6_4非正弦周期电流电路的计算
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m R
uS
C R
uR
i ( t ) I ( 0 ) i( 2 ) ( t ) i( 4 ) ( t ) 1 .9 1 0 .7 3 5 0
u R (t ) U
Z RC
2 c o s ( 2 1 t 8 9 .9 5 ) 0 .0 7 2 1 2 c o s ( 4 1 t 9 0 .0 1 ) A
i
u S (4 ) 9
2 c o s ( 4 1t 1 8 0 ) V
uS
Z RC
C R
uR
RC并联电路的阻抗为
Z R C ( j4 1 ) R 1 j4 1 R C (0 .0 1 2 7 j0 .7 9 5 6 )
输入阻抗为
Z ( j4 1 ) j4 1 L Z R C ( j4 1 )ຫໍສະໝຸດ Baidu 1 2 4 .8 6 8 1 8 9 .9 9
解得
U1 2090 V
【例题6.4 】 图示电路 U 10V , u 20 2 cos tV, i (2 2 2 cos t )A 10rad/s 。(1)求电流源的端电压u及其有效值；(2) 求电 流源发出的平均功率。 【解】 U 14V U 2090 V 0.4H
i
u S (2 ) 4 5
2 c o s ( 2 1t ) V
uS
Z RC
C R
uR
输出电压相量和瞬时值分别为
U
R
( j2 1 ) Z R C ( j2 1 ) I ( j2 1 ) 1 .1 6 9 3 1 .7 8 V
2 c o s ( 2 1 t 1 .7 8 ) V
uS
Z RC
C R
uR
电感电流相量和瞬时值分别为
I ( j4 1 ) U S(4) Z ( j4 1 ) 0 .0 7 2 1 9 0 .0 1 A
i ( 4 ) ( t ) 0.0 7 2 1 2 c o s ( 4 1 t 9 0 .0 1 ) A
【例题6.5 】
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
【解】2.分别计算电源电压的恒定分 量和各次交流分量引起的响 应。 ①恒定电压作用时电感相当于短 路，电容相当于开路，故
I (0) U
S0
Z i
L
C R
uS
Z RC
uR
R
9 5 .5 V 50
1 .9 1 A
U
R (0)
95 . 5 V
k 1
有效值
A
A0
2 k 1
1 2
Amk
2
A0 A A2 1
2
2
2
平均功率 P U
0
I 0 U k I k cos k P P 0 k
k 1 k 1
计算非正弦周期电流电路的步骤： 1.将非正弦周期性激励分解为恒定分量、基波和各次 谐波分量； 2.分别计算激励中不同频率的分量引起的响应； 3.最后将响应的各分量的瞬时表达式相加。
S1
S2 1 S 1
1
0
1
2
10
2
F
电流源的端电压及其有效值分别为
u
iS
U S1
uS2
u U 0 u1 [14 20 2 cos(1 t 90 )]V
U U 0 U1
2 2
(14) (20) V 24.4V
2
2
电流源发出的平均功率
P 2U 0 2U1 cos(90 0 ) (14 2 20 2 cos 90 )W 28W
可见负载电压中四次谐波有效值仅占恒定电压的 0.0574/95.5 0.0601% ，故更高频率的谐波分量可省 略计算。
【例题6.5 】
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】(3) 将 恒 定 分 量 与 各 谐 波 i 分量相叠加。
uS
Z RC
C R
uR
电感电流相量和瞬时值分别为
I ( j2 1 ) U S(2) Z ( j2 1 ) 45 0 V 6 1 .2 4 1 9 8 9 .9 5
0 .7 3 5 0 8 9 .9 5 A
i ( 2 ) ( t ) 0 .7 3 5 0
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】 ③电压四次谐波作用。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
i
u S (4 ) 9
2 c o s ( 4 1t 1 8 0 ) V
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
【解】1. 从表 6.1 查出该电压的傅里 叶级数为
uS
4U m 1 1 1 uS cos(21 t ) cos(41 t ) π 2 3 15
R (0 )
u R (2 ) ( t ) u R (4 ) ( t ) 2 c o s ( 2 1 t 1 .7 8 ) 0 .0 5 7 4 2 c o s ( 4 1 t 0 .9 2 ) V
9 5 .5 1.1 6 9 3
本章小结
f (t ) A0 Am k cos( k1 t k )
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】 ③电压四次谐波作用。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
i
u S (4 ) 9
2 c o s ( 4 1t 1 8 0 ) V
uS [95.5 45 2 cos(21t ) 9 2 cos(41t 180 ) ]V
Z i
L
C R
uR
Z RC
Um
O
uS
π
2π
t
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。
X Lk k1 L kX L1
X Ck 1 k1 C
1 k
基波容抗
X C1
3. 根据叠加定理，把恒定分量和各谐波分量的响应相量 转化为瞬时表达式后进行叠加。
6.4 非正弦周期电流电路的计算
直流分量单独作用
非正弦周期电流电路 激励 f (t )
瞬时值叠加
用直流分量分析法求出
S1
S2 1 S 1
1
2
10
2
F
u
iS
2
10V
U0
2A
U 0 10V 2 2A 14V
U S1
uS2
j4 20 A
交流分量作用
j10
2
20 0 V
U1
1 1 20V 2A U1 j10 (2 j4) j10
f (t ) A0 Am1 cos(1t 1 ) Am2 cos(21t 2 ) Amk cos(k1t k ) u (t ) ? i (t ) ?
I 0 , U 0 , P0
各谐波分量单独作用 正弦交流电路—相量法 X Lk k1 L kX L1
uS
Z RC
R
C R
uR
RC并联电路的阻抗为
Z R C ( j2 1 ) R / ( j2 1 C ) R 1 / ( j2 1 C ) 1 j2 1 C R
( 0 .0 5 0 6 j1 .5 8 9 9 )
输入阻抗为
Z ( j2 1 ) j2 1 L Z R C ( j2 1 ) 0 .0 5 0 6 + j6 1 .2 4 1 9 6 1 .2 4 1 9 8 9 .9 5
u R ( 2 ) ( t ) 1.1 6 9 3
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】 ③电压四次谐波作用。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
第6章 非正弦周期电流电路
金 钊 哈尔滨工业大学电气工程系
本章目次
6.1 非正弦周期电流和电压
6.2 非正弦周期函数的傅里叶级数 6.3 非正弦周期量的有效值 平均功率 6.4 非正弦周期电流电路的计算
6.4 非正弦周期电流电路的计算
基本要求：掌握非正弦周期电流电路的分析方法。 线性电路在非正弦周期激励时的稳态分析步骤： 1. 把给定的非正弦周期性激励分解为恒定分量和各谐波 分量。 2. 分别计算电路在上述恒定分量和各谐波分量单独作用 下的响应。 基波感抗 电感、电容对k次 谐波的电抗分别为
Ik , Uk , Ik , Uk , ik , uk , Pk
【例题6.4 】 图示电路 U 10V , u 20 2 cos tV, i (2 2 2 cos t )A 10rad/s 。(1)求电流源的端电压u及其有效值；(2) 求电 流源发出的平均功率。 【解】 直流分量作用 0.4H
2 c o s ( 2 1 t 8 9 .9 5 ) A
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】 ②电压二次谐波作用。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
i I 0 i1 i2 u U 0 u1 u2 P P0 P 1 P 2
2 I I 02 I12 I 2 2 U U 02 U12 U 2
U ? I ? P?
X Ck
1 1 X C1 k1C k
uS
Z RC
C R
uR
输出电压相量和瞬时值分别为
U R ( j4 1 ) Z R C ( j4 1 ) I ( j4 1 ) 0 .0 5 7 4 0 .9 2 V
u R ( 4 ) ( t ) 0 .0 5 7 4 2 c o s ( 4 1 t 0 .9 2 ) V
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】 ②电压二次谐波作用。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
i
u S (2 ) 4 5
2 c o s ( 2 1t ) V
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】 ②电压二次谐波作用。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
i
u S (2 ) 4 5
2 c o s ( 2 1t ) V
uS
C R
uR
i ( t ) I ( 0 ) i( 2 ) ( t ) i( 4 ) ( t ) 1 .9 1 0 .7 3 5 0
u R (t ) U
Z RC
2 c o s ( 2 1 t 8 9 .9 5 ) 0 .0 7 2 1 2 c o s ( 4 1 t 9 0 .0 1 ) A
i
u S (4 ) 9
2 c o s ( 4 1t 1 8 0 ) V
uS
Z RC
C R
uR
RC并联电路的阻抗为
Z R C ( j4 1 ) R 1 j4 1 R C (0 .0 1 2 7 j0 .7 9 5 6 )
输入阻抗为
Z ( j4 1 ) j4 1 L Z R C ( j4 1 )ຫໍສະໝຸດ Baidu 1 2 4 .8 6 8 1 8 9 .9 9
解得
U1 2090 V
【例题6.4 】 图示电路 U 10V , u 20 2 cos tV, i (2 2 2 cos t )A 10rad/s 。(1)求电流源的端电压u及其有效值；(2) 求电 流源发出的平均功率。 【解】 U 14V U 2090 V 0.4H
i
u S (2 ) 4 5
2 c o s ( 2 1t ) V
uS
Z RC
C R
uR
输出电压相量和瞬时值分别为
U
R
( j2 1 ) Z R C ( j2 1 ) I ( j2 1 ) 1 .1 6 9 3 1 .7 8 V
2 c o s ( 2 1 t 1 .7 8 ) V
uS
Z RC
C R
uR
电感电流相量和瞬时值分别为
I ( j4 1 ) U S(4) Z ( j4 1 ) 0 .0 7 2 1 9 0 .0 1 A
i ( 4 ) ( t ) 0.0 7 2 1 2 c o s ( 4 1 t 9 0 .0 1 ) A
【例题6.5 】
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
【解】2.分别计算电源电压的恒定分 量和各次交流分量引起的响 应。 ①恒定电压作用时电感相当于短 路，电容相当于开路，故
I (0) U
S0
Z i
L
C R
uS
Z RC
uR
R
9 5 .5 V 50
1 .9 1 A
U
R (0)
95 . 5 V
k 1
有效值
A
A0
2 k 1
1 2
Amk
2
A0 A A2 1
2
2
2
平均功率 P U
0
I 0 U k I k cos k P P 0 k
k 1 k 1
计算非正弦周期电流电路的步骤： 1.将非正弦周期性激励分解为恒定分量、基波和各次 谐波分量； 2.分别计算激励中不同频率的分量引起的响应； 3.最后将响应的各分量的瞬时表达式相加。
S1
S2 1 S 1
1
0
1
2
10
2
F
电流源的端电压及其有效值分别为
u
iS
U S1
uS2
u U 0 u1 [14 20 2 cos(1 t 90 )]V
U U 0 U1
2 2
(14) (20) V 24.4V
2
2
电流源发出的平均功率
P 2U 0 2U1 cos(90 0 ) (14 2 20 2 cos 90 )W 28W
可见负载电压中四次谐波有效值仅占恒定电压的 0.0574/95.5 0.0601% ，故更高频率的谐波分量可省 略计算。
【例题6.5 】
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】(3) 将 恒 定 分 量 与 各 谐 波 i 分量相叠加。
uS
Z RC
C R
uR
电感电流相量和瞬时值分别为
I ( j2 1 ) U S(2) Z ( j2 1 ) 45 0 V 6 1 .2 4 1 9 8 9 .9 5
0 .7 3 5 0 8 9 .9 5 A
i ( 2 ) ( t ) 0 .7 3 5 0
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】 ③电压四次谐波作用。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
i
u S (4 ) 9
2 c o s ( 4 1t 1 8 0 ) V
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
【解】1. 从表 6.1 查出该电压的傅里 叶级数为
uS
4U m 1 1 1 uS cos(21 t ) cos(41 t ) π 2 3 15
R (0 )
u R (2 ) ( t ) u R (4 ) ( t ) 2 c o s ( 2 1 t 1 .7 8 ) 0 .0 5 7 4 2 c o s ( 4 1 t 0 .9 2 ) V
9 5 .5 1.1 6 9 3
本章小结
f (t ) A0 Am k cos( k1 t k )
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】 ③电压四次谐波作用。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
i
u S (4 ) 9
2 c o s ( 4 1t 1 8 0 ) V
uS [95.5 45 2 cos(21t ) 9 2 cos(41t 180 ) ]V
Z i
L
C R
uR
Z RC
Um
O
uS
π
2π
t
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。
X Lk k1 L kX L1
X Ck 1 k1 C
1 k
基波容抗
X C1
3. 根据叠加定理，把恒定分量和各谐波分量的响应相量 转化为瞬时表达式后进行叠加。
6.4 非正弦周期电流电路的计算
直流分量单独作用
非正弦周期电流电路 激励 f (t )
瞬时值叠加
用直流分量分析法求出
S1
S2 1 S 1
1
2
10
2
F
u
iS
2
10V
U0
2A
U 0 10V 2 2A 14V
U S1
uS2
j4 20 A
交流分量作用
j10
2
20 0 V
U1
1 1 20V 2A U1 j10 (2 j4) j10
f (t ) A0 Am1 cos(1t 1 ) Am2 cos(21t 2 ) Amk cos(k1t k ) u (t ) ? i (t ) ?
I 0 , U 0 , P0
各谐波分量单独作用 正弦交流电路—相量法 X Lk k1 L kX L1
uS
Z RC
R
C R
uR
RC并联电路的阻抗为
Z R C ( j2 1 ) R / ( j2 1 C ) R 1 / ( j2 1 C ) 1 j2 1 C R
( 0 .0 5 0 6 j1 .5 8 9 9 )
输入阻抗为
Z ( j2 1 ) j2 1 L Z R C ( j2 1 ) 0 .0 5 0 6 + j6 1 .2 4 1 9 6 1 .2 4 1 9 8 9 .9 5
u R ( 2 ) ( t ) 1.1 6 9 3
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】 ③电压四次谐波作用。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
第6章 非正弦周期电流电路
金 钊 哈尔滨工业大学电气工程系
本章目次
6.1 非正弦周期电流和电压
6.2 非正弦周期函数的傅里叶级数 6.3 非正弦周期量的有效值 平均功率 6.4 非正弦周期电流电路的计算
6.4 非正弦周期电流电路的计算
基本要求：掌握非正弦周期电流电路的分析方法。 线性电路在非正弦周期激励时的稳态分析步骤： 1. 把给定的非正弦周期性激励分解为恒定分量和各谐波 分量。 2. 分别计算电路在上述恒定分量和各谐波分量单独作用 下的响应。 基波感抗 电感、电容对k次 谐波的电抗分别为
Ik , Uk , Ik , Uk , ik , uk , Pk
【例题6.4 】 图示电路 U 10V , u 20 2 cos tV, i (2 2 2 cos t )A 10rad/s 。(1)求电流源的端电压u及其有效值；(2) 求电 流源发出的平均功率。 【解】 直流分量作用 0.4H
2 c o s ( 2 1 t 8 9 .9 5 ) A
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】 ②电压二次谐波作用。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
i I 0 i1 i2 u U 0 u1 u2 P P0 P 1 P 2
2 I I 02 I12 I 2 2 U U 02 U12 U 2
U ? I ? P?
X Ck
1 1 X C1 k1C k
uS
Z RC
C R
uR
输出电压相量和瞬时值分别为
U R ( j4 1 ) Z R C ( j4 1 ) I ( j4 1 ) 0 .0 5 7 4 0 .9 2 V
u R ( 4 ) ( t ) 0 .0 5 7 4 2 c o s ( 4 1 t 0 .9 2 ) V
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】 ②电压二次谐波作用。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
i
u S (2 ) 4 5
2 c o s ( 2 1t ) V
【例题6.5 】
， C 1000F 。设输入为 工频全波整流电压，如图所示，电压振幅 U 150V ，负 载电阻 R 50 。求电感电流 i 和输出电压 u 。 Z L 【解】 ②电压二次谐波作用。
m R
LC 构成滤波电路，其中 L 0.1H
i
u S (2 ) 4 5
2 c o s ( 2 1t ) V