湖北省武汉市蔡甸区实验高级中学2020-2021学年高二数学10月联考试题【含答案】
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D(2, 0, 0), P(0, 0, 3),C(2, 2 2, 0), A(0, 0, 0) ，
uuur
uuur
uuur
DP (2, 0, 3), PC (2, 2 2, 3), AC (2, 2 2, 0) ，（6 分）
设平面
PDC
的一个法向量为
r m
(x,
y,
z)
，则
mr gDuuPur mr gPuuCur
2
5 B. ( , 0)
2
2 C. ( , 0)
2
D. ( 3, 0)
4. 已知两条直线 m, n ，两平面 , ，给出下面四个命题，其中正确的命题是（
）
A. m / /n, m / / n / / C. m / /n, m n
B. / / , m , n m / /n D. , m / /n, m n
B. 在 内存在直线与直线 AB 相交 D. 在 内存在直线与直线 AB 平行
12. 在V ABC 中，角所对的边分别为 a, b, c ，给出下列四个命题中，其中正确的命题
为(
)
A. 若 A : B : C 1: 2 : 3 ，则 a : b : c 1: 2 : 3 ；
B. 若 cos A cos B ，则 sin A sin B ；
D．VPF2Q 的周长为 4 3
10. 已知圆 C : x 32 y 42 1和两点 Am, 0, B m, 0m 0.若圆 C 上存在点
P ,使得 APB 90 ,则实数 m 的取值可以为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
11. A, B 是不在平面 内的任意两点，则（ ）
A．在 内存在直线与直线 AB 异面 C. 存在过直线 AB 的平面与 垂直
19．（本小题共 12 分已知抛物线 C : y2 4x 与直线 y 2x 4 交于 A ， B 两点． （1）求弦 AB 的长度； （2）若点 P 在抛物线 C 上，且 ABP 的面积为 12，求点 P 的坐标．
20. （本小题共 12 分）已知点 P(2, 0) 及圆 C : x2 y2 6x 4 y 4 0 (1)若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1，求直线 l 的方程；
19.【解答】解：（1）抛物线 C : y2 4x 与直线 y 2x 4 交于 A ， B 两点．
把 y 2x 4 代入抛物线 C : y2 4x ，得 y2 2 y 8 0 ，（2 分）
解得 y1 2 ， y2 4 ， A(1, 2) ， B(4, 4) ，
弦 AB 的长度 | AB | (4 1)2 (4 2)2 3 5 ．（5 分）
C. 若 A 30o, a 3, b 4 ，则这个三角形有两解；
D. 当 ABC 是钝角三角形．则 tan A tan C 1.
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.
长方体的长、宽、高分别为 4,2,1,其顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的表面积为
.
14.
A． 3 2
3
B．
2
C． 1
1
D.
2
2
2. V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .已知 a 5, c 2, cos B 3 5 , 则 b （ 10
）
A. 2
B. 3
C.2
D.3
3. 双曲线方程为 x2 2 y2 1，则它的右焦点坐标为(
)
6 A. ( , 0)
x2 如果方程
a2
y2 1 表示双曲线，则实数 a 的取值范围是_______.
a6
15. 已知 k∈R，过定点 A 的动直线 kx y 1 0 和过定点 B 的动直线 x ky k 3 0 交
于点 P，则 PA2 PB2 的值为__________. 16. 在∆ABC 中, AC 3, AB 1,点 D 为 BC 边上的点,AD 是∠BAC 的角平分线,则 AD 的取
AB 2 2 ， PA 3 ， E 为 CD 中点， PA BD ．
P
（1）求证：平面四 PAE 平面 PBD ；
（2）若 PE 3 ，求二面角 D PC A 的余弦值．
A
B
D
E
C
22．（本小题共 12 分）已知圆 O ： x2 y2 2 交 x 轴
2 于 M ， N 两点，过以 MN 为长轴，离心率为 2 的椭圆 C 的左
（不与 M ， N 重合），直线 HK 与圆 O 是否保持相切？若是，请证明；若不是，请说明
理由.
一、 单选题
1. D
2. B
3. A
4. C
5. C
6. D
7. D 二、多选题
8. B
9. ACD
10.ABC
三、填空题
11.AC
13. 21
14.（-，）0 （，0）6
四、解答题
12.BCD 15. 13
又圆 C 的圆心为 (3, 2) ，半径 r 3 ，
由 3k 2 2k 1 ， （2 分） 解得 k 3 .
k2 1
4
所以直线方程为 y 3 (x 2) ， 即 3x 4 y 6 0 . 4
（4 分）
当 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x 2 ，经验证 x 2 也满足条件 (6 分)
又 Q BD PA ， PAI AE A ， BD 平面 PAE ，（3 分）
又 BD 在平面 PBD 内，平面 PBD 平面 PAE ；（4 分）
（2）在 RtADE 中， AE 6 ，又 PA 3, PE 3 ， 由勾股定理可得 PA AE ，又 Q PA BD ，且 BD 与 AE 相交， PA 平面 ABCD ， 分别以 AD ， AB ， AP 所在直线 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
9．已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1，F2 在 y 轴上，短轴长等于 2，离心率为
6
，
3
过焦点 F1 作 y 轴的垂线交椭圆 C 于 P、Q 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 C 的方程为 y2 x2 1 3
B．椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 3
C．| PQ | 2 3 3
2x 2x 2
3z 0
，则可取
2y 3z 0
r m
(
3, 0, 2) ，（8 分）
又 AB 平面P，AB 平面 PAB 平面 PCD l AB / /l (10 分)
18. 若选择条件①： b2 2ac a2 c2
（1）因为 b2 2ac a2 c2 ，
由余弦定理 cos B a2 c2 b2 , 2ac
得 cos B
2ac
2
，（4 分）
2ac 2
因为 B (0, ) ，所以 B .（6 分） 4
kPC 2
，而
k AB
a
1 kPC
,
所以 a
1 2
.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
由于
1 2
(,
0)
，故不存在实数
a
，使得过点
P(2,
0)
的直线
l2
垂直平分弦
AB
.（12
分）
21. 【解答】解：（1）证明：在 RtABD 中， tan ABD 2 2 ， 22 2
在 RtDAE 中， tan DAE 2 ， 2
tan ABD tan DAE ，ABD DAE ， 又BAE DAE 90 ，BAE ABD 90 ， BD AE ，
P(4, 4) 或 P(9, 6) ．(12 分)
20. 解：① 3x 4 y 6 0 或 x 2 ；② (x 2)2 y2 4 ；③不存在实数 a ，使得过点
P(2, 0) 的直线 l2 垂直平分弦 AB . 【解析】（1）设直线 l 的斜率为 k （ k 存在）， 则方程为 y 0 k(x 2) . 即 kx y 2k 0
的圆与直线 bx cy 2bc 0 相切，则 C 的离心率为（ ）
3
3
1
A. 2
B. 3
C. 2
2 D. 2
7. 已知圆 C : x2 y2 6x 8 y 0 ,则: x2 y2 的最大值与最小值的和为(
)
A. 5
B. 10
C. 25
D.100
8.
点 O 和点 F
x2 分别为椭圆
y2
湖北省武汉市蔡甸区实验高级中学 2020-2021 学年高二数学 10 月联
考试题
本卷考试时间：120 分钟 总分：150 分 一、选择题：(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)
1. sin 20o cos10o cos160o sin10o （ ）
5. 直三棱柱 ABC A1B1C1 中,若 BAC 90 , AB AC AA1 ,则异面直线 BA1 与
AC1 所成的角等于( )
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
6.
C:
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b
0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，且以线段 F1F2 为直径
（2）把直线 y ax 1 ,代入圆 C 的方程，
消去 y，整理得
(a2 1)x2 6(a 1)x 9 0
由于直线 ax y 1 0 交圆 C 于 A，B 两点
故V 36(a 1)2 36(a2 1) 0
即 2a 0, 解得 a 0 .（8 分）
设符合条件得实数 a 存在，由于 l2 垂直平分弦 AB，故圆心 C(3, 2) 必在 l2 上.所以 l2 的斜率
值范围是________________. 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题共 10 分）如图,在四棱锥 P ABCD 中, PC ⊥平面
ABCD , AB//CD,CD AC.
(1)求证: AB 平面PAC ；
(2)设平面 PAB 平面 PCD l ,求证: AB//l .
(2)设直线 ax y 1 0 与圆 C 交于 A, B 两点，是否存在实数 a ，使得过点 P(2, 0) 的 直线 l2 的垂直平分线 AB ？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由.
21．（本小题共 12 分）已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为矩形， AD 2 ，
焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B ，分别交 y 轴和圆 O 于 P ， H .
（1）求椭圆 C 的标准方程； uur uuur uur uuur
（2）若 PA s AF ， PB t BF .求证： s t 为定值；
（3）过原点 O 作直线 l 的垂线交直线 x 2 于点 K .试探究：当点 H 在圆 O 上运动时
y2 （2）设 P( ， y) ，
4
| y2 y 4 |
点 P 到直线 AB 的距离 d 2
，（7 分）
5
Q ABP 的面积为 12，
SABP
1| 2
AB
| d
1 2
3
| y2 y 4 |
5 2
12 ，
5
解得 | y2 2 y 8 | 16 ，（10 分）
解得 y 4 或 y 6 ．
(2)由正弦定理 a b sin A sin B
得 a b sin A 3 ，（8 分） sin B
又因为 sin C sin( A B) sin Acos B cos Asin B
6
2
，（11 分）
4
所以 SV ABC
1 ab sin C 2
3 4
3
（12 分）
选其他条件对应给分.
16.（0，3） 2
17.【解析】(1)证明： Q AB / /CD,CD AC AB AC
Q PC 平面A，B平CD面 AB ABCD PC AB
又 PC AC C, PC, AC 平面PAC AB 平面PAC （5 分）
（2） Q AB / /CD,CD 平面P，C平D面AB PCD AB / /平面PCD
18．（本小题共 12 分）在△ABC 中， A , b 2 ，再从条件①、条件②这两个条件中 3
选择一个作为已知，求
（1） B 的大小；（2） ABC 的面积 ． 条件①： b2 2ac a2 c2 ； 条件②： a cos B b sin A ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
1 的中心和右焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则
2
uuur uur OPgFP 的最小值为( )
A. 2 2
1
B.
2
C. 2 2
D.1
二、多项选择题：(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分)
uuur
uuur
uuur
DP (2, 0, 3), PC (2, 2 2, 3), AC (2, 2 2, 0) ，（6 分）
设平面
PDC
的一个法向量为
r m
(x,
y,
z)
，则
mr gDuuPur mr gPuuCur
2
5 B. ( , 0)
2
2 C. ( , 0)
2
D. ( 3, 0)
4. 已知两条直线 m, n ，两平面 , ，给出下面四个命题，其中正确的命题是（
）
A. m / /n, m / / n / / C. m / /n, m n
B. / / , m , n m / /n D. , m / /n, m n
B. 在 内存在直线与直线 AB 相交 D. 在 内存在直线与直线 AB 平行
12. 在V ABC 中，角所对的边分别为 a, b, c ，给出下列四个命题中，其中正确的命题
为(
)
A. 若 A : B : C 1: 2 : 3 ，则 a : b : c 1: 2 : 3 ；
B. 若 cos A cos B ，则 sin A sin B ；
D．VPF2Q 的周长为 4 3
10. 已知圆 C : x 32 y 42 1和两点 Am, 0, B m, 0m 0.若圆 C 上存在点
P ,使得 APB 90 ,则实数 m 的取值可以为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
11. A, B 是不在平面 内的任意两点，则（ ）
A．在 内存在直线与直线 AB 异面 C. 存在过直线 AB 的平面与 垂直
19．（本小题共 12 分已知抛物线 C : y2 4x 与直线 y 2x 4 交于 A ， B 两点． （1）求弦 AB 的长度； （2）若点 P 在抛物线 C 上，且 ABP 的面积为 12，求点 P 的坐标．
20. （本小题共 12 分）已知点 P(2, 0) 及圆 C : x2 y2 6x 4 y 4 0 (1)若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1，求直线 l 的方程；
19.【解答】解：（1）抛物线 C : y2 4x 与直线 y 2x 4 交于 A ， B 两点．
把 y 2x 4 代入抛物线 C : y2 4x ，得 y2 2 y 8 0 ，（2 分）
解得 y1 2 ， y2 4 ， A(1, 2) ， B(4, 4) ，
弦 AB 的长度 | AB | (4 1)2 (4 2)2 3 5 ．（5 分）
C. 若 A 30o, a 3, b 4 ，则这个三角形有两解；
D. 当 ABC 是钝角三角形．则 tan A tan C 1.
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.
长方体的长、宽、高分别为 4,2,1,其顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的表面积为
.
14.
A． 3 2
3
B．
2
C． 1
1
D.
2
2
2. V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .已知 a 5, c 2, cos B 3 5 , 则 b （ 10
）
A. 2
B. 3
C.2
D.3
3. 双曲线方程为 x2 2 y2 1，则它的右焦点坐标为(
)
6 A. ( , 0)
x2 如果方程
a2
y2 1 表示双曲线，则实数 a 的取值范围是_______.
a6
15. 已知 k∈R，过定点 A 的动直线 kx y 1 0 和过定点 B 的动直线 x ky k 3 0 交
于点 P，则 PA2 PB2 的值为__________. 16. 在∆ABC 中, AC 3, AB 1,点 D 为 BC 边上的点,AD 是∠BAC 的角平分线,则 AD 的取
AB 2 2 ， PA 3 ， E 为 CD 中点， PA BD ．
P
（1）求证：平面四 PAE 平面 PBD ；
（2）若 PE 3 ，求二面角 D PC A 的余弦值．
A
B
D
E
C
22．（本小题共 12 分）已知圆 O ： x2 y2 2 交 x 轴
2 于 M ， N 两点，过以 MN 为长轴，离心率为 2 的椭圆 C 的左
（不与 M ， N 重合），直线 HK 与圆 O 是否保持相切？若是，请证明；若不是，请说明
理由.
一、 单选题
1. D
2. B
3. A
4. C
5. C
6. D
7. D 二、多选题
8. B
9. ACD
10.ABC
三、填空题
11.AC
13. 21
14.（-，）0 （，0）6
四、解答题
12.BCD 15. 13
又圆 C 的圆心为 (3, 2) ，半径 r 3 ，
由 3k 2 2k 1 ， （2 分） 解得 k 3 .
k2 1
4
所以直线方程为 y 3 (x 2) ， 即 3x 4 y 6 0 . 4
（4 分）
当 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x 2 ，经验证 x 2 也满足条件 (6 分)
又 Q BD PA ， PAI AE A ， BD 平面 PAE ，（3 分）
又 BD 在平面 PBD 内，平面 PBD 平面 PAE ；（4 分）
（2）在 RtADE 中， AE 6 ，又 PA 3, PE 3 ， 由勾股定理可得 PA AE ，又 Q PA BD ，且 BD 与 AE 相交， PA 平面 ABCD ， 分别以 AD ， AB ， AP 所在直线 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
9．已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1，F2 在 y 轴上，短轴长等于 2，离心率为
6
，
3
过焦点 F1 作 y 轴的垂线交椭圆 C 于 P、Q 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 C 的方程为 y2 x2 1 3
B．椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 3
C．| PQ | 2 3 3
2x 2x 2
3z 0
，则可取
2y 3z 0
r m
(
3, 0, 2) ，（8 分）
又 AB 平面P，AB 平面 PAB 平面 PCD l AB / /l (10 分)
18. 若选择条件①： b2 2ac a2 c2
（1）因为 b2 2ac a2 c2 ，
由余弦定理 cos B a2 c2 b2 , 2ac
得 cos B
2ac
2
，（4 分）
2ac 2
因为 B (0, ) ，所以 B .（6 分） 4
kPC 2
，而
k AB
a
1 kPC
,
所以 a
1 2
.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
由于
1 2
(,
0)
，故不存在实数
a
，使得过点
P(2,
0)
的直线
l2
垂直平分弦
AB
.（12
分）
21. 【解答】解：（1）证明：在 RtABD 中， tan ABD 2 2 ， 22 2
在 RtDAE 中， tan DAE 2 ， 2
tan ABD tan DAE ，ABD DAE ， 又BAE DAE 90 ，BAE ABD 90 ， BD AE ，
P(4, 4) 或 P(9, 6) ．(12 分)
20. 解：① 3x 4 y 6 0 或 x 2 ；② (x 2)2 y2 4 ；③不存在实数 a ，使得过点
P(2, 0) 的直线 l2 垂直平分弦 AB . 【解析】（1）设直线 l 的斜率为 k （ k 存在）， 则方程为 y 0 k(x 2) . 即 kx y 2k 0
的圆与直线 bx cy 2bc 0 相切，则 C 的离心率为（ ）
3
3
1
A. 2
B. 3
C. 2
2 D. 2
7. 已知圆 C : x2 y2 6x 8 y 0 ,则: x2 y2 的最大值与最小值的和为(
)
A. 5
B. 10
C. 25
D.100
8.
点 O 和点 F
x2 分别为椭圆
y2
湖北省武汉市蔡甸区实验高级中学 2020-2021 学年高二数学 10 月联
考试题
本卷考试时间：120 分钟 总分：150 分 一、选择题：(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)
1. sin 20o cos10o cos160o sin10o （ ）
5. 直三棱柱 ABC A1B1C1 中,若 BAC 90 , AB AC AA1 ,则异面直线 BA1 与
AC1 所成的角等于( )
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
6.
C:
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b
0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，且以线段 F1F2 为直径
（2）把直线 y ax 1 ,代入圆 C 的方程，
消去 y，整理得
(a2 1)x2 6(a 1)x 9 0
由于直线 ax y 1 0 交圆 C 于 A，B 两点
故V 36(a 1)2 36(a2 1) 0
即 2a 0, 解得 a 0 .（8 分）
设符合条件得实数 a 存在，由于 l2 垂直平分弦 AB，故圆心 C(3, 2) 必在 l2 上.所以 l2 的斜率
值范围是________________. 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题共 10 分）如图,在四棱锥 P ABCD 中, PC ⊥平面
ABCD , AB//CD,CD AC.
(1)求证: AB 平面PAC ；
(2)设平面 PAB 平面 PCD l ,求证: AB//l .
(2)设直线 ax y 1 0 与圆 C 交于 A, B 两点，是否存在实数 a ，使得过点 P(2, 0) 的 直线 l2 的垂直平分线 AB ？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由.
21．（本小题共 12 分）已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为矩形， AD 2 ，
焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B ，分别交 y 轴和圆 O 于 P ， H .
（1）求椭圆 C 的标准方程； uur uuur uur uuur
（2）若 PA s AF ， PB t BF .求证： s t 为定值；
（3）过原点 O 作直线 l 的垂线交直线 x 2 于点 K .试探究：当点 H 在圆 O 上运动时
y2 （2）设 P( ， y) ，
4
| y2 y 4 |
点 P 到直线 AB 的距离 d 2
，（7 分）
5
Q ABP 的面积为 12，
SABP
1| 2
AB
| d
1 2
3
| y2 y 4 |
5 2
12 ，
5
解得 | y2 2 y 8 | 16 ，（10 分）
解得 y 4 或 y 6 ．
(2)由正弦定理 a b sin A sin B
得 a b sin A 3 ，（8 分） sin B
又因为 sin C sin( A B) sin Acos B cos Asin B
6
2
，（11 分）
4
所以 SV ABC
1 ab sin C 2
3 4
3
（12 分）
选其他条件对应给分.
16.（0，3） 2
17.【解析】(1)证明： Q AB / /CD,CD AC AB AC
Q PC 平面A，B平CD面 AB ABCD PC AB
又 PC AC C, PC, AC 平面PAC AB 平面PAC （5 分）
（2） Q AB / /CD,CD 平面P，C平D面AB PCD AB / /平面PCD
18．（本小题共 12 分）在△ABC 中， A , b 2 ，再从条件①、条件②这两个条件中 3
选择一个作为已知，求
（1） B 的大小；（2） ABC 的面积 ． 条件①： b2 2ac a2 c2 ； 条件②： a cos B b sin A ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
1 的中心和右焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则
2
uuur uur OPgFP 的最小值为( )
A. 2 2
1
B.
2
C. 2 2
D.1
二、多项选择题：(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分)