线性代数 矩阵及其运算

对称矩阵的元素以主对角线为轴对称。
作 业
习题A 习题A 第48页 48页
1、2、3、4、5、14
§2
逆矩阵
数的除法运算是乘法运算的逆运算, 且有: b÷a=b×a-1, a×a-1=a-1×a= 1 1×a=a×1=a 对矩阵的乘法我们也有: Am×nEn= Am×n , EmAm×n= Am×n 所以, 当A是n阶方阵时我们有: AnEn= EnAn= An 可见, 对n阶方阵来说, n阶单位矩阵En在乘法运算中 E 的作用和1在数的乘法中的作用是一致的. 由于矩阵乘法运算不满足交换律, 定义矩阵除法是困 难的, 为对应矩阵乘法运算的逆运算引进逆矩阵的概念.
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵,记为:
a11 a 21 A= ... a m1 a12 a 22 ... am 2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn
组成矩阵的这m×n个数称为矩阵A的元素, aij称为矩阵A的 A A 第i行第j列元素, 矩阵A也简记为(aij)或(aij) m×n或A m×n 。 A A 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素为复数的矩阵称 实矩阵, 实矩阵 为复矩阵 复矩阵，本课除特殊说明外都讨论实矩阵。 复矩阵 下面介绍矩阵的基本关系及运算 一、相等 设有两个矩阵A=(aij)m×n, B=(bij)s×t, 如果m=s, n=t, A aij=bij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n), 则称矩阵A与B相等, 记为 A B A=B. B 两个矩阵相等, 是指两个矩阵完全一样, 即阶数相同 而且对应的元素完全相等.
n阶单位矩阵也可表示为: En=(δij)n, 其中
1, δ ij = 0, i = j, i ≠ j.
单位矩阵具有性质：Am×nEn= Am×n , ：
EmAm×n= Am×n
设A为方阵, 定义A的幂为: A0=E, 是非负整数) （ⅰ）Ak Al =Ak+l （ⅱ）(Ak)l=Akl （ⅲ）AB=BA时有: (AB)k=AkBk = 注意: (AB)k=AkBk时, 不一定有AB=BA. =
10 −1 3 = 22 −1 6
注意: 这里BA无意义.
例3 设矩阵
A = ( ai1 ai 2 ... ain ) , b1 j b2 j B= ... b nj
求AB BA. AB和BA. AB 解
AB = ∑ aik bkj
例2 设
1 2Fra Baidu bibliotek3 A= , 4 5 6
求AB. 解
1 0 −1 B = 0 1 2 3 −1 0
1×0+2×1+3× −1) 1× −1) + 2×2 +3×0 1× 1) +2×2+3×0 − 1×1+2×0+3×3 1×0+2×1+3×((−1) 1×(((−1)+2×2+3×0 AB= ( × 4×1+5×0+6×3 4×0+5×1+6×(−1) 4×−1) +5 2+6×0
矩阵的乘法满足下列运算规律(设运算都是可行的)： （ⅰ）结合律：(AB)C= A(BC) ; (AB)C= A(BC) (AB) （ ⅱ ）分配律：A(B+C)= AB+AC ; AB C AC (B+C)A= BA+CA; B+C A BA CA; B+ （ ⅲ ）数的结合律：k(AB =(kA)B=A kB); AB)= A B=A B B=A( AB 五 矩阵的转置 设矩阵A=(aij)m×n, 则矩阵B=(bij)n×m(其中bij =aji , A B i=1,2,…,n, j=1,2,…,m) 称为A的转置, 记作B=AT,或A′, 即 A B A
第二章
矩
阵
§1 矩阵的概念及其基本运算 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，在线性代数 定义2.1 定义2.1 由m×n个数aij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)组成 中起着极其重要的作用，本章将引进矩阵的概念，并讨论
的m行n列的数表 矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算。重点是逆矩阵
a11 a12 ... a1n 的计算和矩阵方程的求解。 a 21 a22 ... a2 n ... ... ... ... a m1 a m 2 ... a mn
a11 A= a22 ⋱ ann
对角矩阵也常记为: A=diag(a11, a22,…, ann) 对角线元素全是1的对角矩阵称为单位矩阵, 记为E(或 E I). n阶单位矩阵也记为En(或In), 即 E
1 1 E=I= ⋱ 1
a11 a21 ... am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n b11 b12 b ... a2 n 21 b22 ... ... ... ... ... amn bn1 bn 2 ... b1 p c11 c12 ... b2 p c21 c22 = ... ... ... ... ... bnp cm1 cm 2
数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B是同阶矩阵) A （ⅰ）1A= A A= （ ⅱ ）结合律：(kl)A= A) A=k(l A= （ ⅲ ）数的分配律： (k+l) A= A+lA A=kA A （ ⅳ ）矩阵的分配律： k(A+B =kA+kB. A+B)= A B. A+B
四、乘法 设矩阵A=(aij)m×n, B=(bij)n×p, 则矩阵C=(cij)m×p (其 A C 中cij =∑aikbkj , i=1,2,…,m, j=1,2,…,p) 称为A与B的乘积, A B 记作C=AB 即 C AB AB.
0 1 0 0 A= , B = 0 0 0 1
A1=A， A2= A1 A1 ，…, Ak+1=AkA1
矩阵的幂满足以下运算规律(设A与B是同阶方阵, k和l A B
如
有 (AB)k=AkBk (k=0,1,2,…), 但AB≠BA. ≠
设A= ij)n是n阶方阵, 则n阶行列式|aij|n称为A的行 A=(a A= A 列式, 记为detA(或|A|), 即detA=|A|=|aij|n. 方阵的行列式满足以下运算规律(设A与B是n阶方阵, k A B 是常数) （ⅰ）det(AT) =detA （ⅱ）det(kA) =kndetA （ⅲ）det (AB)=detA·detB =
可见, 引进逆矩阵的概念就解决了矩阵乘法逆运算的问题. 但由于矩阵乘法不满足交换律, 所以CA-1≠A-1C, 若引 CA A 入“左除”,“右除”的概念很乱, 所以逆矩阵解决了这一 问题.
二、加法 设A=(aij)m×n, B=(bij)m×n, 则矩阵C=(cij)m×n (其中cij A =aij+bij , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) 称为A与B的和记作A+B A+B. A B A+B 即
a11 + b11 a21 + b21 A+B = ... a + b m1 m1 a12 + b12 a 22 + b22 ... a m 2 + bm 2 a1n + b1n ... a2 n + b2 n ... ... ... amn + bmn ...
注意:只有两个矩阵阶数相同时才能相加. 例1 设
1 2 3 1 0 2 A= , B = , 4 5 6 −1 3 0
2 2 5 则 A+ B = 3 8 6
元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记为0. 注意:阶数不同 的零矩阵是不同的. 设A=(aij)m×n, 称矩阵(−aij)m×n为A的负矩阵, 记− A. A A 定义两个矩阵的减法为: B−A=B+(− A). A B 矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C是同阶矩阵): A (ⅰ)交换律：A+B=B+A A+B=B+A (ⅱ) 结合律: (A+B C=A+(B+C) A+B)+C A B C A+B (ⅲ) A+0 A A+0=A (ⅳ) A+(− A)=0 0
矩阵的转置满足下列运算规律(设运算都是可行的)： （ⅰ）(AT)T=A ； （ⅱ）(A+B)T=AT+BT ； （ⅲ）(kA)T=kAT ； （ⅳ）(AB)T=BTAT ； 行数和列数相等的矩阵称为方阵. n×n阶矩阵称为n阶 方阵. 和行列式相同, 主对角线以外的元素全是零的方阵也 称为对角矩阵. 即
例4 求矩阵
4 −8 A= , −2 4 1 2 B= 2 4
求AB BA AB和BA AB BA。 解
−12 −24 AB = 12 6
0 0 BA = 0 0
由例题可见，即使AB BA AB与BA AB BA都是2阶方阵, 但它们还是 可以不相等。所以，在一般情况下AB BA 另外，虽然 AB≠BA AB BA。 A≠O，B≠O，但是BA=O。从而，由AB=O，不能推出 A和B中有一个是零矩阵的结论。而若A≠O，由AX=AY B 也不能得到X=Y的结论。
定义2.2 定义2.2 对n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使 A B AB=BA BA=E AB BA E 则称方阵A是可逆的，且称B是A的逆矩阵，记为B=A－1。 A B A B A 可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵. 显然单位矩阵E是可逆的, 且E-1=E, 但零矩阵不可逆。 E E 若矩阵A, B, C A, C都是n阶方阵, 且A是可逆矩阵，则 A 由 由 BA=C AB=C 可得 CA-1=B B 可得 A-1C=B B
称满足条件A=AT的矩阵A为对称矩阵. 显然对称矩阵 是方阵. 设A=(aij)n, 则A是对称矩阵⇔aij=aji , 即
a11 a12 A= ... a1n a12 a22 ... a2 n ... a1n ... a2 n ... ... ... ann
n
... c1 p ... c2 p ... ... ... cmp
其中
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ain bnj = ∑ aik bkj
k =1
注意: 矩阵A, B能够乘积的条件是矩阵A的列数等于矩阵B A, B A B 的行数, 且乘积矩阵与A行数相同, 与B列数相同. A B
a11 a21 A= ... am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n ... a2 n ... ... ... amn a11 T a12 A = ... a1n a21 a22 ... a2 n ... am1 ... am 2 ... ... ... amn
三、数乘法 设k为数, A=(aij)m×n为矩阵, 则矩阵(kcij)m×n (其中cij 称为k与B的乘积记作kA或Ak. 即 B A A
ka11 ka21 kA = Ak = ... kam1 ka12 ka22 ... kam 2 ... ka1n ... ka2 n ... ... ... kamn
k =1 n
b1 j ai1 b1 j ai 2 b2 j ai1 b2 j ai 2 , BA = ⋮ ⋮ b a nj i1 bnj ai 2
⋯ b1 j ain ⋯ b2 j ain ⋱ ⋮ ⋯ bnj ain
可见，若C=AB, 则乘积矩阵C的第i行第j列元素cij就是 C A的第i行和B的第j列的乘积。 B