【经典】建模-数学建模中的数值方法

t
x2
y 2
z 2
如果 G 内存在污染源，则有单位时间内、单位体积内所产生的污染
物质为 F(x, y, z,t) ，新增的质量为：
t t
Q3 t F (x, y, z,t)dxdydzdt G
考虑过程中自然降解，单位时间的衰减率为 k ，则衰减的质量为：
t t
Q4 t ku(x, y, z,t)dxdydzdt G
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
ku
F (x0 ,
y0 ,
z0 )
0
如果污染源是线源的话：
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
ku
F
(x,
y,
z0
)
0
可假设边界为第一类边界条件 u 0 。
如果污染源选择准确的话，各点理论值与真实值的偏差都应该比较
小，因此，可以用最小二成法求参数。
微分方程模型 建立与求解
如物质流动与扩散问题 膜和弦的振动问题 力学和运动问题 温度分布 病毒传染 种群变化
1、用微分方程建模的大致步骤、思 路及注意点
2、微分方程求解方法概述 3、简单微分方程的matlab解法 4、复杂方程的理论求解方法 5、模型参数辨识及函数拟合问题
微分方程模型是建模中常见的建模方法
（3）假设物质是由高浓度区向低浓度区扩散
考虑三维区域 G ，假设其为均匀的且各向同性。
设点 (x, y, z) 处在时刻 t 的浓度为 u(x, y, z,t) 。
区域 G 内浓度升高增加的污染物质量为
Q1 u(x, y, z,t t) u(x, y, z,t)dV
G
G
t t t
u (x, t
y,
z,
t
) dt
dxdydz
tt u
t
G
t
(x,
y,
z, t )dxdydz
dt
扩散是随着时间的一个变化过程，因此微元分析可以取[t,t t]，则在
该时间微元内，流过封闭曲面为 的污染物质质量为
Q2
t t t
a
2
u x
cos
b2
u y
cos
c2
u z
cos
dsdt
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等 表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指 定或由系统规则选定为缺省.
例如，微分方程
d2 y dx2
0
应表达为：D2y=0.
例 1 求 du 1 u2 的通解. dt
解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
例 3 求微分方程组的通解.
dx
dt
2x
3y 3z
dy
dt
4x
5y
3z
dz dt
4x 4y
2z
解 输入命令 ：
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z', 'Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')
结 果：u = tg(t+c1)
例 2 求微分方程的特解.
d2 y
dx2
4
dy dx
29 y
0
y(0) 0, y '(0) 15
解 输入命令:
y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
结 果 为 : y =3*exp(-2*x)*sin(5*x)
结合问题用微积分思想的实现。这个过程在建 模中很多时候不需要自己完全的创新，更多是 需要找到相关的模型做一些改进。（因此，快 查查到相关研究是重要的，平时多积累查找文 献资料的方法）
注意：需要针对问题修改模型。这是建模中最 关键的一步，注意要有针对问题的结合分析， 为什么用这个模型及为什么要做修改，对模型 的借用方式应该是随内容的分析展开而自然的 引入，不应该是没有分析强行拷贝。
异应该很小，因此，我们选择参数的方法为：
n
min
待估计参数
[u(xi , yi , zi ) uˆ(xi , yi , zi )]2
i 1
那现在的问题是： 这样模型的精确解好求吗？
微分方程的解析解
求微分方程（组）解析解的命令（matlab）:
dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)
计算参数的方法：最小二乘法
情况1：如果模型中待求解函数可由所提的数 学模型通过精确理论推导求解（含有未知参 数），则可利用此理论解和给定观测数值，再 借助最小二乘法进行参数计算；
情况2：如果模型中待求解函数无法通过所提 的数学模型精确求解，那就需通过数值方法获 得模型的近似解（含有未知参数），然后再用 最小二乘法进行参数计算。
t t t
G
a
2
2u x2
b2
2u y2
c2
2u z 2
dxdydzdt
由 Q1 Q2 ，
tt
t
G
u t
(x,
y,
z, t )dxdydz
dt
t t t
G
a2
2u x2
b2
2u y2
c2
2u z 2
dxdydzdt
则有
u a2 2u b2 2u c2 2u
最小二乘法：
已知数据 u(x1, y1, z1), ,u(xi , yi , zi ), ,u(xn , yn , zn ) 模型求解 uˆ(x1, y1, z1), ,uˆ(xi , yi , zi ), ,uˆ(xn , yn , zn )
如果模型正确的话，即模型能够准确刻画现象
Biblioteka Baidu
，那也意味着，模型解和观测值之间的误差差
大致建模思路是：
根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系， 找出反映内部机理的规律，建立模型的基本结构。
然后根据该结构，通过给定数据用参数辨识的方 法来确定模型的参数，从而最终确定模型。
步骤：（1）建立基本结构，如是偏微分、还是 常微分是一阶还是二阶；（2）参数辨识，如最 小二乘法
建立模型结构的大致思路：
于是 Q1 Q2 Q3 Q4 ，则有
u t
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
ku
F (x,
y,
z,t)
由于数据没有关于时间，因为我们可以认为释放过程已经达到一个平
衡状态，即不随时间发生变化，则有
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
ku
F (x,
y,
z)
0
如果污染源是点源的话：
重金属在土壤中的传播：
（1）由于是在土壤中扩散，由土壤传播的特性 （慢，相对于空气或液体中），因此，这个题更 多的要求我们分析物质的空间分布，而不侧重各 区域内重金属物质随机时间的变化规律。同时， 主要是数据中也没有给出我们关于时间的数据；
（2）物质污染扩散是源点浓度最大，然后向四 周空间区域扩散，梯次减小。