独立重复试验1
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⑶恰有两次命中的事件即 A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1 A2A3 ∴恰有两次命中的事件的概率 P3 3 0.8 0.8 0.2 0.384
由刚才的问题 1 的过程不难发现:
一般地,如果在 1 次试验中事件 A 发生的概率是
p ，那么在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次
少应射击几次？（ lg 2 0.3010, lg 3 0.4771 ）
解：设要使至少
命中
1
次的概率不小于
0.7
5，应射击
n
次 新疆
王新敞
奎屯
记事件 A ＝“射击一次，击中目标”，则 P(A) 0.25 ．
∵射击 n 次相当于 n 次独立重复试验，
∴事件 A 至少发生 1 次的概率为 P 1 Pn (0) 1 0.75n ．
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为
1 ，乙获胜的概率为 1 ．
2
2
⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验，
且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负 新疆 王新敞 奎屯
∴甲打完 5 局才能取胜
的概率
P1
C42
( 1 )2 2
( 1 )2 2
1 2源自文库
3 16
5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛）． ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率．
问题 2(运用 n 次独立重复试验模型解题): 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定
5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛）． ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率．
的概率
Pn (k )
C
k n
pk (1
p)nk
或 Pn (k )
cnk
pkqnk
（其
中 q 1 p ,一次试验中事件 A 发生的概率为 p）．
注:
Pn (k ) cnk pkqnk 是( p q)n 展开式中的第 k 1 项.
问题 2(运用 n 次独立重复试验模型解题): 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定
共同特点是: 多次重复地做同一个试验.
n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的n 次试验称
为 n 次独立重复试验.
在 n 次独立重复试验中， 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然， P( A1 A2 An ) = P( A1 )P( A2 )
P( An )
∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 他试验的影响, ∴上面等式成立.
⑴第一次命中，后面两次不中的事件即 A1 A2 A3 ∴ P( A1 A2 A3 ) P(A1)1 P( A2 )1 P( A3 ) =0.032
⑵恰有一次命中的事件即 A1 A2 A3 + A1A2 A3 + A1 A2 A3 ∴恰有一次命中的事件的概率 P2 3 0.8 0.2 0.2 0.096
事件 D ＝“按比赛规则甲获胜”，则 D A B C ，
又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥， 故 P(D) P( A B C) P( A) P(B) P(C)
1 3 3 1 ．答：按比赛规则甲获胜的概率为 1 ．
8 16 16 2
2
练习巩固： 1．每次试验的成功率为 p(0 p 1) ，重复进行 10 次试验，
由题意，令1 0.75n ≥0.75，∴ (3)n ≤ 1 ， 44
lg 1
∴
n≥
lg
4 3
4.82
，∴
n
至少取
5．
4
答：要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，至少应射击 5 次 新疆 王新敞 奎屯
学习小结:
1．独立重复试验模型要从三方面考虑 第一：每次试验是在同 新疆 王新敞 奎屯
样条件下进行 第二：各次试验中的事件是相互独立的 第三，每次
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 新疆 王新敞 奎屯 2．如果 1 次试验中事件 A 发生的概率是 p ，那么 n 次独立重
复试验中这个事件恰好发生 k
次的概率为
Pn (k )
Cnk
pk (1
p)nk
新疆 王新敞
奎屯
对于此式可以这么理解：由于 1 次试验中事件 A 要么发生，要么
问题1
问题1的一般化
问题 1：某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.8，现 连续射击 3 次. ⑴第一次命中，后面两次不中的概率； ⑵恰有一次命中的概率; ⑶恰有两次命中的概率.
解: 记事件“第 i 次击中目标”为 Ai ,则 A1、A2、A3 相 互独立.且 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0.8 .
⑴在任一时刻车间有 3 台车床处于停车的概率； ⑵至少有一台处于停车的概率
新疆 王新敞
奎屯
简答：
2.⑴
P5
3
C53
1 3
3
2 3
2
40 243
⑵ PB 1 P
B
1
C55
2 3
5
211 243
3．某人对一目标进行射击，每次命中率都是
0.25，若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，至
不发生，所以在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生 k 次，则在另外
的
nk
次中
A 没有发生，即
A
发生，由
P( A)
p
，P( A)
1
p
所
新疆 王新敞
奎屯
以上面的公式恰为[(1 p) p]n 展开式中的第 k 1 项，可见排列
组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系 新疆 王新敞 奎屯
作业：第 68 页 B 组第 1 题
独立重复试验
概括引入
实例分析
独立重复试 验定义
问题2 本课小结
练习巩固
作业：第 68 页 B 组第 1 题
独立重复试验
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独 立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便.
⑴ P( A B) P( A) P(B)（当 A与B 互斥时）； ⑵ P(B | A) P( AB)
.
继续
问题 2(运用 n 次独立重复试验模型解题): 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定
5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛）． ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率．
(2) 记事件 A “甲打完 3 局才能取胜”， 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”， 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”．
新疆 王新敞 奎屯
∴ n lg 2 2 1.6990 2.43，且 nN ，所以取n 3 ．
lg 2 1 0.6990
答：每穴至少种 3 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%． （2）∵每穴种 3 粒相当于 3 次独立重复试验， ∴每穴种 3 粒，恰好两粒发芽的概率为 P C32 0.82 0.2 0.384 ， 答：每穴种 3 粒，恰好两粒发芽的概率为 0.384
新疆 王新敞
奎屯
3.某人对一目标进行射击，每次命中率都是 0.25，若使至少 命 中 1 次 的 概 率 不 小 于 0.75 ， 至 少 应 射 击 几 次 ？ （ lg 2 0.3010, lg 3 0.4771 ）
2答案
3答案
2．某车间有 5 台车床，每台车床的停车或开车是相互独立
的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 1 ，求： 3
其中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率为（C）
(A) C130 p3(1 p)7 (B) C130 p3(1 p)3 (C) p3(1 p)7 (D) p7 (1 p)3 2．某车间有 5 台车床，每台车床的停车或开车是相互独立
的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 1 ，求： 3
⑴在任一时刻车间有 3 台车床处于停车的概率； ⑵至少有一台处于停车的概率
选做作业: 一批玉米种子，其发芽率是 0.8.
⑴问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有 一粒发芽的概率大于 98%？ ⑵若每穴种 3 粒，求恰好两粒发芽的概 率．（ lg 2 0.3010 ）
作业：第 68 页 B 组第 1 题
解：记事件 A＝“种一粒种子，发芽”，则 P(A) 0.8 ， P(A) 1 0.8 0.2 ， （1）设每穴至少种 n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%． ∵每穴种 n 粒相当于 n 次独立重复试验，记事件 B ＝“每穴至少有一粒发芽 则 P(B) Pn(0) Cn00.80(10.8)n 0.2n ．∴ P(B) 1 P(B) 1 0.2n ． 由题意，令 P(B) 98%，所以 0.2n 0.02 ，两边取常用对数得， nlg0.2 lg0.02 ．即 n(lg2 1) lg2 2，
P( A) ⑶ P( AB) P( A)P(B) （当 A与B 相互独立时） 那么求概率还有什么模型呢？
分析下面的试验，它们有什么共同特点？ ⑴投掷一个骰子投掷 5 次; ⑵某人射击 1 次，击中目标的概率是 0.8， 他射击 10 次; ⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛，规定 5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局 就算胜出并停止比赛）; ⑷一个盒子中装有 5 个球（3 个红球和 2 个 黑球），有放回地依次从中抽取 5 个球; ⑸生产一种零件，出现次品的概率是 0.04, 生产这种零件 4 件.
由刚才的问题 1 的过程不难发现:
一般地,如果在 1 次试验中事件 A 发生的概率是
p ，那么在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次
少应射击几次？（ lg 2 0.3010, lg 3 0.4771 ）
解：设要使至少
命中
1
次的概率不小于
0.7
5，应射击
n
次 新疆
王新敞
奎屯
记事件 A ＝“射击一次，击中目标”，则 P(A) 0.25 ．
∵射击 n 次相当于 n 次独立重复试验，
∴事件 A 至少发生 1 次的概率为 P 1 Pn (0) 1 0.75n ．
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为
1 ，乙获胜的概率为 1 ．
2
2
⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验，
且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负 新疆 王新敞 奎屯
∴甲打完 5 局才能取胜
的概率
P1
C42
( 1 )2 2
( 1 )2 2
1 2源自文库
3 16
5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛）． ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率．
问题 2(运用 n 次独立重复试验模型解题): 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定
5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛）． ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率．
的概率
Pn (k )
C
k n
pk (1
p)nk
或 Pn (k )
cnk
pkqnk
（其
中 q 1 p ,一次试验中事件 A 发生的概率为 p）．
注:
Pn (k ) cnk pkqnk 是( p q)n 展开式中的第 k 1 项.
问题 2(运用 n 次独立重复试验模型解题): 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定
共同特点是: 多次重复地做同一个试验.
n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的n 次试验称
为 n 次独立重复试验.
在 n 次独立重复试验中， 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然， P( A1 A2 An ) = P( A1 )P( A2 )
P( An )
∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 他试验的影响, ∴上面等式成立.
⑴第一次命中，后面两次不中的事件即 A1 A2 A3 ∴ P( A1 A2 A3 ) P(A1)1 P( A2 )1 P( A3 ) =0.032
⑵恰有一次命中的事件即 A1 A2 A3 + A1A2 A3 + A1 A2 A3 ∴恰有一次命中的事件的概率 P2 3 0.8 0.2 0.2 0.096
事件 D ＝“按比赛规则甲获胜”，则 D A B C ，
又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥， 故 P(D) P( A B C) P( A) P(B) P(C)
1 3 3 1 ．答：按比赛规则甲获胜的概率为 1 ．
8 16 16 2
2
练习巩固： 1．每次试验的成功率为 p(0 p 1) ，重复进行 10 次试验，
由题意，令1 0.75n ≥0.75，∴ (3)n ≤ 1 ， 44
lg 1
∴
n≥
lg
4 3
4.82
，∴
n
至少取
5．
4
答：要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，至少应射击 5 次 新疆 王新敞 奎屯
学习小结:
1．独立重复试验模型要从三方面考虑 第一：每次试验是在同 新疆 王新敞 奎屯
样条件下进行 第二：各次试验中的事件是相互独立的 第三，每次
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 新疆 王新敞 奎屯 2．如果 1 次试验中事件 A 发生的概率是 p ，那么 n 次独立重
复试验中这个事件恰好发生 k
次的概率为
Pn (k )
Cnk
pk (1
p)nk
新疆 王新敞
奎屯
对于此式可以这么理解：由于 1 次试验中事件 A 要么发生，要么
问题1
问题1的一般化
问题 1：某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.8，现 连续射击 3 次. ⑴第一次命中，后面两次不中的概率； ⑵恰有一次命中的概率; ⑶恰有两次命中的概率.
解: 记事件“第 i 次击中目标”为 Ai ,则 A1、A2、A3 相 互独立.且 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0.8 .
⑴在任一时刻车间有 3 台车床处于停车的概率； ⑵至少有一台处于停车的概率
新疆 王新敞
奎屯
简答：
2.⑴
P5
3
C53
1 3
3
2 3
2
40 243
⑵ PB 1 P
B
1
C55
2 3
5
211 243
3．某人对一目标进行射击，每次命中率都是
0.25，若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，至
不发生，所以在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生 k 次，则在另外
的
nk
次中
A 没有发生，即
A
发生，由
P( A)
p
，P( A)
1
p
所
新疆 王新敞
奎屯
以上面的公式恰为[(1 p) p]n 展开式中的第 k 1 项，可见排列
组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系 新疆 王新敞 奎屯
作业：第 68 页 B 组第 1 题
独立重复试验
概括引入
实例分析
独立重复试 验定义
问题2 本课小结
练习巩固
作业：第 68 页 B 组第 1 题
独立重复试验
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独 立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便.
⑴ P( A B) P( A) P(B)（当 A与B 互斥时）； ⑵ P(B | A) P( AB)
.
继续
问题 2(运用 n 次独立重复试验模型解题): 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定
5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛）． ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率．
(2) 记事件 A “甲打完 3 局才能取胜”， 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”， 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”．
新疆 王新敞 奎屯
∴ n lg 2 2 1.6990 2.43，且 nN ，所以取n 3 ．
lg 2 1 0.6990
答：每穴至少种 3 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%． （2）∵每穴种 3 粒相当于 3 次独立重复试验， ∴每穴种 3 粒，恰好两粒发芽的概率为 P C32 0.82 0.2 0.384 ， 答：每穴种 3 粒，恰好两粒发芽的概率为 0.384
新疆 王新敞
奎屯
3.某人对一目标进行射击，每次命中率都是 0.25，若使至少 命 中 1 次 的 概 率 不 小 于 0.75 ， 至 少 应 射 击 几 次 ？ （ lg 2 0.3010, lg 3 0.4771 ）
2答案
3答案
2．某车间有 5 台车床，每台车床的停车或开车是相互独立
的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 1 ，求： 3
其中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率为（C）
(A) C130 p3(1 p)7 (B) C130 p3(1 p)3 (C) p3(1 p)7 (D) p7 (1 p)3 2．某车间有 5 台车床，每台车床的停车或开车是相互独立
的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 1 ，求： 3
⑴在任一时刻车间有 3 台车床处于停车的概率； ⑵至少有一台处于停车的概率
选做作业: 一批玉米种子，其发芽率是 0.8.
⑴问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有 一粒发芽的概率大于 98%？ ⑵若每穴种 3 粒，求恰好两粒发芽的概 率．（ lg 2 0.3010 ）
作业：第 68 页 B 组第 1 题
解：记事件 A＝“种一粒种子，发芽”，则 P(A) 0.8 ， P(A) 1 0.8 0.2 ， （1）设每穴至少种 n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%． ∵每穴种 n 粒相当于 n 次独立重复试验，记事件 B ＝“每穴至少有一粒发芽 则 P(B) Pn(0) Cn00.80(10.8)n 0.2n ．∴ P(B) 1 P(B) 1 0.2n ． 由题意，令 P(B) 98%，所以 0.2n 0.02 ，两边取常用对数得， nlg0.2 lg0.02 ．即 n(lg2 1) lg2 2，
P( A) ⑶ P( AB) P( A)P(B) （当 A与B 相互独立时） 那么求概率还有什么模型呢？
分析下面的试验，它们有什么共同特点？ ⑴投掷一个骰子投掷 5 次; ⑵某人射击 1 次，击中目标的概率是 0.8， 他射击 10 次; ⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛，规定 5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局 就算胜出并停止比赛）; ⑷一个盒子中装有 5 个球（3 个红球和 2 个 黑球），有放回地依次从中抽取 5 个球; ⑸生产一种零件，出现次品的概率是 0.04, 生产这种零件 4 件.