投资学 单因素模型
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2018-5-14 对外经济贸易大学金融学院《投资学》 6
1.单因素模型的定义
单因素模型是描述证券收益率生成过程的一种模型，往往以指数
形式出现。
因素模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视点
一元或者多元统计分析，以一个或者多个变量来解释证券的收益，
从而比仅仅以市场来解释证券的收益更准确。
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年份
GDP增长率
通货膨胀率
A股票回报率
1 2 3 4 5 6
5.7% 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9
1.1% 4.4 4.4 4.6 6.1 3.1
14.3% 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
2018-5-14
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·
·
0
GDP
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2018-5-14
为了阐明图中所反映的数量关系，我们使
用一元回归分析的统计技术做一条直线来 拟合图中的点。图中这条直线的回归方程 则为
r = 2.0282GDP+ 3.952
任一给定证券的实际回报率由于含有非因
素回报率的缘故而位于拟合直线的上方或 下方。因此对例中的单因素模型多反映的 关系的完整描述为：
2018-5-14 26
双因素模型的主要特征
1. 跟单因素模型一样，一旦利用前面那些方程计算
出预期回报率、方差和协方差后，投资者便可以使 用最优化来导出弯曲的马氏有效集。继而，对于一 个给定的无风险利率，可以确定出切点组合，在此 基础上，投资者可以确定他的最佳组合。此时，计 算方差-协方差矩阵需要估计多少参数？ 2.分散化 对于一个充分分散化的组合，非因素风险将变得不 显著。 同单因素模型一样，在双因素模型中，一个组合对 某一因素的敏感性是对所含证券的敏感性的加权平 均，权数为投资于各证券的比例
率对风险补偿的影响
历史数据库
年
1 2 3 4 5 6
GDP增长率 （% ）
5.7 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9
证券收益率 （%）
14.3 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
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这一关系也可用下面的图形表示
ri · · ·
注 两个重要的假设
1.随机误差εi与因素F不相关，这意味着因
素的结果对随机误差的结果没有任何影响。 2. 任意两种证券的随机误差之间不相关。 这意味着一种证券的随机误差结果对任意 其他证券的随机误差结果不产生任何影响。 换句话说，两种证券的回报率仅仅通过对 因素的共同反应而相关联。
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3. 证券市场线只考虑了由风险市场组合的预 期收益率对证券或证券组合预期收益率的 影响，即把市场风险全部集中的体现在一 个因素里，而影响总体市场环境变化的宏 观因素很多。
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威廉.夏普（Sharpe）继马科维兹之后于1963年提出了
αi 是宏观因素的增长值期望为零时该证券的预期收
益；
biF 系统性风险收益，即随整个市场运动变化不确定
性（非预期的）的收益，且变化的敏感度是bi；
εi是与国内生产总值无关因素的作用，是非系统性
风险收益，即只与单个证券相关的非预期事件形成的 非预期收益。是均值为零的随机变量。
11
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2.资本资产定价模型与市场模型
在资本资产定价模型和市场模型中都有一个被称为 ß 值的
斜率，并且这两个模型或多或少地包含了市场，但是它们 之间却有明显的区别： （1） 资本资产定价模型是一个均衡模型，它描述证券的 价格如何确定；市场模型是一个因素模型。 （2） 资本资产定价模型是相对于整个市场组合而言的， 即相对于市场中所有证券的集合。而市场模型是相对于某个 市场指数而言，即基于市场中的一个样本。 （3）虽然从严格意义上讲，资本资产定价模型中的ß 值和 市场模型中的 b值是有区别的，但是在实际操作中，由于我 们不能确切知道市场组合的构成，所以一般用市场指数来代 替，因此我们可以用市场模型中测算的 b值来代替资本资产 定价模型中的ß 值。
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例子：考虑股票A，有αA =2%，bA=1.2，这意味着 股票A的市场模型为：
rA 2% 1.2rI A
因此，如果市场指数回报率为10%，则证券A的回报率预 期为 14% （ =2%+1.2*10% ）。同样，如果市场预期的回 报率为-5%，则证券A的预期回报率为-4%。
第五章 因素模型
任课教师：钟 腾 对外经济贸易大学 金融学院
本章主要问题
1、掌握因素模型是根据收益生成过程通过回 归分析建立的收益和风险关系的资产定价 模型。
2、认识因素模型与资本资产定价模型的关系。 3、了解因素模型是实践中具有操作性的替代 资本资产定价模型的测定风险和收益关系 的模型。
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E (ri ) rf ( E (rM ) rf ) iM
E (ri ) i i E ( F )
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CAPM 可视为一个特殊的单因素模型或特殊的市场 模型，在那里的市场组合收益率 rM实质上就是一个 单因素。以市场组合的收益率的风险补偿来作为宏 观经济指数，于是有： ri－rf ＝αi ＋bi（rm－rf ）＋εi 或者Ri =αi+bi*Rm+εi （实际上这是证券i对市场组合收益的回归方程，其回 归直线就是证券i的特征线）
28ຫໍສະໝຸດ Baidu
r t
r6 1 3 % e 6 3 .0 %
单因素模型相对CAPM是为了解决两个问题，一是提供一种简化地
应用CAPM的方式；二是细分影响总体市场环境变化的宏观因素， 如国民收入、通胀率、利率、能源价格等具体带来风险的因素。
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以回归分析得出单指数或单一因素模型 假设先考虑经济增长对公司股票收益率影响，即只考虑GDP增长
“单指数模型”，将“均值－方差模型”予以简化。他认 为马科维兹的投资组合分析中，方差－协方差矩阵太过复 杂不易计算，因此提出单因素模型。 单因素模型认为证券间的关联性是由于某个共同因素的作 用所致，不同证券对这个共同的因素有不同的敏感度。这 个对所有证券的共同因素就是系统性风险。因素模型正是 抓住了对这个系统因素对证券收益的影响，并用一种线性 关系来表示。 这一因素可能是股票市场指数、国民生产总值、物价指数 或任何对股票收益产生重大影响的因素。经由夏普的模型， 任一股票收益率可由单一的外在指数来决定，这大大简化 了马科维兹资产组合模型的分析工作。
rt = 2.0282GDPt + 3.952+t
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2.单因素模型的一般形式 一般地，单因素模型认为有一个因素 F对证券收 益产生广泛影响，
r ~ i ai bi F i
从方程中我们可以看出，任何一个证券的收益由三部
分构成：
M 20% eA 30% eB 10%
求每个股票的标准差和他们之间的协方差，若将A，B组成等
权重的组合，那么组合的非系统风险是多少？
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单因素模型的两个重要特征
1. 指数模型能够克服马柯维茨模型的庞大
计算量的困难。如果组合里有 n项资产，计 算组合的方差—协方差矩阵需要进行 n(n+1)/2个方差-协方差的测算，但现在只 需要测算n个bi和1个F就可以了。 2. 分散化。非因素风险会随着股票数目的 增加而逐渐被分散掉。
指数（如标准普尔500指数）的收益率相联系，即如果行 情上扬，则很可能该股票价格会上升，市场行情下降，则 该股票很可能下跌。因此，可以用市场模型的方程表示这 一关系：
ri i bi rI i
式中：ri代表某一给定时期证券i的收益率 I代表市场指数 rI代表相同时期市场指数I的收益率 εi是随机误差项
r ~ i ai bi F i
上述方程中证券i的期望收益、方差、协方差分别为:
i2
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单因素模型中表示的系统风险与非系统风险
it
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例
假定股票A与B的指数模型由下列式子估计：
rA 1.0% 0.9rM eA rB 2.0% 1.1rM eB
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2
第一节 单因素模型与多因素模型 第二节 多因素模型
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第一节 单因素模型
为什么要引入因素模型？ 资本资产定价模型存在的问题： 1. 无法实际地计算有风险的市场组合 2. 一个资产组合选择规则的成功取决于所运用 数据的质量，即证券期望收益与协方差矩阵 的估计质量。如果证券人员要分析50种股票， 则需要进行的计算是什么？若n=100。需要估 计多少数据？
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双因素模型在t时期的方程式为：
rit ai bi1F1t bi 2F2t it
F1和F2是两个对证券回报率具有普遍影响的因素， bi1和bi2分别是证券i对两个因素的敏感性。同单因素 模型一样，εit是随机误差项，ai是当两个因素都取 值为0时证券i的预期回报率。 在双因素模型中，我们需要为每种证券估计4个参数： αi, bi1, bi2以及随机误差的标准差εit。对每个因 素，需要估计两个参数：因素的预期值以及因素的 方差。此外还要估计两个因素的协方差cov(F1, F2)。
注意：由于随机误差项的存在（表示证券回报率中没有被市 场模型所完全解释的部分），当市场指数上升 10% 或下降 5%时，证券A的回报率将不会准确地为14%或-4%。即，实 际回报率和所给定市场指数回报率之间的差额将归结于随机 误差项的影响。
三 资本资产定价模型与因素模型 的关系
1.资本资产定价模型与因素模型 资本资产定价模型实际上是一种特殊的单因素 模型，但资本资产定价模型是一个资产定价的均 衡模型，而因素模型却不是。例如，比较分别由 资本资产定价模型和因素模型得到的证券的预期 收益率：
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二、市场模型(Market Model)
在实际应用过程中常用市场指数来作为影
响证券价格的单因素，此时的单因素模型 被称为市场模型。市场模型实际上是单因 素模型的一个特例。
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假设一种股票在某一特定时期内的收益率与同一时期市场
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二、多因素模型（Multi-factor models）
与单因素模型不同，当考虑多个因素对证券收益
率的影响时，则产生多因素模型，多因素模型更 加清晰明确解释了系统风险，从而有可能展示不 同的股票对不同的因素有不同的敏感性，这可能 会使精确性得以提高。作为多因素模型的一个例 子，我们考虑一个双因素模型，这意味着假设收 益率生成过程中包含有两个因素。 多因素模型的缺陷：并没有明确宏观因素具体是 哪些因素
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第二节、多因素模型
一、多因素模型的经验基础 二、多因素模型
一、多因素模型的经验基础
经济状况影响着大部分企业，因而对经济前景的预
期的变化被认为对绝大部分证券的收益率产生深刻 影响。然而经济并不是一个简单、统一的实体，因 而我们需要确认一些具有广泛作用的共同影响力， 比如：1.国内生产总值； 2.利率水平； 3.通货膨胀率； 4.石油价格水平。 多因素模型对现实的近似程度更高。这一简化形式 使得证券组合理论广泛应用于实际成为可能，尤其 是20世纪70年代以来计算机的发展和普及以及软件 的成套化和市场化，极大地促进了现代证券组合理 论在实践中的应用。
1.单因素模型的定义
单因素模型是描述证券收益率生成过程的一种模型，往往以指数
形式出现。
因素模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视点
一元或者多元统计分析，以一个或者多个变量来解释证券的收益，
从而比仅仅以市场来解释证券的收益更准确。
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年份
GDP增长率
通货膨胀率
A股票回报率
1 2 3 4 5 6
5.7% 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9
1.1% 4.4 4.4 4.6 6.1 3.1
14.3% 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
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为了阐明图中所反映的数量关系，我们使
用一元回归分析的统计技术做一条直线来 拟合图中的点。图中这条直线的回归方程 则为
r = 2.0282GDP+ 3.952
任一给定证券的实际回报率由于含有非因
素回报率的缘故而位于拟合直线的上方或 下方。因此对例中的单因素模型多反映的 关系的完整描述为：
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双因素模型的主要特征
1. 跟单因素模型一样，一旦利用前面那些方程计算
出预期回报率、方差和协方差后，投资者便可以使 用最优化来导出弯曲的马氏有效集。继而，对于一 个给定的无风险利率，可以确定出切点组合，在此 基础上，投资者可以确定他的最佳组合。此时，计 算方差-协方差矩阵需要估计多少参数？ 2.分散化 对于一个充分分散化的组合，非因素风险将变得不 显著。 同单因素模型一样，在双因素模型中，一个组合对 某一因素的敏感性是对所含证券的敏感性的加权平 均，权数为投资于各证券的比例
率对风险补偿的影响
历史数据库
年
1 2 3 4 5 6
GDP增长率 （% ）
5.7 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9
证券收益率 （%）
14.3 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
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这一关系也可用下面的图形表示
ri · · ·
注 两个重要的假设
1.随机误差εi与因素F不相关，这意味着因
素的结果对随机误差的结果没有任何影响。 2. 任意两种证券的随机误差之间不相关。 这意味着一种证券的随机误差结果对任意 其他证券的随机误差结果不产生任何影响。 换句话说，两种证券的回报率仅仅通过对 因素的共同反应而相关联。
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3. 证券市场线只考虑了由风险市场组合的预 期收益率对证券或证券组合预期收益率的 影响，即把市场风险全部集中的体现在一 个因素里，而影响总体市场环境变化的宏 观因素很多。
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威廉.夏普（Sharpe）继马科维兹之后于1963年提出了
αi 是宏观因素的增长值期望为零时该证券的预期收
益；
biF 系统性风险收益，即随整个市场运动变化不确定
性（非预期的）的收益，且变化的敏感度是bi；
εi是与国内生产总值无关因素的作用，是非系统性
风险收益，即只与单个证券相关的非预期事件形成的 非预期收益。是均值为零的随机变量。
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2.资本资产定价模型与市场模型
在资本资产定价模型和市场模型中都有一个被称为 ß 值的
斜率，并且这两个模型或多或少地包含了市场，但是它们 之间却有明显的区别： （1） 资本资产定价模型是一个均衡模型，它描述证券的 价格如何确定；市场模型是一个因素模型。 （2） 资本资产定价模型是相对于整个市场组合而言的， 即相对于市场中所有证券的集合。而市场模型是相对于某个 市场指数而言，即基于市场中的一个样本。 （3）虽然从严格意义上讲，资本资产定价模型中的ß 值和 市场模型中的 b值是有区别的，但是在实际操作中，由于我 们不能确切知道市场组合的构成，所以一般用市场指数来代 替，因此我们可以用市场模型中测算的 b值来代替资本资产 定价模型中的ß 值。
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例子：考虑股票A，有αA =2%，bA=1.2，这意味着 股票A的市场模型为：
rA 2% 1.2rI A
因此，如果市场指数回报率为10%，则证券A的回报率预 期为 14% （ =2%+1.2*10% ）。同样，如果市场预期的回 报率为-5%，则证券A的预期回报率为-4%。
第五章 因素模型
任课教师：钟 腾 对外经济贸易大学 金融学院
本章主要问题
1、掌握因素模型是根据收益生成过程通过回 归分析建立的收益和风险关系的资产定价 模型。
2、认识因素模型与资本资产定价模型的关系。 3、了解因素模型是实践中具有操作性的替代 资本资产定价模型的测定风险和收益关系 的模型。
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E (ri ) rf ( E (rM ) rf ) iM
E (ri ) i i E ( F )
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CAPM 可视为一个特殊的单因素模型或特殊的市场 模型，在那里的市场组合收益率 rM实质上就是一个 单因素。以市场组合的收益率的风险补偿来作为宏 观经济指数，于是有： ri－rf ＝αi ＋bi（rm－rf ）＋εi 或者Ri =αi+bi*Rm+εi （实际上这是证券i对市场组合收益的回归方程，其回 归直线就是证券i的特征线）
28ຫໍສະໝຸດ Baidu
r t
r6 1 3 % e 6 3 .0 %
单因素模型相对CAPM是为了解决两个问题，一是提供一种简化地
应用CAPM的方式；二是细分影响总体市场环境变化的宏观因素， 如国民收入、通胀率、利率、能源价格等具体带来风险的因素。
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以回归分析得出单指数或单一因素模型 假设先考虑经济增长对公司股票收益率影响，即只考虑GDP增长
“单指数模型”，将“均值－方差模型”予以简化。他认 为马科维兹的投资组合分析中，方差－协方差矩阵太过复 杂不易计算，因此提出单因素模型。 单因素模型认为证券间的关联性是由于某个共同因素的作 用所致，不同证券对这个共同的因素有不同的敏感度。这 个对所有证券的共同因素就是系统性风险。因素模型正是 抓住了对这个系统因素对证券收益的影响，并用一种线性 关系来表示。 这一因素可能是股票市场指数、国民生产总值、物价指数 或任何对股票收益产生重大影响的因素。经由夏普的模型， 任一股票收益率可由单一的外在指数来决定，这大大简化 了马科维兹资产组合模型的分析工作。
rt = 2.0282GDPt + 3.952+t
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2.单因素模型的一般形式 一般地，单因素模型认为有一个因素 F对证券收 益产生广泛影响，
r ~ i ai bi F i
从方程中我们可以看出，任何一个证券的收益由三部
分构成：
M 20% eA 30% eB 10%
求每个股票的标准差和他们之间的协方差，若将A，B组成等
权重的组合，那么组合的非系统风险是多少？
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单因素模型的两个重要特征
1. 指数模型能够克服马柯维茨模型的庞大
计算量的困难。如果组合里有 n项资产，计 算组合的方差—协方差矩阵需要进行 n(n+1)/2个方差-协方差的测算，但现在只 需要测算n个bi和1个F就可以了。 2. 分散化。非因素风险会随着股票数目的 增加而逐渐被分散掉。
指数（如标准普尔500指数）的收益率相联系，即如果行 情上扬，则很可能该股票价格会上升，市场行情下降，则 该股票很可能下跌。因此，可以用市场模型的方程表示这 一关系：
ri i bi rI i
式中：ri代表某一给定时期证券i的收益率 I代表市场指数 rI代表相同时期市场指数I的收益率 εi是随机误差项
r ~ i ai bi F i
上述方程中证券i的期望收益、方差、协方差分别为:
i2
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单因素模型中表示的系统风险与非系统风险
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例
假定股票A与B的指数模型由下列式子估计：
rA 1.0% 0.9rM eA rB 2.0% 1.1rM eB
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2
第一节 单因素模型与多因素模型 第二节 多因素模型
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第一节 单因素模型
为什么要引入因素模型？ 资本资产定价模型存在的问题： 1. 无法实际地计算有风险的市场组合 2. 一个资产组合选择规则的成功取决于所运用 数据的质量，即证券期望收益与协方差矩阵 的估计质量。如果证券人员要分析50种股票， 则需要进行的计算是什么？若n=100。需要估 计多少数据？
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双因素模型在t时期的方程式为：
rit ai bi1F1t bi 2F2t it
F1和F2是两个对证券回报率具有普遍影响的因素， bi1和bi2分别是证券i对两个因素的敏感性。同单因素 模型一样，εit是随机误差项，ai是当两个因素都取 值为0时证券i的预期回报率。 在双因素模型中，我们需要为每种证券估计4个参数： αi, bi1, bi2以及随机误差的标准差εit。对每个因 素，需要估计两个参数：因素的预期值以及因素的 方差。此外还要估计两个因素的协方差cov(F1, F2)。
注意：由于随机误差项的存在（表示证券回报率中没有被市 场模型所完全解释的部分），当市场指数上升 10% 或下降 5%时，证券A的回报率将不会准确地为14%或-4%。即，实 际回报率和所给定市场指数回报率之间的差额将归结于随机 误差项的影响。
三 资本资产定价模型与因素模型 的关系
1.资本资产定价模型与因素模型 资本资产定价模型实际上是一种特殊的单因素 模型，但资本资产定价模型是一个资产定价的均 衡模型，而因素模型却不是。例如，比较分别由 资本资产定价模型和因素模型得到的证券的预期 收益率：
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二、市场模型(Market Model)
在实际应用过程中常用市场指数来作为影
响证券价格的单因素，此时的单因素模型 被称为市场模型。市场模型实际上是单因 素模型的一个特例。
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假设一种股票在某一特定时期内的收益率与同一时期市场
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二、多因素模型（Multi-factor models）
与单因素模型不同，当考虑多个因素对证券收益
率的影响时，则产生多因素模型，多因素模型更 加清晰明确解释了系统风险，从而有可能展示不 同的股票对不同的因素有不同的敏感性，这可能 会使精确性得以提高。作为多因素模型的一个例 子，我们考虑一个双因素模型，这意味着假设收 益率生成过程中包含有两个因素。 多因素模型的缺陷：并没有明确宏观因素具体是 哪些因素
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第二节、多因素模型
一、多因素模型的经验基础 二、多因素模型
一、多因素模型的经验基础
经济状况影响着大部分企业，因而对经济前景的预
期的变化被认为对绝大部分证券的收益率产生深刻 影响。然而经济并不是一个简单、统一的实体，因 而我们需要确认一些具有广泛作用的共同影响力， 比如：1.国内生产总值； 2.利率水平； 3.通货膨胀率； 4.石油价格水平。 多因素模型对现实的近似程度更高。这一简化形式 使得证券组合理论广泛应用于实际成为可能，尤其 是20世纪70年代以来计算机的发展和普及以及软件 的成套化和市场化，极大地促进了现代证券组合理 论在实践中的应用。