计算方法(1)-数值计算中的误差
计算方法第三章习题答案
计算方法第三章习题答案计算方法第三章习题答案计算方法是一门涵盖了数值计算和计算机编程的学科，它在现代科学和工程中扮演着重要的角色。
第三章是计算方法课程中的重要章节，主要涉及到数值计算中的误差分析和插值方法。
本文将为大家提供第三章习题的详细答案，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1. 误差分析误差分析是计算方法中非常重要的一部分，它帮助我们理解和评估数值计算中的误差来源。
以下是一些常见的误差类型：- 绝对误差：绝对误差是指数值计算结果与真实值之间的差异。
它可以通过计算两者之差来得到。
- 相对误差：相对误差是指绝对误差与真实值之间的比值。
通常以百分比的形式表示。
- 截断误差：截断误差是由于在计算过程中舍入或截断数字而引入的误差。
它通常是由于计算机的有限精度导致的。
- 舍入误差：舍入误差是由于将无限位数的小数截断为有限位数而引入的误差。
它通常是由于计算机的有限精度或计算方法的近似性质导致的。
2. 插值方法插值方法是一种用于通过已知数据点来估计未知数据点的技术。
以下是一些常见的插值方法：- 线性插值：线性插值是一种简单的插值方法，它假设两个已知数据点之间的未知数据点的取值在直线上。
通过已知数据点的斜率和截距，我们可以计算出未知数据点的值。
- 拉格朗日插值：拉格朗日插值是一种使用多项式来逼近已知数据点的方法。
它通过构造一个满足通过已知数据点的多项式来估计未知数据点的值。
- 牛顿插值：牛顿插值是一种使用差商来逼近已知数据点的方法。
它通过构造一个满足通过已知数据点的差商多项式来估计未知数据点的值。
3. 习题答案以下是一些第三章习题的答案，供大家参考：- 习题1：已知函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在[a, b]上的导数存在且连续，证明存在一点c∈(a, b)，使得f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)。
这是拉格朗日中值定理的一个特例，根据定理的条件，我们可以得到上述结论。
- 习题2：已知函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内可导，证明存在一点c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
1.《计算方法》-误差
《计算方法》教案（第一章误差）选用教材：普通高等教育“十一五”国家级规划教材《计算方法引论》（第三版）徐箤薇孙绳武编著主讲老师：刘鸣放2010年3月于河南大学一．基本内容提要1. 误差的来源2. 浮点数、误差、误差限和有效数字3. 相对误差和相对误差限4. 误差的传播5. 在近似计算中需要注意的一些问题二．教学目的和要求1. 熟练掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系；2. 了解误差的来源以及误差传播的情况，掌握在基本算术运算中误差传播后对运算结果误差限的计算方法和函数求值中的误差估计；3. 理解并掌握几种减少误差避免错误结果应采取的措施，了解选用数值稳定的算法的重要性。
三．教学重点1.绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系，误差传播，减少误差避免错误结果应采取的措施。
四．教学难点1.误差传播；2. 数值稳定算法的选用。
五．课程类型新知识理论课；六．教学方法结合课堂提问，以讲授为主。
七．教学过程如下：Introduction1.《计算方法》课程介绍计算方法是用数值的方法研究研究科学与工程中的计算问题；它的内容主要包括：近似值的计算和误差估计两个方面；主要工具：计算机；地位：这门课已成为工科各专业，特别是计算机科学与技术、土木工程、机械、数学等专业的必修基础课。
2.发展状况几十年来，计算方法效率的提高是与计算机速度的提高几乎同步地、同比例地前进的。
这里简述一下国家重点基础研究计划项目（简称973项目）“大规模科学计算研究”（1999-2004）的主要内容，可以帮助同学们了解我国科学计算界所关心的问题。
此项目由石钟慈院士等人为首组织，集中了我国计算数学、计算物理、计算力学、计算机、以及材料、环境能源等领域60多名专家，跨学科，跨部门通力合作研究以下几个方面的主要内容：（1）复杂流体的高精度计算，含天气预报数值模拟研究；（2）新材料的物理性质机理多尺度计算研究，含超导、超硬度合金等问题的计算研究；（3）地质油藏模拟与波动问题及其反问题计算研究；（4）基础计算方法的理论创新与发展；（5）大规模计算软件系统的基础理论和实施。
数值计算chapter1误差
显然，从相对误差看，近似值
x1
比
x
2
的精确程度要好得多.
例4 设 x 2.18是由准确值 x 经过四舍五入得到的近似值，
则 x的绝对误差限为 0.005 ,
相对误差限为
r
0.005 2.18
0.23%
注 凡是由准确值 x 经过四舍五入得到的近似值，其绝对误
差限取近似值末位数位的半个单位。
e S
2
D1
e D1
2
D2
e D2
10 0.05 5 0.1 0.5 1.5708 cm2
2
2
12
相对误差满足
er S
e S
S
1.5708 0.027 2.7% 58.905
即若取 S 58.905cm2作为圆环面积的近似值，则其绝对误差
不超过1.5708cm2 , 相对误差小于 2.7% .
注: ⑶ 相对误差和相对误差限都是无量纲数，常用百分数表示.
⑷
r
常用以下公式求：
r
x
.
5
例3 x1 100 2 的近似值 x1 100的相对误差限为
e1 x
e x1
x1
2 2% 100
x2 10 1 的近似值 x2 10 的相对误差限为
e2 x
ex2
x2
1 10% 10
再用舍入功能为八位的计算器计算，得结果为：
y 3.3921911108
19
由此，当相邻两数相减时，可考虑改变一下算法， 如
当
x1与
x 2 相近时，
ln
x1
ln
x2
ln
x1 x2
当 很小时， sinx sin x 2cos x sin
数值计算中的误差
d f (x )
*
f ( x * )e ( x * ) ε ( y * ) | f ( x * ) | ε ( x * )
误差的传播
§3 3.1
*
数值计算中误差的传播 基本运算中的误差传播
1 2 n
设 y f ( x 1 , x 2 ..., x n ), f在 点( x , x ,... x ) 处 可 微 ， x i 为 x i的 近 似 值 ， 则
* * e ( y * ) f ( x 1 , x 2 ..., x n ) f ( x 1* , x 2 , ..., x n )
20
例 ： 为 使 20的 近 似 值 的 相 对 误 差 限 小 于 0.1% 要取几位有效数字？
解: （用绝对误差限和有效数字的关系）
要使绝对误差限满足
ε εr | x |
20 10 3 0 .4
1 0 2
需要准确到小数点后第 二 位，
取三位有效数字.
注：也可以用相对误差限和有效数字的关系
3
问题：数值计算方法是做什么用的？ 实际问题
数学模型
数值 计算
计算 机
求各种数学问题近似解的方法和理论
近似解
4
主要内容 • 数值代数 线性方程组求解(第二章,第三章) 特征值计算(第四章) • 数值逼近 插值法(第五章) 函数逼近(第六章) • 数值微分数值积分(第七章) • 非线性方程求解(第八章) • 常微分方程数值解法(第九章)
注 :绝对误差限不唯一
7
例：
用 毫 米 刻 度 的 米 尺 测 量 一 长 度 为 x， 如 读 出 的 长 度 是 x * 765mm, 其 绝 对 误 差 限 为 0.5m m
数值分析(01) 数值计算与误差分析
克莱姆算法步骤
1. 2.
D for 2.1. 2.2.
( j1 jn )
t ( 1 ) a1 j1 a 2 j2 a nj n
i 1 n Di
( i1 i n ) t ( 1 ) a i1 1 bi2 j a in n
Di xi D
N=[(n2-1)n!+n]flop
每周有课外练习，两周交一次作业， 一学期完成 3 个综合程序课题设计。 考试评分： 平时作业+程序占总成绩的30%，
期末考试占总成绩的70%，开卷考试。
Matlab_zm@ 密码 123456
数值分析
数值分析
第二节 数值问题与数值算法
求数学问题的数值解称为数值问题.
数值方法：适合在计算机上，按确定顺序依次进行计算 的计算公式，也就是通常所说的数值计算方法。 数值算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算
有递推公式
注意
计算量 N n flop
Pn ( x) x( x( x( x(an x an1 ) an2 ) a1 ) a0
数值分析
sn an sk xsk 1 ak P n ( x) s0
k n 1,,2,1,0
数值分析
例3 矩阵乘积AB的计算量分析
第一节 数值分析的研究对象和特点
我们把在电子计算机上进行的科学工作称为科学计算。 科学研究的方法: 科学理论,科学实验,科学计算 科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
数值分析
数值分析
第一节 数值分析的研究对象和特点
科学计算的步骤:实际问题→数学模型→数值方法 →程序设计→上机计算→分析结果。 1、建立数学模型（实际问题数学化） 2、设计计算方案（数学问题数值化）
计算声学第一章数值计算中的误差分析
截断误差：
E n(x)s ixn P n(x)
§2 误差与数值计算的误差估计
绝对误差与绝对误差限
绝对误差：
设某一量的精确值为 x，其近似值为 x *，则称E(x*)xx*
为近似值 x * 的绝对误差，简称误差。 E(x*) 0时称 x * 为弱近似值或亏近似值； E(x*) 0时称 x * 为强近似值或盈近似值。
1000.0 1200.0 2000.0 3000.0 4000.0 1482.6 1482.4 1498.0 1516.6 1534.8
前言
深 度 (m)
声速剖面图 0
-500
-1000
-1500
-2000
-2500
-3000
-3500
-4000
-4500
-5000 1480
1490
1500
1510
提高应用计算机解决实际问题的能力。
数值计算的对象、任务与特点
数值计算流程：
实际问题
理论模型
数学问题
误差分析
上机计算
程序设计
算法设计
特点：
既具有数学的抽象性与严格性，又具有应用的广泛性与 实际实验的技术性，是一门与计算机紧密结合的实用性很强 的有着自身研究方法与理论体系的计算数学课程。
数值计算中的误差分析
例1.2 设
x* ，0其.0近3似30值55 x *
，问 有
几位有效数字？如果
， 有几位有效数字？
练习题
1.指出如下有效数的绝对误差限、相对误差限和有效数字 位数。
4 91 0 2, 0.04,9409 .000
2.将22/7作为的近似值，它有几位有效数字？绝对误差
限和相对误差限各为多少？
数值计算中的误差
∴ n=3
r*=1/2x1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=17%
1.3.4 有效数字与相对误差
例8 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相
对误差限
解：已知 n=2 代入公式 r*=1/2x1 10-(n-1)得
r*=1/2x1 10-1
x*的第一位有效数字x1没有给出，可进行如下 讨论：当
e(x* ) x x* dx
er (x* )
e* x
x x* x
dx x
d ln x
1.4.2 算术运算误差
由d( x±y)=dx±dy 可得两数之和(差）的
误差等于两数的误差之和（差）；
由 d ln(x y) d ln x d ln y 可得两数之积
的相对误差等于两数的相对误差之和；
定义1.2 设存在一个正数，使
e* x x* *
则称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。
1.3 误差的度量
例1 设x ==3.1415926… 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6…，有 x-x*=0.0015926… 0.002=0.210-2
一般情况，当f(x)≈f(x*)时，可用泰勒展开 f (x) f (x* ) f (x* )(x x* ) f (x) (x x* )2
由
d
ln
x y
d
ln
x
d
ln
y
可得两数商的相
对误差可看作是被除数与除数的相对误差之差
。
例12 正方形的边长约为100cm,怎样测量才能使其 面积误差不超过1cm2 ?
数值计算误差分析
数值计算误差分析首先，数值计算误差可以分为两类：绝对误差和相对误差。
绝对误差是指计算结果与真实值之间的差异的绝对值，而相对误差是指绝对误差除以真实值的比值。
相对误差更能反映计算结果的精度，因为它能够将误差与计算结果的大小相比较。
另一个导致数值计算误差的因素是数值计算方法的近似性。
在进行数值计算时，我们通常使用数值方法来近似解析解，以便进行计算。
这些数值方法本身就是基于一些近似原理和假设，因此其计算结果与真实解之间会存在误差。
例如，如果我们使用数值积分方法来计算一个定积分，那么结果与解析解之间会存在误差。
此外，计算机中的运算也会引入数值计算误差。
计算机的运算是基于二进制系统进行的，而浮点数（即带有小数点的数字）在二进制系统中并不能完全准确地表示。
因此，在计算机进行浮点数计算时，会发生舍入误差。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时将结果截断或四舍五入导致的。
为了进行误差分析和处理，我们需要了解误差的产生方式和传播方式。
当我们进行复杂的数值计算时，误差会逐渐积累并影响计算结果的精度。
因此，我们需要通过误差传播分析来评估整个计算过程中的误差。
误差传播分析可以通过Taylor展开和线性化的方法来进行。
在误差传播分析中，我们通常使用误差的上界来估计误差的大小。
误差的上界是指在所有可能的情况下，误差可能达到的最大值。
通过计算误差的上界，我们可以得出一个数值计算结果的置信区间。
这个置信区间可以帮助我们评估计算结果的可靠性。
除了误差传播分析外，我们还可以使用数值稳定性分析来评估数值计算方法的稳定性。
数值稳定性是指计算方法在输入数据变化时计算结果的变化程度。
如果一个方法对输入数据变化非常敏感，那么它可能是不稳定的。
在进行数值计算时，我们应该选择稳定的计算方法，以减小误差的影响。
最后，为了减小数值计算误差，我们可以采取一些方法。
例如，可以增加测量仪器的精度，使用更精确的数值计算方法，增加计算的位数，或者对计算结果进行后处理等。
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -2191-38-2473-223所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
数值计算中的误差
曲线拟合的最小二乘法
法方程：带权离散内积 正交多项式法：关于离散点集的带权正交多项式
3
第四章
数值积分
插值型求积公式
机械求积公式，代数精度及其计算方法，收敛性，稳定性 梯形公式，抛物线（Simpson）公式，Newton-Cotes公式 余项估计（三步曲）
复合求积公式：复合梯形公式，复合Simpson公式 Romberg算法
梯形法的递推计算，Romberg外推思想与计算过程
Gauss求积公式
Gauss点的计算，Gauss系数的计算 Gauss-Legendre公式，Gauss-Chebyshev公式
数值微分
向前一阶差分，向后一阶差分，余项计算 中心差分（一阶导数，二阶导数，推导过程），余项计算
4
正交多项式
正交多项式族，首项系数为 1 的正交多项式递推公式 Legendre多项式，Chebyshev多项式，Chebyshev插值多项式
最佳逼近
最佳平方逼近：法方程，Hilbert矩阵，正交多项式法(推广到一般区间) n 次多项式的 n-1 次最佳一致逼近(推广到一般区间) ，Chebyshev级数
Hermite 插值
两点三次，三点三次，推导过程，余项推导
分段低次插值
分段线性插值，分段Hermite插值，余项推导
三次样条插值
三次样条函数，三弯矩方程2第三章源自范数与内积函数逼近
范数与内积的定义，常见范数与内积：Rn, C[a, b] 正交，Cauchy-Schwarz 不等式，Gram矩阵 带权内积，权函数，内积导出范数
第一章 数值计算中的误差
第一章数值计算中的误差
用 x ± ε 表示一个近似值，这在实际计算中很不方便。当在实际运算中遇到的数的位数 很多时，如π ， e 等，常常采用四舍五入的原则得到近似值，为此引进有效数字的概念。
定义 3：当近似值 x* 的误差限是其某一位上的半个单位时，我们就称其“准确”到这一位，
xn n!
&1+
x
+
x2 2!
+"+
xn n!
近似代替
ex
，这时的截断误差为
Rn
(x)
=
eξ (n +1)!
x n +1
,
ξ 介于 0 与 x 之间。
这种误差就是截断误差。
sin x = x − x3 + x5 − ...... , 用近似计算公式 sin x ≈ x - x3 + x5 截断误差估计
实际问题→数学模型→计算方法→程序设计→上机计算 由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的 任务。而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程序上机算出结果，进而对计算结果进 行分析，这一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法的研究对象。 数值计算方法（也称数值分析或计算方法）是计算数学的一个主要部分，它是一门把数 学理论与计算机紧密结合起来进行研究的实用性很强的学科。它主要研究用计算机求解各种 数学问题的数值方法及其相关理论。
的绝对误差限为 0.0005
显然，误差限 ε(x)总是正数，且
ε (x) = x − x* ≤η
(1.3.3)
即
x * −η ≤ x ≤ x * +η
这个不等式，在应用上常常采用如下写法
x = x * ±η
(1.3.4) (1.3.5)
计算方法(1)-数值计算中的误差
f
(x1, x2 )
f
(x1*, x2* )
f x1
*
(x1
x1* )
f x2
*
(x2
x2* )
1 2!
2 f x12
*
(x1
x1* )2
2
2 f x1x2
*
2
§1 引言
一.用数值计算方法解决实际问题 的步骤
1.将实际问题抽象成数学问题,即建立 数学模型;
2.选用合适的算法,编制出计算机程序; 3.上机调试并计算,以得出所欲求解的
结果.
3
二.数值计算方法
1.定义 将所欲求解的数学模型简化
成一系列算术运算和逻辑运算,以便在计 算机上求出问题的数值解,并对算法的收 敛性、稳定性和误差进行分析、计算.
21
例: 比较算法
① 计算 3.01 3 (精确到第五位数字).
② 计算 1 cosx .
2.乘法运算的误差传播
* r
n
xi
n
* r
(
xi
)
i1 i1
1) 近似值之积的
相对误差等于相乘
各因子的相对误差
的代数和.
n i 1
xi
误差增长因子16的绝对误差的倍数经传播后增大或缩小表示增长因子的绝对误差缩小的倍数经传播后增大或表示的绝对误差增长因子的相对误差的倍数经传播后增大或缩小表示增长因子的相对误差缩小的倍数经传播后增大或表示的相对误差增长因子误差增长因子的绝对误差增长因子的相对203
数值计算方法与误差分析
数值计算方法与误差分析数值计算方法是一种通过数值逼近和近似的方式来求解数学问题的方法。
在实际应用中，由于计算机的存在，我们可以通过数值计算方法来解决一些复杂的数学问题，比如求解方程、求解积分、求解微分方程等。
然而，由于计算机的运算精度有限，以及数值计算方法本身的近似性质，我们在进行数值计算时往往会引入一定的误差。
因此，误差分析对于数值计算方法的正确性和可靠性至关重要。
一、数值计算方法数值计算方法是一种利用数字计算机进行数学计算的方法。
它主要通过将数学问题转化为计算机可以处理的形式，然后利用数值逼近和近似的方法来求解。
常见的数值计算方法包括数值逼近、插值和拟合、数值积分、常微分方程数值解等。
1. 数值逼近数值逼近是一种通过用近似值来代替精确值的方法。
它主要通过选择适当的逼近函数和逼近方法，将原问题转化为一个近似问题，然后利用计算机进行计算。
数值逼近方法的精度取决于逼近函数和逼近方法的选择，常见的数值逼近方法包括泰勒级数逼近、拉格朗日插值、牛顿插值等。
2. 插值和拟合插值和拟合是一种通过已知离散数据点来构造连续函数的方法。
插值是一种通过在已知数据点之间构造一个满足插值条件的函数来求解问题的方法，常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
拟合是一种通过在已知数据点附近构造一个满足拟合条件的函数来求解问题的方法，常见的拟合方法包括最小二乘拟合等。
3. 数值积分数值积分是一种通过数值逼近方法来求解定积分的方法。
它主要通过将定积分转化为求和或求积的问题，然后利用数值逼近方法进行计算。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解是一种通过数值逼近方法来求解常微分方程的方法。
它主要通过将常微分方程转化为一个差分方程或代数方程组，然后利用数值逼近方法进行计算。
常见的常微分方程数值解方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
二、误差分析误差分析是对数值计算方法引入的误差进行评估和分析的过程。
数值计算中的误差分析
数值计算中的误差分析在数值计算中，误差是一个不可避免的问题。
无论是在实际应用中还是在理论研究中，我们都需要对计算结果中的误差进行分析和评估。
本文将探讨数值计算中的误差分析方法和其在实际应用中的重要性。
一、误差的来源与分类在数值计算中，误差可以来源于多个方面。
主要可以分为以下两类：1.截断误差截断误差是由于数值计算中采用有限的近似方法而引入的误差。
在求解数学问题时，为了简化运算或逼近实际情况，我们通常需要对数学模型进行近似处理。
这个过程中，我们往往需要将无穷级数截断为有限项，或者使用近似公式。
这些近似方法往往会引入截断误差。
当近似的项数增多时，截断误差会减小。
因此，截断误差可以通过增加计算的精确度来降低。
2.舍入误差舍入误差是由于计算机内部存储数值时产生的。
计算机内部采用有限的二进制表示数值，因此会存在舍入误差。
特别是在进行数值计算时，计算机需要将结果截断或者四舍五入到有限位数。
这个过程中，会引入舍入误差。
舍入误差的大小取决于计算机的精度和数值的表示范围。
为了减小舍入误差，我们需要选择合适的计算精度或者采用更高级别的计算机。
二、误差分析方法为了评估数值计算中的误差，我们需要采用一些误差分析方法。
以下是常用的几种方法：1.绝对误差与相对误差绝对误差和相对误差是最直观、常用的误差度量方法。
绝对误差是指计算结果与真实值之间的差距，用于衡量计算结果的准确性。
相对误差是绝对误差除以真实值的比值，用于衡量计算结果的相对准确性。
绝对误差和相对误差越小，计算结果越接近真实值。
2.截断误差估计在数值计算中，我们经常需要通过截断误差来评估近似方法的精度。
截断误差估计方法可以根据近似方法的性质和推导出来的误差界，对近似结果进行误差估计。
这种方法通常需要对数学模型和数值方法有一定的了解和掌握。
3.稳定性分析稳定性分析是评估数值计算方法对输入数据中扰动的敏感程度。
当输入数据存在微小变化时，计算结果也会相应地发生变化。
稳定性分析可以帮助我们判断计算方法的可靠性，并找到对输入数据扰动不敏感的计算方法。
数值计算方法 数值计算的误差 - 数值计算的误差
pn ( x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x 2 2!
f (n) (0) x n n!
则截断误差是： Rn (x)
f (x) Pn (x)
f (n1) ( ) xn1
(n 1)!
(0 x)
6
误差的分类
四、舍入误差： 数字计算过程中产生的误差
第 一
绪论
章
1
1 话说科学计算 2 话说《数值计算方法》课程 3 误差与有效数字 4 误差的传播与改善
2
误差的概念 有效数字 误差的分类 误差的传播
3
误差的分类
假设产生误差
一、模型误差__数学模型与实际问题之间出现的误差.
实验：交通流量问题
问题分析与建立模型：
模型假设： （1） 全部流入网络的流量
( 12 )6 29
0.00501995
0.005050633883
4
1 99 70 2
1 0.00507614 197
12 0.00504626 2378
0.005050633883
20
比较与思考
Mathematica 的效果
0.005050633883 0.005050633883 0.005050633883 0.005050633883
改 善
一般情况，当f ( x) f ( x* )时 可用泰勒展开
f ( x) f ( x* ) f '( x* )( x x* ) f ''( x* ) ( x x* )
2
取右端的有限项近似代替左端。
22
防止大数吃小数
数值计算中的误差
p( x) a0 xn a1xn an1x an
an1 ) x an
p( x) (((a0 x a1 ) x a2 ) x
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
二、误差的种类及其来源
过失误差或疏忽误差 模型误差
非过失误差 观测误差 截断误差
*
例如 3.14159265 的五、六位有 效数字分别为：
1 3.1416 , 2 3.14159
•数字的规格化形式
一般说，设有一个数 x ，其近似值 x 的规格化形式
*
x 0.1 2 n 10
*
m
(5)
1 , 2 ,, n 都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数 式中： 字， 1 0 ；n是正整数；m是整数。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
(7)
计算题
绝对误差和相对误差的计算以及有效数字？
例1 当用 3.1416 来表示 它的相对误差是多少？
的近似值时，
3 ，由(7)有
1 解： 3.1416 具有五位有效数字，
* r
1 1 51 4 ( x) 10 10 23 6
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
五、防止误差传播的若干方法
应选用数值稳定的计算算法，避开不稳定的算式； 注意简化计算步骤，减少运算次数； 大数“淹没”小数的现象发生；
应避免两相近数相减（变换）；
绝对值太小的数不宜作为除数；
注意计算过程中误差的传播与积累。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
1 x 99 70 2
6
《数值分析》第一章 数值计算中的误差
值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
14
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝 对误差限、相对误差限各是多少？
解： (a) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5104
n位
≤ 0 . 0 … 0 999... < 0 . 0 … 0 1=1×10－n
n位
n-1位
• 截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位 的1个单位。
11
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 四舍情况，
A=a0 a1 … am . am+1 … am+n
• 当am+n+1 =0,1,2,3,4时，
4
§2 舍入方法与有效数字
5
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 近似数a的绝对误差 ， 简称误差 设a是精确值A的近似值，
=a－A
• 绝对误差限 ||=|a－A|<(上界)
• 由上式可推知 a－ <A<a+，也可表示为A=aAFra biblioteka-a
a+
6
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 相对误差 ： 绝对误差与精确值之比 =/A。 • 实际计算/a。
代替后误差
a A 1 2
A a Aa
Aa
• 相对误差限 ||=|/a |< /|a|＝ (上界)
• 绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时 亦用百分比、千分比表示。
计算方法(1)-数值计算中的误差32页PPT
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
4
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* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2
1 1
24
§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影 响小者称它为数值稳定的算法.
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2
b
b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
25
当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
2 2
1 1
3
计算结 果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6
2 6
0.0040960
5
6
0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1
5
6
0.00523278
12 6
计算方法
1
第一章 数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性
2
§1 引言
一.用数值计算方法解决实际问题 的步骤
1.将实际问题抽象成数学问题,即建立 数学模型;
设备精度限制而产生的误差.
三.截断误差
对某种无穷过程进行截断而产生的误差.
四.舍入误差
将数据进行四舍五入而产生的误差.
8
§3 绝对误差和相对误差
一.绝对误差和绝对误差限
1.绝对误差
设 某 一 个 量 的 准 确 值 为x, 其 近 似 值 为x* ,
则x与x*的 差
(x) x x*
21
例: 比较算法
① 计算 3.01 3 (精确到第五位数字).
② 计算 1 cosx .
2.乘法运算的误差传播
* r
n
xi
n
* r
(
xi
)
i1 i1
1) 近似值之积的
相对误差等于相乘
各因子的相对误差
的代数和.
n i 1
xi
1.若x*具有n位有效数字则x*的相对误差限
为
1 10n1
2a1 2. 若x*的相对误差为|
* r
(
x)
|
1 2(a1 1)
10 n 1
则x*至少具有n位有效数字
例1 求用3.1416表示π的近似值相对误差.
例2 要使积分I e1 x2 dx 的近似值 I *的相
n i 1
n j 1,
x
* j
ji
(xi
)
2) 乘数绝对值很大
时,乘积绝对误差可
能很大,应设法避免.
22
3.除法运算的误差传播
* r
x1 x2
* r
(x1
)
* r
(x2
)
1)近似值之商的相对误差等于被除数与
除数的相对误差之差.
(
x1
)
经传播后增大或缩小
的倍数
x2*对y*的 相 对 误 差 增 长 因 子
表
示
* r
(
x2
)经
传
播
后
增
大
或
缩小的倍数
18
2.推广到多元函数
y f (x1 , x2 , , xn )
在(
x
*
1
,
x
*
2
,
,
xn*
)处
作
泰
勒
展
开, 得
近似值 y* f (x1* , x2* , , xn* )
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
先求出绝对值较大的一个根: x1 109
利用关系式
x1
x2
c a
x2 1
26
例5 试计算积分
En
1 x n e x1dx
0
(n 1,2, )
解:分部积分法
En
x ne x1
|10
n
1 x n1e x1dx
凡原始数据的微小变化可能引起的很 大变化的这类问题称为病态问题或坏条件 问题.
二.误差在算术运算中的传播
1.加、减运算的误差传播
n
n
1)近似值之和的绝对误差
( xi ) (xi ) 等于各近似值绝对误差的
i 1
i 1
代数和.
20
n
n
* r
(
xi )
xi*
n
* r
f
(x1, x2 )
f
(x1*, x2* )
f x1
*
(x1
x1* )
f x2
*
(x2
x2* )
1 2!
2 f x12
*
(x1
x1* )2
2
2 f x1x2
*
1.相对误差
绝对误差与真值之比
r (x)
(x)
x
x x* x
称 为 近 似 值x*的 相 对 误 差.
2.绝对误差与相对误差的关系
(x) x r (x)
10
3.相对误差限
0, 使 | r (x) | 则 称为 近 似 值x*的 相 对 误 差 限.
实际计算
绝对误差与近似值之比
*r (x)
(x)
x*
x
x* x*
4.百分误差
* r
( x)
(x)
x*
100%
11
§4 有效数字及其与误差的关系
一.有效数字
1.有效数字定义
当近似值 x*的误差限是其某一位上的
半个单位时,则称其“准确”到这一位,从
这一位起直到前面第一位非零数字为止的
( y)
y*
f x1
(x1 )
y*
f x2
(x2 )
y*
x1* y*
f x1
*
* r
(
x1
)
x2* y*
f x2
*
* r
(
x
2
)
x1*对y*的 相 对 误 差
增
长
因
子,
表
示
* r
对误差不超过0.1%,0问至少取几位有效数字?
14ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§5 误差的传播与估计
一.误差估计的一般公式
1.误差增长因子
15
引例
y f (x1, x2 )
设x1*
,
x2*
是x1
,
x
的
2
近
似
值,
y*是y的 近 似 值, y* f (x1* , x2* )
f (x1, x2 )在(x1* , x2* )处的泰勒展式
5.绝对值太小的数不宜作除数;
29
一.误差理论的基本概念
第 一 章
1.误差的分类 2.误差的表示法:绝对误差和相对误差 3.有效数字 二.误差在近似计算中的传播规律及其
説一般通过流程图直观描述算法.
3.算法优劣对计算的影响
4
例 计算多项式
P(x) an x n an1 x n1 a1 x a0
1)直接计算
乘法次数: 加法次数:
n
(n n
1)
1
0
n(n 1) 2
;
2)秦九韶算法
P(x) (( (an x an1)x an2 )x a2 )x a1)x a0
绝对误差
相对误差
( y)
n i1
f xi
*
(xi )
* r
(
y)
n i1
xi*
y*
f xi
*
* r
(
xi
)
xi*对y *的 绝 对 误差增长因子
xi*对y*的 相 对 误差增长因子
19
3.病态问题(坏问题)
x1 x2
1 x2*
(x1
)
x1* (x2* )2