函数的零点问题(讲解)

函数零点问题

【教学目标】

知识与技能：

1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的

联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间.

2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点

个数和所在区间法.

【教学重点】理解函数的零点与方程根的关系，形成用

函数观点处理问题的意识.

【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合•

一、引例

(1 ).函数f(x)=eJχ-2的零点所在的一个区间是( ).

A. -2,一1

B. -1,0

C. 0,1

D. 1,2 解法一：代数解法

解：(1).因为 f O =e°0-2「1 ：：0 , f 1 =e11-2=e-1 O ,

所以函数f X =e x的零点所在的一个区间是0,1 .故选C.

二、基础知识回顾

1.函数零点概念

对函数V ,把使f X =0的实数X叫做函数y = f X的零点.

2.零点存在性定理：如果函数y = f χ在区间∣a,b ］上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)'f(b)<0，那么，函数y = f(x)在区间a,b内有零点.即存在c∙ a,b ,使得f c =0，这个C也就是方程f X =0的根.

么在1 2,2 1上函数f X =X有零点吗？

问题2：函数f(x) = x2-6χ+ 8 在区间［1,31,〔0,1】，［1,5】

有零点吗？

引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗？

解法二：几何解法

(1). f X i；=I e X χ-2可化为e x = ^ X 2 .

画出函数y = e x和节-2的图象，可观察得出C正确.

函数y = F X = f X —g X 有零点

= 方程FX= f X —g X =0有实数根

=函数％ =f X ,y^g X 图像有交点.

三、能力提升

1.利用函数图像求函数零点问题

例1: （ 1）函数f X Jgx-cosx 的零点有 （ ）

A . g 个

B . 3个

C . 2个

D . 1个

变式2:若函数为f （X ）=∣g χ -Cosx ，则有 _______ 个零点.

解：由 f X iU lgX _Cosx =0 ,可化为 IgX = Cosx ,画出 y =∣gx 和 y = COSX 的图像，可得出B 正确.f (X )= Igx-Cosx 有4个零点， f (X )=Ig X -cos χ 有 6 个零点.

变式1若函数为f （X ）=∣∣g χ -COSX ，则有 _____ 个零点. O O 2 2

1

(2)函数^X_i与…S ZX的图像在I-2,4有 --------------- 个交点,

交点的横坐标之和为

像都关于1,0点对称，故交点的横坐标之和为 4.

(3):若关于X的方程a2∣x =x + a (a>0 )有两个不同的实数根求a的

取值范围.

解1：设y=a2x,y = x+a,分别画两函数的图像，两图像有两个不同的

8 10

1

解：函数与^2si-的图像在〔一2,4 1有8个交点，因为图

6

交点即方程a2χ=x∙a有两个不同的实数根.y = a2χ与^Xa的图像，当aJ 时，在第一象限平行，第二象限有一个交点，当a ：1时只有一个交点在第二象限，当a 1时有两个

交点，故a 1.

1 1

解2:设y = ∣χ,y=pχ+ -,分别画两函数的图像,,两图像有两

a a

个不同的交点即方程a2X =x + a有两个不同的实数根.只有当

2.利用零点性质求参数的取值范围

探f(x)=x'-6χ2∙9x a在χ∙R上有三个零点，求a的取值范

围.

解：由 f (X) =3χ2 -12x ∙ 9 =3(X 2-4x ∙ 3) =3(x -3)(x-1)得

7

令 f (x) 0，得 X 3或 Xj ,

f X 0,得 1 X 3

f(x)在(」：,1) , (3,七)上单调递

增，在(1,3)上单调递减

f (X)极大值=f (1^ 4 a 0 ,

a 4

f (x)极小值=f ⑶=a ： O

- 4 a O .

变式 1 :方程 χ3「6χ2 9Xa=O 在 ∣2,4 1

上有实数解，求a 的取值范围.

解：由方程X 3 -6x 2 9x a =0在l -2,4〕上 有

实数解，即x 3-6x 2∙9χ--a 由f X =X ^6X 2 9X 的

图像可得：• 0乞a 乞4

变式2： X 3 一a χ2 ∙9x=0在24 上有实数解，求a 的取值范围.

3

解1：由 a = J 9^ =X 9,x [2,4]，a [6,弓].

X X 2

变式3：若不等式χ3-a χ2∙9x-0在〔2,4】上恒成立，求a 的取值范 围•

6

解：转化为a ^(x ∙ 9)χ 1,3恒成立问题，即^(X -)min,x l-1,3得

X X

a 三「,6 L

四、课堂小结解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题