分式方程题型集锦

分式方程题型集锦

一、增根产生的原因及去除方法

（一）：定义：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.增根不是原分式方程的根（一元方程的“解”也叫“根”），但它是去分母后所得的整式方程的根。增根是不适合原方程的根，它不能作为方程的根，是需要排除掉的根。

（二）去除增根方法：要去除因为化解分式方程产生的增根，办法是可以把解方程的结果（即x等于什么具体数），一一代入最简公分母检验，如果使最简公分母为零,那么这个根就是原要去掉的原来方程的增根。

二、有增根与无解是两个不同的概念

分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个不同概念，学习分式方程时，常常容易会对这两个概念混淆不清。

(一)、分式方程有增根，是指解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围，因而得出的根只符合新的整式方程，而并不符合原来的分式方程。

(二)、分式方程无解，是指不论未知数取何值，使分式、整式方程两边的值都不相等。

把分式方程化为整式方程，若整式方程无解，则分式方程一定无解；若整式方程有解，但要使分式方程无解，则该解必必须是能使最简公分母为0时对应的未知数的数值，此时相应的参数（字母系数值）使分式方程无解。

分式方程无解包含两种情形：

1、把分式方程化为整式方程，若整式方程无解，则分式方程一定无解（方程得出的解若能使新的化简式无解，自然代入原分式方程也会无解）。

2、若整式方程有解，但要使分式方程无解，则该解必为是能使最简公分母为0时对应的未知数的数值，此时相应的参数（字母系数）使分式方程无解。（方程得出的解若能使新的化简式有解，但却要想使原分式方程无解，那就要取出增根。“增根代入化简式，直接求系数”）。

方程无解的条件，关键是看转化后的整式方程解的情况．既要考虑整式方程无解的条件，又要考虑整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性.考虑问题要全面、周到。

三、分式方程解题的三把钥匙

验根口诀：验根代入公分母，不

能等于0

增根口诀：增根代入化简式，直接

求系数

验根口诀“验根代入公分母，不能等于0”的解释

在解分式方程把分式方程转化为整式方程这一变形过程中，由于去分母扩大了未知数的取值范围，而可能产生只符合新的整式方程，却并不适合原分式方程的增根。为了保证根的准确性，使求得的整式方程的根，能符合原分式方程中的各分式的分母必须都不为零的要求，就需要进行验根，验根的方法，就是将解整式方程所求的根代入化简时所乘的最简公分母中去，看得出的结果是否为零.如果为零，即为增根。验根的工具就是本口诀。

增根口诀“增根代入化简式，直接求系数”的解释

适用于有一个未知数、有系数、共两个未知量（①未知数x；②字母系数m、k），化简后只有一个根的一元方程。

若题目已知条件确定分式方程有增根，或直言有具体增根x等于几求系数；或已知分式方程无解或无实数根求系数时，都适用于这个增根公式。①先按照步骤求出整式化简式；②再直接从各分式分母中或从最简公分母中取出增根；

③将增根代入化简式，④直接就能求出系数（常用m、k等字母，系数又叫“参数”或“字母系数”）。

特别注意，若题目已知条件确定分式方程有解或有实数根求系数时，也适用于这个公式，但得到的系数正负符号要再反过来。因为得出的系数是在有增根时的系数，不换符号就不符合题目的要求。

根的判别式

分式方程化为一元二次方程后的根的判别式是△（符号读音delta），

方程实数根的个数需要用根的判别式判定。

当分式方程化为整式方程，化简式为一元二次整式方程时，它的根的个数有三种情况，即有两个、一个或0个根。究竟有几个根需要用根的判别式来判定。

运用一元二次方程根的判别式可以判断一个一元二次方程

ax2+bx+c=0根的个数状况。将ax2+bx+c=0中的三个系数abc代入根的判别式中。

当b2-4ac>0时，即△>0，这个一元二次方程有两个根；

当b2-4ac=0时，即△=0，这个一元二次方程有一个根（或叫有两个相等的根）；

当b2-4ac<0时，即△<0，这个一元二次方程没有根。

四、分式方程解题带答案

题型一：正常验根

验根口诀：验根代入公分母，不能等于0

步骤：①最简公分母，②化简式；③得出根，④验根代入公分母

题型二：已知有增根求系数

增根口诀：增根代入化简式，直接求系数

步骤：①最简公分母，②化简式；③取出增根；

④增根代入化简式

（一）已知有增根求系数

（二）已知有具体增根求系数

增根口诀：增根代入化简式，直接求系数

步骤：（完全同上）：①最简公分母，②化简式；③取出增根；④增根代入化简式，直接求系数。

题型三：已知有解或有实数根求系数

有解或有实数根，相当于无增根或不全部是增根，故只能借用增根公式，但最后又要用一句话否定这个系数的值即可，如最后的结论是“系数a或m ≠某数时，原来方程有解”。

增根口诀：增根代入化简式，直接求系数

注意本题型解题步骤第六步时，最后系数符号要反过来。

（一）已知有解求系数

步骤：解题步骤:

①最简公分母;

②化简式;

③判别式（适用于分式方程化为一元二次方程）

④取增根;

⑤增根代入化简式。

⑥反符号

提示：

第六步反符号，指最后把得出的系数值符号反过来，换一个相反符号。反符号适用于“有解求系数”，“有实数根求系数”的题型，说明它没有受增根的影响，它与有增根的意思相反，故使用有增根的公式“增根代入化简式，直接求系数”后，最终得出系数值后，还要再把符号反过来。

但是，像本题型后面的题型四“已知无解、无实数根求系数”中，无解、无实数根，顾名思义，就又和有增根属于一类，故就不需要再在最后把系数换符号了。

归纳:反符号，即得出的系数值换符号，只适用于“有解，有实数根求系数”的题型。