遵义数学轴对称解答题单元培优测试卷

遵义数学轴对称解答题单元培优测试卷
一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．
【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】
【分析】
定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；
（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；
（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.
【详解】
解：定理证明：
∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
又∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PAC≌△PBC（SAS），
∴PA＝PB．
定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．
∵直线m是边BC的垂直平分线，
∴OB＝OC，
∵直线n是边AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∴OA＝OB
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH；
（2）如图③中，连接BD，BE．
∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，
∴DA＝DB，EB＝EC，
∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，
∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，
∴DE＝5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.
2．（1）如图①，D是等边△ABC的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边，在BC上方作等边△DCF，连接AF，你能发现AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；
（2）如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；
（3）Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论；
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
【答案】（1）AF=BD，理由见解析；（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF+BF′=AB，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的性质得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，从而得
∠BCD=∠ACF，根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；
（2）根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；
（3）Ⅰ．易证△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF′≌△ACD，结合AF=BD，即可得到结论．
【详解】
（1）结论：AF=BD，理由如下：
如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BCA=60°，
同理知，DC=CF，∠DCF=60°，
∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即：∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
∵
BC AC
BCD ACF
DC FC
=
∠=∠
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF；
（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由如下：
如图2中，∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BCA=60°，
同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，
∴∠BCA +∠DCA =∠DCF +∠DCA ，即∠BCD =∠ACF ，
在△BCD 和△ACF 中，
∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
，
∴△BCD ≌△ACF （SAS ），
∴BD =AF ；
（3）Ⅰ．AF +BF ′=AB ，理由如下：
由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD =AF ；
同理：△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′=AD ，
∴AF +BF ′=BD +AD =AB ；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由如下：
同理可得：BCF ACD ∠=∠′，F C DC =′，
在△BCF ′和△ACD 中，
BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩
′
′， ∴△BCF ′≌△ACD （SAS ），
∴BF ′=AD ，
又由（2）知，AF =BD ，
∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′，即AF =AB +BF ′．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．
3．已知:三角形ABC 中,∠A=90°,AB=AC,D 为BC 的中点.
(1)如图,E 、F 分别是AB 、AC 上的点,且BE=AF,求证:△DEF 为等腰直角三角形.
(2)若E 、F 分别为AB,CA 延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF 是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出
∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；
(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出
∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.
【详解】
解：（1）连结AD ,
∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,
∴AD⊥BC ,BD=AD ,
∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,
又∵BE=AF ,
∴△BDE≌△ADF（SAS）,
∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
（2）连结AD
∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,
∴AD=BD ,AD⊥BC ,
∴∠DAC=∠ABD=45° ,
∴∠DAF=∠DBE=135°,
又∵AF=BE ,
∴△DAF≌△DBE（SAS）,
∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.
∴△DEF为等腰直角三角形.
【点睛】
本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等
三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．
4．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ．
（1）求CAM ∠的度数；
（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；
（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，
60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；
（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．
【详解】
（1）ABC ∆是等边三角形，
60BAC ∴∠=︒．
线段AM 为BC 边上的中线，
12
CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．
（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=．
在ADC ∆和BEC ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；
（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，
理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，
由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，
又60ABC ∠=︒，
603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，
ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线
AM ∴平分BAC ∠，即11603022
BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
30CBE CAD ∴∠=∠=︒，
同理可得：30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
③当点D 在线段MA 的延长线上时，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
CBE CAD ∴∠=∠，
同理可得：30CAM ∠=︒
150CBE CAD ∴∠=∠=︒
30CBO ∴∠=︒，
∵30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.
5．已知：AD 是ABC ∆的高，且BD CD =.
（1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；
（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.
图1. 图2. 图3.
【答案】（1）见解析，（2）BFC ∠=60（3）8=CF .
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC ，BAD CAD ∠=∠；
（2）在图2中，连接CE ，可证得BCE ∆是等边三角形，60BEC ∠= ，30BED ∠=且由折叠性质可知1'2
ABE A BE ABF ∠=∠=∠，可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=；
（3）连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，可证得
Rt BEM Rt CEN ∆≅∆，BM CN =，BF FM CF CN -=+，可得线段CF 的长.
【详解】
解：（1）证明：如图1，AD BC ⊥，BD CD =
AB AC ∴=
BAD CAD ∴∠=∠；
图1
（2）解：在图2中，连接CE
ED BC ⊥，BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴∆是等边三角形
60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=
由折叠性质可知1'2
ABE A BE ABF ∠=∠=∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由（1）可知2FAB BAE ∠=∠ BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=⨯=
图2
（3）解：连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N
'ABE A BE ∠=∠，BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴== AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠= 在Rt EFM ∆中，906030FEM ∠=-= 2EF FM ∴= 令FM m =，则2EF m = 62FG EG EF m ∴=-=- 同理12
FN EF m ==，2124CF FG m ==- 在Rt BEM ∆和Rt CEN ∆中，EM EN =，BE CE = Rt BEM Rt CEN ∴∆≅∆ BM CN ∴=
BF FM CF FN ∴-=+ 10124m m m ∴-=-+ 解得1m = 8CF ∴=
图3
故答案为（1）见解析，（2）BFC ∠= 60（3）8CF =.
【点睛】
本题考查翻折的性质，涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点，属于较难的题型.
6．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =
12
BC ，点D 为BC 的中点，AB =DE ，BE ∥AC ． （1）求证：△ABC ≌△DEB ；
（2）连结AD 、AE 、CE ，如图2．
①求证：CE 是∠ACB 的角平分线；
②请判断△ABE 是什么特殊形状的三角形，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②△ABE 是等腰三角形，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由AC//BE ，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=12
BC ，D 是BC 中点可得AC=BD ，利用HL 即可证明△ABC ≌△DEB ；（2）①由（1）得BE=BC ，由等腰直角三角形的性质可得∠BCE=45°，进而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根据SAS 可证明△ACE ≌△DCE ，可得AE=DE ，由AB=DE 可得AE=AB 即可证明△ABE 是等腰三角形.
（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC
∴∠CBE=90°
∴△ABC和△DEB都是直角三角形
∵AC=
1
2
BC，点D为BC的中点
∴AC=BD
又∵AB=DE
∴△ABC≌△DEB（H.L.）
（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB
∴BC=EB
又∵∠CBE=90°
∴∠BCE=45°
∴∠ACE=90°-45°=45°
∴∠BCE=∠ACE
∴CE是∠ACB的角平分线
②△
ABE是等腰三角形，理由如下：在△ACE和△DCE中
AC DC
ACE BCE
CE CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACE≌△DCE（SAS）.
∴AE=DE
又∵AB=DE
∴AE=AB
∴△ABE是等腰三角形
本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判断与性质，熟练掌握判定定理是解题关键.
7．已知△ABC ．
（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接OD OE 、求证：OD OE =；
（3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且△BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是
2180ABC EOF ∠+∠=，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图作∠ABC 的平分线；利用基本作图作BC 的垂直平分线，即可完成； （2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，
用角平分线的性质证明OH=OG ，BH=BG ，继而证明EH =DG ，然后可证明OEH ODG ∆≅∆,于是可得到OE=OD ；
（3）作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，利用(2)得到 CD=BE ，
OEH ODG ∆≅∆，OE=OD ，EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,可证明EOD HOG ∠=∠,故有180ABC EOD ∠+∠=,由△BEF 的周长=BC 可得到DF=EF,于是可证明OEF OGF ∆≅∆,所以有EOF DOF ∠=∠,然后可得到ABC ∠与EOF ∠的数量关系.
【详解】
解：（1）如图，就是所要求作的图形；
（2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于
H ，
∵BO 平分∠ABC ，OH ⊥AB ，OG 垂直平分BC ，
∴OH=OG ，CG=BG ，
∵OB=OB,
∴OBH OBG ∆≅∆,
∴BH=BG ，
∵BE=CD ，
∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG ，
在OEH ∆和ODG ∆中,
90OH OG OHE OGD EH DG =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
, ∴OEH ODG ∆≅∆,
∴OE=OD ．
（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是2180ABC EOF ∠+∠=，理由如下；
如图 ，作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取
CD=BE ，
由(2)可知，因为 CD=BE ，所以OEH ODG ∆≅∆且OE=OD ，
∴EOH DOG
∠=∠,180
ABC HOG
∠+∠=,
∴EOD EOG DOG EOG EOH HOG
∠=∠+∠=∠+∠=∠,
∴180
ABC EOD
∠+∠=,
∵△BEF的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC
∴DF=EF,
在△OEF和△OGF中,
OE OD
EF FD
OF OF
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
,
∴OEF OGF
∆≅∆,
∴EOF DOF
∠=∠,
∴2
EOD EOF
∠=∠,
∴2180
ABC EOF
∠+∠=.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，还考查了基本作图．熟练掌握相关性质作出辅助线是解题关键，属综合性较强的题目，有一定的难度，需要有较强的解题能力.
8．如图，已知DCE
∠与AOB
∠，OC平分AOB
∠．
(1)如图1，DCE
∠与AOB
∠的两边分别相交于点D、E，90
AOB DCE
∠=∠=︒，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由.
以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解：CD CE
=．
理由如下：如图1，过点C作C F OC
⊥，交O B于点F，则90
OCF
∠=︒，
…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
(3)若120
AOB
∠=︒，60
DCE
∠=︒．
①如图3，DCE
∠与AOB
∠的两边分别相交于点D、E时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段O D、OE、OC有什么数量关系？说明理由．
②如图4，DCE
∠的一边与AO的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接
写出线段
O D、OE、OC有什么数量关系；如图5，DCE
∠的一边与BO的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段O D、OE、OC有什么数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC
-=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC
-=
【解析】
【分析】
（1）通过ASA证明CDO CEF
∆∆
≌即可得到CD=CE；（2）过点C作CM OA
⊥，
CN OB
⊥，垂足分别为M，N，通过AAS证明CMD CNE
∆∆
≌同样可得到CD=CE；（3）①方法一：过点C作C M OA
⊥，CN OB
⊥垂足分别为M，N，通过AAS得到CMD CNE
∆∆
≌，进而得到,
CD CE DM EN
==，利用等量代换得到
=
OE OD ON OM
++，在Rt CMO
∆中，利用30°角所对的边是斜边的一半得1
2
OM OC
=，同理得到
1
2
ON OC
=，所以OE OD OC
+=；方法二：以CO为一边作60
FCO
∠=︒，交O B于点F，通过ASA证明CDO CEF
∆∆
≌，得到
,
CD CE OD EF
==，所以OE OD OE EF OF OC
+=+==；②图4：以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点，利用ASA证得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF
得到OE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点，利用ASA证得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.
【详解】
解：(1)OC平分AOB
∠，145
∠=∠2=︒
∴，
390245,123
︒︒
∴∠=-∠=∴∠=∠=∠
OC FC
∴=
又456590︒
∠+∠=∠+∠=
在CDO
∆与CEF
∆中，
13
46
OC FC
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
()
CDO CEF ASA
∴∆∆
≌
CD CE
∴=
(2)如图2，过点 C 作CM OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，
∴90CMD CNE ∠=∠=︒，
又∵OC 平分AOB ∠，
∴CM CN =，
在四边形 O DCE 中，
12360AOB DCE ∠+∠+∠+∠=︒，
又∵90AOB DCE ∠=∠=︒，
∴12180∠+∠=︒，
又∵13180∠+∠=︒，
∴32∠=∠，
在CMD ∆与CNE ∆中，
32CMD CNE CM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()CMD CNE AAS ∆∆≌，
∴CD CE
=.
(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC +=.
理由如下：
方法一：如图3(1)，过点 C 作 C M OA ⊥，CN OB ⊥，
垂足分别为 M ，N ，
∴90CMD CNE ∠=∠=︒，
又∵OC 平分AOB ∠，
∴CM CN =，
在四边形ODCE 中，
12360AOB DCE ∠+∠+∠+∠=︒，
又∵60120180AOB DCE ∠+∠=︒+︒=︒，
∴12180∠+∠=︒，
又∵23180∠+∠=︒，
∴13∠=∠，
在CMD ∆与CNE ∆中，
13CMD CNE CM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()CMD CNE AAS ∆∆≌，
∴,CD CE DM EN ==.
∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+.
在 Rt CMO ∆中，
1490590302
AOB ∠=︒-∠=︒-∠=︒， ∴12OM OC =，同理1 2
ON OC =， ∴1122
OE OD OC OC OC +=+=. 方法二：如图3（2），以CO 为一边作60FCO ∠=︒，交 O B 于点 F ，
∵OC 平分AOB ∠，∴1260∠=∠=︒，
∴3180260FCO ∠=︒-∠-∠=︒，
∴13∠=∠，32FCO ∠=∠=∠，
∴COF ∆是等边三角形，
∴CO CF =，
∵4560DCE ∠=∠+∠=︒，
6560
FCO
∠=∠+∠=︒，
∴46
∠=∠，
在CDO
∆与CEF
∆中，
13
46
CO CF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴()
CDO CEF ASA
∆∆
≌，
∴,
CD CE OD EF
==.
∴OE OD OE EF OF OC
+=+==.
②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC
-=.
如图，以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点
∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线
∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCF=60°
∴△COF为等边三角形
∴OC=OF
∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB
又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°
∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°
∴∠COD=∠CFE
∴△COD≌△CFE（ASA）
∴CD=CE，OD=EF
∴OE=OF+EF=OC+OD
即OE-OD=OC
-=.
在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC
如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点
∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线
∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCG=60°
∴△COG为等边三角形
∴OC=OG
∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°
∴∠DCG=∠OCE
又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°
∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°
∴∠CGD=∠COE
∴△CGD≌△COE（ASA）
∴CD=CE，OE=DG
∴OD=OG+DG=OC+OE
即OD-OE=OC
【点睛】
本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.
9．八年级的小明同学通到这样一道数学题目：△ABC为边长为4的等边三角形，E是边AB 边上任意一动点，点D在CB的延长线上，且满足AE＝BD．
（1）如图①，当点E 为AB 的中点时，DE ＝ ；
（2）如图②，点E 在运动过程中，DE 与EC 满足什么数量关系？请说明理由；
（3）如图③，F 是AC 的中点，连接EF ．在AB 边上是否存在点E ，使得DE +EF 值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半）
【答案】（1）23；（2）DE ＝CE ，理由见解析；（3）这个最小值为27；
【解析】
【分析】
（1）如图①，过点E 作EH ⊥BC 于H ，由等边三角形的性质可得BE =DB =AE =2，由直角三角形的性质可求BH =1，EH 3=，由勾股定理可求解；
（2）如图②，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，可证△AEF 是等边三角形，AE =EF =AF =BD ，由“SAS ”可证△DBE ≌△EFC ，可得DE =CE ；
（3）如图③，将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，连接C 'F 交AB 于点E '，连接CE '，DE '，过点F 作FH ⊥AC '于点H ，由“SAS ”可证△ACE '≌△AC 'E '，可得C 'E '=CE '，可得当点C '，点E '，点F 三点共线时，DE +EF 的值最小，由勾股定理可求最小值.
【详解】
（1）如图①，过点E 作EH ⊥BC 于H ，
∵△ABC 为边长为4的等边三角形，点E 是AB 的中点，
∴AE =BE =2=DB ，∠ABC =60°，且EH ⊥BC ，
∴∠BEH =30°，
∴BH =1，EH 3=3=
∴DH =DB +BH =2+1=3，
∴DE 2293DH EH =+=+=23
故答案为：3
（2）DE =CE.理由如下：
如图②，过E 作EF ∥BC 交AC 于F .
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC =∠ACB =∠A =60°，AB =AC =BC.
∵EF ∥BC ，
∴∠AEF =∠ABC =60°，∠AFE =∠ACB =60°，
∴∠AEF =∠AFE =∠A =60°，
∴△AEF 是等边三角形，
∴AE =EF =AF ，
∴AB ﹣AE =AC ﹣AF ，
∴BE =CF.
∵∠ABC =∠ACB =∠AFE =60°，
∴∠DBE =∠EFC =120°，且AE =EF =DB ，BE =CF ，
∴△DBE ≌△EFC (SAS)，
∴DE =CE ，
（3）如图③，将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，连接C 'F 交AB 于点E '，连接CE '，DE '，过点F 作FH ⊥AC '于点H.
∵将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，
∴AC =AC '=BC =BC '=4，∠BAC =∠BAC '=60°，且AE '=AE '，
∴△ACE '≌△AC 'E '(SAS)，
∴C 'E '=CE '，
由（2）可知：DE '=CE '，
∴C 'E '=CE '=DE '.
∵DE +EF =C 'E +EF =C 'E '+EF ，
∴当点C '，点E '，点F 三点共线时，DE +EF 的值最小.
∵F 是AC 的中点，
∴AF =CF =2，且HF ⊥AC '，∠FAH =180°﹣∠CAB ﹣∠C 'AB =60°，
∴AH =1，HF 3=3=
∴C 'H =4+1=5，
∴C 'F 22'253C H HF =+=+=27，
∴DE +EF 的最小值为27.
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，添加恰当辅助线是解答本题的关键.
10．在等边ABC ∆中，点O 在BC 边上，点D 在AC 的延长线上且OA OD =.
（1）如图1，若点O 为BC 中点，求COD ∠的度数；
（2）如图2，若点O 为BC 上任意一点，求证AD AB BO =+.
（3）如图3，若点O 为BC 上任意一点，点D 关于直线BC 的对称点为点P ，连接,AP OP ，请判断AOP ∆的形状，并说明理由.
【答案】（1）30；（2）见解析；（3）AOP ∆是等边三角形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的等边三角形的性质可求1302
CAO BAC ∠=∠=︒且,90AO BC AOC ⊥∠=︒，根据OA OD =，等腰三角形的性质得到D ∠的度数，再通过内角和定理求AOD ∠，即可求出COD ∠的度数.
（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E 先证明COE ∆为等边三角形，再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=︒，120DCO ∠=︒，再证明()AOE DOC AAS ∆≅∆，得到CD EA =，再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过，又因为AD AC CD =+，通过等量代换即可得到答案.
（3）通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ∆≅∆，得到OP OD =，又因为OA OD =，得到AO=OP ，证得AOP ∆为等腰三角形，如解析辅助线，由（2）可知得
AOE DOC ∆≅∆得到AOE DOC ∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE ∠=∠=°
，即可证得AOP ∆是等边三角形.
【详解】
（1）∵ABC ∆为等边三角形
∴60BAC ∠=︒
∵O 为BC 中点
∴
1
30
2
CAO BAC
∠=∠=︒
且,90
AO BC AOC
⊥∠=︒
∵OA OD
=
∴AOD
∆中，30
D CAO
∠=∠=︒
∴180120 AOD D CAO
∠=︒-∠-∠=︒∴30
COD AOD AOC
∠=∠-∠=︒（2）过O作//
OE AB，OE交AD于E ∵//
OE AB
∴60
EOC ABC
∠=∠=︒
60
CEO CAB
∠=∠=︒
∴COE
∆为等边三角形
∴OE OC CE
==
180120
AEO CEO
∠=︒-∠=︒
180120
DCO ACB
∠=︒-∠=︒
又∵OA OD
=
∴EAO CDO
∠=∠
在AOE
∆和COD
∆中
AOE DOC
EAO CDO
OA OD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴()
AOE DOC AAS
∆≅∆
∴CD EA
=
∵EA AC CE
=-
BO BC CO
=-
∴EA BO
=
∴BO CD
=，
∵AB AC
=，AD AC CD
=+
∴AD AB BO
=+
（3）AOP
∆为等边三角形
证明过程如下：
连接,
PC PD，延长OC交PD于F
∵P D
、关于OC对称
∴,90
PF DF PFO DFO
=∠=∠=︒
在ODF
∆与OPF
∆中，
PF DF
PFO DFO
OF OF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴()
ODF OPF SAS
∆≅∆
∴OP OD
=,POC DOC
∠=∠
∵OA OD
=
∴AO=OP
∴AOP
∆为等腰三角形
过O作//
OE AB，OE交AD于E
由（2）得AOE DOC
∆≅∆
∴AOE DOC
∠=∠
又∵POC DOC
∠=∠
∴AOE POF
∠=∠
∴AOE POE POF POE
∠+∠=∠+∠
即AOP COE
∠=∠
∵AB∥OE，∠B=60°
∴60
COE B
∠=∠=︒
∴60
AOP COE
∠=∠=°
∴AOP
∆是等边三角形.
【点睛】
本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题，灵活应用全等三角形的性质得到边
与角的关系，以及等边三角形的性质是解答此题的关键.。