整式的乘除知识点及题型复习11671精编版
整式的乘除知识点及题型复习
整式的乘除知识点及题型复习整式是数学中一个重要的概念，它是由常数和变量通过加法、减法和乘法相连接得到的表达式。
在代数学习中，乘法和除法是我们需要掌握和熟练运用的基本运算。
在本篇文章中，我们将复习整式的乘除知识点，并通过一些典型题型来巩固对这些知识的理解和应用。
首先，我们来回顾一下整式的基本概念。
整式由常数项、一次项、二次项等组成，例如3x^2 + 2xy - 5。
其中，3x^2是二次项，2xy 是一次项，-5是常数项。
乘法是整式中最常见的运算之一，下面让我们来看一些乘法的知识点。
1. 乘法法则：a) 常数的乘法：常数与整式相乘，只需将常数与整式中的每一项相乘即可。
例如：2 * (3x^2 + 2xy - 5)= 6x^2 + 4xy - 10b) 变量的乘法：变量与整式中的每一项相乘时，注意指数相加。
例如：x * (3x^2 + 2xy - 5)= 3x^3 + 2x^2y - 5xc) 整式之间的乘法：将整式中的每一项与另一个整式中的每一项相乘，然后将结果相加。
例如：(3x^2 + 2xy) * (4x + 2y)= 12x^3 + 6x^2y + 8xy^2 + 4y2. 乘法题型复习：a) 计算乘法表达式：计算给定的乘法表达式的值。
例如：计算表达式3x^2y * 2xy的值。
解答：3x^2y * 2xy = 6x^3y^2b) 多项式乘法：将两个多项式相乘。
例如：根据乘法法则，计算(2x + 3y) * (3x - 4y)的值。
解答：(2x + 3y) * (3x - 4y) = 6x^2 - 8xy + 9xy - 12y^2= 6x^2 + xy - 12y^2现在，让我们转向整式的除法知识点。
除法是整式中另一个重要的运算，下面是一些我们需要了解的知识点。
1. 除法法则：a) 普通除法：将除数的每一项与被除数的每一项进行相除，然后整理得到商和余数。
例如：(6x^3 + 4x^2 - 2x) ÷ (2x)= 3x^2 + 2x - 1b) 二项式除法：使用二项式长除法的方法，将除数的第一项与被除数的第一项进行相除，然后再将所得商乘以除数，得到一个中间结果，接着用这个中间结果去减除数的乘积，得到一次项。
第02讲 整式的乘除法(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第02讲整式的乘除法1.掌握单项式乘（或除以）单项式，多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算．2.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算。
知识点1：单项式乘单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．知识点2：单项式乘多项式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．知识点3：多项式乘多项式多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．知识点4：单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．知识点5：多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【题型1单项式乘单项式】【典例1】（2023春•青龙县期末）计算2x2y•xy2的结果是．【变式1-1】（2023•长岭县模拟）计算（2x）2（﹣3xy2）＝．【变式1-2】（2023春•永定区期末）计算：2（a2）3•（﹣3a2b）＝．【变式1-3】（2023春•新城区校级期末）＝．【题型2单项式乘多项式】【典例2】（2023春•秦都区期中）计算：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）．【变式2-1】（2023春•青秀区期中）化简：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）．【变式2-2】（2022春•槐荫区期末）计算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．【变式2-3】（2022春•平桂区期中）计算：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）．【题型3多项式乘多项式】【典例3】（2022秋•惠阳区校级月考）计算：（1）（x﹣3）（x2+4）；（2）（3x2﹣y）（x+2y）．【变式3-1】（2022秋•兴城市期末）计算：（2a﹣3b）（2a2+6ab+5b2）．【变式3-2】（2022秋•南宫市期末）计算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x2．【变式3-3】（2023春•沙坪坝区校级期末）计算：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）．（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．【题型4多项式乘多项式-不存在某项问题】【典例4】（2023春•昭平县期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是﹣6．（1）求m，n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式4-1】（2023春•巨野县期末）（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式4-2】（2023春•温江区校级期中）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x项，x2项的系数为﹣1，求n m的值．【变式4-3】（2023春•茶陵县期中）若的积中不含x项与x2项．（1）求p、q的值；（2）求代数式p2022q2023的值．【题型5多项式乘多项式的实际应用】【典例5】（2022秋•松原期末）如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．【变式5-1】（2023春•绥德县期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．【变式5-2】（2022秋•晋江市期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别记为S1，S2．（1）请通过计算比较S1与S2的大小；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长的和，设该正方形的面积为S3，试说明代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数．【变式5-3】（2023春•张店区期中）某学校准备在一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形空地上修建一块长为（a+2b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），（1）求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）（2）若a＝3，b＝4，铺设地砖的成本为50元/平方米，则完成铺设地砖需要多少元？【典例6】（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【变式6-1】（2023春•龙泉驿区期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．（1）小李同学拼成一个宽为（a+b），长为（a+2b）的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2（答案直接填写到横线上）；（2）如果用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张；（3）利用上述方法，画出面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）．【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式：．（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．【题型6单项式除法运算】【典例7】（2023•青岛）计算：8x3y÷（2x）2＝．【变式7-1】（2022秋•柳州期末）计算4x2y÷2xy＝【变式7-2】（2023春•威宁县期末）计算：﹣28a3÷7a＝．【变式7-3】（2023秋•鲤城区校级月考）计算：6a2b÷2ab＝．【变式7-4】（2023•城阳区三模）＝．【题型7多项式除法运算】【典例8】（2023•丰城市校级开学）先化简，再求值：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，其中a＝﹣1．【变式8-1】（2023春•济南期中）计算：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab．【变式8-2】（2023春•莲湖区期中）计算：（15x4y2﹣12x2y3﹣3x2）÷（﹣3x2）．【变式8-3】（2023春•西安月考）计算：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）．1．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（）A．6B．7C．8D．9 2．（2023•金昌）计算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2B．a2C．a2+2a D．a2﹣2a 3．（2021•兰州）计算：2a（a2+2b）＝（）A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab 4．（2020•兰州）化简：a（a﹣2）+4a＝（）A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣2 5．（2021•凉山州）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴M•N＝a m•a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M•N）．又∵m+n＝log a M+log a N，∴log a（M•N）＝log a M+log a N．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；（2）求证：log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．1．（2023春•市南区校级期中）小明有足够多的如图所示的正方形卡片A，B和长方形卡片C，如果他要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，共需要C类卡片（）A．3张B．4张C．5张D．6张2．（2022秋•新抚区期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b 3．（2023春•裕华区期中）化简x（x﹣2）+4x的结果是（）A．x2+6x B．x2﹣2x C．x2﹣6x D．x2+2x 4．（2023春•平湖市期中）计算（a+3b）（a+2b）的结果是（）A．a2+5ab+5b2B．a2+5ab+6b2C．a2+5b2D．a2+6b2 5．（2023春•临清市期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝3q B．p+3q＝0C．q+3p＝0D．q＝3p 6．（2023春•承德县期末）若（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，则m，n的值分别是（）A．4，﹣3B．﹣7，4C．﹣5，18D．4，7 7．（2023春•包河区期中）若关于x的多项式（x2+ax）（x﹣2）展开合并后不含x2项，则a的值是（）A．2B．C．0D．﹣2 8．（2023春•漳浦县期中）已知（x﹣1）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m+n的值为（）A．﹣1B．﹣5C．5D．1 9．（2023春•潍坊期中）计算下列各题：（1）x2•（﹣2xy2）3；（2）（2m+1）•．10．（2022秋•河北区期末）计算：（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3；（2）（2x+1）（x﹣2）．11．（2022秋•天河区期末）计算：（2x+1）（x﹣3）12．（2022春•临湘市校级月考）计算：（1）（﹣2a2b）3+8（a2）2•（﹣a2）•（﹣b）3；（2）（x﹣1）（x2+x+1）．13．（2022秋•昌吉市校级期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）试用含a、b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若a＝10，b＝8，且每平方米造价为100元，求出绿化需要多少费用？14．（2022秋•衡南县期中）若（x2+mx）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值．15．（2022春•揭东区期末）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．（1）通道的面积共有多少平方米？（2）剩余草坪的面积是多少平方米？（3）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？16．（2023•桃城区校级模拟）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．（1）填空：S1﹣S2＝（用含m的代数式表示）；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；②设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．。
整式的乘除总复习精编版
第一章 整式的乘除总复习一、同底数幂的乘法:①m n m n a a a +⋅=——同底数幂的乘法②2m m m a a a +=——同类项闯关1：（1）76(3)(3)-⨯-= （2）35x x -=（3）3()()m c c -⨯-= （4）11m m x x -+=（5）55x x += （6）55x x = 闯关2：已知2,3m n a a ==，求m n a +和32m n a +的值（给出计算过程）.二、幂的乘方与积的乘方：①()m n mn a a =——幂的乘方②()n n n ab a b =——积的乘方闯关1：（1）3()n a = （2）2()m x -=（3）23()y y ⋅= （4）26342()()a a -=（5）4()p p -⋅-= （6）2()m t t = 闯关2：（1）2(3)x = （2）5(2b)-=（3）2(3)n a = （4）32(4)a a a -+-⋅=（5）326()()n n xy xy += （6）3223(3)[(2)]x x --=闯关3：（学会逆用）（1）2015201512()2⨯= （2）200566812()8⨯= 三、同底数幂的除法①m n m n a a a -÷=——同底数幂的除法②01(0)a a =≠ ③1p pa a -= ④科学计数法：61110um m -=⨯ 91110nm m -=⨯一般地，小于1的正数可以表示为10n a ⨯，其中110,a n ≤<是负整数闯关1：（1）74a a ÷= （2）63()()x x -÷-= 闯关2：（1）310-= （2）02=（3）33-= （4）0278-⨯=（5）41.610-⨯= （6）3577--÷=（7）46a a --÷= （8）13155n n ++÷= 闯关3：已知2,3m n a a ==，求m n a -和32m n a -的值（给出计算过程）闯关4：（1）0.0000000001= （2）0.00000000000029=（3）2.5um = m （4）31.29310-⨯= （小数表示）四、整式的乘法①单×单（1）数与数相乘 （2）相同字母的幂相乘 （3）另类的人照抄 ②单×多=单×单+单×单（注意符号）③多×多——乘法分配律（分蛋糕）闯关1：（1）2123xy xy ⋅= （2）227(2)xy z xyz ⋅= （3）222()x y xy ⋅-= （4）2323()xy z x y -⋅-= 闯关2：（1）225(23)m n n m n +- （2）6(3)x x y --（3）2232()x y z xy z xyz ++⋅闯关3：（1）(1)(0.6)x y x y+-x x--（2）(2)()（3）2x-+(23)()-（4）2x y五、平方差公式①22+-=-——平方差公式a b a b a b()()②平方差公式的简便运用③平方差是多×多中特殊的一种，如果认不出平方差，请用多×多闯关1：（1）(2)(2)-+--m n m nx y x y-+（2）()()（3）(1)(1)---m n m nx x---（4）(5)(5)闯关2：（1）10397⨯⨯（2）118122闯关3：（1）222+-+（2）(25)(25)2(23)()()a ab a b a b-+--x x x x （3）(3)(3)()-+++x y x y y x y六、完全平方公式①222+=++()2a b a ab b222()2-=-+——完全平方公式（爸爸、妈妈、很2的你）a b a ab b②完全平方公式也是多×多中特殊的一种③完全平方公式的简便运用闯关1：（1）2(23)x += （2）2(23)x -=（3）22(1)n n +- （4）2(21)t -- （5）21()2cd -+闯关2：（1）2102 （2）(3)(3)a b a b +++-（3）2(5)(2)(3)x x x +--- （4）22(1)(1)ab ab +--（5）2(2)4()(2)x y x y x y ---+七、整式的除法①单÷单（1）数与数相除 （2）相同字母的幂相除（3）被除式中另类的人照抄 ②多÷单=单÷单+单÷单（注意符号）闯关1：（1）4323105a b c a bc ÷ （2）2323()m n mn ÷（3）23243(2)(7)14x y xy x y ⋅-÷ （4）3()()x y x y +÷+闯关2：（1）(68)2ab b b +÷ （2）2211(3)()22x y xy xy xy -+÷-。
整式的乘除知识点及题型复习
举例说明：如单项 式x^2除以多项式 2x-1，结果为 (x^2)/(2x1)=x+1
除法运算顺序：按照从左到 右的顺序进行除法运算，注 意先处理括号内的内容
除法法则：类似于多项式乘 法，将除法转化为乘法，然 后利用乘法法则进行计算
除法结果的化简：将除法结 果化简到最简形式，注意约
分和合并同类项
除法运算的注意事项：注意 处理符号和运算优先级的问
添加标题
解析：根据速度、时间和距离的关系，速度=距离/时间，所以时间=距离/速度。将已知数值代入公式，得到时间=100千米 /80千米/小时=1.25小时。
添加标题
题目：一架飞机以每小时800千米的速度从甲地飞往乙地，飞行了3小时后，发现方向有误，于是立即改变航向，并以每小时 1000千米的速度飞行了4小时，求飞机到达乙地所需的总时间。
项式。
整式除法的结 果仍为一个多 项式，其各项 系数和次数与 被除式相同。
整式除法的一 般形式为：被 除式=除式×商
式+余式。
在整式除法中， 需要注意除数 不能为0，且各 项系数和次数 必须符合数学
规则。
定义：将一个单项式除以另一个单项式的商称为单项式除以单项式。
运算法则：与单项式乘法类似，按照系数、字母因子的指数分别相除，对于只在被除式 中出现的字母因子，连同其指数一起作为商的一个字母因子。
定义：两个多项式相乘，将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项 相乘，再将所得积相加。 举例：$(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$
公式：$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
注意事项：注意乘法分配律的应用，以及合并同类项时的符号问题。
专题1.2 整式的乘除法【十一大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.2 整式的乘除法【十一大题型】【北师大版】【题型1 利用整式乘法求值】 (1)【题型2 利用整式乘法解决不含某项问题】 (2)【题型3 利用整式乘法解决错看问题】 (5)【题型4 利用整式乘法解决遮挡问题】 (7)【题型5 整式乘法的计算】 (8)【题型6 整式乘法的应用】 (9)【题型7 整式除法的运算与求值】 (12)【题型8 整式除法的应用】 (16)【题型9 整式乘法中的新定义问题】 (18)【题型10 整式乘法中的规律探究】 (22)【题型11 整式乘法与面积的综合探究】 (26)【知识点 整式的乘法】单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．()xy xy x y 22312æö2×=ç÷33èø单项式×多项式：乘法分配律．()m a b c ma mb mc ++=++多项式×多项式：乘法分配律．()()m n a b ma mb na nb++=+++【题型1 利用整式乘法求值】【例1】（2023春·江苏无锡·七年级期中）若(x−1)(x +b)=x 2+ax−2，则a +b 的值为 ．【答案】3【分析】由多项式乘多项式计算得x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ＝x 2＋ax ﹣2，根据对应系数相等即可得出答案．【详解】解：∵（x ﹣1）（x ＋b ）＝x 2＋bx ﹣x ﹣b ＝x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ，∴x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ＝x 2＋ax ﹣2，∴b ﹣1＝a ，﹣b ＝﹣2，解得：b ＝2，a ＝1，∴a ＋b ＝3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键．【变式1-1】（2023·七年级单元测试）已知x2+x+1=0，则x3−x2−x+7=【答案】9.【分析】观察发现，对x3−x2−x+7的前三项可以提出公因式x，即可发现解答思路.【详解】解：∵x2+x+1=0，∴x3−x2−x+7=x3+x2+x−2x2−2x−2+9=x(x2+x+1)−2(x2+x+1)+9=9【点睛】本题考查了多项式乘法的逆用，解题的关键在于寻找所求多项式与已知等式的关系.【变式1-2】（2023春·上海松江·七年级校考阶段练习）已知：x2+3x=10，则代数式(x−2)2+x(x+10)−5=．【答案】19【分析】先把代数式(x−2)2+x(x+10)−5化简得2(x2+3x)−1，再把已知整式x2+3x=10整体代入其中即可求解.【详解】原式=x2−4x+4+x2+10x−5=2x2+6x−1=2(x2+3x)−1把x2+3x=10整体代入上式：2(x2+3x)−1=2×10−1=19故答案为19.【点睛】本题主要考查整体代入的数学思想.【变式1-3】（2023·七年级单元测试）如果a、b、m均为整数，且(x+a)⋅(x+b)=x2+mx+15，则所有的m的和为.【答案】0【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出m的值.【详解】∵(x+a)⋅(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx+15∴a+b=m,ab=15，∴{a=1b=15或{a=−1b=−15或{a=15b=1或{a=−15b=−1或{a=3b=5或{a=−3b=−5或{a=5b=3或{a=−5b=−3，∴m取值有16，-16，8，-8.则所有的m的和为0.故答案为0.【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.【题型2利用整式乘法解决不含某项问题】【例2】（2023春·浙江·七年级专题练习）已知将（x3+mx+n）（x2-3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m、n的值．【答案】m=-4，n=-12.【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，那么原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由于展开后不含x3和x2项，则含x3和x2项的系数为0，由此可以得到4+m=0，-3m+n=0，解方程组即可以求出m、n．【详解】解：原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．∵不含x3和x2项，∴4+m=0，-3m+n=0，解得m=-4，n=-12.【点睛】考查了多项式乘多项式，关键是根据多项式相乘法则以及多项式的项的定义解答．【变式2-1】（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如果（y+5）（y+m）的乘积中不含y的一次项．则m的值为（）A．-5B．5C．0D．3【答案】A【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含y的一次项，确定出m的值即可．【详解】解：原式=y2+（m+5）y+5m，由结果不含y的一次项，得到m+5=0，解得：m=-5，故选：A．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式2-2】（2023春·四川资阳·七年级统考期末）已知a为任意实数，有多项式M=x2+3ax+6，N=x+3，且MN=A，当多项式A中不含2次项时，a的值为（）．D．1A．－1B．0C．−23【答案】A【分析】根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．【详解】解：∵MN=(x2+3ax+6)(x+3)=x3+3ax2+6x+3x2+9ax+18=x 3+(3a +3)x 2+(9a +6)x +18∴A =MN =x 3+(3a +3)x 2+(9a +6)x +18∴3a +3=0∴a =-1故选A ．【点睛】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．【变式2-3】（2023春·七年级课时练习）若x 2+x 2−3x +n )的积中不含有x 与x 3项．(1)直接写出m 、n 的值，即m =___________，n = ___________；(2)求代数式(−m 2n )3+(9mn )2+(3m )2014n 2016的值．【答案】(1)1，−13(2)9427【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有x 与x 3项可以求解m 、n 的值．（2）将m 、n 的值代入代数式求值即可．【详解】（1）解：x 2+x 2−3x +n ) =x 4−3x 3+n x 2+3m x 3−9m x 2+3mnx−13x 2+x−13n=x 4+(3m−3)x 3+(n−9m−13)x 2+(3mn +1)x−13n ，∵积中不含有x 与x 3项，∴3m−3=0，3mn +1=0，解得m =1，n =−13．故答案为：1，−13．（2）解：当m =1，n =−13时，(−m 2n )3+(9mn )2+(3m )2014n 2016=−12×−+9×1×−+32014×−=+(−3)2+3×−×−=127+9+19=9427．【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则．【题型3利用整式乘法解决错看问题】【例3】（2023春·四川内江·七年级校考阶段练习）在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题：(2y+a) (3y+b)．王建由于把第一个多项式中的“+a”抄成了“−a”，得到的结果为6y2+5y−10；李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为2y2−7y+10．（1）求正确的a，b的值；（2）计算这道乘法题的正确结果．【答案】（1）a=−3b=−2；（2）6y2−13y+6【分析】（1）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；（2）根据多项式乘以多项式法则求出答案即可．【详解】（1）根据王建的解法得：(2y−a)(3y+b)=6y2+2by−3ay−ab=6y2+(2b−3a)y−ab=6y2+5y−10，∴2b−3a=5①根据李楠的解法的：(2y+a)(y+b)=2y2+2by+ay+ab=2y2+(2b+a)y+ab=2y2−7y+10，∴2b+a=−7②联立①②得方程组解得：a=−3b=−2；（2）这道题的正确解法是：(2y−3)(3y−2)=6y2−4y−9y+6=6y2−13y+6．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．【变式3-1】（2023春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ）A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2＝3x2﹣7xy+2y2，则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．故选：C．【变式3-2】（2023春•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）【分析】根据甲的做法求出a的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可．【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，∴6+a＝8，∴a＝2；∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，∴b﹣a＝1，∴b＝3，∴（x+a）（a+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6．【变式3-3】（2023春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．【分析】（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a，b的值；（2）将a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【解答】解：（1）甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，∴−2a+b=−7 a+b=2，解得：a=3b=−1，∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；（2）由（1）可知，b＝﹣1正确的计算结果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．【题型4利用整式乘法解决遮挡问题】【例4】（2023春•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3D．﹣10xy【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．故选：A．【变式4-1】（2023春•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）A．9x2B．﹣9x2C．9x D．﹣9x【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，故选：B．【变式4-2】（2023春•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．【分析】将（x﹣1）（x2+mx+n）展开求得m和n的值后代入代数式即可求得其值．【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，∴m﹣1＝﹣6，n＝6，∴m ＝﹣5，∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．【变式4-3】（2023春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x 2y （2xy 2﹣xy ﹣1）＝6x 3y 3 ﹣3x 3y 2 ﹣3x 2y ，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ﹣3x 3y 3 ．【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵3x2y （2xy2﹣xy ﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y ，∴横线上应填写﹣3x3y2，故答案为：﹣3x3y2，﹣3x3y2．【题型5 整式乘法的计算】【例5】（2023春·重庆渝中·七年级校考期中）（1）计算：x ⋅2x +x(x−2)；（2）(m +1)(m−5)−m(m−6)【答案】（1）3x 2−2x ；（2）2m-5【分析】（1）利用整式的混合运算法则求解即可．（2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算方法计算即可．【详解】（1）x ⋅2x+x(x−2)=2x 2+x 2−2x=3x 2−2x.（2）（m+1）（m-5）-m （m-6）=m 2-5m+m-5-m 2+6m=2m-5；【点睛】此题考查整式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.【变式5-1】（2023春·上海·七年级期中）−12x 2y 2⋅2−8xy +【答案】15x 6y 2−2x 5y 3+112x 4y 2【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式法则进行计算即可．【详解】解：原式=14x 4y 2⋅(45x 2−8xy +13)=15x 6y 2−2x 5y 3+112x 4y 2．【点睛】本题考查整式的混合运算，能灵活运用知识点进行化简是解题的关键．【变式5-2】（2023春·七年级课时练习）先化简，再求值：x (x +2)+(1+x )(1−x )，其中x ＝－2．【答案】2x ＋1，-3【分析】原式根据单项式乘以多项式运算法则以及平方差公式去括号，合并同类项；再代入求值即可．【详解】解：x(x+2)+(1+x)(1−x)=x2+2x+1−x2＝2x＋1，当x＝－2时，原式=2×(−2)+1=−3．【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．【变式5-3】（2023春·七年级课时练习）计算：(1)(a－1)(a2＋a＋1)；(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2).【答案】(1) a3－1；(2) 3x2＋3x－21；(3)6x3－7x2－16x＋12.【分析】（1）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；（3）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果.【详解】(1)原式＝a·a2＋a·a＋a·1－a2－a－1＝a3－1.(2)原式＝4x2－25－x2＋3x＋4＝3x2＋3x－21.(3)原式＝(6x2＋9x－4x－6)(x－2)＝(6x2＋5x－6)(x－2)＝6x3＋5x2－6x－12x2－10x＋12＝6x3－7x2－16x＋12.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键.【题型6整式乘法的应用】【例6】（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米,如果长方形的长和宽各减少3厘米．新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米（用含的代数式表示）？【答案】3a+3b-9【详解】分析：根据题意表示出原来长方形与新长方形的面积，相减即可得到结果；详解：根据题意得，原长方形的面积为：ab平方厘米，新长方形的面积为：(a−2)(b−2)平方厘米，则新长方形的面积比原长方形的面积减少了：ab−(a−3)(b−3)=ab−ab+3a+3b−9=3a+3b−9(平方厘米).点睛：本题考查了长方形的面积和整式的混合运算，长方形的面积=长×宽，整式的混合运算是先算乘方，再算乘除，后算加减.【变式6-1】（2023春·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）用长为24米的木条，做成一个“目”字形的窗框（如图所示，窗框外沿ABCD是长方形），若窗框的横条长度都为x米．（1）用代数式表示长方形ABCD的面积．（2）当x=3时，求出长方形ABCD的面积．【答案】（1）−2x2+12x；（2）18m2．【分析】（1）根据题意“目”字形的窗框，长有4段，总长为4AD＝4x米，则AB＝24−4x米，再根据长方形2面积计算公式即可得出答案；（2）把x＝3代入（1）中关于面积的代数式中即可得出答案．=12−2x，【详解】（1）根据题意得AB=24−4x2∴S长方形ABCD=(12−2x)⋅x=−2x2+12x．（2）当x=3时，−2x2+12x=−2×9+12×3=−18+36=18m2．答：长方形ABCD面积为18m2．【点睛】本题主要考查了列代数及代数式的求值，根据题意列出合理的代数式是解决本题的关键．【变式6-2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，用一张高为30cm，宽为20cm的长方形打印纸打印文档，如果左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm.（1）请用x的代数式表示中间打印部分的面积.（2）当x=2时，中间打印部分的面积是多少平方厘米？【答案】（1）4x2-96x+560；（2）384cm2.【分析】（1）分别用含x的代数式表示出中间打印部分的高和宽，利用长方形面积公式即可得答案；（2）把x=2代入（1）中代数式，即可得答案.【详解】（1）∵左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm，∴中间打印部分的高为30-2(x+1)=28-2x,宽为20-2x，∴中间打印部分的面积为(28-2x)(20-2x)=4x2-96x+560.（2）由（1）得中间打印部分的面积为4x2-96x+560，∴当x=2时，中间打印部分的面积为4×22-96×2+560=384(cm2).答：当x=2时，中间打印部分的面积是384cm2.【点睛】本题考查了列代数式，正确理解题意，根据图示表示出中间打印部分的高和宽是解题关键.【变式6-3】（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．(1)那么第二次按键后，A区显示的结果为______，B区显示的结果为______．(2)计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝1时，代数式乘积的值．【答案】(1)A区显示的结果为-2a+25；B区显示的结果为6a-16(2)−12a 2+182a−400；代数式乘积的值为−230【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后将a ＝1代入求值即可．【详解】（1）第二次按键后，A 区显示的结果为25−2a ，B 区显示的结果为6a−16 故答案为：25−2a ，6a−16（2）（-2a+25）（6a -16）=−12a 2+182a−400 当a ＝1时原式=﹣12+182﹣400=−230【点睛】本题考查了列代数式、多项式乘以多项式，准确理解题意，并熟练掌握运算法则是解题的关键．【知识点2 整式的除法】单项式÷单项式：系数相除，字母相除．xy xy y21æö2¸=6ç÷3èø（）多项式÷单项式：除法性质．()a b c m a m b m c m++¸=¸+¸+¸多项式÷多项式：大除法．()()x x x x23+3¸+1=3【题型7 整式除法的运算与求值】【例7】（2023春·河北承德·七年级统考期末）下列计算27a 2÷13a 3÷9a 2的顺序不正确的是（ ）A ．27a 2÷(13a 3÷9a 2)B ．(27a 2÷13a 3)÷9a 2C ．(27÷13÷9)a 2−3−2D ．(27a 2÷9a 2)÷13a【答案】A【分析】本题是单项式的连除运算，根据运算顺序、除法的性质及单项式除以单项式的法则即可求解．【详解】解：A 、∵27a 2÷(13a 3÷9a 2)=27a 2÷127a =729a ，27a 2÷13a 3÷9a 2=81a −1÷9a 2=9a −3，∴27a 2÷(13a 3÷9a 2)≠27a 2÷13a 3÷9a 2，故A 项错误；B 、根据运算顺序连续除以两个数即从左往右依次计算，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27a 2÷13a 3)÷9a 2，故B 项正确；C 、根据单项式除以单项式的法则，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27÷13÷9)a 2−3−2，故C 项正确；D 、根据运算顺序及除法的性质，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27a 2÷9a 2)÷13a ，故D 项正确．故选∶A ．【点睛】本题主要考查了连除的运算顺序及单项式除以单项式的法则．熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）已知4m 2−7m +6=0，求代数式(3m 2−2m )÷m−(2m−1)2的值．【答案】3【分析】首先求出4m 2−7m =−6，再根据完全平方公式，多项式除以单项式化简代数式得出原式−4m 2+7m−3，代入即可得出答案．【详解】解：∵ 4m 2−7m +6=0∴ 4m 2−7m =−6∴ (3m 2−2m )÷m−(2m−1)2=3m−2−(4m 2−4m +1)=3m−2−4m 2+4m−1=−4m 2+7m−3=−(4m 2−7m )−3=6−3=3．【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式，多项式除以单项式，得出4m 2−7m =−6，正确化简代数式是解题的关键．【变式7-2】（2023·四川·石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x 2﹣4x ﹣1除以一个多项式A ，得商式为2x ，余式为x ﹣1，则这个多项式A ＝_____．【分析】根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，计算即可．【解答】解：由题意可得：A =[(2x 2−4x −1)−(x −1)]÷2x =(2x 2−5x)÷2x =x −52故答案为：x−52【变式7-3】（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法.多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．如图1：∴278÷12=232，∴(x3+2x2−3)÷(x−1)=x2+3x+3．即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．②用竖式进行运算．③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.若余式为零，说明被除式能被除式整除．例如：(x3+2x2−3)÷(x−1)=x2+3x+3余式为0，∴x3+2x−3能被x−1整除．根据阅读材料，请回答下列问题：(1)多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为______ ；(2)已知x3+2x2−ax−10能被x−2整除，则a=______ ；(3)如图2，有2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片，能否将这63片拼成一个与原来总面积相等且一边长为(a+8b)的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．【答案】(1)x+3(2)3(3)能，另一边长为(2a+5b)【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；（2）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；（3）根据题意，得到63张卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，列竖式计算，根据2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，即可得到答案．【详解】（1）解：列竖式如下：x+2x+3x2+2x3x+63x+6∴多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为x+3，故答案为：x+3；（2）列竖式如下：x−2x2+4x+(8−a)x3−2x24x2−ax−104x2−8x(8−a)x−10(8−a)x−2(8−a)2(8−a)−10∵x3+2x2−ax−10能被x−2整除，∴2（8−a）−10=0，解得：a=3，故答案为：3；（3）解：能，理由如下：根据题意，A卡片的面积是a2，B卡片的面积是ab，C卡片的面积是b2，∴2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，列竖式如下：a+8b2a+5b2a2+16ab5ab+40b25ab+40b2∵余式为0，∴2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，商式为2a+5b，∴可以拼成与原来总面积相等且一边长为（a+8b）的长方形，另一边长为（2a+5b）．【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式=除式×商式+余式．【题型8 整式除法的应用】【例8】（2023春·七年级统考期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的12，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．【答案】5:8:12【分析】设青黄瓜的亩产量为x ，则白黄瓜的亩产量为12x ，白黄瓜的种植面积为2y ，青黄瓜的种植面积为3y ，水果黄瓜的种植面积为4y ，据此求出水果黄瓜的产量是8xy ，进而得到水果黄瓜的亩产量为2x ，再根据种植面积的比值即可得到答案．【详解】解：设青黄瓜的亩产量为x ，则白黄瓜的亩产量为12x ，白黄瓜的种植面积为2y ，青黄瓜的种植面积为3y ，水果黄瓜的种植面积为4y ，∴青黄瓜的产量为3xy ，白黄瓜的产量为xy ，∴水果黄瓜的产量是2(3xy +xy )=8xy ，∴水果黄瓜的亩产量为8xy4y =2x ，∴当种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为5×12x:4x:3×2x =5:8:12，故答案为：5:8:12．【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，单项式除以单项式，正确根据题意求出水果黄瓜的亩产量为2x 是解题的关键．【变式8-1】（2023春•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a 、2a 、32a ，小长方体的长、宽、高分别为：2a 、a 、a2；配件②是一个正方体，其棱长为a（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a 3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？【分析】（1）先算出两个长方体的体积，再相加，即可得出配件①的体积，求出棱长为a 的正方体体积，即可得出配件②的体积；（2）根据题意列出算式1000a3÷（2×172a3+a3）×30，求出即可．【解答】解：（1）生产配件①需要的原材料的体积是：52a •2a •32a+2a •a •a2=172a3；生产配件②需要的原材料的体积是：a •a •a ＝a3；（2）根据题意得：1000a3÷（2×172a3+a3）×30=50003（元），答：1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利50003元．【变式8-2】（2023春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A 作被除式，娜娜报的整式B 作除式，要求商式必须为﹣3xy （即A ÷B ＝﹣3xy ）（1）若丽丽报的是x 3y ﹣6xy 2，则娜娜应报什么整式？（2）若娜娜也报x 3y ﹣6xy 2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．【分析】根据A ÷B ＝﹣3xy ，可知：（1）B ＝（x 3y ﹣6xy 2）÷（﹣3xy ）=−13x 2+2y ；（2）A ＝（x 3y ﹣6xy 2）（﹣3xy ）＝﹣3x 4y 2+18x 2y 3；【解答】解：（1）A ＝x 3y ﹣6xy 2，∴B ＝（x 3y ﹣6xy 2）÷（﹣3xy ）=−13x 2+2y ；（2）A ＝（x 3y ﹣6xy 2）（﹣3xy ）＝﹣3x 4y 2+18x 2y 3【变式8-3】（2023·七年级单元测试）甲、乙两个同学从A 地到B 地，甲步行的速度为3千米/小时，乙步行的速度是5千米/小时，两人骑车的速度都是15千米/小时.现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时从A 地出发，走了一段路程后，乙放下自行车步行，甲到乙放自行车的地方处改骑自行车.后面不断这样交替进行，两人恰好同时到达B 地.那么，甲走全程的平均速度是多少？【答案】457千米/小时．【分析】根据题意甲、乙从A 地到B 地，即甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程；甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程．故首先设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．再根据路程=速度×时间，且甲、乙两人行走过程中经过的时间相同，那么可列出方程x3+y15=x 15+y5，解方程可得y用x表示表达式．再根据平均速度=总路程总时间，在求解过程中约去x，即可甲走完全程的平均速度．【详解】解：设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．则根据题意，得x3+y15=x15+y5，解得y=2x．故甲的平均速度为(x+y)÷+=457（千米/时）；答：甲走完全程的平均速度457（千米/时）．【点睛】考查了一元一次方程的应用．本题解决的关键是根据题意画出路线草图，明白甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程，甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程；再就是求解过程中能够约去未知数．【题型9整式乘法中的新定义问题】【例9】（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为S，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作S1、S2、S3，定义：S=S1S2S32；S′1=S−S1；S′2=S−S2；S′3=S−S3；Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1，经研究发现，F s=4S2．如：三角形三条边分别为13、14、15，则S1=169，S2=196，S3=225，S=295，S′1=126；S′2=99；S′3=70；Fs=28224，所以S2=28224÷4=7056=842，故三角形的面积S=84．(1)若S 1=3，S 2=4，S 3=5，则S =_______．F s =_______．(2)当S ′1=x−3；S ′2=x +3；S ′3=5−x 时．①求F s 的表达式；②若S 1+S 2+S 3=20，求三角形的面积．【答案】(1)6，11(2)①−x 2+10x−9；②三角形的面积S =2．【分析】（1）根据定义计算即可求解；（2）①根据F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1，利用整式乘法运算法则计算即可求解；②先求得S 的值，再根据定义分别求得S 1、S 2、S 3的值，根据S 1+S 2+S 3=20，求得x =5，代入①中即可求解.【详解】（1）解：∵S 1=3，S 2=4，S 3=5，∴S =S 1S 2S 32=3452=6，S ′1=S−S 1=6−3=3；S ′2=S−S 2=6−4=2；S ′3=S−S 3=6−5=1；∴F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1=3×2+2×1+1×3=11；故答案为：6，11；（2）解：①∵S ′1=x−3；S ′2=x +3；S ′3=5−x ，∴F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1=(x−3)(x +3)+(x +3)(5−x)+(5−x)(x−3)=x 2−9+5x−x 2+15−3x +5x−15−x 2+3x =−x 2+10x−9；②∵S 1+S 2+S 3=20，∴S =S 1S 2S 32=10，∴S1′=S−S1=10−S1=x−3，故S1=10−(x−3)=13−x；S2′=S−S2=10−S2=x+3，故S2=10−(x+3)=7−x；S3′=S−S3=10−S3=5−x，故S3=10−(5−x)=5+x；∴S1+S2+S3=13−x+7−x+5+x=25−x=20，∴x=5，∴F S=−x2+10x−9=−52+10×5−9=16，∴S2=F s÷4=16÷4=4，故三角形的面积S=2．【点睛】本题考查了整式的乘法的应用，掌握新定义的内容，整式乘法的运算法则是解题的关键.【变式9-1】（2023春·浙江衢州·七年级统考期中）定义新运算|a b c d|=ad+3b−2c，如|1537|=1×7+3×5−2×3=7+15−6=16．（1）计算|23−14|的值；（2）化简：|x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y|．【答案】（1）19；（2）−y2+13xy−2．【分析】（1）根据定义的新运算，把相关数值代入计算即可；（2）把相关式子代入，进行整式运算即可．【详解】（1）|23−14|=2×4+3×3−2×(−1)=19．（2）|x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y|=(x+y)(−3x−y)+3(7xy−x2)−2(2xy−3x2+1)=−3x2−4xy−y2+21xy−3x2−4xy+6x2−2=−y2+13xy−2．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、整式的混合运算，正确理解定义的新运算的含义，根据数（式）位置确定a、b、c、d的值是解题关键．【变式9-2】（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）给出如下定义：我们把有序实数对(a,b,c)叫做关于x的二次多项式a x2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式a x2+bx+c叫做有序实数对(a,b,c)的特征多项式．(1)关于x的二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为__________；(2)求有序实数对(1,4,4)的特征多项式与有序实数对(1,−4,4)的特征多项式的乘积；(3)有序实数对(2,1,1)的特征多项式与有序实数对(a,−2,4)的特征多项式的乘积不含x2项，求a的值；【答案】(1)（3，2，-1）；(2)x4−8x2+16；(3)-6【分析】（1）根据定义得到a，b，c的值即可得到答案；（2）根据特征多项式的定义得到两个多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则计算可得答案；（3）根据定义得到特征多项式，计算乘积，根据特征多项式的乘积不含x2项得到x2项的系数等于0，由此求出a．【详解】（1）解：由定义得a=3，b=2，c=-1，∴二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为（3，2，-1），故答案为：（3，2，-1）；（2）有序实数对(1,4,4)的特征多项式为x2+4x+4，有序实数对(1,−4,4)的特征多项式为x2−4x+4，∴（x2+4x+4）（x2−4x+4）=(x+2)2(x−2)2=[(x+2)(x−2)]2=(x2−4)2=x4−8x2+16；（3）有序实数对(2,1,1)的特征多项式为2x2+x+1，有序实数对(a,−2,4)的特征多项式为a x2−2x+4，∴（2x2+x+1）（a x2−2x+4）=2a x4+(a−4)x3+(6+a)x2+2x+4，∵乘积不含x2项，∴6+a=0，解得a=-6．【点睛】此题考查了新定义，多项式乘以多项式的计算法则，以及多项式不含项的应用，正确理解新定义得到多项式是解题的关键．【变式9-3】（2023春·四川宜宾·七年级统考期中）阅读下列材料，解答下列问题：定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2＝−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(2−i)+(5+3i)＝(2+5)+(−1+3)i＝7+2i；(1+i)×(2−i)＝1×2−i+2×i−i2＝2+(−1+2)i+1＝3+i；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：i3＝________，i4＝________；（2）计算：（2＋3i）×（3－4i）；（3）计算：i＋i2＋i3＋ (i2019)【答案】(1) -i，1；(2) 18+i；(3)-1.【分析】（1）把i2=-1代入求出即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2=-1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．【详解】解：（1）由题意可知，i3=i2×i=-1×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，故答案为-i，1；（2）（2＋3i）×（3－4i）=6-8i+9 i -12i2=6+i-12×（-1）=18+i；（3）由i=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i4•i=i，i6=i4×i2=1×（-1）=-1，i7=i4×i3=1×（-i）=-i，i8=i4×i4=1×1=1…且i+i2+i3+i4=i+（-1）+（-i）+1=0，同理：i5+i6+i7+i8=0，可以看出每隔4位相加都等于0，且第五项第于第一项，第六项等于第二项…∴i+i2+i3+…+i2019=504×0+i2017+i2018+ i2019 =i-1- i=-1．【点睛】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，能读懂题意是解此题的关键．【题型10整式乘法中的规律探究】【例10】（2023春·广东梅州·七年级统考期末）若正整数a，b的和为10，则称a，b“互补”，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字“互补”（如24与26，52与58，简称它们“首同尾补”）；那么这两个数的积是三位数或四位数，其末尾的两位数等于两数的个位数字之积，其起始的一位或两位数等于两数的十位数字与比这个十位数字大1的数之积．例如：24×26=624（积中的6=2×(2+1)，24=4×6）52×58=3016（积中的30=5×(5+1)，16=2×8）(1)直接写出下列各式运算结果：95×95=______，81×89=______；(2)用ab和ac分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c=10，①依据题意，两位数ab表示为______，两位数ac表示为______；。
第二讲 整式的乘除期末复习
第2讲 整式的乘除期末复习一、知识点：1. 幂的运算1）.同底数幂的乘法法则: 2）. 幂的乘方法则： 3）. 积的乘方法则： 4） 同底数幂的除法5）. 同底数幂的除法法则: 2、整式的乘、除法1）. 单项式与单项式相乘法则: 2）．单项式与多项式相乘法则。
3）．多项式与多项式相乘法则： 4）．多项式除以单项式相乘法则： 3．平方差公式 1）．平方差公式：2）. 结构特征：4．完全平方公式1）． 完全平方公式： 2）．结构特征：经典·考题·赏析【例1】下列算式，正确的个数是（ ）①3412aa a ⋅=②5510aa a +=③336()aa =④236(2)6aa --A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式题组】01.计算212()()nn c c +⋅的结果是( )A ．42n c + B ．44n c + C ．22n c + D ．34n c +02．计算100101(2)(2)-+-＝_______；若3m x =，6n x =，则32m n x -＝___.03．如果3915()n ma b b a b ⋅=，则m ＝____，n ＝___； 【例２】若2n+12448n +=，求n 的值.【变式题组】01．若24m =，216n=，22m n +的值=_____02．若35nx=，求代数式2332(2)4()n n x x -+的值=_____03．若x ＝2m ＋1，y ＝3＋4m ，请用含x 的代数式表示y=_____． 04．已知33ma =，32nb =，求233242()()m n m n m n a b a b a b +-⋅⋅⋅的值05．已知232122192m m ++-=，求m 的值06.若m 2＋m －1＝0，求m 3＋2m 2＋2020的值．【例３】（希望杯）552a =-，443b =-，335c =-，226d =-，那么a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A ．a >b >c >dB ．a >b >d >cC ．b >a >c >dD ．a >d >b >c【变式题组】01．已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a <b <cD ．b >c >a02．已知503a =，404b =，305c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a【例4】求满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数 【变式题组】01．求满足2003005n ＜的最大整数值n.02．如果x 、y 是正整数，且2232x y⋅=，求满足条件的整数x 、y 有那几对？ 03．4n+3×8n+1÷24n+7=64，则n 的值是多少？04．已知a 、b 、c 为自然数，且227371998abc⋅⋅=，求2010()a b c --的值思考：1、（江苏竞赛）若1122222n n n n x y +--=+=+，，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（）A ．x ＝4yB ．y ＝4xC ．x ＝12yD ．y ＝12x2、化简4322(2)2(2)n n n ++-得（）A ．1128n +-B ．12n +-C ．78D ．743、化简2231424m m m ++--＝______．15825⨯的个位数为______________ 4、2001200220033713⨯⨯所得积的末位数字是____5、已知100025=x，100040=y ，则yx 11+=_______6、已知,,a b c 均不为0，且0a b c ++=，那么111111()()()a b c b c c a a b+++++的值为7、是否存在整数c b a 、、满足2)1516()910()89(=cb a ？若存在，求出c b a 、、的值；8、设a 、b 、c 、d 都是非零自然数，且543219ab dc a ==-=，c ，，求d b -的值b1393 整式的乘除经典·考题·赏析【例1】计算：⑴ ()()c b a c b a 3232-+-- ⑵()()()31222-+-+x x x ⑶()()()2222211412x x x ++-【变式题组】01．计算：⑴()()()22933y x y x y x ++- ⑵()()c b c b --+22 ⑶()()c b a c b a -++-3232⑷()()()()221222513-+-+-+m m m m （5）(－51xy －61x 2y 2 ＋0.25x 4y 5)÷(-0.2xy)（5）若(x 2＋ax －b )(2x 2－3x ＋1)的积中，x 3的系数为5，x 2的系数为－6， 求a ，b 的值。
整式的乘除知识点整理资料
知识点1：幂的运算（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即，n m n m a a a +=⋅（2）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即，mn n m a a =）（（3）积的乘方法则：积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即，nn n b a ab =)(（4）同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即，n m n m a a a -=÷知识点2：整式的乘法运算（1）单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式（2）单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，先用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
（3）多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
知识点3：整式的除法运算（1）单项式与单项式相除法则：单项式除以单项式，只要将系数、相同字母的幂分别相除，对于只在一个被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式（2）多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
知识点4：乘法公式（1）两数和乘以这两数的差公式（又叫做：平方差公式）：22))((b a b a b a -=-+（2）（3）两数和的平方公式（又叫做：完全平方和公式）：2222)(b ab a b a ++=+（4）（5）（6）两数差的平方公式（又叫做：完全平方差公式）：2222)(b ab a b a +-=-知识点5：因式分解因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式，也叫分解因式。
因式分解最终结果特别注意以下几点：第一，必须分解成积的形式；第二，分解成的各因式必须是整式；第三，必须分解到不能再分解为止。
初中数学《整式的乘除》知识点精讲
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：a)多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积;b)多项式相乘的结果应注意合并同类项;c)对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。
对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到。
整式的除法单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式;多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。
整式乘法法则1、同底数的幂相乘：法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
数学符号表示：am.an=am+n（其中m、n为正整数）2、幂的乘方：法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
数学符号表示：（am）n=amn（其中m、n为正整数）3、积的乘方：法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（即等于积中各因式乘方的积。
）数学符号表示：（ab）n=anbn（其中n为正整数）4、单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
5、单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
6、多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
7、乘法公式：平方差公式：（a+b）·（a-b）=a2-b2，完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2。
整式的乘除知识点总结及针对练习题精编版
思维辅导整式的乘除知识点及练习基础知识：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x知识点归纳：一、同底数幂的乘法法则：nm n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+∙+【基础过关】1．下列计算正确的是（ ）A ．y 3·y 5=y 15B ．y 2+y 3=y 5C ．y 2+y 2=2y 4D ．y 3·y 5=y 82．下列各式中，结果为（a+b ）3的是（ ）A ．a 3+b 3B ．（a+b ）（a 2+b 2）C ．（a+b ）（a+b ）2D ．a+b （a+b ）23．下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（ ）A ．（a+b ）（a+b ）2B ．（a+b ）（a －b ）2C ．－（a －b ）（b －a ）2D ．（a+b ）（a+b ）3（a+b ）24．下列计算中，错误的是（ ）A ．2y 4+y 4=2y 8B ．（－7）5·（－7）3·74=712C ．（－a ）2·a 5·a 3=a 10D ．（a －b ）3（b －a ）2=（a －b ）5【应用拓展】5．计算：（1）64×（－6）5 （2）－a 4（－a ）4（3）－x 5·x 3·（－x ）4 （4）（x －y ）5·（x －y ）6·（x －y ）76．已知a x =2，a y =3，求a x+y 的值．7．已知4·2a ·2a+1=29，且2a+b=8，求a b 的值．知识点归纳：二、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
七年级下册整式的乘除
【练习1】计算：
① （a+b-c）4·（a+b-c）5 ② (a-b)2·(b-a)3
【练习2】判断（正确的 错误的打“×”）
打“√”，
(1) x3·x5=x15 (×) (2) x·x3=x3 (×)
(3) x3+x5=x8 (×) (3)x2·x2=2x4 (×)
1.计算：
(1)s7 s3
(3)(t)11 (t)2
(5)(3)6 (3)2
(2)x10 x8
(4)(ab)5 (ab)
(6)a100 a100
2.填空：
x x （1） 7 （ ）= 8
a a （2）（
）
3
=
8
c c b （3）b4 b3 （ ） = 21 （4） 8 （ ）= 5
3. 与整式加法之间的关系。如2a与a2的区别。
【法则推导】 ３３·３２＝？（－３）３·（－３）２=?
am ·an等于什么（m,n都是正整数)? 为什么？
am ·an =(a·a·… ·a)(a·a·… ·a)
m个a
=a·a·… ·a
m+n个a
=am+n
n个a
同底数幂相乘 底数 不变 ， 指数 相加 .
(3) (an)3 = an×3 =a3n ;
(4) -(x2)m = -x2×m = -x2m ;
(5) (y2)3 ·y= y2×3 ·y = y6 ·y = y7;
(6) 2(a2)6 – (a3)4 =2a2×6 - a3×4 =2a12-a12 =a12.
【练习1】计算
⑴（ [ a）3 ]2 ⑵（ [ x 2 y）3 ]2n
七年级整式的乘除 知识点
七年级整式的乘除知识点在初中数学中，整式的乘除是十分重要的一个知识点。
本文将详细介绍关于七年级整式的乘除的知识点，同时带有例题和详细解析，帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、整式的定义及基本运算整式是由常数和一元数的积以及它们的和（差）组成的代数式。
例如：$9x^4-5x^3+2x^2-7$就是一个整式。
整式的基本运算有加法、减法、乘法和除法，这些运算符号分别为$+$、$-$、$\times$和$÷$。
二、整式的乘法在整式的乘法中，需要运用分配律、结合律和交换律等运算法则，以简化计算过程。
以下是一个例题：$$(7x+3)(5x-2)$$首先使用分配律，将括号内的每一个项都与另一个括号内的每一个项相乘，得到：$$7x\times5x+7x\times(-2)+3\times5x+3\times(-2)$$继续化简，得到：$$35x^2-14x+15x-6$$最终化简为：$$35x^2+x-6$$三、整式的除法在整式的除法中，需要运用带余除法的方法。
以下是一个例题：$$\dfrac{12x^4-18x^3+10x^2-8x+6}{2x-3}$$首先将除式乘上商，得到：$$(6x^3+13x^2+16x+32) \times(2x-3)$$ 然后将被除式减去上面得到的结果：$$-78x+102$$ 因为余数是$-78x+102$，而这个余数的次数低于除式的次数，所以整个式子的结果为：$$\dfrac{12x^4-18x^3+10x^2-8x+6}{2x-3}=6x^3+13x^2+16x+32-\dfrac{78x-102}{2x-3}$$四、结合习题练习整式的乘除以下是一道整式乘除的练习题：$$\dfrac{8x^3y^2-12x^2y^3}{4xy^2}$$先将分子分母都约分，得到：$$\dfrac{2x^2y-3xy^2}{y}$$再将分子中的公因式提取出来，得到：$$xy(2x-3y)$$因此，原式的结果为：$$\dfrac{8x^3y^2-12x^2y^3}{4xy^2}=2x^2y-3xy^2$$五、总结整式的乘除是初中数学中的一大重要知识点，需要掌握整式的定义及基本运算、整式的乘法、整式的除法等知识。
整式的乘除(重点、难点、考点复习总结)精选全文
可编辑修改精选全文完整版整式的乘除（重点、难点、考点复习总结）1．知识系统总结2．重点难点易错点归纳（1）几种幂的运算法则的推广及逆用例1：（1）已知52x=4,5y=3,求(53x)2; 54x+2y-2练习：1. 已知a x=2,a y=3, a z=4求a3x+2y-z（2）46×0.256= （-8）2013×0.1252014 =（2）同底数幂的乘除法：底数互为相反数时如何换底能使计算简便判断是否同底：判断底数是否互为相反数：看成省略加号的和，每一项都相反结果就互为相反数换底常用的两种变形：例2：（1）-x7÷（-x）5·（-x）2 (2)(2a-b)7·（-b+2a）5÷（b-2a）8（3）区分积的乘方与幂的乘方例3：计算（1）（x3）2 (2) (-x3）2 (3)（-2x3）2（4）-（2x3）2（4）比较法：逆用幂的乘方的运算性质求字母的值（或者解复杂的、字母含指数的方程）例4：（1）如果2×8n×16n=28n ,求n的值（2）如果（9n）2=316，求n的值（3）3x=,求x的值（4）（-2）x= -,求x的值（5）利用乘方比较数的大小指数比较法：833，1625, 3219底数比较法：355,444,533乘方比较法：a2=5,b3=12，a>0,b>0,比较a,b的大小比较840与6320的大小（6）分类讨论思想例6：是否存在有理数a，使（│a│-3）a =1成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由整式的乘法（1）计算法则明确单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的计算法则，尤其注意符号的问题，结果一定要是最简形式。
单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最终都是要转化为单项式乘以单项式，通过省略加号的和巧妙简化符号问题。
【例1】计算：（1）(-3x2y)(-xz4)(-2y3zt) (2)-5x n y n+2(3x n+2y-2x n y n-1+y n) （3）（-x+2）(x3-x2)练一练：先化简再求值：[xy(x2-3y)+3xy2](-2xy)+x3y2(2x-y),其中x=-0.25,y=4(2)利用整式的乘法求字母的值①指数类问题：②系数类问题：【例2】已知-2x3m+1y2n与7x m-6y-3-n的积与x4y是同【例3】在x2+ax+b与2x2-3x-1的积中，x3项项，求m与n的值的系数为—5，x2项的系数为-6，求a,b的值（3）新定义题【例4】现规定一种新运算：a*b=ab+a-b，其中a,b为有理数，则（a*b）+[(b-a)*b]=练一练：现规定一种新运算：a※b=ab+a-b，其中a,b为有理数，计算：[（m+n）※n]+[(n-m)※n] 课后提升：1.（-0.7×104）×（0.4×103）×（-10）=2.若（2x-3）（5-2x）=ax2+bx+c,则a= ,b=3.若（-2x+a）(x-1)的结果不含x的一次项，则a=4.计算：(1)（-5x-6y+z）(3x-6y) (2)-2xy(x2-3y2)- 4xy(2x2+y2)平方差公式（1）公式：（a+b）(a-b)=a2-b2注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，只要不是单独的数字或字母，写成平方的差时都要加括号公式的验证：根据面积的不同表达方式是验证整式乘法公式常用的方法(2)平方差公式的不同变化形式【例1】计算下列各式：（1）（-5x+2y）(-2y-5x)= （2）（2a-1）(2a+1)(4a2+1)=（3）20132-2012×2014 =练一练：1、（2y-x-3z）(-x-2y-3z)=2、99×101×10001=3、 3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×…×（232+1）+1=（3）平方差公式的逆用【例2】∣x+y-3∣+(x-y+5)2=0,求3x2-3y2的值练一练：已知实数a,b满足a+b=2，a-b=5，求（a+b）3（a-b）3的值.课后提升：1.已知下列式子：①（x-y）（-x-y）；②（-x+y）(x-y)；③（-x-y）（x+y）；④（x-y）（y-x）.其中能利用平方差公式计算的是2.(-a-3)( )=9-a23.如果a2-2k=(a-0.5)（a+0.5），那么k=4.为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，将改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比（）A.增加6平方米B.增加9平方米C.减少9平方米D.保持不变5.解方程：（3x+4）（3x-4）=9（x-2）26.计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（22014+1）完全平方公式（1）公式：（a±b）2=a2±2ab +b2首平方，尾平方，2倍乘积放中央，同号加，异号减注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式【例1】计算下列各式：（2x-5y）2 = (-mn+1)2 =(-t2-2)2=（2）完全平方公式的推广应用①直接推广②间接推广【例2】计算（a-2b+3c)2【例3】已知x+y+z=10,xy+xz+yz=8,求x2+y2+z2的值（3）利用完全平方公式求字母的值【例4】两数和的平方的结果是x2+(a-1)x+25,则a的值是（）A.-9B.1C.9或-11D.-9或11（4）利用完全平方公式进行简化计算【例5】计算：（1）1992 （2）3.012（5）完全平方公式的变形应用【例6】（1）已知m+n=7,mn=10,求8m2+8n2的值（2）已知（x+y）2=16,(x-y)2=4,求xy的值课后提升：1.下列展开结果是2mn-m2-n2的式子是（）A.（m+n）2B.(-m+n)2C.-(m-n)2D.-(m+n)22.(x+2y-z)2=3.若∣x+y-7∣+(xy-6)2=0,则3x2+3y2=4.若代数式x2+3x+2可以表示为 (x-1)2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是5.计算：（2x-y）2（2x+y）2整式的除法（1）计算法则整式乘法的逆运算，可以互相验证。
整式的乘除知识点及题型复习
整式的乘除知识点及题型复习整式的乘除是初中数学中的重要内容，它不仅是后续学习分式、二次根式等知识的基础，也在实际生活中有着广泛的应用。
接下来，我们将对整式的乘除相关知识点及常见题型进行详细的复习。
一、整式乘法的知识点1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：＄a^m×a^n ＝a^｛m+n}＄（＄m$、＄n$都是正整数）例如：＄2^3×2^4 ＝ 2^｛3+4} ＝ 2^7$2、幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄（＄m$、＄n$都是正整数）例如：＄（2^3)＾4 ＝ 2^｛3×4} ＝ 2^｛12}＄3、积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：＄（ab)＾n ＝ a^n b^n$（＄n$为正整数）例如：＄（2×3)＾4 ＝ 2^4×3^4$4、单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：＄3x^2y×（－2xy^3) ＝ 3×（－2)×（x^2×x)×（y×y^3) ＝－6x^3y^4$5、单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：＄2x(3x^2 5x ＋ 1) ＝ 2x×3x^2 2x×5x ＋ 2x×1 ＝ 6x^3 10x^2 ＋ 2x$6、多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：＄（x ＋ 2)（x 3) ＝ x×x ＋ x×（－3) ＋ 2×x ＋ 2×（－3) ＝x^2 3x ＋ 2x 6 ＝ x^2 x 6$二、整式除法的知识点1、同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。
整式的乘除知识点及题型复习
整式运算考点1、幂的有关运算①=⋅nm a a （m 、n 都是正整数）②=n m a )( （m 、n 都是正整数）③=n ab )( （n 是正整数） ④=÷nm a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0a （a ≠0）⑥=-p a （a ≠0，p 是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例：在下列运算中，计算正确的是（ ）（A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =（C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b =练习：1、()()103x x -⨯-=________.2、()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。
3、23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 。
4、322(3)---⨯- = 。
5、下列运算中正确的是（ ）A ．336x y x =；B ．235()m m =；C ．22122x x-=； D ．633()()a a a -÷-=- 6、计算()8pm n a aa ⋅÷的结果是（ ）A 、8mnp a - B 、()8m n p a ++ C 、8mp np a+- D 、8mn p a+-7、下列计算中，正确的有（ ）①325a a a ⋅= ②()()()4222ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()752a a a -÷=。
A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()32x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ）A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102a b+的值；1、 已知2a x =，3bx =，求23a bx-的值。
整式的乘除知识点整理及方法
整式的乘除知识点：1、同底数幂的乘法：am·an＝am+n（m，n都是正整数）即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、幂的乘方法则：（am）n＝amn（m，n都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、积的乘方法则：（ab）n ＝ an·bn（n为正整数）积的乘方=乘方的积4、单项式与单项式相乘法则：（1）系数与系数相乘（2）同底数幂与同底数幂相乘（3）其余字母及其指数不变作为积的因式注意点：（1）任何一个因式都不可丢掉（2）结果仍是单项式（3）要注意运算顺序5、多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
（注意：项是包括符号的）注意点（1）多项式与多项式相乘的结果仍是多项式；（2）结果的项数应该是原两个多项式项数的积（没有经过合并同类项之前），检验项数常常作为检验解题过程是否的一个有效方法。
、乘法公式一：平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）。
乘法公式二：完全平方公式：（a ±b）2＝a2±2ab＋b2 （首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾27、am÷an==am－n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n））即同底数幂相除，底数不变，指数相减。
8、① a0=1（a≠0）② a－p=1/ap （a≠0，p是正整数）③用科学记数法表示较小的数如：即0.000 ……01=10－n9、单项式相除除以单项式（1）系数相除（2）同底数幂相除（3）只在被除式里的幂不变多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。
整式的乘除 复习讲解
整式的乘除复习讲义知识点回顾一 同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变指数相加。
(m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正数）；⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）二．幂的乘方与积的乘方1. 幂的乘方法则：(m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.2. .3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（-a）3化成-a34．底数有时形式不同，但可以化成相同。
5．要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=a n+b n（a、b均不为零）。
6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（n为正整数）。
7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
五. 同底数幂的除法1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即(a≠0,m、n都是正数,且m>n).2. 在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.②任何不等于0的数的0次幂等于1,即,如,(-2.50=1),则00无意义.③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即( a≠0,p是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的; 当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,5公式可以逆用，即可以从右边计算到左边；6此公式也适用于三个或三个以上的同底数幂相除，如(为正整数，)六. 整式的乘法1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
《整式的乘除》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《整式的乘除》全章复习与巩固（提高）【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n n a a-=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知228x y +=，993y x -=，求x+2y 的值．【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解．【答案与解析】解：根据3(2)22x y +=，2933y x -=， 列方程得：，解得：，则x+2y=11．【总结升华】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．2、（1）已知246122,9,5===a b c ，比较,,a b c 的大小.（2）比较3020103,9,27大小。
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整式运算考点1、幂的有关运算①=⋅nm a a （m 、n 都是正整数） ②=n m a )( （m 、n 都是正整数）③=n ab )( （n 是正整数） ④=÷nm a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0a （a ≠0）⑥=-pa（a ≠0，p 是正整数）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例：在下列运算中，计算正确的是（ ）（A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =（C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b =练习：1、()()103x x -⨯-=________.2、()()()32101036aa a a -÷-÷-÷ = 。
3、23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 。
4、322(3)---⨯- = 。
5、下列运算中正确的是（ ）A ．336x y x =；B ．235()m m =；C ．22122x x-=； D ．633()()a a a -÷-=- 6、计算()8pm n a aa ⋅÷的结果是（ ）A 、8mnp a - B 、()8m n p a ++ C 、8mp np a+- D 、8mn p a+-7、下列计算中，正确的有（ ）①325a a a ⋅= ②()()()4222ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()752a a a -÷=。
A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()32x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ）A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102a b+的值；1、 已知2a x =，3bx =，求23a bx-的值。
2、 已知36m=，92n=，求2413m n --的值。
3、 若4ma=，8n a =，则32m n a -=__________。
4、 若5320x y --=，则531010xy ÷=_________。
5、 若3129327m m +÷=，则m =__________。
6、 已知8mx =，5nx =，求m nx -的值。
7、 已知102m=，103n=，则3210m n +=____________．提高点2：同类项的概念例： 若单项式2a m+2n b n-2m+2与a 5b 7是同类项，求n m 的值． 练习：1、已知31323m x y -与52114n x y +-的和是单项式，则53m n +的值是______. 经典题目：1、已知整式210x x +-=，求322014x x -+的值。
考点2、整式的乘法运算例：计算：31(2)(1)4a a -⋅- = ．解：)141()2(3-⋅-a a ＝1)2(41)2(3⋅--⋅-a a a ＝a a 2214+-.练习：8、 若()()32261161x x x x x mx n -+-=-++，求m 、n 的值。
9、 已知5a b -=，3ab =，则(1)(1)a b +-的值为（ ）.A ．1-B ．3-C ．1D ．310、代数式()()222235yz xz y xz z x xyz +-+++的值（ ）.A ．只与,x y 有关B ．只与,y z 有关C ．与,,x y z 都无关D ．与,,x y z 都有关11、计算：()()200820083.140.1258π-︒+-⨯的结果是（ ）.考点3、乘法公式平方差公式：()()=-+b a b a完全平方公式：()=+2b a ，()=-2b a例：计算：()()()2312x x x +---分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项. 解： ()()()2312x x x +---=2269(22)x x x x x ++---+ =226922x x x x x ++-++-=97x +.例：已知：32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ．分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形，使其出现（a b +）与ab ，以便求值.解：(2)(2)a b --=422+--b a ab =4)(2++-b a ab =242321=+⨯-. 练习：1、（a+b －1）（a －b+1）= 。
2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．（a+b ）（b+a ）B ．（－a+b ）（a －b ）C ．（13a+b ）（b －13a ） D ．（a 2－b ）（b 2+a ）3．下列计算中，错误的有（ ）①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4； ②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3）=x 2－9； ④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．－6 D ．－55、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值.6、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
7、若2(9)(3)(x x ++4)81x =-，则括号内应填入的代数式为（ ）. A ．3x - B ．3x - C ．3x + D ．9x - 8、(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2= 。
9、若M 的值使得()22421x x M x ++=+-成立，则M 的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．210、 已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
经典题目：11、 已知22))((nb mab a b a b a +-=+-，求 m,n 的值。
12、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x x +13、一个整式的完全平方等于291x Q ++（Q 为单项式），请你至少写出四个Q 所代表的单项式。
考点4、利用整式运算求代数式的值例：先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．1、()()()()5232224x y x y x y x y x +++-+÷⎡⎤⎣⎦，其中2x =，3y =-。
2、若()()32261161x x x x x mx n -+-=-++，求m 、n 的值。
3、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值. 4、已知2083-=x a ，1883-=x b ，1683-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。
5、已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式835-++cx bx ax 的值。
6、先化简再求值2(2)(2)(3)(39)x x x x x x +---++,当41-=x 时，求此代数式的值。
7、化简求值：（1）（2x-y ）13÷[（2x-y ）3]2÷[（y-2x ）2]3，其中（x-2）2+|y+1|=0.考点5、整式的除法运算例：已知多项式432237x x ax x b -+++含有同式22x x +-，求ab的值。
练习：1、已知一个多项式与单项式547x y -的积为()2577432212872x y x y y x y -+求这个多项式。
2、已知一个多项式除以多项式243a a +-所得的商式是21a +，余式是28a +，求这个多项式。
方法总结：①乘法与除法互为逆运算。
②被除式=除式×商式+余式3、已知多项式22331x ax x +++能被21x +整除，且商式是31x +，则a 的值为（ ）A 、3a =B 、2a =C 、1a =D 、不能确定4、31121233n n n a a a +--⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭练习：()()()()32322524x y x y x y x y x +--+-÷⎡⎤⎣⎦12、已知一个多项式与单项式314xy -的积为63345313428x y x y xy -+-，求这个多项式。
6、若n 为正整数，则()()1555n n+⎡⎤-÷-=⎣⎦（ ） A 、15n + B 、0 C 、15n +- D 、1-7、 已知32214369m n a b a b b ÷=，则m 、n 的取值为（ ）A 、4,3m n ==B 、4,1m n ==C 、1,3m n ==D 、2,3m n ==经典题目：8、已知多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除。
① 4a c +的值。
②求22a b c --的值。
③若,,a b c 均为整数，且1c a ≥≥，试确定,,a b c 的大小。
考点6、定义新运算例8：在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24x =的解． 练习：1、对于任意的两个实数对),(b a 和),(d c ，规定：当d b c a ==,时，有),(b a =),(d c ；运算“⊗”为：),(),(),(bd ac d c b a =⊗；运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕．设p 、q 都是实数，若)4,2(),()2,1(-=⊗q p ，则_______),()2,1(=⊕q p ．2、现规定一种运算：*a b ab a b =+-，其中a b ，为实数，则()**a b b a b +-等于（ ）A ．2a b - B ．2b b -C ．2bD ．2b a -考点7、因式分解例（1）分解因式：29xy x -= ． （2）分解因式：a 2b-2ab 2+b 3=____________________. 1、2328a bc a b +2、已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
3、()()32222()a a b a b a ab b a -+---三、课后作业1、 （1）()223211482x y xyz xy ⎛⎫⎛⎫-⋅-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()()()2232x y x y y x y +---（3）()()222121a a -+ （4）2200720092008⨯-（运用乘法公式）2、（5分）先化简，再求值：22[(2)(2)2(2)]()xy xy x y xy +---÷，其中21(10)025x y -++=.3、小马虎在进行两个多项式的乘法时，不小心把乘以()2x y -，错抄成除以()2x y -，结果得()3x y -，则第一个多项式是多少？4、梯形的上底长为()43n m +厘米，下底长为()25m n +厘米，它的高为()2m n +厘米，求此梯形面积的代数式，并计算当2m =，3n =时的面积.5、如果关于x 的多项式()()()22232125546xmx x x mx x mx x +-++-+---的值与x 无关，你能确定m的值吗？并求()245m m m+-+的值.6、已知1234567822,24,28,216,232,264,2128,2256========，…… （1）你能根据此推测出642的个位数字是多少？（2）根据上面的结论，结合计算，试说明()()()()()()24832212121212121-++++⋅⋅⋅+的个位数字是多少？7、阅读下文，寻找规律：已知1x ≠，观察下列各式：()()2111x x x-+=-，()()23111x x x x -++=-，()()234111x x x x x -+++=-…（1）填空：()1(x -8)1x =-.234200712222...2++++++=（2）观察上式，并猜想：①()()211nx x x x -+++⋅⋅⋅+=______.②()()10911x x x x -++⋅⋅⋅++=_________.（3）根据你的猜想，计算：①()()234512122222-+++++=______.② ______.8、我国宋朝数学家扬辉在他的著作《详解九章算法》中提出表1，此表揭示了()na b +（n 为非负数）展开式的各项系数的规律. 例如：()1a b +=它只有一项，系数为1； ()1a b a b+=+它有两项，系数分别为1，1；()2222a b a ab b +=++它有三项，系数分别为1，2，1；()3322333a b a a b ab b +=+++它有四项，系数分别为1，3，3，1；……根据以上规律，()4a b +展开式共有五项，系数分别为__________.9．观察下列各式：23456,,2,3,5,8,x x x x x x …….试按此规律写出的第10个式子是______.10．有若干张如图2所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为()2a b+，宽为()a b+的长方形，则需要A类卡片________张，B类卡片_______张，C类卡片_______张.图2。