分段函数专题非常全面

分段函数的性质与应用

分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的围是否在发生变化。即“分段函数——分段看”

一、基础知识：

1、分段函数的定义域与值域——各段的并集

2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图

4、分段函数分析要注意的几个问题

（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否

么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。再比如

中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值部的符号讨论，将其转化为分段函数。例

5、遇到分段函数要时刻盯住变量的围，并根据变量的围选择合适的解析式代入，若变量的围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论

6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

二、典型例题

例1

例2

_________

正数进行靠拢。由此可得：

小炼有话说：含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题

1的自变量，函数值差1，其作用在于自

例3

( )

答案：B

例4：

________

里的式子小于0时，代入上段解析式，当括号里的式子大于0

时，代入下段解析式。故要对

（1

（2

例5

___________

思路：本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：一是要顾及

小炼有话说：含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对

(比如例3，例4）。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式（比如例5）。

例6

A

答案：C

小炼有话说：

（1

（2

不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，下面以本题为例说说定义法如何

例7

的值域是_______________

，分别求出每段最值，再取并集即可

例8

的取值围是_________

思路：若()f x 在(),-∞

+∞单调增，则在R 上任取12x x <，均有()()12f x f x <，在任取中就包含12,x x 均在同一段取值的情况，所以可得要想在R 上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：20

1a a ->⎧⎨

>⎩

，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一

种取值可能为12,x x 不在同一段取值，若也满足12x x <，均有()()12f x f x <，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入1x =，有左段≤右端，即

21log 103a a a --≤=⇒≤

综上所述可得：(]2,3a ∈ 答案：(]2,3

例9：已知()[)[]

2 1.1,01,0,1x x f x x x +∈-⎧⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列选项错误的是（ ）

A. ①是()1f x -的图像

B. ②是()f x -的图像

C. ③是()f

x 的图像 D. ④是()f x 的图像

思路：考虑先作出()f x 的图像（如右图所示），再按照选项进行验证即可：A. ()1f x -为()f x 向右平移一个单位，①正确；B. ()f x -为()f x 关于y 轴对称的图像，②

正确；C. ()f

x 为()f x 正半轴图像不变，负半轴作与()f x 正半轴关于y 轴对称的图像，

③正确；D. ()f x 的图像为()f x 在x 轴上方的图像不变，下方图像沿x 轴对称翻折。而

()f x 图像均在x 轴上方，所以()f x 应与()f x 图像相同。④错误

答案：D

例10：函数()31,1

2sin ,12

x x f x x x π

⎧+>⎪

=⎨≤⎪⎩ ，则下列结论正确的是（ ） A. 函数()f x 在[)1,+∞上为增函数 B. 函数()f x 的最小正周期为4 C. 函数()f x 是奇函数 D. 函数()f x 无最小值

思路：可观察到()f x 的图像易于作出，所以考虑先作图，再看由图像能否判断各个选项，如图所示可得：BC 选项错误，D 选项()f x 存在最小值()12f -=-，所以D 错误，A 选项是正确的 答案：A

小炼有话说：（1）本题利用数形结合是最为简便的方法，一方面是因为()f x 本身便于作图，另一方面四个选项在图上也有具体的含义。

（2）分段函数作图过程中，尤其在函数图象断开时，一定要注意端点处属于哪个解析式。本题中1x =-就属于2sin

2

y x π

=部分，所以才存在最小值。

三、近年模拟题题目精选

1、已知函数()()

⎪⎩

⎪⎨⎧<+≥-+=,1,1lg ,

1,32x x x x a

x x f 若()()31-=f f ，则=a ______