遵义数学轴对称解答题单元培优测试卷

遵义数学轴对称解答题单元培优测试卷

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：

（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．

（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】

【分析】

定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；

（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；

（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.

【详解】

解：定理证明：

∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

又∵AC＝BC，PC＝PC，

∴△PAC≌△PBC（SAS），

∴PA＝PB．

定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．

∵直线m是边BC的垂直平分线，

∴OB＝OC，

∵直线n是边AC的垂直平分线，

∴OA＝OC，

∴OA＝OB

∵OH⊥AB，

∴AH＝BH；

（2）如图③中，连接BD，BE．

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠C＝30°，

∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，

∴DA＝DB，EB＝EC，

∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，

∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，

∴△BDE是等边三角形，

∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，

∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，

∴DE＝5，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.

2．（1）如图①，D是等边△ABC的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边，在BC上方作等边△DCF，连接AF，你能发现AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；

（2）如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；

（3）Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论；

Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

【答案】（1）AF=BD，理由见解析；（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF+BF′=AB，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）由等边三角形的性质得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，从而得

∠BCD=∠ACF，根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；

（2）根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；

（3）Ⅰ．易证△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF′≌△ACD，结合AF=BD，即可得到结论．

【详解】

（1）结论：AF=BD，理由如下：

如图1中，∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠BCA=60°，

同理知，DC=CF，∠DCF=60°，

∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即：∠BCD=∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

∵

BC AC

BCD ACF

DC FC

=

∠=∠

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD=AF；

（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由如下：

如图2中，∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠BCA=60°，

同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，

∴∠BCA +∠DCA =∠DCF +∠DCA ，即∠BCD =∠ACF ，

在△BCD 和△ACF 中，

∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩

，

∴△BCD ≌△ACF （SAS ），

∴BD =AF ；

（3）Ⅰ．AF +BF ′=AB ，理由如下：

由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD =AF ；

同理：△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′=AD ，

∴AF +BF ′=BD +AD =AB ；

Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由如下：

同理可得：BCF ACD ∠=∠′，F C DC =′，

在△BCF ′和△ACD 中，

BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩

′

′， ∴△BCF ′≌△ACD （SAS ），

∴BF ′=AD ，

又由（2）知，AF =BD ，

∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′，即AF =AB +BF ′．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．

3．已知:三角形ABC 中,∠A=90°,AB=AC,D 为BC 的中点.

(1)如图,E 、F 分别是AB 、AC 上的点,且BE=AF,求证:△DEF 为等腰直角三角形.

(2)若E 、F 分别为AB,CA 延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF 是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】