右两端折转向后，成为尾涡， 向后伸展到无限远的后方去。在二维风洞中做机翼的实验 时，机翼上的涡线（翼展方向的）止于两侧的洞壁。
P 'PQRR 'Q'P ' P 'P PQR RR ' R 'Q'P ' 0
’
P 'P RR '
得：
R 'Q 'P ' P 'Q 'R '
PQR P 'Q 'R '
这就是说沿涡管任何地方计算它的环量（涡强）其值都是相同 的。这条定理称为海姆霍兹第一定理，或简称第一涡定理。
z
n γ
dS
2 dS
z S
dS
S
平面问题的涡通量
在三维空间问题中， 涡通量就是：
空间问题的涡通量
2 dS 2 cos dS
S S
式中的S 是任意形状空间曲面，γ是曲面上微面积
dS 的法线和ω的轴线之间的夹角。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系 在有旋流动中，速度环量与涡量存在着十分密切
推广到三维空间中的封闭曲线L上，计算的速度环
量仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但这面 积应取其在与涡线相垂直的平面上的投影值。沿
一块有限大的曲面 S 的围线 L的环量仍等于 S 面上各点的二倍角速度与面积 dS 点积：
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
V ds 2 dS rotV dS
空气动力学基础
第2章 流体动力学和运动学基础
沈阳航空航天大学 航空航天工程学院 飞机设计教研室
2014年3月
第 2 章 流体运动学和动力学基础
§2.1 描述流体运动的方法 §2.2 流体微团运动的分析 §2.3 理想流体运动微分方程组 •2.3.1 连续方程 •2.3.2 Euler运动微分方程组 •2.3.3 Bernoulli积分及其物理意义 •2.3.4 Bernoulli方程的应用 §2.4 流体运动积分方程组 •2.4.1 Lagrange型积分方程 •2.4.2 Reynolds输运方程 •2.4.3 Euler型积分方程 § 2.5 环量与涡
涡线保持定理：在某时刻构成涡线和涡管的流体
质点，在以后运动过程中仍将构成涡线和涡管。
涡线和涡管随着构成它的流体质点一起运动
§2.5.3 理想流中的涡定理
定理3 在理想流中，涡的强度不随时间变化，既 不会增强，也不会削弱或消失。 实际流体都是有粘性的，涡强是会随时间变化
的。不过空气的粘性很小，机翼上的涡随着气流流 下去，离机翼很远之后它对机翼的作用就趋于零了， 而在离机翼不太远的范围内，粘性使涡强的衰减并 不很显著，所以计算涡对机翼的作用时，可以不必 考虑粘性的衰减作用，当作它在理想流中强度不衰 减去处理就行了。
的联系。为说明这个联系，首先考察二维流场。
在二维流场中，任取封闭曲线，然后把该封闭曲线 所围成的面积用两组坐标的平行线分割成一系列微
小面积，做每一块微小面积的速度环量并求和，得
到总的速度环量。对于微元ABCD，速度环量为
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
d V ds
ABCDA
u dx v v u v dx dx x 2 x y u u dx v u dy dx v y x 2 y v u x y dxdy 2 z dxdy
说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环 量均等于零。但是对有旋流动，上述结论并不成立， 绕任意一条封闭曲线的速度环量一般不等于零。
§ 2.5.1 环量与涡的概念 涡量概念 是指流场中任何一点微团角速度之二倍， 如平面问题中的2ωz ， 称为涡量，涡量是个纯运 动学的概念。 在三维流里，流体微团可以有三个方向的角速度 ωx ,ωy ,ωz ,三者合为一个合角速度是： 2 2 x y z2 x i y j z k