第十讲阅读理解问题含答案

【解析】 （ 1）如图，将 △ BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得 △ BP′Ａ，则 △ BPC≌△ BP′Ａ．
∴ AP′=PC=1， BP=BP′＝ 2 ．
连结 P P′， 在 Rt△BP′Ｐ中，
∵ BP=BP′＝ 2 ，∠ PBP′=90°，
∴ P P′2＝， ∠ BP′P=45°．
在 △AP′Ｐ中， AP′=1，P P′=，2 AP= 5 ， ∵ 12 22 ( 5) 2 ，即 AP′2 + PP′2 = AP2 ．
往往浪费大量时间也没有思路， 得不
偿失。所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键，让我们先看以下的例题。
【例 1】 2010 ，朝阳，一模 请阅读下列材料
问题： 如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA=2 ， PB= 3 ， PC=1．求 ∠ BPC
度数的大小和等边三角形 ABC 的边长． 李明同学的思路是： 将△ BPC 绕点 B 顺时针旋转 60°，画出旋转后的图形 （如图 2）．连
∵ AB
b2 4ac a
又∵ CD
b2 4ac ，
4a
∵a 0，
∴ b 2 4ac b2 4ac 2
∴ b 2 4ac
b2
2
4ac （看成一个整体）
4
∴ b2 4ac
b2
2
4ac
4
∴ b2 4ac 4 …
⑵当 △ ABC 为等边三角形时， b2 4ac 12 ⑶∵ ACB 90 ，
∴ b2 4ac 4 ．
接 PP′，可得 △ P′ＰB 是等边三角形， 而 △ PP′Ａ又是直角三角形 （由勾股定理的逆定理可证） ．所
以∠ AP′C=150°，而 ∠BPC= ∠ AP′C=150°．进而求出等边 △ ABC 的边长为 7 ．问题得到解
决． 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图
3，在正方形 ABCD 内有一点
根与系数关系定理我们又可以得到 A 、 B 两个交点间的距离为：
AB x1 x2
( x1 x2) 2 4 x1x2
( b )2 4c aa
b 2 4ac a2
b2 4ac .
a
请你参考以上定理和结论，解答下列问题 :
设二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象与 x 轴的两个交点为 A( x1 ,0), B( x2 ,0) ，抛物线
于是将
2
b
4ac 作为一个整体 ,列出方程求解 .第二问也是一样
,把握等边三角形底边与中线的
比例关系即可 .第三问则可以直接利用第一问求得的
2
b
4ac 值求出 K, 然后设出平移后的解
析式 ,使其满足第二问的结果即可 .注意左右平移是不会改变度数的，只需上下即可。
【解析】． ⑴ 解：当 △ ABC 为等腰直角三角形时，过 C 作 CD AB ，垂足为 D ， 则 AB 2CD ∵抛物线与 x 轴有两个交点， ∴ △ 0 ，（不要忘记这一步的论证） ∴ b2 4ac b2 4ac
即 k2 4 4，
∴k 2 2
因为向左或向右平移时， ACB 的度数不变，
所有只需要将抛物线 y x2 2 2 x 1 向上或向下平移使 ACB 60 ，
然后向左或向右平移任意个x2 2 2x 1 m ，
∵平移后 ACB 60 ， ∴ b2 4ac 12 ， ∴m 2． ∴ 抛物线 y x2 kx 1 向下平移 2 个单位后，向左或向右平移任意个单 位都能使 ACB 的度数由 90 变为 60 【例 3】 2010 ，房山，一模 阅读下列材料：
【例 2】 2010 ，大兴，一模
若 x1, x2 是关于 x 的一元二次方程
2
ax bx c 0( a 0) 的两个根，则方程的两个根
x1, x2 和系数 a, b,c 有如下关系： x1 x2
b ,
a
定理 .
c x1 x2 . 我们把它们称为根与系数关系
a
如果设二次函数 y ax2 bx c( a 0) 的图象与 x 轴的两个交点为 A( x1 ,0), B( x2 ,0) .利用
中考数学重难点专题讲座
第十讲 阅读理解题专题
【前言】
新课标以来中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。不
同以往的单纯“给条件” to“求结果”式的题目，阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一
个超纲的知识， 或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。对于这种题来说，
如果
考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，
P，且 PA= 5 ， BP= 2 ，PC=1．求 ∠ BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边长．
图1
图2
图3
【思路分析】首先仔细阅读材料，问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角
度将已知条件放在同一个（组）图形中进行研究。旋转
60 度以后 BP 就成了 BP`,PC 成了
P`A, 借助等量关系 BP`=PP`,于是△ APP`就可以计算了 .至于说为什么是 60° ,则完全是因为 大图形是等边三角形 ,需要用 60 度去构造另一个等边三角形。看完这个，再看所求的问题， 几乎是一个一模一样的问题， 只不过大图形由三角形变成了正方形。 那么根据题中所给的思 路，很自然就会想到将△ BPC 旋转 90 度看看行不行。 旋转 90 度之后， 成功将 PC 挪了出来， 于是很自然做 AP` 延长线，构造出一个直角三角形来，于是问题得解。说实话如果完全不看 材料， 在正方形内做辅助线， 当成一道普通的线段角计算问题也是可以算的。 但是借助材料 中已经给出的旋转方法做这道题会非常简单快捷。 大家可以从本题中体会一下领会材料分析 方法的重要性所在。
∴ △AP′Ｐ是直角三角形，即 ∠A P′P=90°． ∴ ∠AP′B=135°． ∴ ∠BPC= ∠ AP′B=135°． … （ 2）过点 B 作 BE ⊥ AP′ 交 AP′ 的延长线于点 E． ∴ ∠EP′B =45°.∴ EP′=BE=1. ∴ AE=2.
∴ 在 Rt△ ABE 中，由勾股定理，得 AB= 5 ． ∴ ∠BPC=13°5 ，正方形边长为 5 ．
【思路分析】本题也是较为常见的类型，即先给出一个定理或结论，然后利用它们去
解决一些问题。题干中给出抛物线与 X 轴的两交点之间的距离和表达式系数的关系 ,那么第
一问要求
2
b
4ac 取何值时△ ABC 为等腰直角三角形
.于是我们可以想到直角三角形的性质
就是斜边中线等于斜边长的一半 .斜边中线就是顶点的纵坐标 ,而斜边恰好就是两交点的距离 .
的顶点为 C ，显然 ABC 为等腰三角形 .
（ 1）当 ABC 为等腰直角三角形时，求 b2 4ac的值 ;
（ 2）当 ABC 为等边三角形时， b2 4ac
.
（ 3）设抛物线 y
2
x
kx 1 与 x 轴的两个交点为
A 、 B ，顶点为 C ，且
ACB
90 ,
试问如何平移此抛物线，才能使
ACB 60 ？