离散型随机变量及其概率分布

P5000 (5) C
5 5000
(0.001) (0.999)
5
4995
0.1756
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
P( X 1) 1 P( X 1) 1 P( X 0)
2
1
4
解 : X的分布函数为
x 1
0 1 4 F ( x) 1 1 4 2 1
1 x 2 2 x3 3 x
即
0 1 4 F ( x) 3 4 1
x 1 1 x 2 2 x3 3 x
1 1 1 又, P ( X ) F ( ) 2 2 4
或
X ~
x1 x2 p1 p2
xk pk
非负性 规范性
概率分布的性质

pk 0, k 1,2,
pk 1
k 1

离散随机变量及分布函数
F ( x ) P ( X x ) P ( ( X xk ) )
xk x

xk x
P( X x
ห้องสมุดไป่ตู้
k
)
xk x
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
例
独立射击5000次, 命中率为0.001,
求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ]
= [( 5000+ 1)0.001] =5
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
二项分布的取值情况 设 X ~ B ( 8, 1 3 )
P8 (k ) P ( X k ) C ( ) (1 3 )
k 1 k 3 8 1 8 k
, k 0,1, ,8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 P
3 5 5 3 3 1 1 P( X ) F ( ) F ( ) 2 2 2 2 4 4 2
P ( 2 X 3) F ( 3) F ( 2) P ( X 2)
3 1 3 1 4 2 4
例 袋中有5个球，其中2个白球，3个黑球， 从中随机地一次抽取3个球，求取得白球数的 概率分布．
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
P
0.22
•
由图表可见 , 当 k 4 时， 分布取得最大值
P20 (4) 0.22
• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
0.273•
由图表可见 , 当 k 2 或 3 时， 分布取得最大值 P8 (2) P8 (3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数 • 1 • • • • • 2 3 4 5 6 • 7 • 8
• 0
x
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 2 4 6 8
设 X ~ B ( 20,0.2)
解 令 X 表示“取得的白球数”，则 X 可 能取值为0，1，2，
可以求得的分布律为
C 1 P{ X 0} C 10
3 3 3 5
CC 6 P{ X 1} 3 C5 10
1 2 C3 C2 3 P{ X 2} 3 C5 10
2 3
1 2
X 的分布列的表格形式为
X 0 1/10 1 6/10 2 3/10
pk 1 (1 p ) k 1 pk p (n k 1)
pk (1 p )( k 1) 1 pk 1 p(n k )
( n 1) p 1 k ( n 1) p
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p 与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值 当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ] 处的概率取得最大值
P
常见离散r.v.的分布
(1) 0 – 1 分布
X = xk Pk
1 p
k
0 1-p
1 k
0<p<1
或 P( X k ) p (1 p) , k 0, 1
应用 场合 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1
分布描述, 如产品是否合格、人
口性别统计、系统是否正常、电力消耗 是否超标等等.
(2) 二项分布
n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若
Pn (k ) P ( X k ) C p (1 p )
k n k nk
, k 0,1, , n
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B ( n, p )
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
离散随机变量及分布律
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个 或无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即 或
P( X xk ) pk , k 1,2,
X
P
x1 p1 x2 p2 … … xK pk … …
p
k
pk P( X xk ) F ( xk ) F ( xk 1 )
其中 xk 1 xk . F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断.
例:
设随机变量的分布律为
X
pk
-1 1 4
2
3
1
1 求 X 的分布函数,并求 P ( X ), P ( 3 X 5 ), P (2 X 3) 2 2 2
0.2 0.15 0.1 0.05
5
10
15
20
二项分布中最可能的成功次数 的定义与推导 若 P( X k ) P ( X j ), j X 可取的一切值 则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P ( X k ) Cnk p k (1 p ) n k , k 0,1, , n