求数列通项公式常用的八种方法

求数列通项公式常用八种方法

一、 公式法：

已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解.

二、前n 项和法：

已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .（分3步）

三、n s 与n a 的关系式法：

已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .（分3步）

四、累加法：

当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，

就可以用这种方法.

五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1

n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.

六、构造法：

㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面

形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的

方法:------＋常数P

㈡、取倒数法：这种方法适用于1

1c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N *

≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠）

，两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子.

㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数）

例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a

分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a >

∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得

211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1

lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列

故1

12lg 2lg3lg3n n n a --==

∴123n n a -=

七、“1p ()n n a a f n +=+（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。

八、形如21a n n n pa qa ++=+型，可化为211a ()()n n n n q xa p x a a p x ++++=+++ ，令x=q

p x + ,求x 的值来解决。

除了以上八种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这8种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握。