计算方法(1)-数值计算中的误差

n i 1

n j 1,
x
* j
ji

(xi
)
2) 乘数绝对值很大
时,乘积绝对误差可
能很大,应设法避免.
22
3.除法运算的误差传播

* r

x1 x2



* r
(x1
)


* r
(x2
)
1)近似值之商的相对误差等于被除数与
除数的相对误差之差.

乘法次数: n ; 加法次数: n
5
三.误差
1.过失误差
人为造成,可以避免
2.非过失误差 往往不可避免

尽量降低其数值,尤其是控制多次
计算后误差的积累,确保运算精度.
3.近似值误差和算法的选择对精度
的影响
例
计算
x
3
2 2

1 1

6
序号 算式
x
f x2

(x2 )
x1*对y*的 绝 对 误 差
增长因子, 表 示 (x1 )
x
* 2
对y
*的
绝
对
误
差
增
长
因
子
经 传 播 后 增 大 或 缩 小 表示 (x2 )经传 播后 增大或
的倍数
缩小的倍数
17
引例
y f (x1, x2 )
y *的 相 对 误 差
*
*

* r
(
y)

x1 x2


1 x2*

(x1
)

x1* (x2* )2
(x2)
x1* x2*

* r
(
x1
)


* r
(
x2
)
2) 除数绝对值很小时,商的绝对误差 可能很大,应设法避免.
23
4.乘方及开方运算的误差传播
(x p ) p(x* )p-1 (x)
,

* r
(
x
p
)

p
称 为 近 似 值x*的 绝 对 误 差.
当 (x) 0时, 称x*为 亏(弱)近 似 值,
(x) 0称x*为 盈(强)近 似 值
2.绝对误差限 0, 使 | (x) || x x* | ,
称为 近 似 值x*的 绝 对 误 差 限
9
二.相对误差和相对误差限
或 称 它 精 确 到10mn
注: 有效数尾部的零不可随意省去,以免
损失精度.
4.存疑数字 不是准确数字的有效数字
具 有n位 有 效 数 字 的 有 效 数x*的 第n位 数 字 可 能 与 其 真 值x中 的 同 一 位 数 字 不 同; 如 不 相 同,两 者 相 差1.
13
二.有效数字与其相对误差的关系
计算方法
1
第一章 数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性
2
§1 引言
一.用数值计算方法解决实际问题 的步骤
1.将实际问题抽象成数学问题,即建立 数学模型;
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
先求出绝对值较大的一个根: x1 109
利用关系式
x1

x2

c a
x2 1
26
例5 试计算积分
En
1 x n e x1dx
0
(n 1,2, )
解:分部积分法
En

x ne x1
|10
n
1 x n1e x1dx
设备精度限制而产生的误差.
三.截断误差

对某种无穷过程进行截断而产生的误差.
四.舍入误差

将数据进行四舍五入而产生的误差.
8
§3 绝对误差和相对误差
一.绝对误差和绝对误差限
1.绝对误差
设 某 一 个 量 的 准 确 值 为x, 其 近 似 值 为x* ,
则x与x*的 差
(x) x x*
5.绝对值太小的数不宜作除数;
29
一.误差理论的基本概念
第 一 章

1.误差的分类 2.误差的表示法:绝对误差和相对误差 3.有效数字 二.误差在近似计算中的传播规律及其
实际计算
绝对误差与近似值之比
*r (x)

(x)
x*

x
x* x*
4.百分误差

* r
( x)

(x)
x*
100%
11
§4 有效数字及其与误差的关系
一.有效数字
1.有效数字定义

当近似值 x*的误差限是其某一位上的
半个单位时,则称其“准确”到这一位,从
这一位起直到前面第一位非零数字为止的
21
例: 比较算法
① 计算 3.01 3 (精确到第五位数字).
② 计算 1 cosx .
2.乘法运算的误差传播

* r

n
xi
n

* r
(
xi
)
i1 i1
1) 近似值之积的
相对误差等于相乘
各因子的相对误差
的代数和.

n i 1
xi
説一般通过流程图直观描述算法.
3.算法优劣对计算的影响
4
例 计算多项式
P(x) an x n an1 x n1 a1 x a0
1)直接计算
乘法次数: 加法次数:
n

(n n
1)




1
0

n(n 1) 2
;
2)秦九韶算法
P(x) (( (an x an1)x an2 )x a2 )x a1)x a0
1.若x*具有n位有效数字则x*的相对误差限
为
1 10n1
2a1 2. 若x*的相对误差为|

* r
(
x)
|
1 2(a1 1)
10 n 1
则x*至少具有n位有效数字
例1 求用3.1416表示π的近似值相对误差.
例2 要使积分I e1 x2 dx 的近似值 I *的相
1.相对误差
绝对误差与真值之比
r (x)

(x)
x

x x* x
称 为 近 似 值x*的 相 对 误 差.
2.绝对误差与相对误差的关系
(x) x r (x)
10
3.相对误差限
0, 使 | r (x) | 则 称为 近 似 值x*的 相 对 误 差 限.
2 2

1 1

3
计算结 果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6

2 6

0.0040960

5
6


0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1



5
6
0.00523278
12 6
所有数字都称为有效数字.
2.规格化形式
x* 0.a1a2 an 10m
a1, an为0,1 ~ 9中 的 数 字, a1 0 n是 正 整 数, m是 整 数.
12
3.有效数
若x*的 误 差 限 为
| (x) || x x* | 1 10mn
2 则 称x*为 具 有n位 有 效 数 字 的 有 效 数,
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2


b

b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
25

当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
绝对误差
相对误差
( y)

n i1

f xi
*

(xi )


* r
(
y)

n i1

xi*
y*

f xi
*



* r
(
xi
)

xi*对y *的 绝 对 误差增长因子
xi*对y*的 相 对 误差增长因子
19
3.病态问题(坏问题)
2.选用合适的算法,编制出计算机程序; 3.上机调试并计算,以得出所欲求解的
结果.
3
二.数值计算方法
1.定义 将所欲求解的数学模型简化
成一系列算术运算和逻辑运算,以便在计 算机上求出问题的数值解,并对算法的收 敛性、稳定性和误差进行分析、计算.
2.算法 由基本运算和运算顺序的规
定所组成的整个解题方案和步骤.
f
(x1, x2 )

f
(x1*, x2* )


f x1
*

(x1

x1* )


f x2
*

(x2

x2* )


1 2!

2 f x12
*
(x1

x1* )2

2
2 f x1x2
*

对误差不超过0.1%,0问至少取几位有效数字?
14
§5 误差的传播与估计
一.误差估计的一般公式
1.误差增长因子
15
引例
y f (x1, x2 )
设x1*
,
x2*
是x1
,
x
的
2
近
似
值,
y*是y的 近 似 值, y* f (x1* , x2* )
f (x1, x2 )在(x1* , x2* )处的泰勒展式
0
递推公式: 改进:
En
1 nEn1
, E1
1 e
递推公式:
E n 1

1 En n
27
例6 试对于小的x值计算 ex 1
解:展开成幂级数 e x 1 x x2 x3
2! 3! ex 1 x x2 x3
2! 3!
三.数值运算中的几点注意
凡原始数据的微小变化可能引起的很 大变化的这类问题称为病态问题或坏条件 问题.
二.误差在算术运算中的传播
1.加、减运算的误差传播
n
n
1)近似值之和的绝对误差
( xi ) (xi ) 等于各近似值绝对误差的
i 1
i 1
代数和.
20
n
n

* r
(
xi )
xi*
n

* r
* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2

1 1

24
§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影 响小者称它为数值稳定的算法.
(x1

x1* )(x2

x2* )


2 f x2*
*
(x2


x2*
)
2


(x1 x1* ) (x1 ), (x2 x2* ) (x2 )一 般 是 小 量 值.
16
引例
y f (x1, x2 )
f (x1, x2 )在(x1* , x2* )处的泰勒展式
f (x1, x2 ) f
y*的绝对误差
( x1* ,
x2*
)


f x1
*



( x1 )


f x2
*


(x2
)
*
*
(y)
f (x1, x2 )
f
(
x1*
,
x2*
)

Байду номын сангаас
f x1



(x1
)



( y)
y*


f x1


(x1 )
y*


f x2

(x2 )
y*

x1* y*

f x1
*



* r
(
x1
)

x2* y*

f x2
*



* r
(
x
2
)
x1*对y*的 相 对 误 差
增
长
因
子,
表
示
* r
0.00501995
2 1 12
29
4
1
1 0.00507614 12 0.00504626
99 70 2 197
2378
7
§2 误差的种类及其来源
一.模型误差

建模时,忽略某些次要因素,对问题作某
些必要的简化而产生的误差.
二.观测误差

初始数据由人实际观察得来,受所用仪器
1.选用数值稳定的计算方法; 2.简化计算步骤及公式设法减少计算次数 (乘方幂次要低,减少乘法和加法的次数);
28
3.合理安排运算次序,防止大数“淹没”小 数
(多个数相加,最好从绝对值最小的数到绝 对值最大的数依次相加;
多个数相乘,最好从有效位数最多的数到 有效位数最少的数依次相乘); 4.应避免两个相近数相减 (可用变换公式的方法解决);
(
xi
)
i 1
i1
xi*
i 1

* r
(
x1

x2 )

x1* x1* x2*

* r
(
x1
)

x2* x1* x2*

* r
(
x2
)
|

* r
( x1

x2
)
|
x1* x1* x2*
|

* r
(
x1
)
|

x2* x1* x2*
|

* r
(
x2
)
|
2) 尽量避免相近数的减法,如无法避免 则变换计算公式.
(
x1
)
经传播后增大或缩小
的倍数
x2*对y*的 相 对 误 差 增 长 因 子
表
示
* r
(
x2
)经
传
播
后
增
大
或
缩小的倍数
18
2.推广到多元函数
y f (x1 , x2 , , xn )
在(
x
*
1
,
x
*
2
,

,
xn*
)处
作
泰
勒
展
开, 得
近似值 y* f (x1* , x2* , , xn* )