材料力学-第11章 压杆稳定

材料力学－第11章 压杆稳定
§11-4 中、小柔度杆的临界应力 解：杆件在两个平面内都可能失稳
两端作铰支处理
两端作固定端处理
= λ =
µl
i
l l = 2 3 h bh3 12bh
µl λ= =
i
0.5l = hb3 12hb
3
l b
= 132.8
= 99.6
所以，杆件在正视图平面内失稳 π 2 E π 2 × 205 ×109 σ cr = = = 114.7 MPa 临界应力 λ2 132.82
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§11-4 中、小柔度杆的临界应力
欧拉公式的适用范围 欧拉公式只在弹性范围内适用。 所以，临界失稳时，杆横截面上的正应力不超过材 料的比例极限，即
Fcr σ = ≤σp cr A
其中σcr称为临界应力(critical stress)； σp为 材料的比例极限。
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§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
同一压杆，在不同方向上可能具有不同的有效长度
1. 约束的影响：
z y x
柱状铰 在垂直于销轴的平面(x-z平面)内，杆的约束相当于铰支； 在销轴平面(x-y平面)内，杆的约束相当于固定端。
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§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
同一压杆，在不同方向上可能具有不同的有效长度
π × (160 ×10-3 ) 64
4
= 2.6 × 10 6 N = 2.60 × 10 3 kN
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§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ，确定两根杆的临 界载荷 对于两端固定的压杆，就有
= Fcr
端为固定端，一端为铰支。
Fcr,1
F
Fcr,1
Fcr =
( 0.7l )
π 2 EI
2
2：中间铰链处w=0, θ≠0，所以中间铰链仍相当于铰支，此时压杆两
端均为铰支。
Fcr,2
F
Fcr,2
π 2 EI Fcr = 2 l
所以，系统的相当长度 leq = l 临界载荷 Fcr =
π 2 EI
l2
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材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
1. 分析两根压杆的临界载荷 从欧拉公式可以看出，对于材料 和截面都相同的两跟杆件，应计算杆 件的有效长度，有效长度小的临界载 荷大。 有效长度：
1× 5m = 5m ( µ l )b = 0.5 × 9m = 4.5m ( µ l )a =
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§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
w =Asinkx + Bcoskx
B=0
2 k =
A sin kl = 0
2 2
F nπ = EI l2
屈曲位移函数：
w = A sin nπ x l
,= n 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅
弯曲幅值A取决于弯曲程度，与压力F有关。
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§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
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§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
F
分叉点
平衡路径
Fcr
平衡路径
Δ O
从平衡路径可以看出，当 w0→0时F→Fcr。这表明，当F 无限接近分叉载荷Fcr时，在直 线平衡构形附近无穷小的邻域 内，存在微弯的平衡构形。根 据这一平衡构形，由平衡条件 和小挠度微分方程，以及端部 约束条件，即可确定临界载荷。
i 尺寸和截面形状对压杆承载能力的影响。
其中， λ=
µl
称为柔度，综合反映压杆长度、约束条件、截面
而 i=
I 称为截面的惯性半径，其量纲为L。 A
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§11-4 中、小柔度杆的临界应力
关于惯性半径的讨论：
d
i= I 称为截面的惯性半径，其量纲为L。 A
1. 圆截面
= i I = A
2. 杆件截面的影响：
z
Iz > I y
y 由欧拉公式 Fcr =
( µl )
π 2 EI
2
该杆的有效长度由Iy决定。
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§11-4 中、小柔度杆的临界应力
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§11-4 中、小柔度杆的临界应力
欧拉公式的适用范围 临界应力与柔度 临界应力的经验公式
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§11-4 中、小柔度杆的临界应力
关于柔度的讨论：
柔度对失稳时临界应力的影响？
π 2E σ cr = 2 λ
柔度 λ =
柔度越大，越容易失稳。
综合了反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截 i 面形状对压杆承载能力的影响。
µl
思考题：试用压杆稳定理论和柔度的概念解释举重的关键。
FR d 2w F + w = (l − x) 2 dx EI EI
Fcr =
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§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡 微分方程和边界条件都可能各不相同，但基本分析方法和分析过 程却是相同的。 对于细长杆，临界载荷公式可以写成通用形式：
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§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆 处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：
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§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
w
F
x
w
F
假设压力略大于临界力，压杆处 于微弯状态。 考察微弯状态下局部压杆的平衡：
µl
i
π 2E π 2E = 2 2 µ l ul ( )
i2 i
令 λ=
π 2E σ cr = 2 λ
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§11-4 中、小柔度杆的临界应力
临界应力与柔度
π 2 EI π 2E σ cr = = 用柔度表示临界应力： 2 ( µl ) A λ 2
M F
w
F
M (x) = − Fw
k2 =
d2w M (x) = EI 2 dx
d2w Fw + EI 2 = 0 dx
F EI
d2w 2 + k w=0 2 dx
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§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
w
F
x
w
F
d2w 2 + k w=0 2 dx
k2 =
F EI
M F
( ul )
π EI
2 2
＝
π × 206 ×10
2
9
( 0.5 × 9 )
2
×
π × (160 ×10-3 ) 64
4
= 3.21×10 6 N = 3.21×10 3 kN
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§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
例题2
确定图示细长压杆的相当长度与临界载荷。弯 曲刚度EI为常数。
Iy = A
πd4
64
πd2
d = 4 4
2. 矩形截面
= iy b hb3 = bh 12 2 3
z
= iz
Iz = A
h bh3 = bh 12 2 3
y
惯性半径越小，越容易失稳
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§11-4 中、小柔度杆的临界应力
例题3
正视图
俯视图
已知：b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm, Q235钢E＝205 GPa, 试求: 该杆处于失稳临界状态时横截面内的正应力 σ cr 。
w
F
微分方程的解: w =Asinkx + Bcoskx
= x 0= , w 0: 边界条件:
B=0
A sin kl = 0 x l= , w 0: = = kl nπ , = n 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ 系数A，B不能全为0：sin kl = 0 2 2 F n π 2 = = k ,= n 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ 2 EI l n 2π 2 EI = ,= n 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ 临界载荷： F cr 2 l 欧拉公式 π 2 EI 最小临界载荷： Fcr = 2 欧拉临界载荷 l
F
wmax
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§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
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§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 一端固支，一端铰支细长压杆：
w
x w(x)
FR
F
l
x
如何求解临界载荷？
M ( x) = − Fw + FR (l − x)
π 2 EI
(0.7l ) 2
材料力学
第十一章 压杆稳定
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
§11-1
1. 2.
稳定性概念
什么是压杆的稳定性？ 压杆失稳的危害和利用
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
F<Fcr
压杆的稳定性
撤去扰动后
F
轴向压力较小时，杆件可回复到直线平衡状态， 直杆的直线平衡状态是稳定的平衡态。 使得杆件的直线平衡态由稳定转为不稳定的临界轴 向压力Fcr，称为压杆的临界载荷。 轴向压力较大时，杆件不能恢复直线状态，而继 续弯曲， 称直杆的直线平衡状态是不稳定的平衡态。
§11-4 中、小柔度杆的临界应力
欧拉公式只适用于弹性范围：
σ = cr
其中：
Fcr σ = = cr A
Fcr ≤σp A
π 2 EI π 2E I = 2 2 ( µl ) A ( µl ) A
2 将与杆件横截面尺寸有关的几何量 I/A 提出，令 i =
I A
π 2E I σ cr = = 2 µ l ( ) A
Fcr =
( µl )
π 2 EI
2
这一表达式称为欧拉公式。其中µl为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)；
µ为反映不同支承影响的系数，称为长度因数（coefficient of
1ength），可由屈曲后的正弦半波长度确定。
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§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
压杆稳定平衡路径
F
分叉点 平衡路径
F<Fcr 时，直线平衡态为稳定且唯一的 F>Fcr 时，直线平衡态不稳定，一旦有 扰动，杆将转为弯曲平衡态 F=Fcr 时，平衡路径近似水平相切， 说明杆既可以在直线位置保持平衡， 也可以微弯位置保持平衡
Fwk.baidu.com
Fcr
平衡路径
wmax O
影响加工精度和齿轮啮合
驼背及一系列椎间盘疾病
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
压杆稳定的利用 － 柔性电子器件
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
F
压杆失稳过程中，扰动的来源
实际压杆的轴线存在着初始曲率 作用在杆件上的外力作用线一般也不与杆件 的轴线恰好重合 杆件的材料不可能达到理想的均匀性
材料力学－第11章 压杆稳定
F
l
l
F
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§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
解： 临界载荷作用下，压杆存在对称与反对称两种微弯平衡
方式，分别如下图所示
Fcr,1
Fcr,1
Fcr,2
Fcr,2
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§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
1：中间铰链处w=0, θ＝0，所以中间铰链相当于固定端，此时压杆一
F>Fcr
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引言
压杆的稳定性：受压杆件保持原有平衡状态的能力 压杆失稳： 受压杆件失去直线平衡状态，改为弯曲平衡
p>pcr
F>Fcr
其他类型的失稳现象
材料力学－第11章 压杆稳定
引言
压杆失稳在生活和工程中的危害
失稳
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引言
压杆失稳在生活和工程中的危害
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§11-4 中、小柔度杆的临界应力
关于柔度的讨论2：
柔度取何值时，杆内应力刚好不超过比例极限 σ p ？
π 2E σ cr = ≤σp 2 λ
取 λp = π
E
λ ≥π
E
σp
σp
则仅当 λ ≥ λ p 时，欧拉公式才成立。
FPcr =
( µl )
π 2 EI
2
需要注意的是, 临界载荷公式只有在压杆的微弯 曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的。
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
例题1
两根直径均为 d 的压杆， 材料都是 Q235 钢，但二者长 度和约束条件各不相同。试； 1. 分析: 哪一根压杆的临界 载荷比较大？ 2. 已知：d =160 mm， E =206 GPa , 求：两根杆 的临界载荷。
Fcr ( a ) < Fcr ( b )
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§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa , 确定两根杆的临界载荷
对于两端铰支的压杆，就有
Fcr =
π EI π × 206 ×10 ＝ × 2 2 5 l
2 2 9
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 长度因数 µ 由屈曲后的正弦半波长度确定 欧拉公式可写为：
π 2 EI
(正弦半波长 )
2
两端铰支 µ＝1.0
一端自由， 一端固定 µ＝2.0
一端铰支， 一端固定 µ＝0.7
两端固定 µ＝0.5
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§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷