数学分析试题库--计算题、解答题--答案
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.
当 时
,
.
所以在区间 上
.
71. 设 是以 为周期的分段连续函数,又设 是奇函数且满足 试求 的Fourier系数 的值， .
66.计算积分 ,精确到 .
解 .
因此, .
上式最后是Leibniz型级数,其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值.为使
,可取 .故从第 项到第 项这前7项之和达到要求的精度.于是
.
67.把函数 展开成 的幂级数.
解
, .
而
, .
68.求幂级数 的和函数.
解法一收敛域为 ,设和函数为 , 则有
.
因此, = , .
解法二
, .
69.展开函数 .
解
.
70. 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数
（i） （ii）
解（1）（i）函数 及其周期延拓后的图象所示. 显然 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于
.
当 时，有
所以在区间 上
（ii）函数 及其周期延拓后的图象所示. 显然 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于
解：令
解得 ，
当 时， ，从而区间 为函数的凹区间,
当 时， ，从而区间 为函数的凸区间.
并且 ，所以 为曲线的拐点.
35.设 ,则 是有理数列.
点集 非空有界,但在有理数集内无上确界.
数列 递增有上界,但在有理数集内无极限.
36.设 ,则 是有理数列.
点集 有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.
数列 满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.
37.不能从 中选出有限个开区间覆盖 .因为 中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为 ,则当 时,这有限个开区间不能覆盖 .
38.
39.令 ,则
40.
41.
42.令 ,则有 ,
43. 令 ,则有 ,
.
44. .
45. .
46. .
47. .其中和式是函数 在 上的一个积分和,所以 .
48. .于是
解因为
所以
所以
21.
解：
22.
解： 令 ,
两边对两边对 求导有
,
两边对 求导有
23. 求由参量方程 所确定的函数的二阶导数
解法1：
由含参量方程的求导法则有
求 即求参量方程 的导数
解法2：
由含参量方程的求导法则有
求 即求参量方程 的导数
24．设 , 试求 .
解基本初等函数导数公式，有
,
应用莱布尼兹公式（ ）得
数学分析题库（1-22章）
四．计算题、解答题
求下列极限
解：１.
２．
３．
４.这是 型，而
故 原极限＝
5
6
因 ，
故原极限＝ .
7． 用洛必达法则
8.
9. ;
解法1：
解法2：
10．
解因 ， （3分）
故
原式 =
求下列函数的导数
解 11
12
13
14 .
15
16
17
18 .
19． ；
20.求下列函数的高阶微分：设 ，求
55.因为 ,从而级数 的部分和为
.
于是该级数收敛,其和为 .
56.因为 ,且级数 收敛,所以级数 收敛.
57.因为 ,由根式判别法知级数 收敛.
58.因为 ,且级数 发散,故原级数不绝对收敛.但 单调递减,且 ,由莱布尼茨判别法知级数 条件收敛.
59. 因为
,
当 时, ,于是.所以级数 的部分和数列
不存在
0
0
递减
极小值
递增
极大值
递减
极小值
递增
所以 和 为极小值点, 极小值分别为 和 , 为极大值点, 极大值为 .
又在端点处有 , , 所以函数在 处取最小值 ,在 处取最大值 .
33.求函数 在 上的最大最小值：
解：令
令 解得函数在 的稳定点为 ,
而 ，
所以函数在 的最大值和最小值分别为 .
34. 确定函数 的凸性区间与拐点:
， ，所以用极值的第二充分条件也不能确定 的极值.
31．答：能推出 在 内连续.证明如下： ，取 ，于是 ，由题设， 在 上连续，从而在 连续.由 的任意性知， 在 内连续.
32.试求函数 在 上的最值和极值.
解
在闭区间 上连续, 故必存在最大最小值.
令 ,得稳定点为 . 又因 故 在 处不可导. 列表如下
.
49.以平面 截椭球面,得一椭圆 .所以截面积函数为
.于是椭球面的体积 .
50.化椭圆为参数方程: .于是椭圆所围的面积为
.
51. ,于是所求摆线的弧长为
.
52.根据旋转曲面的侧面积公式 可得所求旋转曲面的面积为
.
53.因为 .
于是无穷积分 收敛,其值为 .
54.因为
于是无穷积分 收敛,其值为 .
当 时有界,从而由狄利克雷判别法知级数 收敛;
同法可证级数 在 上收敛.
又因为 ,级数 发散, 收敛,于是级数 发散,由比较判别法知级数 发散.所以级数 在 条件收敛.
60.判断函数项级数 在区间 上的一致收敛性.
解记 . 则有ⅰ> 级数 收敛;
ⅱ> 对每个 , ↗；ⅲ> 对
和 成立. 由Abel判别法, 在区间 上一致收敛.
（2） ，故当 时， 在 可导.
（3）先计算 的导函数. ，
由（2）知， ，于是当 时，有 ，所以当 时， 在 连续.
29．解因为 ，故当 时， ，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理.
30．证明（1）对任何 ，有 ，故 是极小值点.
（2）当 时，有
，作数列
， ，则 ， .即在 的任何右邻域 内，既有数列 中的点，也有数列 中的点.并且 ， ，所以在 内 的符号是变化的，从而 不满足极值的第一充分条件.又因为
61. , . 讨论函数列{ }的一致收敛性.
解 0, . | ― 0| . 可求得
.
函数列{ }在区间 上非一致收敛.
62.函数列
在 上是否一致收敛？
解：由于 ，故 .当 时，只要 ，就有 ，故在 上有 .于是函数列（8）在 上的极限函数 ，又由于
，
所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛.
63. 在R内是否一致收敛？
.
25．试求由摆线方程 所确定的函数 的二阶导数.
解
26.求 到 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.
解因为
,
所以 到 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为
.
27．
－２
(－2,－1)
－１
(－1,0)
０
－
０
＋
不存在
＋
０
－
递减，凹
极小值
－３
递增，凹
递增，凹
Hale Waihona Puke Baidu极大值
１
递减，凹
28．解（1） ，故对任意正整数m， 在 连续.
解显然有 , 在点 处取得极大值 , . 由系2 , 不一致收敛.
64.函数列
在 上是否一致收敛？
解 时, 只要 , 就有 . 因此, 在 上有
. , .于是, 在 上有
. 但由于 , ,
因此 , 该函数列在 上不一致收敛.
65.求幂级数 的收敛域.
解 是缺项幂级数.
.收敛区间为 . 时,
通项 .因此,该幂级数的收敛域为 .
当 时
,
.
所以在区间 上
.
71. 设 是以 为周期的分段连续函数,又设 是奇函数且满足 试求 的Fourier系数 的值， .
66.计算积分 ,精确到 .
解 .
因此, .
上式最后是Leibniz型级数,其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值.为使
,可取 .故从第 项到第 项这前7项之和达到要求的精度.于是
.
67.把函数 展开成 的幂级数.
解
, .
而
, .
68.求幂级数 的和函数.
解法一收敛域为 ,设和函数为 , 则有
.
因此, = , .
解法二
, .
69.展开函数 .
解
.
70. 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数
（i） （ii）
解（1）（i）函数 及其周期延拓后的图象所示. 显然 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于
.
当 时，有
所以在区间 上
（ii）函数 及其周期延拓后的图象所示. 显然 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于
解：令
解得 ，
当 时， ，从而区间 为函数的凹区间,
当 时， ，从而区间 为函数的凸区间.
并且 ，所以 为曲线的拐点.
35.设 ,则 是有理数列.
点集 非空有界,但在有理数集内无上确界.
数列 递增有上界,但在有理数集内无极限.
36.设 ,则 是有理数列.
点集 有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.
数列 满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.
37.不能从 中选出有限个开区间覆盖 .因为 中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为 ,则当 时,这有限个开区间不能覆盖 .
38.
39.令 ,则
40.
41.
42.令 ,则有 ,
43. 令 ,则有 ,
.
44. .
45. .
46. .
47. .其中和式是函数 在 上的一个积分和,所以 .
48. .于是
解因为
所以
所以
21.
解：
22.
解： 令 ,
两边对两边对 求导有
,
两边对 求导有
23. 求由参量方程 所确定的函数的二阶导数
解法1：
由含参量方程的求导法则有
求 即求参量方程 的导数
解法2：
由含参量方程的求导法则有
求 即求参量方程 的导数
24．设 , 试求 .
解基本初等函数导数公式，有
,
应用莱布尼兹公式（ ）得
数学分析题库（1-22章）
四．计算题、解答题
求下列极限
解：１.
２．
３．
４.这是 型，而
故 原极限＝
5
6
因 ，
故原极限＝ .
7． 用洛必达法则
8.
9. ;
解法1：
解法2：
10．
解因 ， （3分）
故
原式 =
求下列函数的导数
解 11
12
13
14 .
15
16
17
18 .
19． ；
20.求下列函数的高阶微分：设 ，求
55.因为 ,从而级数 的部分和为
.
于是该级数收敛,其和为 .
56.因为 ,且级数 收敛,所以级数 收敛.
57.因为 ,由根式判别法知级数 收敛.
58.因为 ,且级数 发散,故原级数不绝对收敛.但 单调递减,且 ,由莱布尼茨判别法知级数 条件收敛.
59. 因为
,
当 时, ,于是.所以级数 的部分和数列
不存在
0
0
递减
极小值
递增
极大值
递减
极小值
递增
所以 和 为极小值点, 极小值分别为 和 , 为极大值点, 极大值为 .
又在端点处有 , , 所以函数在 处取最小值 ,在 处取最大值 .
33.求函数 在 上的最大最小值：
解：令
令 解得函数在 的稳定点为 ,
而 ，
所以函数在 的最大值和最小值分别为 .
34. 确定函数 的凸性区间与拐点:
， ，所以用极值的第二充分条件也不能确定 的极值.
31．答：能推出 在 内连续.证明如下： ，取 ，于是 ，由题设， 在 上连续，从而在 连续.由 的任意性知， 在 内连续.
32.试求函数 在 上的最值和极值.
解
在闭区间 上连续, 故必存在最大最小值.
令 ,得稳定点为 . 又因 故 在 处不可导. 列表如下
.
49.以平面 截椭球面,得一椭圆 .所以截面积函数为
.于是椭球面的体积 .
50.化椭圆为参数方程: .于是椭圆所围的面积为
.
51. ,于是所求摆线的弧长为
.
52.根据旋转曲面的侧面积公式 可得所求旋转曲面的面积为
.
53.因为 .
于是无穷积分 收敛,其值为 .
54.因为
于是无穷积分 收敛,其值为 .
当 时有界,从而由狄利克雷判别法知级数 收敛;
同法可证级数 在 上收敛.
又因为 ,级数 发散, 收敛,于是级数 发散,由比较判别法知级数 发散.所以级数 在 条件收敛.
60.判断函数项级数 在区间 上的一致收敛性.
解记 . 则有ⅰ> 级数 收敛;
ⅱ> 对每个 , ↗；ⅲ> 对
和 成立. 由Abel判别法, 在区间 上一致收敛.
（2） ，故当 时， 在 可导.
（3）先计算 的导函数. ，
由（2）知， ，于是当 时，有 ，所以当 时， 在 连续.
29．解因为 ，故当 时， ，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理.
30．证明（1）对任何 ，有 ，故 是极小值点.
（2）当 时，有
，作数列
， ，则 ， .即在 的任何右邻域 内，既有数列 中的点，也有数列 中的点.并且 ， ，所以在 内 的符号是变化的，从而 不满足极值的第一充分条件.又因为
61. , . 讨论函数列{ }的一致收敛性.
解 0, . | ― 0| . 可求得
.
函数列{ }在区间 上非一致收敛.
62.函数列
在 上是否一致收敛？
解：由于 ，故 .当 时，只要 ，就有 ，故在 上有 .于是函数列（8）在 上的极限函数 ，又由于
，
所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛.
63. 在R内是否一致收敛？
.
25．试求由摆线方程 所确定的函数 的二阶导数.
解
26.求 到 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.
解因为
,
所以 到 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为
.
27．
－２
(－2,－1)
－１
(－1,0)
０
－
０
＋
不存在
＋
０
－
递减，凹
极小值
－３
递增，凹
递增，凹
Hale Waihona Puke Baidu极大值
１
递减，凹
28．解（1） ，故对任意正整数m， 在 连续.
解显然有 , 在点 处取得极大值 , . 由系2 , 不一致收敛.
64.函数列
在 上是否一致收敛？
解 时, 只要 , 就有 . 因此, 在 上有
. , .于是, 在 上有
. 但由于 , ,
因此 , 该函数列在 上不一致收敛.
65.求幂级数 的收敛域.
解 是缺项幂级数.
.收敛区间为 . 时,
通项 .因此,该幂级数的收敛域为 .