习题课2 运动的合成与分解(2021年)

专题强化1　运动的合成与分解[学习目标]　1.理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法.2.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题.一、运动描述的实例——蜡块运动的研究1.蜡块的位置：如图1所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为v y ，玻璃管向右匀速移动的速度设为v x ，从蜡块开始运动的时刻开始计时，在某时刻t ，蜡块的位置P 可以用它的x 、y 两个坐标表示：x ＝v x t ，y ＝v y t .图12.蜡块的速度：大小v ＝，方向满足tan θ＝.vx 2＋vy 2v y v x3.蜡块运动的轨迹：y ＝x ，是一条过原点的直线.v y v x二、运动的合成与分解 1.合运动与分运动如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动.2.运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解.3.运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循平行四边形定则.1.判断下列说法的正误.(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等.(　√　) (2)合运动一定是实际发生的运动.(　√　) (3)合运动的速度一定比分运动的速度大.(　×　)(4)两个夹角为90°的匀速直线运动的合运动，一定也是匀速直线运动.(　√　)2.竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.3 m /s 的速度匀速上浮.在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管沿水平方向匀速向右运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成37°角，如图2所示.若玻璃管的长度为0.9 m ，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，玻璃管水平方向的移动速度和沿水平方向运动的距离分别约为 m/s 和m.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)图2答案　0.4　1.2解析　设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为v 1，位移为x 1，蜡块随玻璃管水平向右移动的速度为v 2，位移为x 2，如图所示，v 2＝＝ m /s ＝0.4 m/s.蜡块沿玻璃管匀速上升的时v 1tan 37°0.334间t ＝＝s ＝3 s.由于两个分运动具有等时性，故玻璃管水平移动的时间为3 s.水平运动x 1v 10.90.3的距离x 2＝v 2t ＝0.4×3 m ＝1.2 m.一、运动的合成与分解1.合运动与分运动的四个特性等时性各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同等效性各分运动的共同效果与合运动的效果相同同体性各分运动与合运动是同一物体的运动独立性各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响2.运动的合成与分解(1)运动的合成与分解可以借鉴力的合成与分解，在遵从平行四边形定则的前提下，灵活选用处理方法.(2)对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解.3.两个直线运动的合运动性质的判断分析两个直线运动的合运动性质时，应先求出合运动的合初速度v和合加速度a，然后进行判断.(1)是否为匀变速判断：加速度或合外力Error!(2)曲、直判断：加速度或合外力与速度方向Error!例1　跳伞是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，当运动员在某高度从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作B.风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害C.运动员下落时间与风力有关D.运动员着地速度与风力无关答案　B解析　运动员同时参与了两个分运动：竖直方向向下落和水平方向随风飘.这两个分运动同时发生，相互独立.所以水平风力越大，运动员着地速度越大，但下落时间由下落的高度决定，与风力无关，故选B.例2　(多选)质量为2 kg的质点在xOy平面内做曲线运动，在x方向的速度－时间图象和y方向的位移－时间图象如图3所示，下列说法正确的是( )图3A.质点的初速度为5 m/sB.质点所受的合外力为3 N，做匀变速曲线运动C.2 s末质点速度大小为6 m/sD.2 s内质点的位移大小约为12 m答案　ABD解析　由题图x方向的速度－时间图象可知，在x方向的加速度为1.5 m/s2，x方向受力F x ＝3 N，由题图y方向的位移－时间图象可知在y方向做匀速直线运动，速度大小为v y＝4m/s ，y 方向受力F y ＝0.因此质点的初速度为5 m/s ，A 正确；受到的合外力恒为3 N ，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，B 正确；2 s 末质点速度大小应该为v ＝ m/s ＝2 m/s ，C 错误；2 s 内，x ＝v x 0t ＋at 2＝9 m ，y ＝8 m ，62＋421312合位移l ＝＝ m ≈12 m ，D 正确. x 2＋y 2145二、小船渡河问题 1.运动分析小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动. 2.两类常见问题 (1)渡河时间问题①渡河时间t 的大小取决于河面的宽度d 及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t ＝.d v⊥②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图4所示，此时t ＝.dv船图4(2)最短位移问题①若v 水<v 船，最短的位移为河宽d ，船头与上游河岸夹角满足v 船cos θ＝v 水，如图5甲所示.图5②若v 水>v 船，如图乙所示，从出发点A 开始作矢量v 水，再以v 水末端为圆心，以v 船的大小为半径画圆弧，自出发点A 向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移x 短＝. v 船v 水d cos θ例3　已知某船在静水中的速度为v 1＝5 m /s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100 m ，水流速度为v 2＝3 m/s ，方向与河岸平行. (1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移有多大？ (2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？(3)若水流速度为v 2′＝6 m /s ，船在静水中的速度为v 1＝5 m/s 不变，船能否垂直河岸渡河. 答案　(1)20 s 20 m (2)25 s (3)不能34解析　(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，则最短时间为t ＝＝ s ＝20 s.d v11005如图甲所示，当船到达对岸时，船沿水流方向也发生了位移，由几何知识可得，船的位移为l ＝，由题意可得x ＝v 2t ＝3×20 m ＝60 m ，代入得l ＝20 m.d 2＋x 234(2)分析可知，当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v 1＝5 m /s ，大于水流速度v 2＝3 m/s ，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v 1cos θ＝v 2，cos θ＝＝0.6，则sin v 2v 1θ＝＝0.8，所用的时间为t ＝＝s ＝25 s.1－cos 2 θdv 1sin θ1005×0.8(3)当水流速度v 2′＝6 m /s 大于船在静水中的速度v 1＝5 m/s 时，不论v 1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.1.要使船垂直于河岸横渡，即路程最短，应使v 船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v 船>v 水时.2.要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v 船与水流方向垂直.3.要区别船速v 船及船的合运动速度v 合，前者是发动机或划桨产生的分速度，后者是合速度.针对训练1　(多选)(2019·宜宾市高一质检)如图6所示，在长江边一段平行江道中，一轮船的船头指向始终垂直于江岸方向，轮船在静水中运动的速度保持不变，水匀速流动(假设整个江道水流速度相同)，下列说法正确的是( )图6A.水流速度越大，轮船行驶位移越大B.水流速度增大，轮船行驶位移不变C.水流速度越大，过江时间越短D.水流速度增大，过江时间不变 答案　AD解析　因为船垂直于江岸方向的速度不变，而水流方向是垂直于这个方向的，在垂直于江岸方向上没有分速度，设江宽为d ，船垂直于江岸的速度为v ，t ＝，所以不论水流速度多dv大，时间不变，故C错误，D正确.水流速度越大，相同时间内沿水流速度方向的位移就越大，船在水中运动的总位移也就越大，故B错误，A正确.三、关联速度问题关联速度问题指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向.(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等.(3)常见的速度分解模型(如图7)图7例4　(多选)如图8所示，人在岸上用跨过光滑定滑轮的轻绳拉船，已知船的质量为m，船受到水的阻力恒为F f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时( )图8A.人拉轻绳行走的速度大小为v cos θB.人拉轻绳行走的速度大小为v cos θC.船的加速度大小为F cos θ－F fm D.船的加速度大小为F －F fm 答案　AC解析　船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的轻绳缩短，二是使滑轮与船间的轻绳偏转，因此将船的速度按如图所示(沿轻绳方向与垂直于轻绳方向)方式进行分解，人拉轻绳行走的速度大小v 人＝v ∥＝v cos θ，选项A 正确，B 错误；轻绳对船的拉力大小等于人拉轻绳的力的大小，即轻绳的拉力大小为F ，与水平方向成θ角，因此F cos θ－F f ＝ma ，解得a ＝，选项C 正确，D 错误.F cos θ－F f m针对训练2　(2019·鹤壁市期末)如图9，物体A 套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B 在水平面上运动，开始时A 、B 间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A 的运动，使其恰好以速度v 沿杆匀速下滑(B 始终未与滑轮相碰)，则( )图9A.细绳与杆的夹角为α时，B 的速率为v sin αB.细绳与杆的夹角为α时，B 的速率为v cos αC.物体B也做匀速直线运动D.物体B做匀加速直线运动答案　B解析　如图所示，将A物体的速度按图示两个方向分解，知细绳速率v绳＝v cos α；而细绳速率等于物体B的速率，则有物体B的速率v B＝v绳＝v cos α，故A错误，B正确；因α减小，则v B＝v绳＝v cos α增大，B物体加速运动，但不是匀加速运动，故C、D错误.1.(合运动性质的判断)如图10所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )图10A.大小和方向均不变B.大小不变，方向改变C.大小改变，方向不变D.大小和方向均改变答案　A解析　橡皮参与了两个分运动，一个是沿水平方向与铅笔移动速度相同的匀速直线运动，另一个是沿竖直方向与铅笔移动速度大小相等的匀速直线运动，所以这两个直线运动的合运动是斜向上的匀速直线运动，故选项A正确.2.(两分运动的合成)(多选)如图11甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t 图象如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图象如图丙所示.若以地面为参考系，下列说法正确的是( )图11A.猴子的运动轨迹为直线B.猴子在0～2 s内做匀变速曲线运动C.t＝0时猴子的速度大小为8 m/sD.猴子在0～2 s内的加速度大小为4 m/s2答案　BD解析　猴子在竖直方向做初速度为8 m/s，加速度大小为4 m/s2的匀减速直线运动，水平方向做速度大小为4 m/s的匀速直线运动，其合运动为曲线运动，故猴子在0～2 s内做匀变速v0x2＋v0y242＋82曲线运动，选项A错误，B正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝＝m/s＝54m/s，选项C错误；猴子在0～2 s内的加速度大小为4 m/s2，选项D正确.3.(关联速度问题)(多选)如图12所示，一人以恒定速度v 0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动，当运动到图示位置时，细绳与水平方向成45°角，则此时( )图12A.小车运动的速度为v 012B.小车运动的速度为v 0 2C.小车在水平面上做加速运动 D.小车在水平面上做减速运动 答案　BC解析　将小车速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，如图所示，人拉绳的速度与小车沿绳子方向的分速度大小是相等的，根据三角函数关系v cos 45°＝v 0，则v ＝＝v 0，B 正确，A 错误.随着小车向左运动，小车与水平方向的夹角越来越v 0cos 45°2大，设夹角为α，由v ＝知v 越来越大，则小车在水平面上做加速运动，C 正确，D 错v 0cos α误.4.(小船渡河问题)小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是2 m /s ，小船在静水中的航速是4 m/s.问：(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？ (2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？ 答案　(1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s (2)船头偏向上游，与河岸成60°角航程最短，最短航程为200 m解析　(1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间t min ＝＝ s ＝d v 船200450 s.(2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200 m ，应使v 合′的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有cos α＝＝，解得α＝60°. v 水v船12一、选择题1.关于合运动、分运动的说法，正确的是( ) A.合运动的位移为分运动位移的矢量和 B.合运动的位移一定比其中的一个分位移大 C.合运动的速度一定比其中的一个分速度大 D.合运动的时间一定比分运动的时间长 答案　A解析　位移是矢量，其运算遵循平行四边形定则，A 正确；合运动的位移可大于分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，B 错误；同理可知C 错误；合运动和分运动具有等时性，D错误.2.如图1所示，在一次救灾工作中，一架离水面高为H、沿水平直线飞行的直升机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B，在直升机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起.设经t时间后，A、B之间的距离为l，且l＝H－t2，则在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是下列哪个图( )图1答案　A解析　根据l＝H－t2，可知伤员B在竖直方向上是匀加速上升的，悬索中拉力大于重力，即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长，伤员在水平方向匀速运动，所以F、G都在竖直方向上；向上加速，运动轨迹向上偏转，只有A符合，所以在这段时间内关于伤员B 的受力情况和运动轨迹正确的是A.3.(多选)在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图2所示.关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是( )图2A.相对地面做匀速直线运动B.相对地面做匀变速曲线运动C.t时刻猴子相对地面的速度大小为v0＋atD.t时间内猴子相对地面的位移大小为x2＋h2答案　BD解析　猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，猴子受到的合外力恒定(加速度恒定)，所以猴子相对地面做的是匀变速曲线运动，故A错误，v02＋(at)2B正确；t时刻猴子对地的速度大小为v＝，故C错误；t时间内猴子对地的位移x2＋h2大小为l＝，故D正确.4.小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )A.水速小时，位移小，时间也小B.水速大时，位移大，时间也大C.水速大时，位移大，但时间不变D.位移、时间大小与水速大小无关答案　C解析　小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间取决于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定.水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小.5.(2019·棠湖中学高一质检)唐僧、悟空、沙僧和八戒师徒四个想划船渡过一条宽150 m的河，他们在静水中划船的速度为5 m/s，现在他们观察到河水的流速为4 m/s，对于这次划船过河，他们有各自的看法，其中正确的是( )A.唐僧说：我们要想到达正对岸就得朝着正对岸划船B.悟空说：我们要想节省时间就得朝着正对岸划船C.沙僧说：我们要想少走点路就得朝着正对岸划船D.八戒说：今天这种情况我们是不可能到达正对岸的答案　B6.(2019·厦门市高一下学期期末)某人划小船横渡一条两岸平行的河流，船在静水中的速度大小不变，船头方向始终垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图3所示，则( )图3A.各处水流速度大小都一样B.离两岸越近水流速度越小C.离两岸越近水流速度越大D.无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最长答案　B解析　从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有指向下游的加速度，后具有指向上游的加速度，故加速度是变化的，且水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A、C错误，B正确；根据运动的独立性，船身方向垂直于河岸，与水流速度是否变化无关，这种渡河方式耗时最短，故D错误.7.(多选)一快艇从离岸边100 m远的河流中央向岸边行驶.已知快艇在静水中的速度－时间图象如图4甲所示；河中各处水流速度相同，且速度－时间图象如图乙所示.则( )图4A.快艇的运动轨迹一定为直线B.快艇的运动轨迹一定为曲线C.快艇最快到达岸边，所用的时间为20 sD.快艇最快到达岸边，经过的位移为100 m 答案　BC解析　两分运动一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，由此可知合速度的方向与加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A 错误，B 正确.当快艇船头垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a ＝0.5 m/s 2，由d ＝at 2，得t ＝20 s ，而位12移大于100 m ，选项C 正确，D 错误.8.(2019·康杰中学期中考试)如图5所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块.汽车匀速向右运动，在物块到达滑轮之前，下列说法正确的是( )图5A.物块将竖直向上做匀速运动B.物块将处于超重状态C.物块将处于失重状态D.物块将竖直向上先加速后减速答案　B解析　设汽车向右运动的速度为v ，轻绳与水平方向的夹角为α，物块上升的速度为v ′，则v cos α＝v ′，汽车匀速向右运动，则α减小，v ′增大，物块加速上升，A 、D 错误；物块的加速度向上，处于超重状态，B 正确，C 错误.9.(2019·眉山高中第二学期期末质检)如图6所示，人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A ，人以速度v 0向左匀速拉轻绳，某一时刻，轻绳与竖直杆的夹角为θ，与水平面的夹角为α，此时物块A 的速度v 1为( )图6A.v 0sin αcos θB.v 0sin αsin θC.v 0cos αcos θD.v 0cos αcos θ答案　D10.物体在直角坐标系xOy 所在平面内由O 点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图象如图7所示，则对该物体运动过程的描述正确的是( )图7A.物体在0～3 s 做匀变速直线运动B.物体在0～3 s 做匀变速曲线运动C.物体在3～4 s做变加速直线运动D.物体在3～4 s做匀变速曲线运动答案　B解析　物体在0～3 s内，x方向做v x＝4 m/s的匀速直线运动，y方向做初速度为0、加速度a y＝1 m/s2的匀加速直线运动，合初速度v0＝v x＝4 m/s，合加速度a＝a y＝1 m/s2，所以物体的合运动为匀变速曲线运动，如图甲所示，A错误，B正确.物体在3～4 s内，x方向做初速度v x＝4 m/s、加速度a x＝－4 m/s2的匀减速直线运动，y方向做初速度v y＝3 m/s、加速度a y＝－3 m/s2的匀减速直线运动，合初速度大小v＝5 m/s，合加速度大小a＝5 m/s2，v、a方向恰好相反，所以物体的合运动为匀减速直线运动，如图乙所示，C、D错误.11.(2019·泉港一中高一第二学期期末)如图8所示，在距河面上方20 m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°.人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳向左前进，使小船靠岸，那么( )图8A.5 s时绳与水面的夹角为60°B.5 s时间内小船前进了15 mC.5 s时小船的速率为5 m/sD.5 s 时小船到岸边距离为10 m 答案　C解析　5 s 内人前进的距离s 人＝v t ＝3×5 m ＝15 m ，此时滑轮至船的距离l ′＝－15 hsin 30°m ＝25 m ，此时拉船的绳与水平方向夹角正弦值sin θ＝＝，θ＝53°，cos θ＝，则v 船202545v v 船＝5 m/s ，此时小船到岸的距离s ′＝20tan 37° m ＝15 m ，开始时小船到岸的距离为s ＝h tan 60°＝20 m,5 s 时间内小船前进了Δs ＝s －s ′＝(20－15) m ≈19.6 m ，故A 、B 、D 错33误，C 正确.二、非选择题12.一物体在光滑水平面上运动，它在相互垂直的x 方向和y 方向上的两个分运动的速度－时间图象如图9所示.图9(1)计算物体的初速度大小； (2)计算物体在前3 s 内的位移大小. 答案　(1)50 m/s (2)30 m13解析　(1)由题图可看出，物体沿x 方向的分运动为匀速直线运动，沿y 方向的分运动为匀变速直线运动.x 方向的初速度v x 0＝30 m/s ，y 方向的初速度v y 0＝－40 m/s ；则物体的初速度大小为v 0＝＝50 m/s.v x 02＋v y 02(2)在前3 s 内，x 方向的分位移大小x 3＝v x ·t ＝30×3 m ＝90 my 方向的分位移大小y 3＝·t ＝×3 m ＝60 m ， |v y 0|2402故x ＝＝ m ＝30 m.x 32＋y 32902＋6021313.一辆车通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳提升一个质量为m 的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H .车由静止开始向左做匀加速直线运动，经过时间t 绳子与水平方向的夹角为θ，如图10所示.试求：图10(1)车向左运动的加速度的大小；(2)重物m 在t 时刻速度的大小.答案　(1)　(2) 2H t 2tan θ2H cos θt tan θ解析　(1)车在时间t 内向左运动的位移：x ＝， H tan θ由车做匀加速直线运动，得：x ＝at 2， 12解得：a ＝＝. 2x t 22H t 2tan θ(2)t 时刻车的速度：v 车＝at ＝， 2H t tan θ由运动的分解知识可知，车的速度v 车沿绳的分速度大小与重物m 的速度大小相等，即： v 物＝v 车cos θ，2H cos θ解得：v物＝.t tan θ。