工程力学 第九章 梁的应力及强度计算

课时授课计划
教学过程：
复习：1、复习刚架的组成及特点。

2、复习平面静定刚架内力图的绘制过程。

新课：
第九章梁的应力及强度计算
第一节纯弯曲梁横截面上的正应力
一、纯弯曲横梁截面上的正应力计算公式
平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。

1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。

2、假设
（1）平面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面，只是绕某一轴旋转了一个角度，且仍与变形后的梁轴曲线垂直。

中性层：梁纯弯曲变形后，在凸边的纤维伸长，凹边的纤维缩短，纤维层中必有一层既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区和压缩区。

注意：中性层是对整个梁而言的；
中性轴是对某个横截面而言的。

中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。

（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。

各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。

3、推理
纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。

二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律
由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知
ρ
εσy
E
E =⋅=
通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。

二、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数
1、常用截面的惯性矩I Z
惯性矩是截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。

它是与截面的形状及尺寸相关的几何量。

123bh I C
z =12
3hb I C
y =64
4
D I I C C y z π=
=
2、常见截面的抗弯截面系数
在对梁进行强度计算时，总要寻找最大正应力。

有公式可知，当y=ymax
时，即截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大。

max
max max y I M
I y M Z Z =
⋅=σmax
y I W Z
Z =
令：Z
W M =
max σ则有：
矩形截面抗弯截面系数：圆形截面抗弯截面系数：43
max /64/232
Z Z I d d W y d ππ===
32
max /12/26Z Z I bh bh W y h ===
空心圆截面抗弯截面系数：
D
d
d W z =
-=
ααπ),1(32
43
64
)
( 4 4 d D I I C
C y z - = = π
工字型的抗弯截面系数
5mm
3
)
4(2)]2(21[)2(22
*
y h b y h y y h b S z -=-+⋅-=
将上式带入剪应力公式得：
)
4(222
y h I Q z -=τ
上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。

在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，其值为
A Q bh Q bh Qh I Qh y h I Q z z 5.1231288)4(23
2
222max
==⨯==-=τ
即
A Q
5
.1max
=τ
上市说明：矩形截面横梁截面上的最大剪应力为平均剪应力Q/A 的1.5倍。

综上所述：剪应力沿其截面高度的分布规律与正应力不同，正应力最大的在截面的上下边缘各点，剪应力为零；剪应力最大的在中性轴上各点，正应力为零。

三、工字形横截面的剪应力
工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。

四、圆形截面横梁截面上的最大剪应力
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。

A
Q ⋅=34max
τ
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。

结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。

例1矩形截面简支梁如图,已知：l=2m ，h=15cm ，b=10cm ，h 1=3cm ，q=3kN/m 。

试求A 支座截面上K 点的剪应力及该截面的最大剪应力。

3
*43
323625.55.410281012
151012cm y S cm bh c z z =⨯⨯=A ==⨯==I MPa b S Q z z A k 252.010
10102810102361031
43
3=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=I =τMPa
A Q 3.010********.15.12
3
max =⨯⨯⨯⨯==τ解：1.求剪力：Q A =3kN
2.求K 点剪应力：
3.求最大剪应力：
A
B
l q
y
z
o
h b
h
1
y c
K
3kN
3kN
Q 图
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
][*max max max
ττ≤⋅=b I S Q z z 在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。

但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。

但在下列几种情况下，还需作剪应力强度校核：
（1）梁的跨度很短而又受到很大的集中力作用，或在支座附近作用有较大的集中荷载，此时梁的最大弯矩较小，但最大剪力却很大。

（2）工字梁的腹板宽度很小，或某些铆接或焊接的组合截面钢梁中，其腹板宽度与高度之比小于一般型钢截面的相应值时，此时腹板上的剪应力可能较大。

（3）木梁。

由于木材在顺纹方向的抗剪强度很差，当横截面中性轴上有较大的剪应力时，根据剪应力互等定理，梁的中性层上也产生较大的剪应力，可能使木材沿顺纹方向破坏。

第四节 提高梁弯曲强度的措施
一、提高梁弯曲强度的措施
根据弯曲正应力的强度公式，减小梁的工作应力的途径：
A 、降低最大弯矩值Mmax
B 、增加截面的抗弯截面系数W Z
（1）合理安排梁的支座与荷
当荷载一定时，梁的最大弯矩Mmax 与梁的跨度有关，因此，应合理安排支座。

如果结构允许，应尽可能合理地布置梁上的荷载。

把梁所受的一个集中力分为几个较小的集中力，梁的最大弯矩就会明显减小。

（2）采用合理的截面形
1）从应力分布规律考虑
应使截面面积较多的部分布置在离中性轴较远的地方。

从应力分布情况看，工字形、槽形等截面形状比面积相等的矩形截面更合理，而圆形截面又不如矩形截面。

凡是中性轴附近用料较多的截面就是不合理截面。

2）从抗弯截面系数W Z考虑
应在截面面积相等的条件下，使得抗弯截面系数W Z尽可能地增大(I Z越大越好)，由式Mmax=[σ] W Z可知，梁所能承受的最大弯矩Mmax与抗弯截面系数W Z成反比。

所以，从强度角度看，当截面面积一定时，W Z值越大越有利。

3）从材料的强度特性考虑
应合理的布置中性轴位置，使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到材料的容许应力。

对抗拉和抗压强度相等的材料，一般采用对称于中性轴的截面形状，如矩形、工字形、槽形、圆形等。

对抗拉和抗压强度不相等的材料，一般采用菲对称截面形状，使中性轴偏向强度较低的一边，如T字形、槽形等。

（3）等强度梁
将梁制成变截面梁，使各截面上的最大弯曲正应力与材料的许用应力[σ]相等或接近。

小结：
1、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律
2、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式
3、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数
4、梁的正应力强度条件及应用
5、梁的剪应力强度校核
6、提高梁弯曲刚度和强度的措施
课后作业：书P170 8-1、8-3（d）。