平面向量基本定理系数的等值线法学生用

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平面向量基本定理以及“等和线”的应用

平面向量基本定理以及 “等和线”的应用
突破点一突破点二突破点三课时达标检测
问题的提出
平面向量与代数、几何融合的题目综合性强，难度大，考试要求高。近年，以“等和线”为背景的试题层出不穷。考生在解决此类问题时，往往因思路不清、运算繁琐而失分。
本专题将在平面向量基本定理的基础上推导得出“等和线”解题的原理，并利用“等和线”原理解决与向量系数有关的最值和范围有关的问题。
所以, 3 y, 3x 3x 3 y 3
当点P与A点重合时,显然有 : 0,所以,选C.
突破点一突破点二突破点三课时达标检测
练习：如图,四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA 的延长线上,且OD 2,点P为BCD内(含边界)的动点,
uuur uuur uuur
（二）起点不同，平移改造基底型
F
突破点一突破点二突破点三课时达标检测
练习：突破点一突破点二突破点三课时达标检测
突破点一突破点二突破点三课时达标检测
练习：突破点一突破点二突破点三课时达标检测
（三）合理调节、变换基底型例题：
1 2
uuur uuur PA, PB1
1 3
uuur PB
.
由
2x 2x 3y
3y 2x 3y
1
得点
A1 ,
B1,
D
共线,即点
D
在直线
A1 B1
上.
uuur uuur 再由 PC 5PD 知点 C 的轨迹就是直线 A2B2 ,其中 PA2 5PA1, PB2 5PB1 .如下图:

沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量等值线课件优秀课件PPT

B
与AB1平行的直线
O
A
B1
P
四、探究三
平面内一组基OA， OB及任一向量OP, 一
OP 1OA 2 OB(1，2为实数), 若12 k，则点P的轨迹是什么？
取特殊基向量OA i, OB j B
P
双曲线 xy 12
一般的OA, OB呢？
O
A
☆□
四、探究三等积线
应用(2010上海卷理13)如图所示,直线x 2与双曲线
:
x2 4
y2
1的渐近线交于E1、E2两点,记OE1
e1，
OE2 e2，任取双曲线上的点P,若OP ae1 be2 (a, b R),则a, b满足的一个等式是_______.ab 1
4
高考题变式:
若此题中满足ab 1，求点P轨迹。 4
☆□
五、探究四
平面内一组基OA， OB及任一向量OP ,
OP 1OA 2 OB(1，2为实数), 若 1 k，则点P的轨迹是什么？
2
B P
O
A
☆□
课堂小结
1. 等值线及其性质； 2. 体会了发现、提出问题的过程；
分析、解决问题的方法；
3. 运用了特殊到一般，数形结合，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ合情猜测，严格证明的研究方法。
课后思考
若 | OA || OB |，OP 1OA 2 OB， 1. 12 22 k为定值时，则P点的轨迹是什么？ 2. 12 22 k为定值时，则P点的轨迹是什么？
OP 1OA 2 OB(1，2为实数),
1 2 2 OP 2OD
1
2
1 3
OP 1 OD 3
1 2
3
4
OP 3 OD 4

从平面向量中的等值线说起(吴波《数学通讯》2015 年第 9期(下半月))

图２
图３
式将ｘ解得ｘｙ放缩将其化为关于ｘ＋ｙ的不等式，︵当Ｃ为Ａ＋Ｂ的中点时取最大值２．ｙ≤２． → → 为标架建立平面仿射坐说明以｛Ｏ；ＯＯＡ，Ｂ｝ →＋Ｏ → → Ａ标系，题设Ｏ点Ｃ在此坐标系ＯＣ＝ｘｙＢ表明：
２则上述解答中得到的方程ｘ中的坐标即是（ｘ，．ｙ）２︵＋Ｂ所在的圆在此坐标系ｙ＝１即是图３中Ａｙ－ｘ
［３］例１四边形ＰＱＲＳ是四边形ＡＢ－如图２，
ＣＡＰＢＱＣＤ的内接四边形，Ｐ＝λ Ｂ，Ｑ＝λ Ｃ，Ｒ＝１２ＲＤＳＡＢＣＤＤ，Ｓ＝λ Ａ． ′、 ′、 ′、 ′分别是四边形 λ ３４
４０
下半月）数学通讯 — ２０１５年第９期（ · 专论荟萃 ·
从平面向量中的等值线说起
吴波
）（重庆市长寿龙溪中学，０１２４９４
１．平面向量基本定理系数等值线平面向量基本定理如果ｅｅ１，２是同一平面内有且两个不共线向量，则对该平面内的任一向量ａ，使ａ＝只有一对实数λ ｅｅ λ λ λ １，２，１１＋２２．］文［称上式中的λ １ λ １，２为平面向量基本定理系数，并证明了：
（ＯＡ，Ｂ为渐近线的某 ⅳ ）若点Ｐ在以直线Ｏ条双曲线上，则λ 反之也成立． λ １２为定值．（注：结论（中的“ 定值” 应当加上 “ 非零” 的 ⅳ））限制．，）文［将直线Ａ由结论（Ｂ以及与ＡＢ平行１］ｉ的直线叫作 “ 平面向量基本定理系数的等和线 ” 同．、（、中的直线分别叫作“ 理，结论（等差线” ⅲ） ⅱ） “ ；等商线 ” 而结论（中的双曲线叫作 “ 等积线 ” ． ⅳ）］文［中还讨论了ｋ的取值范围与等值线的位１置的对应关系．本文拟探讨在这些等值线背后隐藏的实质，从另一个角度加深对平面向量基本定理的理解．２．等值线背后的实质

平面向量基本定理系数的等值线法(答案)

平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法.二、基本理论（一）平面向共线定理已知OC OB OA μλ+=，若1=+μλ，则C B A ,,三点共线；反之亦然（二）等和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ， ),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1,0(∈k ；（3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，),1(+∞∈k ；（4）当等和线过O 点时，0=k ；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；（6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比. （三）等差线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ， ),(R OB OA OP ∈+=μλμλ， C 为线段AB 的中点，若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上，则k =-μλ（定值）；反之也成立，我们把直线OC 以及与直线OC 平行的直线称为等差线（1）当等差线恰为直线OC 时，0=k ；（2）当等差线过A 点时，1=k ；（3）当等差线在直线OC 与点A 之间时，)1,0(∈k ；（4）当等差线与BA 延长线相交时，),1(+∞∈k ；（5）若两等差线关于直线OC 对称，则两定值k 互为相反数. （四）等积线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在以直线OB OA ,为渐近线的双曲线上，则λμ为定值k ，反之也成立，我们把以直线OB OA ,为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在AOB ∠内肘，0>k ；（2）当双曲线的两支都不在AOB ∠内吋，0<k ；（3）特別的，若),(b a OA =，),(b a OB -=，点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上时，41=k （五）等商线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在过O 点（不与OA 重合）的直线上，则k =μλ（定值），反之也成立，我们把过点O 的直线（除OA 外）称为等商线（1）当等商线过AB 中点吋，1=k ；（2）当等商线与线段AC （除端点）相交时，),1(+∞∈k ；（3）当等商线与线段BC （除端点）相交时，)1,0(∈k ；（4）当等商线为OB 时，0=k ；（5）当等商线与线段BA 延长线相交时，)1,(--∞∈k ；（6）当等商线与线段AB 延长线相交时，)0,1(-∈k ；（7）当等商线与直线AB 平行时，1-=k . （六）等平方和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，且OB OA =，若点P 在以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆上，则22μλ+为定值k ，反之也成立，我们把以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线特別的，若),(b a OA =，),(b a OB -=，，点P 在椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上时，21=k 三、解题步骤 1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；五、典型例题例1.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x +的最大值是解法1：以点O 为原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则)01(，A ，)23,21(-B设θ=∠AOC ，则)sin ,(cos θθC ，所以OB y OA x OC +=)23,21()0,1()sin ,(cos -+=⇒y x θθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒θθθθθsin 32sin 31cos 23sin 21cos y x y y x2)6sin(2sin 3cos ≤+=+=+∴πθθθy x 当且仅当26ππθ=+即3πθ=时等号成立所以2)(max =+y x解法2：设OC 交AB 于点D ，则当点C 在1C 处时，2)(max =+y x当点C 在A 或B 处时，1)(min =+y x]2,1[∈+∴y x例 2.在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AF y AB x AP +=，则y x +的取值范围解析：设AP 与BF 相交于点Q ，则当点P 在点D 处时，4)(max =+y x ，当点P 在CE 上（不如让点P 在AD 与CE 的交点处）时，3)(min =+y x ∴]4,3[∈+y x例3.如图，在平行四边形ABCD 中，N M ,为CD 边的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为边AB 边上一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若BN y AM x PQ +=，则yx +的取值范围是解析：作BN PT AM PR ==,，则PT y PR x BN y AM x PQ +=+=所以当点P 在S 点处时，43)(min =+y x ，当点P 在MN 上时，1)(max =+y x ，故∈+y x ]1,43[例4.梯形ABCD 中，AB AD ⊥，1==DC AD ，3=AB ，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AD y AB x AP +=，则y x +的取值范围解析：当点P 在点C 处时，34)(max =+y x 当点P 在BD 上时，1)(min =+y x∈+∴y x ]34,1[例5.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若 AC AB DE 21λλ+=（21,λλ为实数），则21λλ+的值为解析：作AC DN AB DM ==,，则MN ∥BE （BE 在DMN ∆中位线上）∴DN DM AC AB DE 2121λλλλ+=+==+∴21λλ21注：此题为2013年江苏高考题第8题，但点E 为三等分的条件其实没有必要，可舍例 6.在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设AP y AD x AE +=，则y x +2的最小值为解析：取AD 的中点M ，则AP y AD x AE +=AP y AM x +=2 因为点P 在半圆上滑动，当点E 离直线MP 最近时，y x +2最小由图可知点P 在半圆上的最高点处时，点E 离直线MP 最近此时点E 在MP 上，所以=+min )2(y x 1例7.在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AP y DE x AC +=，则y x +的最小值为解析：作DE AF =，则AP y DE x AC +=AP y AF x += 当点C 离PF 最近时，y x +最小所以当点P 在圆上滑到点B 处时，y x +最小为218.已知1==ON OM ，ON y OM x OP +=（y x ,为实数），若PMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则y x -取值的集合为解析：作ON OA -=，则有OA ON OM ==，所以090=∠AMN ，即P M A ,,三点共线，所以ON y OM x OP +=OA y OM x -=所以1=-y x ，故答案为{}1例9.已知椭圆E ：12510022=+y x 的上顶点为A ，直线4-=y 交椭圆于C B ,（B 在C 的左侧），点P 在椭圆E 上，若BC n BA m BP +=，求n m +的最大值解析：可知点P 为椭圆的与AC 平行的切线的切点处时，n m +最大计算可得=+max )(n m 1813105+ 例10.已知O 为ABC ∆的外心，若)00(，A ，)02(，B ，1=AC ，32π=∠BAC ，且AC AB AO μλ+=，则=+μλ解析：过点O 作OD ∥BC 交AB 于点D ，则ABAD=+μλ O 为ABC ∆的外心⇒点O 在BC 的垂直平分线上⇒点O 的横坐标为1 )23,21(-C ，532523-=-=BCk ，7)221()23(22=--+=BC由正弦定理得3212327sin 2=⨯=⇒∠=OA BACBCOA ，所以点O 的纵坐标为332137=-，直线OD ：)1(53332--=-x y ，令0=y 得点D 的坐标为)0,313( 613==+∴AB AD μλ例11.已知O 为ABC ∆的外心，若31cos =∠BAC ，AC AB AO μλ+=，则=+max )(μλ 解析：设AO 交BC 于点D ，则ODAO AOAD AO +==+μλ 当OD 最小即BC AD ⊥时，μλ+最大，此时=+μλ43所以=+max )(μλ43例12.平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为0120 ，OA 与OC 的夹角为030，且1==OB OA ，32=OC ，若OB n OA m OC +=，则n m +的值为解析：设OC 交AB 于点D ，则n m +ODOC=OAD ∆中，331300=⇒==∠=∠OD OA OAD AOD ，所以OD OC =63332== 例13.如图，C B A ,,是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OB n OA m OC +=，则n m +的取值范围为解析：∈-=+ODOCn m )0,1(-例14.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为)0,5(，)1,2(1=e ， )1,2(2-=e 分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线Γ上的点P ，若),(21R b a e b e a OP ∈+=，则b a ,满足的一个等式是解析：等积线：双曲线的方程为1422=-y x ，设)tan ,sec 2(θθP ，则由),(21R b a e b e a OP ∈+=⎩⎨⎧=-=+⇒⎩⎨⎧=-=+⇒-+=⇒θθθθθθtan sec tan sec 222)1,2()1,2()tan ,sec 2(b a b a b a b a b a 1tan sec )()(2222=-=--+⇒θθb a b a 41=⇒ab例15.已知1=OA ，3=OB ，0=⋅OB OA ，点C 在AOB ∠内，且030=∠AOC ，设OB n OA m OC +=，则nm的值为答案：等商线：分别以OB OA ,为y x ,轴建立平面直角坐标系，则)3,0(),01(B A ，， OB n OA m OC +=)3,()3,0()0,1(n m n m =+=，又030=∠AOC ，所以330tan 30=⇒=nmm n例16.如图，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，单位圆与坐标轴交于点)01(，-A ，点)10(-，B ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ，设),(R y x PN y PM x PO ∈+=，求y x +的最小值解析：设OP 交MN 于点Q ，MN 的中点为D ，则21211111=+-≥-=-==+OQ OQ PO PO PQ PO y x例17.如图，在扇形OAB 中，060=∠AOB ，C 为弧AB 上且不与A 、B 重合的一个动点，OB y OA x OC +=，若)0(>+=λλy x u 存在最大值，则λ的取值范围为解析：因为0>λ，在射线OB 上取点D ，使得OB OD λ1=，则OB y OA x OC +=OD y OA x λ+=，过点C 作CE ∥AD 交OB 于点E ，过点A 作OB AM ⊥于点M ，过点A 作弧AB 的切线交OB 于点N ，则易知当E 离D 最远时u 有最大值，而E 只能在线段MN 上，所以∈u )2,21(例18.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点B A ,满足2=⋅==OB OA OB OA ，则点集{}R OB OA OP P ∈≤++=μλμλμλ,,1,所表示的区域面积为解析：由题意可知60=∠AOB ,设OB OD OA OC -=-=,，R OB OA OP ∈≤++=μλμλμλ,,1,，则可知点P 的轨迹为平行四边形ABCD 及其内部的部分，其面积为3460sin 44210=⨯⨯⨯例19.已知b a ,是两个互相垂直的单位向量，且1=⋅=⋅b c a c ，则对任意的正实数t ，b ta t c 1++的最小值为解析：分别以b a ,为y x ,轴方向上的单位向量，则)1,0(),0,1(==b a ，由1=⋅=⋅b c a c 知)1,1(=c ，)11,1()1,0(1)0,1()1,1(1tt t t b t a t c ++=++=++∴2212)12()2()11()1(12222≥+=+≥+++=++tt t t t t b t a t c。

高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》

等和线定理可知，点 P 位于矩形 ABA'B' 内（含边界）.其面积 S 4SAOB 4 3 .
衡阳市高中教师数学交流 QQ 群：731847633
衡阳市数学学会
练习 5：如图 13 所示， A, B, C 是圆 O 上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长
线交于圆 O 外的点 D ,若 OC mOA nOB ，则 m n 的取值范围是
当 AD EF 时， f x, y AD 取得最小值，此时 f x0 , y0 AD .易知
ABC AEF ，则 AD AH r 4 .
四、解题总结 1、确定等值线为 1 的直线； 2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； 3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值.
部的动点，设向量 AP m AB n AFm, n R ，则 m n 的取值范围是（）
A . 1,2
B . 5,6
C . 2,5
D .3,5
【分析】
如图 5，设
AP1
m AB n AF ，由等和线结论，m n
AG AB

2 AB AB
2 .此为 m n
的交点，P 为边 AB 上一动点，Q 为 SMN 内一点（含边界），若 PQ x AM y BN ，
则 x y 的取值范围是
.
【分析】
如图 8 所示，作 PS AM ，PT BN ，过 I 作直线 MN 的平行线，由等和线定理
可知，
x

y

3 4
,1
.
（三）基底一方可变
OB'

平面向量系数和(等和线、等值线)问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 2025年高考数学一轮复习学案

第04讲平面向量系数和（等和线、等值线）问题（高阶拓展、竞赛适用）（5类核心考点精讲精练）平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。

平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。

近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ=而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关。

平面向量等值线法

技巧八平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法。

二、基本理论（一）平面向量共线定理三点共线；反之亦然，则若已知C B A ,,1,=++=μλμλ（二）等和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R ∈+=μλμλ,，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则)(定值k =+μλ,反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线。

（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，()1,0∈k ；（3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，()∞+∈，1k ；（4）当等和线过O 点时，0=k ；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；（6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比；（三）等差线平面内一组基底,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，C 为线段AB 的中点，若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上，则)(定值k =-μλ,反之也成立，我们把直线OC 以及与直线OC 平行的直线称为等差线。

（1）当等差线恰为直线OC 时，0=k ；（2）当等差线过A 点时，1=k ；（3）当等差线在直线OC 与点A 之间时，()1,0∈k ；（4）当等差线与BA 延长线相交时，()∞+∈，1k ；（5）若两等差线关于直线OC 对称，则两定值k 互为相反数；（四）等积线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，若点P 在以直线OB OA ,为渐近线的双曲线上，则λμ为定值k ，反之也成立，我们把以直线OB OA ,为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在AOB ∠内时，0>k ；（2）当双曲线的两支都不在AOB ∠内时，0<k ；（3）特别的，若()()b a OB b a OA -==,,,，点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 时，41=k ；（五）等商线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，若点P 在过O 点（不与OA 重合）的直线上，则)(定值k =μλ，反之也成立。

平面向量基本定理系数的等和线

l AQBOA 1B 1PlOABCC 1平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。

【基本定理】（一）平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然（二）等和线平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。

（1）当等和线恰为直线AB 时，1k =；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；（3）当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞；（4）当等和线过O 点时，0k =；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【解题步骤及说明】1、确定等值线为1的线；22、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。

【典型例题】例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。

若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值是__________。

（1）跟踪练习：已知O 为ABC ∆的外心，若1cos 3ABC ∠=，AO AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为_______(2)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.(3)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λ AB →＋μ AD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2(4)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点,A B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{|,||||1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域面积为__________________.例3、如图，在扇形OAB 中，060AOB ∠=，C 为弧AB 上不与,A B 重合的一个动点，OC xOA yOB =+，若u x y λ=+ (0)λ>存在最大值，则λ的取值范围为__________.跟踪练习：在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设AE xAD y AP =+，则2x y +的最小值为_____________.AAC【强化训练】1、在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AP xAB y AF =+，则x y + 的取值范围__________.2、如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 为CD 边的三等份点，S 为,AM BN 的交点，P 为边AB 上的一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若PQ xAM yBN =+，则x y +的取值范围__________.3、设,D E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =，若12DE AB AC λλ=+ （12,λλ为实数），则12λλ+的值为_____________.4、梯形ABCD 中，AD AB ⊥，1AD DC ==，3AB =，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AP xAB y AD =+，则x y +的取值范围__________.5、已知||1,||3OA OB ==，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且030AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，则mn的值为____________. 6、在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AC xDE y AP =+，则x y +的最小值为_____________.7、已知||||1OM ON ==，(,OP xOM yON x y =+为实数）。

数学人教B版必修4示范教案：2.2.1 平面向量基本定理 Word版含解析

示范教案整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1) (2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e 1，e 2是两个不平行的向量，容易看出AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2， EF →＝4e 1－4e 2，GH →＝－2e 1＋5e 2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.教师强调：①我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； ④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，OA →＝a .图3由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图：过点A 作OE 2的平行(或重合)直线，交直线OE 1于点M ，过点A 作OE 1的平行(或重合)直线，交直线OE 2于点N ，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a 1，a 2，分别有OM →＝a 1e 1，ON →＝a 2e 2，所以a ＝OA →＝OM →＋ON →＝a 1e 1＋a 2e 2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x ，y 使OA →＝x e 1＋y e 2，则a 1e 1＋a 2e 2＝x e 1＋y e 2，即(x －a 1)e 1＋(y －a 2)e 2＝0.由于e 1与e 2不平行，如果x －a 1，y －a 2中有一个不等于0，不妨设y －a 2≠0，则e 2＝－x －a 1y －a 2e 1，由平面向量基本定理，得e 1与e 2平行．这与假设矛盾，因此x －a 1＝0，y －a 2＝0，即x ＝a 1，y ＝a 2.讨论结果：(1)(2)略．应用示例思路1例 1如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，F 使BF＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b .试用基底{a ，b }表示MA →，MB →，MC →和MD →(图5)图5解：因为AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b ，MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－12DB →＝－12a ＋12b .例 2 如图6，质量为10 kg 的物体A 沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g ＝10 m/s 2)图6解：物体受到三个力：重力AG →，斜面支持力AN →，滑动摩擦力AM →.把重力AG →分解为平行于斜面的分力AF →和垂直于斜面的分力AE →.因为物体做匀速运动，所以AN →＝－AE →，AM →＝－AF →.因为|AG →|＝10(kg)×10(m/s 2)＝100(N)， |AF →|＝|AG →|·sin30°＝100×12＝50(N)，|AE →|＝|AG →|·cos30°＝100×32＝503(N)，所以|AM →|＝|AF →|＝50(N)，|AN →|＝|AE →|＝503(N)．答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N ，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3 N ，方向与斜面垂直向上．例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2例 1如图8，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2.解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A 、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →.∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式来解决.例 2如图9，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BGGE的值．图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．解：设AG GD ＝λ，BGGE＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.①又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.②比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎨⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．3已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图10)，求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为OP →＝(1－t)OA →＋tOB →. ① 并且，满足①式的点P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平面向量基本定理知，存在实数t ，使AP →＝tAB →＝t(OB →－OA →)．图10所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →.所以点P 满足等式OP →＝(1－t)OA →＋tOB →，即有AP →＝tAB →，即P 在l 上．点评：由本例可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式①；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式①叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．在①中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则 OM →＝12(OA →＋OB →)．这是线段AB 的中点的向量表达式．这个公式很重要，应让学生理解并记忆.课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．作业课本本节练习B组2,3.设计感想1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示．2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．备课资料一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在△ABC中，D、E、L分别是BC、CA、AB的中点，设中线AD、BE相交于点P.图11求证：AD 、BE 、CL 三线共点．分析：欲证三条中线共点，只需证明C 、P 、L 三点共线．证明：设AC →＝a ，AB →＝b ，则AL →＝12b ，CL →＝AL →－AC →＝－a ＋12b . 设AP →＝mAD →，则AC →＋CP →＝m(AC →＋CD →)，CP →＝(－1＋m)AC →＋mCD →＝(－1＋m)a ＋m[12(b －a )]＝(－1＋12m)a ＋12m b .① 又设EP →＝nEB →，则CP →－CE →＝n(EC →＋CB →)，∴CP →＝(1－n)CE →＋nCB →＝－12(1－n)a ＋n(b －a )＝(－12－12n)a ＋n b .② 由①②，得⎩⎨⎧ －1＋12m ＝－12－12n ，12m ＝n.解之，得⎩⎨⎧ m ＝23，n ＝13.∴CP →＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )＝23CL →. ∴C 、P 、L 三点共线．∴AD 、BE 、CL 三线共点．二、备用习题1．如图12所示，已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )图12A.13OA →＋43OB → B ．－13OA →＋43OB → C ．－13OA →－43OB → D.13OA →－43OB → 2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|＝m ，|e 2|＝n ，若c ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则|c |的最大值为( )A ．λ1m ＋λ2nB ．λ1n ＋λ2mC ．|λ1|m ＋|λ2|nD ．|λ1|n ＋|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→等于( )A.12(e 1＋e 2＋e 3)B.13(e 1＋e 2＋e 3) C.23(e 1＋e 2＋e 3) D ．－13(e 1＋e 2＋e 3) 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、CC ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如图13，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中与OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC→的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图13参考答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.6。

沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量等值线课件品质课件PPT

靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重要。重要的是谁让你重现笑
有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长久的一个人，而是
期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该看他贡献
身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以
是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若
相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不
忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人
；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也
至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之
:
x2 4
y2
1的渐近线交于E1、E2两点,记OE1
e1，
OE2 e2，任取双曲线上的点P,若OP ae1 be2 (a, b R),则a, b满足的一个等式是_______.ab 1
4
高考题变式:

平面向量基本定理系数的等值线法

平面向量基本定理系数的等值线法r适用题型在平面向绘甚本定理的表达式中.若需研究两系■数的和•墓积商、线性表达式及平方和时•可以足等值线法.二、基本理论<-）平面向量共绘定理己知忑±2亦十“況‘若久十戸=1，眦丑,c三点共线；反之亦然｛二>等和线平而内一组基底及任—向量莎*。

尸二兄刀+左3?（九严$代）.若点戸在直线佃上或在平行于血的直线上*则八戸=肌逹值）仮之也成立，我们把直线ABVX及芍苴线AB平行的直线成为零和纯c（1）当等和线恰为直线宓时，血=仁（2）与等和线右匸点和直线』占之间吋.A E（OJ）：（3）兰直线AB^O点和等和线之间时M胡卄知；（4）当等和线过O点时，&=3<5）若两答和线关于O点对称*则是置丘互为相反数:C6）定值R的变化与等和线到卍点的距离成正比；（三》等差线平面内一组琏底OA^OBJk任一向<5P,OP=AOA±pOS｛A.jU G R],匸为线段月E的中点*若点尸在直线OC上或在平疔干g的直线上，则门-出=帆崔值）仮之也成立，我忙[把直线Of以及与直线GC平行的直线称为等羞线.（1）当等差线恰沟直线OC1时，k=Oi⑵当等螯线过/点时I^=1¥（3）兰雑菱线在直线OC点/上间时，kw（M）;<4）为筹差线与氏1延张线相交时，2（1卄｝：（5）若两等差线关于直线OQ对称r则两宦值丘互为相反数；CB3）鞭线平面内一组基底刃、励及任一向童存’帀=衣方+”审（扎声€町’若点P住IX賣线gOH为渐近线的双曲线上’1U戸为定值I反之也成立.我们把以总线Q4QB聞渐近线的双曲线称为答积线m当鞭曲线有—辿厶OR内时’^>0；（“当双曲线的两龙部不性"OR内时+20七（3）特别的Iiff OA={a,b\OB=►点尸在双曲线^l_Zl=］（fl>o^>o）肘.丄：a~肝4（H>誓商线平面内一组菇底鬲“血及任一向蜀亦，=2玉十"0巩无輕蓟若点尸在过O点〔不与阳重合）的直线上.则±=削定值），反之也成址我们把过点O的直线（除64外）称为驛商线-<1）当零商线过曲中点时*k=l,⑵当等商线与线段犹（除端点）相交时，柴山+讪C3）-J|等冏统与缄段BE{除端点〉村交时*^E（OJ）,（4）当馨裔线即为时，k=Oz⑸勻等商绣与线段民I延长;统相交时.圧日-叫-小（G与等冏线与线段拙延长线相交时’止買一⑼；（7）当馨帰绘与直线宓平柠时*—g尊平方和找平面内一组毘底6L丽及任一向童d OP^AOA十卫丽认且€町・且石卜阿卜若点戸在以厶03角平分线为半长釉的帏圆上’则犷为宦值I反之也戍立，我们把以以厶角平分线为半长轴的橢圆称为零呼方和线*<.如硼、*•—2工特别的.若尿（询显仏孙点尸在双椭畤琲刊小小三. 解题步骤k确宦等值线为]的线；艺平楼慌转或伸缩）该线’结合动点的可行燃分析何处取得蚩大值和最小ffi:儿从长度比或苦点的位置两伞猎度，汁算最大值和壘小值’四. 几点补充k平面向蟄其线址理的表达式中的三个向鱼的起点劳必一致*若邓一致.本着少数魔从多数的原则，优先平移同定的向童*2.若需哩研究的提蒋疾数的线性琢则需要iffiil变换基底向霾，使胃需婪研究的代数式为基底的系数和或苣：五r典型例题例1给罡两个辰度対1的平面向量石和亦，它们的夹角为120°.如图所-示*J9“■.点C在以o为圆心的圆弧倉上变动t^OC=xOA^yOB i其中齐yw.则-Y+7的席犬值是.M2在正兴边形ABCDEF中*尸危三他形EDE內（包括边界）的动点*设乔=工乔+y乔，則时y的取值范訪I答案t[3.4]例3如圏.在平行M^ABCD'|LM、N M CD边旳三導分戊.SAMBN的父点*P対边4B边上一动直I Q7J ASMN内一克（會边界h若PQ=T』Af+.!-ff.V、则A+丁的取值范用足例4^ABCD中，彳D丄AS.AD=DC=},括边界h AP=xA&^yAD.则“尸的取值范围R5设门上分別^MSC的边貝&別？上的点，AD=-AB,B£=-BC^DE=^Aff^^AC（l,JL为实数｝,则占+&的值为（注：此題为13江苏斶垮也總R題+但点E为三解分的無件英实没有必塑I可舍）:"'16任正方形卫肚D屮・E为M中点.尸为毀肿为直後的半風弧上任意一点, T^AE=X AJ>+vAPf刚2X+F的最小值为静：1的任意—乩设: 対匚则"，的虽小值曲闵9已知#6圜E:5VIO+13AO=ZAB^pAC.则A+ju=答案:例7任正方ABCD11r,E为AB'l T点i尸为以冲为阀心’AE、h半律的関弧上制gLife]OM=ON=\t OP=jc(M^yOM(x,y为实数).若是U1M为直/fi顶点的Fi角三的底，则r-V収fjl的Sift.zj =1的上顶点为/・直线y=^交椭圆于艮f（月在C的左侧），点尸在懦圆E上'若市=忌5匸,求的堀大值例10己知O为的外心*l^(0.0k5(2,0k J4C-LZ5JC=答案:6,0容案：4衣I例H 如閣■乂EC 足圖O 上的三点，CO 的延快线场线段加旌延底线交于風O 卜卜例1【已知O 为山初C ■的外心，ScosZ^C =-1AO =AAB^^iAC^\例12平面内有三个向蜀鬲、Qi.DC ,K 中与刃与而的夹角为120"»OA 与况的夬他为3『『且I 631=I 面1=1,I 龙|=鮎仔，若OC =mOA+nOB f+n 的值为夕卜的点Q.^OC^mOA+nOB.则加十但的取值范圉为例14在平ffll/fj 坐标系中’双曲找「的中心&原点’它的一个焦点坐标为 (75,0)T et=(2^＞忑=(2.-1)分别是两条渐近贱的方向向虽任恥观曲统「上的点儿若丽=亦+意(口"左尺人则°』满足的一个等式是__例15已知石=1亦=石+鬲•亦=0*点C 在厶(9B 内*且厶OC =30叫设 ■-——一™■=F ?TOC =mOA+nOB ・则一的讥如.n答案:3邀心浅沛梢答鑒：(-ho)」•汝心渤瑞 M 16如IU 倾斜角対B 的宜线°尸号肚偷圆左第一彖限的部分交于点尸・单位园与坐标轴交于怎心忆点占®"J 旳与F 轴交于詁、阳与工轴龙于点M,设tyPN^yeR}^求x+y 的最屮值‘例门如国・在扇形ZAOB=60Q ,C 为弧AR 上且不与」B 重合的一个动点，OC=itOA^yOS 9若«=.u+2yU>0）存在最大值，则丸的取值范围为-的区域而职为. 答案：4^3例19已知和是两个互相垂直的单位向星且c-a =H =l t 则对任意的正实数f*|t'+fa+-6的最小值头F . 答案：2^2 鋼洽住平面直角坐标系中，O 为坐标原点*两足点』』满足。

高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》

衡阳市数学学会高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》衡东一中朱亚旸一、问题的提出平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高．近年，高考、模考中有关“等和线定理”（以下简称等和线）背景的试题层出不穷．学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高．在平时教学中，我们能不能给出一个简单、有效的方法解决此类问题呢？带着这个问题，笔者设计本微型专题．二、等和线定理平面内一组基地 OA, OB 及任一向量 OC ，OC = λOA + μOB(λ，μ ∈ R)，若点C 在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则λ + μ = k （定值），反之也成立，我们把直线 AB 以及直线 AB 平行的直线称为“等和线”．（1）当等和线恰为直线 AB 时， k =1；（2）当等和线在 O 点和直线 AB 之间时， k ∈(0,1)；（3）当直线 AB 在 O 点和等和线之间时， k ∈(1,+∞)；（4）当等和线过 O 点时， k =0；（5）若两等和线关于 O 点对称，则定值 k 互为相反数；（6）定值 k 的变化与等和线到 O 点的距离成正比；⎛ x y ⎫简证，如图1若 OC = λOD ，那么 OC = xOA + yOB = λ OA + OB⎪ = λOD ，λ λ⎝ ⎭从而有x+y= 1 ，即x+y= λ．另一方面，过C点作直线l // AB，在l上任作一λ λ点 C'，连接 OC'⋂ AB = D'，同理可得，以 OA, OB 为基底时，OC'对应的系数和依然为λ .三、定理运用（一）基底起点相同例1：（2017年全国Ⅲ卷理科第12题）在矩形 ABCD中， AB =1， AD =2，动点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ的最大值（）A .3B .22C . 5D .2【分析】如图2，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 l与圆相切时，λ + μ最大，此时λ + μ =AF=AB+BE+EF=3AB=3,故选 A .AB AB AB练习 1：(2006年湖南卷15题)如图3所示，OM // AB ，点 P 在由射线 OM 、射线段 OB 及 AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且 OP = xOA + yOB（1）则 x 的取值范围是；（2）当 x = - 1 时， y 的取值范围是.2【分析】(1),根据题意，很显然 x <0；（2）由平面向量基底等和线定理可知，0< x + y <1，结合 x = -12，可得12< y <32.练习2：(衡水中学 2018届高三二次模拟)如图4，边长为 2 的正六边形ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为1，圆心在线段 CD （含短点）上运动， P 是圆 Q 上及其内部的动点，设向量 AP = m AB + n AF(m, n ∈ R)，则 m + n 的取值范围是（）A .(1,2] B .[5,6] C .[2,5] D .[3,5]【分析】如图5，设 AP = m AB + n AF ，由等和线结论，m + n = AG = 2 AB = 2 .此为m+n1 AB AB的最小值；同理，设 AP = m AB + n AF ，由等和线结论，m + n = AH = 5 .此为m+n2 AB的最大值.综上可知 m + n ∈[2,5].（二）基底起点不同例 2：（2013 年江苏高考第 10 题）设 D , E 分别是 ∆ABC 的边 AB , BC 上的点，且有 AD =12 AB , BE = 23 BC , 若 DE = λ1 AB + λ2 AC (λ1 , λ2 ∈ R )，则 λ1+ λ2 的值为【分析】过点 A 作 AF = DE ,设 AF , BC 的延长线交于点 H ，易知 AF = FH ，即 AF = FH ，即 DF 为 BC 的中位线，因此 λ1 + λ2 =12 .练习 3：如图 7，在平行四边形 ABCD 中，M , N 为 CD 的三等分点，S 为 AM 与 BN 的交点，P 为边 AB 上一动点，Q 为 ∆SMN 内一点（含边界），若 PQ = x AM + y BN ，则 x + y 的取值范围是 .【分析】如图 8 所示，作 PS = AM ，PT = BN ，过 I 作直线 MN 的平行线，由等和线定理⎡3 ⎤可知， x + y ∈ ⎢ ,1⎥ .4 ⎣ ⎦（三）基底一方可变例 3：在正方形 ABCD 中，如图 9， E 为 AB 中点， P 以 A 为圆心， AB 为半径的圆弧上的任意一点，设 AC = x DE + y AP ，则 x + y 的最小值为 .【分析】由题意，作 AK = DE ，设 AD = λ AC ，直线 AC 与直线 PK 相交与点 D ，则有AD = λx AK + λy AP ，由等和线定理，λx + λy =1，从而 x + y =λ1，当点 P与点 B 重合时，如图10，λmax= 2 ，此时，(x+y)min=1 2．练习4：在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 P 在曲线Γ：y = 1 -x42(x≥ 0)上，曲线Γ与 x 轴相交于点 B ，与 y 轴相交于点 C ，点 D(2,1)和 E(1,0)满足OD = λCE + μOP(λ,μ ∈ R)则λ + μ的最小值为___.【分析】作CE = OA ，令 OD1= xOD ,有 OD1= xλOA + xμOP ，由等和线定理， xλ + xμ =1，所以λ + μ =1x，如图11，再由等和线定理，得(λ + μ)min=12 .（四）基底合理调节例题4：（2013 年高考安徽理科卷）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A, B 满足 OA = OB = OA⋅OB =2，则点集{P OP = λOA + μOB,λ + μ ≤1,λ,μ ∈ R}所表示的区域面积是（）A .22B .23C .42D .4 3【分析】由 OA = OB = OA⋅OB =2可知，OA, OB = π3 .如图 12 所示，当 λ ≥ 0，μ ≥ 0 时，若λ + μ = 1 ，则点P位于线段AB上；当λ ≥ 0，μ ≤ 0 时，若λ - μ = 1，则点P位于线段 AB'上；当λ ≤0，μ ≥0时，若- λ + μ =1，则点 P 位于线段 A' B 上；当λ≤ 0，μ ≤ 0 时，若- λ - μ = 1 ，则点P位于线段A'B'上；又因为λ + μ ≤ 1 ，由等和线定理可知，点 P 位于矩形 ABA' B'内（含边界）.其面积 S =4S∆AOB=4 3 .衡阳市数学学会练习5：如图13所示， A, B, C 是圆 O 上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D ,若 OC = mOA + nOB ，则 m + n 的取值范围是.【分析】作 OA, OB 的相反向量 OA1, OB1，如图14所示，则 AB // A1 B1，过 O 作直线 l // AB ，则直线 l ， A1 B1为以 OA, OB 为基底的平面向量基本定理系数等和线，且定值分别为0，-1 ，由题意CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，所以点C在直线 l 与直线 A1 B1之间，所以 m + n ∈(-1,0).练习6：如图15，在扇形 OAB 中，∠AOB =π3， C 为弧 AB 上的一个动点，若OC = xOA + yOB ，则 x +3 y 的取值范围是．【分析】，令 OB'=OB，依题意， OC = xOA +3 y OB⎪⎛ ⎫⎪3⎝ 3 ⎭重新调整基底 OA, OB'.显然，当 C 在 A 点时，经过 k =1的等和线， C 在 B 点时经过 k =3的等和线，这两个分别是最近跟最远的等和线，所以系数和x+ 3 y∈[1,3].（五）“基底+”高度融合例 5 ：已知三角形∆ABC 中， BC =6 ， AC =2 AB ，点 D 满足AD = 2x AB + y AC ，设f(x,y)= AD ， f (x, y)≥ f (x , y )恒成立，2(x+y)x + y 0 0则 f (x0, y0)的最大值为.【分析】衡阳市数学学会本题为“基底+阿氏圆”交汇命题.思路1：如图16所示，以 BC 为 x 轴，中垂线为 y 轴建立直角坐标系，易知点 B 的轨迹方程是(x -5)2+ y 2 = 16 ．取AC中点F，延长AB 到 E ，且 AB = BE .于是，AD =2xAB +yAC ，∴ AD =x (2 AB)+ y ⎛ 1 AC ⎫⎪ ，即有x + y 2(x+y) x + y (x + y)⎝2 ⎭AD =xAE +yAF ，从而 D ∈ EF ，进一步得到x + y x + yf (x, y)≥ f (x0, y0)= AK ,且有 AK =2 BG ，因为EF恒过∆ACE重心H，所以AK =2 BG ≤2 BH =4，即 f (x0, y0)max=4.思路2：如图17所示，同上分析， D ∈ EF .当 AD ⊥ EF 时，f(x,y)=AD取得最小值，此时 f (x0, y0)= AD .易知∆ABC ≅ ∆AEF ，则AD=AH≤r=4.四、解题总结1、确定等值线为 1 的直线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值.五、后记等和线定理巧妙的将代数问题转化为图形关系，将具体的代数式运算转化为距离的长短比例关系问题，这是数形结合思想的非常直接的体现。

平面向量基本定理系数等值线

平面向量基本定理系数等值线潘成银(江苏省南京民办实验学校,210019) 平面向量基本定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这个平面内的任一向量a ,有且仅有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2,我们称λ1,λ2为平面向量基本定理系数.1　三点共线定理　定理1　平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB (λ1,λ2为实数),则A ,P ,B 三点共线的充要条件是λ1+λ2=1,如图1.设线段AB 中点为C ,由平面向量加法平行四边形法则可知图　1当P 在点C 时,λ1=λ2=12;当P 在点A 时,λ1=1,λ2=0;当P 在点B 时,λ1=0,λ2=1;当P 在线段AC 上(除端点)时,0<λ2<λ1<1;当P 在线段BC 上(除端点)时,0<λ1<λ2<1;当P 在线段AB 延长线上时,λ1<0,λ2>1; 当P 在线段BA 延长线上时,λ1>1,λ2<0.借助上面的结论,我们可以对平面向量基本定理系数的性质作进一步研究.2　等和线　图　2如图2,平面内一组基底OA ,OB ,作直线l ∥AB ,直线OA ,OB 分别与l 交于A 1,B 1,设OA 1=k OA (k ∈R ),则OB 1=k OB ,若P 为l 上任意一点,OP =OA 1+A 1P =OA 1+t A 1B 1=OA 1+t (OB 1-OA 1)=(1-t )k OA +tk OB (t 为实数),设λ1=(1-t )k ,λ2=tk ,则λ1+λ2=k ,显然k 只与l 和直线AB 相对位置有关,而与P 在l 上的位置无关,所以,对于直线l 上任意一点P ,以O A ,OB 底的向量OP 的平面向量基本定理的系数和为定值.反之,对于任意两个向量OP 1,OP 2,OP 1=λ1OA +λ2OB ,OP 2=λ3OA +λ4OB (λ1,λ2,λ3,λ4为实数),若λ1+λ2=λ3+λ4,移项得λ3-λ1=点处的切线平行于这些弦.(2)椭圆焦点弦两端点处的两条切线相交在准线上.(3)设椭圆的中心为C ,如果CP 平分平行于CD 的弦,那么CD 也平分平行于CP 的弦.(4)若椭圆在其点P 处的切线交长轴延长线于T ,PN 垂直于长轴,垂足为N ,C 是中心,A 是长轴的一个端点,则CN ·CT =CA 2.[1]等等.3　结语　今天,变换的基本观点与基本思想为中学数学教学,特别是解析几何的教学提供了十分有益的指导.显然,平面上的变换就是到自身的一个对应.或者说,“变换无非是简单的函数概念的推广.”[2]本文表明,在高中数学内容中引入变换的观点是非常必要的.变换观点与变换思想的引入是对高中数形结合思想的进一步提升,也使高中阶段用代数方法研究几何问题达到了一个更高的层次.特别地,对于解析几何的问题解决来说,一切都变得简单而又自然.参考文献:[1]　[英]A .科克肖特,F .B .沃尔特斯著,蒋声译.圆锥曲线的几何性质[M ].上海:上海教育出版社,2002.[2]　[德]F .克莱因著,舒湘芹等译.高观点下的初等数学(第二册)[M ].上海:复旦大学出版社,2007.(收稿日期:2012-10-23)-(λ4-λ2),所以P 1P 2=OP 2-OP 1=(λ3-λ1)O A +(λ4-λ2)OB =(λ3-λ1)(O A -OB )=(λ3-λ1)BA ,从而P 1P 2∥AB .于是有:定理2　平面内一组基底O A ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB λ1,λ2为实数),若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上,则λ1+λ2=k (定值),反之也成立.我们把直线AB 以及与AB 平行的直线叫平面向量基本定理系数的等和线,如图3.根据证明过程可知:图　3(1)当等和线即为直线AB 时,k =1;(2)当等和线在点O 与直线AB 之间时,k ∈(0,1);(3)当直线AB 在点O 与等和线之间时,k ∈(1,+∞);且以上定值的变化与等和线到点O 的距离成正比.(4)当等和线过点O 时,k =0;由相反向量概念可知:(5)若两等和线关于O 点对称,则相应的定值互为相反数.3　等差线　图　4如图4,平面内一组基底O A ,OB ,C 为线段AB 的中点,OC =12(OA +OB ),设P ′为直线OC 上任意一点,则OP ′=λOC =λ2O A +λ2OB ,此时λ1=λ2=λ2,λ1-λ2=0.作直线l ∥OC ,直线OA 与l 交于点M ,直线AB 与l 交点为N ,显然■OAC ∽■M AN ,设AM =k OA ,则OM =(1+k )OA ,NM =k OC =k 2(OA +OB ),若P 为直线l 上任意一点,则OP =O M +MP =(1+k )OA +t NM =(1+k )OA +kt OC =(1+k +kt 2)OA +kt 2OB (t 为实数),此时λ1=1+k +kt 2,λ2=kt 2,λ1-λ2=1+k ,由于k 只与l 和OC相对位置有关,而与P 在l 上的位置无关,所以对于直线l 上任意一点P ,以OA ,OB 基底的向量OP 的平面向量基本定理的系数差为定值.反之,对于任意两个向量OP 1,OP 2,OP 1=λ1OA +λ2OB ,OP 2=λ3OA +λ4OB (λ1,λ2,λ3,λ4为实数),若λ1-λ2=λ3-λ4,移项得λ3-λ1=λ4-λ2,所以P 1P 2=OP 2-OP 1=(λ3-λ1)OA +(λ4-λ2)OB =(λ3-λ1)(OA +OB )=2(λ3-λ1)OC ,从而P 1P 2∥OC .于是有:定理3　平面内一组基底O A ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB (λ1,λ2为实数),C 为线段AB 中点,若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上,则λ1-λ2=k (定值),反之也成立.我们把直线OC 以及与OC 平行的直线叫平面向量基本定理系数的等差线,如图5.根据证明过程和定理1可知:图　5(1)当等差线过AB 中点C 时,k =0;(2)当等差线过点A 时,k =1;(3)当等差线在直线OC 与点A 之间时,k ∈(0,1);(4)当等差线与B A 延长线相交时,k ∈(1,+∞);由相反向量概念和平面几何知识易证:(5)若两等差线关于OC 对称,则相应的定值互为相反数.4　等商线　图　6如图6,平面内一组基底OA ,OB ,设直线l 是过点O 不与OA ,OB 重合的任意直线,设P 1,P 是直线l 上不同于O 的任意两点,则存在实数t ,使得OP 1=t OP ,若OP =λ1OA +λ2OB (λ1,λ2为实数),则OP 1=t (λ1OA +λ2OB )=t λ1OA +t λ2OB ,所以t λ1t λ2=λ1λ2,所以对于是直线l 上任意点P (非点O ),以OA ,OB 基底的向量OP 的平面向量基本定理的系数的比值为定值.反之,对于任意两个向量OP 1,OP 2,OP 1=λ1O A +λ2OB ,OP 2=λ3O A +λ4OB (λ1,λ2,λ3,λ4为实数且非零),若λ1λ2=λ3λ4,则λ3λ1=λ4λ2,设λ3λ1=λ4λ2=k ,所以P 1P 2=OP 2-OP 1=(λ3-λ1)O A +(λ4-λ2)OB =(k λ1-λ1)OA +(k λ2-λ2)OB =(k -1)(λ1OA +λ2OB )=(k -1)OP 1,P 1P 2∥OP 1,即O ,P 1,P 2三点共线.于是有:定理4　平面内一组基底OA ,OB 及任一非零向量OP ,OP =λ1O A +λ2OB (λ1,λ2为实数),若点P 在过点O (不与OA 重合)的直线l 上,则λ1λ2=k (定值),反之也成立.我们把过点O 的直线(除O A 及不含点O )叫平面向量基本定理系数的等商线,如图7.根据证明过程和定理1可得:图　7(1)当等商线过AB 中点C 时,k =1;(2)当等商线与线段AC (除端点)相交时,k ∈(1,+∞);(3)当等商线与线段BC (除端点)相交时,k ∈(0,1);(4)当等商线即为OB 时,k =0;(5)当等商线与B A 延长线相交时,k ∈(-∞,-1);(6)当等商线与AB 延长线相交时,k ∈(-1,0);(7)当等商线与直线AB 平行时,k =-1.5　等积线　平面内一组基底OA ,OB ,以O 为原点,∠AOB 平分线所在直线为x 轴,建立直角坐标系,如图8,设OA =(a ,b ),OB =(c ,d ),若点A 关于x 轴对称点为B 1,则OB 1=(a ,-b ),且OB =λOB 1(λ为正实数),设P (x ,y )是直线OA ,OB 外任意一点,根据平面向量基本定理,存在非零实数λ1,λ2,使得OP =λ1O A +λ2OB =λ1OA +λλ2OB 1=λ1(a ,b )-λλ2b ).x y 两式相乘得x 2a 2-y 2b2=4λ(λ1λ2),图　8设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=4λ(λ1λ2),它的渐近线为y =±b ax ,即为直线OA ,OB ,若当λ1λ2为定值,点P 在以OA ,OB 为渐近线的双曲线上;反之,若P 在以OA ,OB 为渐近线的某双曲线上,则x 2a 2-y 2b2的值为非零常数,所以4λ(λ1λ2)为常数,即λ1λ2为定值.于是有:定理5　平面内一组基底O A ,OB 及任一向量OP ,OP =λ1OA +λ2OB ,若λ1λ2为定值,则点P 在以直线OA ,OB 为渐近线的某条双曲线上;反之,点P 在以直线O A ,OB 为渐近线的某条双曲线上,则λ1λ2为定值.我们把以直线O A ,OB 为渐近线的双曲线叫平面向量基本定理系数的等积线,根据证明过程可知以下结论:(1)当双曲线有一支在∠AOB 内时,λ1λ2为正值;(2)当双曲线都不在∠AOB 内时,λ1λ2负值;(3)特别地,OA =(a ,b ),OB =(a ,-b ),点P 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上时,λ1λ2=14.应用平面向量基本定理系数等值线,可以直观、简捷、快速解决一些问题:图　9例1　(2009年安徽理科试题)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为120°,如图9,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动,若OC =x OA +y OB ,其中x ,y ∈R ,则x +y 的最大值是.解析　连接AB ,过C 作直线l ∥AB ,则直线l 为以O A ,OB 为基底的平面向量基本定理系数的等和线,显然当l 与圆弧相切于C 1时,定值最大,因为∠AOB =120°,所以OC 1=OA +OB ,即x =y =1,所以x +y 的最大值为2.说明　原解是利用向量坐标表示,借助向量数量积及三角函数知识求解,是典型的向量问题代数化,应用平面向量定理系数的等和线解决,尤显直观、简捷、快速!例2　如图10所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ,若OC =m OA +n OB ,则m +n的取值范围是.图　10图　11解析　作O ,的相反向量OA 1,OB 1,如图11,则AB ∥A 1B 1,过O 作直线l ∥AB ,则直线l ,A 1B 1为以O A ,OB 为基底的平面向量基本定理系数的等和线,且定值分别为0,-1,由题意CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ,所以C 在直线l 与直线A 1B 1之间,即过C 点的等和线在直线l 与直线A 1B 1之间,所以m +n ∈(-1,0).例3　(2010上海高考文科试题)在平面直角坐标系中,双曲线C 的中心在原点,它的一个焦点坐标为(5,0),e 1=(2,1),e 2=(2,-1)分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线C 上的点P ,若OP =a e 1+b e 2(a ,b ∈R ),则a ,b 满足的一个等式是.解　因为e 1=(2,1),e 2=(2,-1)是渐进线的方向向量,所以双曲线渐近线方程为y =±12x ,又它的一个焦点坐标为(5,0),c =5,双曲线C 的方程为x 24-y 2=1,ab =14.(收稿日期:2012-09-02)一个不等式猜想的简证及推广戴志祥(浙江省绍兴市高级中学,312000)1　引言　文[1]的最后提出了四个不等式猜想,文[2]中用构造函数再结合导数的方法给出了猜想1的肯定性证明与推广.本文应用柯西不等式与均值不等式给出猜想1的简证,并在此基础上给出猜想1的进一步推广.猜想1　若a ,b ,c 都是正实数,且满足abc =1,则a 22+a +b 22+b +c 22+c ≥1.2　猜想1的证明证明　由柯西不等式得,(2+a +2+b +2+c )(a 22+a +b 22+b +c 22+c)　≥(a +b +c )2,∴a 22+a +b 22+b +c 22+c≥(a +b +c )2a +b +c +6=(a +b +c )2-36a +b +c +6+36a +b +c +6=a +b +c -6+36a +b +c +6=49(a +b +c +6)+36a +b +c +6　+59(a +b +c +6)-12。

平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等

平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平而向量搖本崖理的表达式中.若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时.可以用等值线法・二基本理论（一）平面向*共线定理已知鬲=久西+“況.若久十“ = I, UIUB.C三点共线：反之亦然（二）等和线平面内一俎慕底oNoS及任一向量亦.亦二人花+ 〃亦（人若 0 P在直线朋上或在平行于肋的直线上，则2+“ =尿定值）仮Z也成孙我们把直线*〃以及与宜线.4B 平行的直线成为等和线。

（1）当等和线恰为直线时.A=l：⑵ 当等和线在O点和直线朋之间时.仁（0,1）；（3）当住线M在O点和等和线之间时"＜仏+00）；（4＞当等和线过O点时.^ = 0；（5）若两等和线关于O点对称.则左值《互为相反数：（6）泄值人-的变化与等和线到O点的師离成正比：（三）等差仪平面内一组慕底OA,OB及任一向量帀・帀“鬲+ “亦亿C为线段的中点.若点P在直线0C上或在平行于CC的買线上.则八戸=灿上值八反Z也成匕我们把fL线"以及线OC半行的直线称为等差线.（1）当等荃线恰为直线OC时，A=0：（2）斗等差线过X点时.A=l：（4）当等差线与阳延长线相交时.2（1卄8）；⑶ 当等差线在直线0C与点/之何时.JtG（0,l）:（5＞若两等差线关于直线OC对称.则两足为相反数:（四）等积线平面内一组基底OA.OBJ^任一向&OP ・丽=几刃+ “亦（入“wR ）・若点P 在以苴线OA.OB 为渐近线的女曲线上.则“为足值I 反Z 也成必我们把以直线OA.OB 为渐近线的双曲线称为%积线（1）当双曲线有一支金厶103内时，k>0t（2）当双曲线的两支都不在乙4OB 内时.X <0：（3）特别的.若tU=（a 上讥加= （“,"），点P 住双曲线（五）等商线点P 在过O 点（不与0/1重合〉的直线上，则虫=川定值），反之也成立。

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• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不断己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你如着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总会为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一定全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界那带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受尽有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不会会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说三一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么不岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平，但，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊才会会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努力不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风雨律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高一一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律约成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净的自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去金，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比现谎言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你丢风轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。成的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前，财后面。不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算对小动作多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚持别人开始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些习会使你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是一向前推动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热，种的人一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施，司员工的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是运

平面向量等值线定理及其应用

平面向量等值线定理及其应用
何少杰
【期刊名称】《数理化解题研究》
【年(卷),期】2022()25
【摘要】本文梳理了等值线性质及如何求定值“k”,对等值线进行解读.应用等值线解高考题及竞赛题中出现的一类向量线性表示后的系数问题.
【总页数】4页(P38-41)
【作者】何少杰
【作者单位】甘肃省清水县第六中学
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1.聊定理道联系赏应用——从向量共线定理到平面向量基本定理
2.由平面向量基本定理引出的几条等值线
3.三点共线定理在平面几何中的应用——平面向量应用举例教学有感
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5.平面向量的应用与余弦定理、正弦定理综合演练
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平面向量基本定理系数的等和线学生版

平面向量基本定理系数的等和线【适用范围】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。

【基本定理】1.平面向量共线定理已知OA=λOB+μOC，若λ+μ=1，则A,B,C三点共线；反之亦然。

【解题步骤及说明】S1等值线为1的线；S2平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；S3从长度比或者的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。

引例1若点A,B,C互不重合，O是点A,B,C所在平面上任意一点，且满足OC=λOA+μOB，则点A,B,C共线当且仅当λ+μ=1.引例2若点A,B,C互不重合，O是点A,B,C所在平面上任意一点，且满足OC=λOA+μOB，且λ+μ=2，请指出点C的位置.引例3在⊿OAB所在平面上的点C满足OC=λOA+μOB，且 2λ+3μ=5，请指出点C的位置.例题1若⊿OAB是边长为6等边三角形，点C满足OC=λOA+μOB，且 2λ+3μ=4，其中λ>0,μ>0，则 OC的取值范围___________.例题2若点C在以O为圆心，6为半径的弧AB，且OC=λOA+μOB，∠AOB=120°，则2λ+3μ的取值范围是_______________.与线段AB的反向延长线交于圆外的点D，若OC=mOA+nOB，则m+n的取值范围是_________________.例题4 已知⊿ABC的外心O满足AO=λAB+μAC，AB=6,AC=10，且2λ+10μ=5，则cos∠BAC=__________________.例题5 已知点O是⊿ABC的外心，AB=3,AC=4，若非零实数x，y使得AO=xAB+ yAC，且x+2y=1，则cos∠BAC=__________________.例题6 已知⊿ABC的外心O满足AO=13AB+13AC，则cos∠BAC的度数是________A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°例题7 已知⊿AOB，点P在直线AB上，满足OP=2tPA+tOB，t∈R，则 PAPB的值是()A. 13B. 12C. 2D. 3例题8 已知点O是⊿ABC的外心，AB=2a，AC=2a，a>0，∠BAC=120°，AO=xAB+yAC，x，y∈R，则x+y的最小值为_______________.练习：已知点O是⊿ABC的外心，cos∠BAC=13，若AO=xAB+yAC，则x+y的最大值是_____________.例题9 已知点O是⊿ABC的外心，AB=4，AC=2，a>0，∠BAC=120°，AO=xAB+yAC，x，y∈R，则x+y=________________.例题10 已知向量a ,b 为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足c +a =λ c +b ，λ∈R ，则 c 的值是_________________.例题11 如图，直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，AB ⫽DC ，AD =DC =1,AB =2，动点P 在以C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设AP=xAD +yAB ， x ，y ∈R ，则x +y 的取值范围是____________________.例题12 如图，在扇形OAB ，∠BOA =60°，点C 为弧AB 上的一个动点，若OC =λOA +μOB ，则λ+3μ的取值范围是___________________.例题13 在⊿ABC 中，∠BAC =90°，以AB 为一边向⊿ABC 外作等边三角形ABD ，若∠BCD =2∠ACD ，AD=λAB +μAC ，则λ+μ的值是___________________.例题14 在⊿ABC 中，AB =4，AC =2，若 λAB + 2−2λ AC 的最小值是2，则对于⊿ABC 内一点P ，PA∙ PB +PC 的最小值是_______________.例题15 ⊿ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆内，且3OA +4OB +5OC =0 ，则DOC∙AB的值是________________.例题16 在⊿ABC中，BC=6，AC=2，O为⊿ABC内一点，OA+3OB+4OC=0，则OC∙ BA+2BC的值是________________.径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，点P在圆Q上及其内部运动，设向量AP=λAB+μAF，λ,μ∈R，则λ+μ的取值范围是___________________.例题18 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点A,B满足 OA= OB=OA∙OB=2，则点集 P OP=λOA+μOB,λ+μ≤1,λ∈R,μ∈R 所表示平面区域的面积是_________.。

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平面向量基本定理以及“等和线”的应用

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从平面向量中的等值线说起(吴波《数学通讯》2015 年第 9期(下半月))

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高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》

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