第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法

n =1
nπx l
=
ϕ (x) ，
∞
Tn '(0)sin
n =1
nπx l
=ψ
(x)
所以，
Tn (0)
=
2 l
∫lϕ 0
(ξ
)sin
nπξ l
dξ
，Tn '(0)
=
2 l
∫lψ
0
(ξ
)sin
nπξ l
dξ
由（14）（15），可求得Tn (t ) 。
（15）
然后代入（12）式，可得其解。 二、冲量定理法
'
'
(t
)
+
n=1 ⎣
n2π 2 l2
a
2
Tn
(t
)⎥⎤
⎦
sin
nπx l
=
f (x,t)
（13）式是 f (x,t )关于 x 的正弦级数展开，
（12） （13）
∫ Tn
''(t
)
+
n2π 2a l2
2
Tn
(t
)
=
2 l
l 0
f (ξ ,t)sin nπξ dξ
l
（14）
∑ ∑ 边界条件
∞
Tn (0)sin
⎪⎪⎨⎧uuttx
−
=0
a 2u xx = 0,
= u
f (x,t),
x=l = 0,
0 < x < l,t > 0
⎪ ⎪⎩u
t
=0
=
ϕ
(x
),
ut t=0 =ψ (x),
（11）
我们分别利用本征函数法和冲量定理法求解上述定解问题，这里，我们仅考虑边界条件 是齐次的，非齐次边界条件的处理将在下一小节中讲述。 一、本征函数法
⎪⎧utt ⎪⎪⎨ux
− a2uxx x=0 = 0,
= Acos πx l
ux x=l = 0,
sin ωt,
⎪
⎪u ⎪⎩
t =0
=
0,
ut t=0 = 0,
0 < x < l,t > 0
2.1.3 非齐次边界条件的齐次化
一、一般处理方法 例如自由振动问题
⎪⎪⎨⎧uuttx
−
=0
a2uxx =
= α (t),
的振动。其定解问题为
⎪⎪⎨⎧uuttx
−
=0
a 2u xx = 0,
= u
0 x=l =
A sin ωt,
⎪
⎪⎩u t =0 = 0, ut t =0 = 0,
（26）
设 u(x,t) = v(x,t) + ω(x,t)，
（27）
其中 v(x,t) = A x sinωt ，满足定解问题
l
⎧ ⎪⎪vtt
由 2.1.1 中 例 题 （ 1 ） 可 知 ， 当 f (x,t ) ≡ 0 时 ， 定 解 问 题 的 本 征 函 数 族 为
⎨⎧sin ⎩
nπx l
⎬⎫, ⎭
(n
=
1,2,3L)
。
因此，设
∑ u(x, t )
=
∞
Tn (t)sin
n =1
nπx l
将（12）带入（11）中的泛定方程，得
∑∞
⎡ ⎢Tn
= 0,
= u1
0,
x=
l
=
0,
⎪ ⎪⎩u1
t=0
=
ϕ (x ),
u1t t=0 = ψ (x),
（16）
( ) ⎪⎪⎨⎧uu
2 tt
2 x
−
=0
a 2u 2 = 0,
xx = u2
f x,t , x=l = 0,
⎪
⎪⎩u2 t =0 = 0,
u
2 t
t=0 =
0,
（17）
齐次方程（16）可用上一小节分离变量法直接求得，方程（17）泛定方程为非齐次，但初始 条件已经转化为齐次。
sin
nπa l
t
,
(n
= 1,2,3,L)
将（6）（7）式带入（2）式，得
（7）
u(x,
t
)
=
⎜⎛ ⎝
An
cos
nπa l
t
+
Bn
sin
nπa l
t
⎟⎞ ⎠
sin
nπx l
,
(n
=
1,2,3,L)
由于 n 取任意正整数，上述本征解都满足本征方程，因此，满足定解问题最一般的通解写为
∑ u(x, t )
⎪
⎪⎪ω t =0 = 0, ⎩
ωt
t =0 =
−vt
t=0 =
−
Aω l
x,
,
（29）
定解问题（29）可以由本征函数法或者冲量定理法求得，将求得的 ω(x,t )带入（27）式，
可得最终解 u(x,t)。
注意：
（1）、v(x,t )可以自由选择，只要保证满足 u(x,t )的边界条件，从而使ω(x,t )的边界条件是
− a2uxx x=0 = 0,
=0 ux
x=l =
0,
⎪ ⎪⎩u
t
=0
=
ϕ
(x),
ut t=0 = ψ (x),
（9） （10）
（2）一细杆，初始时刻杆一端温度为零度，另一段温度为 u0 ，杆上温度均匀分布。现零度
一端保持温度不变，另一端与外界绝热，求杆上温度变化。
⎧
⎪⎪⎪⎨uut
− a2uxx x=0 = 0,
⎪⎪⎨⎧vvttx=−0
a 2v xx = 0,
= v
0 x=l =
0,
⎪ ⎪⎩v t=τ = 0,
vt t=τ = f (x,τ ),
（20）
12
第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法
方程（20）可直接利用分离变量法求得。得到 v(x, t ) 后，带入（18）式，可求得 u(x, t )
习题：分别利用本征函数法和冲量定理法求解定解问题
X (x) = c1x + c2
由边界条件得， c1 = c2 = 0 ，弦也不发生振动，没有意义， λ < 0 的情况也可排除。
3、当 λ > 0 时，方程（3）的通解为
X (x) = c1 cos λ x + c2 sin λ x
由边界条件
⎧X (0) = c1 = 0
⎨ ⎩
X
(l
)
=
c2
sin
（24）
u(x,t) = v(x,t) + ω(x,t) = α (t) + β (t) − α (t) x + ω(x,t)
(25)
l
13
第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法
思考：如果 u(x,t )的边界条件分别满足下面两种情况，该如何构造 v(x,t )
（1） ⎪⎪⎨⎧uutxt
− a2uxx = 0
偏微分方程
分离变量
几个常微分方程
本征值问题
边界条件
初始条件 确定本征值、本征函数
确定待定系数
§2.1 分离变量法介绍
2.1.1 齐次偏微分方程的分离变量法
两端固定的均匀弦的自由振动问题，其满足如下定解问题：
⎪⎪⎨⎧uuttx
−
=0
a 2u xx = 0,
= u
0 x=l =
0,
⎪ ⎪⎩u
t
=0
=
ϕ
(x),
，得
λl = 0
λl
=
nπ
， n 为正整数，即 λ
=
n2π 2 l2
,
(n
= 1,2,3,L)
X
(x
)
=
c2
sin
nπx l
将特征值 λ
=
n2π 2 l2
,
(n
= 1,2,3,L)
带入关于 T
的泛定方程（4）
（6）
T ''+
n2π 2a2 l2
T
=
0 ，其解为
T (t)
=
An
cos
nπa l
t
+
Bn
0 u
x=l
=
β
(t
),
⎪ ⎪⎩u
t
=0
=
ϕ
(x),
ut t=0 =ψ (x),
边界条件是非齐次的。 为了使用分离变量法，必须先将非齐次边界条件齐次化。令
u(x,t) = v(x,t) + ω(x,t)
（21） （22）
适当选择 v(x,t )使其满足 v x=0 = α (t ), v x=l = β (t ) 。
这样，另一个函数 ω(x, t )的边界条件将变为齐次，即满足 ω x=0 = 0, ω x=l = 0 ，其满足的
定解问题为
( ) ⎪⎪⎨⎧ωωttx
−
=0
a
ω2 xx
= 0,
= ω
−
x=l
vtt − = 0,
a 2vxx
⎪⎪⎩ω t=0 = ϕ(x) − v(x,0), ωt t=0 =ψ (x) − vt (x,0),
问题
⎪⎪⎨⎧vvttx
−
=0
a 2vxx = 0,
= v
f (x,τ )δ
x=l = 0,
(t
−τ
)
⎪
⎪⎩v t =τ = 0, vt t =τ = 0,
（19）
对（19）中泛定方程在区间 [τ − 0,τ + 0]对 t 积分
∫ ∫ ∫ ( ) ( ) τ +0
τ −0 vtt dt −
τ +0
a
τ −0
2vxx
dt
=
τ +0
f
τ −0
x,τ δ
t −τ dt
( ) vt
τ +0 τ −0
=
f
x,τ
因为在时刻τ − 0 时，弦还未受到瞬时力，仍处于静止状态，所以 vt τ −0 = 0
故， vt τ +0 = f (x,τ )。
在时刻 t = τ + 0 以后，瞬时力消失，泛定方程变为齐次的，因此，如果将τ + 0 作为初始时 刻，将定解问题（19）改写为如下形式（以下，将τ + 0 简写为τ ）
⎨
⎪u y=0 = 0, uy y=b = 0,
⎪ ⎪⎩u
t=0 =
f
(x, y)
2.1.2 非齐次偏微分方程的处理
齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离变量法中起着关键作用，因为方程和边界条件都 是齐次的，分离变量才得以实现。如果定解问题中的方程不是齐次的，还有没有可能应用分 离变量法呢？
10
第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法
=0 ux x=l =
0,
⎪
⎪⎪⎩u
t =0
=
u0 x l
（3）边长为 a,b 的矩形薄板，两板面不透热，它的一边 y = b 为绝热，其余三边保持温度为
零，设板的初始温度分布为 f (x, y) ，求板内温度变化。
( ) ⎪⎧ut − a2 uxx + uyy = 0
⎪⎪u x=0 = 0, u x=a = 0,
应用冲量定理法有一个前提条件，即初始条件均为齐次的。对于初始条件为非齐次的 定解问题（如（11）），可以采用叠加原理，令
u(x,t) = u1(x,t) + u2(x,t)
其中， u1,u2 分别满足如下定解问题
11
第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法
⎪⎪⎨⎧uu11ttx
−
=0
a
u2 1 xx
nπa l
sin
nπx l
=ψ
(x),
(0 < x < l)
（9）式左边是傅里叶正弦级数展开，因此其系数
⎧ ⎪⎪
An
⎨
⎪ ⎪⎩
Bn
= =
2 l
∫lϕ 0
(ξ
)sin
nπξ l
dξ
2 nπa
∫ห้องสมุดไป่ตู้ψ 0
(ξ
)sin
nπξ l
dξ
习题：求利用分离变量法求解如下定解问题 （1）求如下定解问题
⎪⎪⎨⎧uutxt
x=0 = α (t ),
ux
x=l =
β (t),
⎪ ⎪⎩u
t
=0
=
ϕ
(x
),
ut t=0 = ψ (x),
（2）
⎪⎪⎨⎧uuttx
−
=0
a 2u xx
= α (t
=
),
0 ux
x=l =
β (t),
⎪ ⎪⎩u
t
=0
=
ϕ
(x),
ut t=0 = ψ (x),
二、特殊处理方法
弦的一端固定，另一端受迫作谐振动 Asin ωt ，弦的初始位移和初始速度都是零，求弦
=
∞ ⎜⎛ n=1 ⎝
An
cos
nπa l
t
+
Bn
sin
nπa l
t ⎟⎞sin ⎠
nπx l
（8）
An , Bn 为待定系数，由初始条件确定。
9
第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法
∑ ⎧
⎪u ⎪
t=0 =
∞ n =1
An
sin
nπx l
= ϕ(x),
∑ ⎨
⎪ ⎪⎩
ut
t=0 =
∞ n =1
Bn
−
a 2vxx
=
−
Aω 2 l
x sin ωt
⎪⎨v x=0 = 0, v x=l = Asin ωt,
⎪
⎪⎪⎩v t =0 = 0,
vt
t=0 =
Aω l
x,
（28）
所以，ω(x,t )满足定解问题
( ) ⎧
⎪⎪ωtt − a2ωxx = − vtt − a2vxx
= Aω2 xsinωt l
⎪⎨ω x=0 = 0, ω x=l = 0,
（23）
上述定解问题和初始条件是非齐次的，但边界条件是齐次的，可以用上一小节的本征函数发 或者冲量定理法继续求解。
另一个函数 v(x,t )，可以用线性函数构造，令
v(x,t) = α (t) + β (t) − α (t) x
l
将（24）式带入（23）式，即可求得ω(x,t )，最终由（22）式可得
8
（1） （2）
（3） （4）
第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法
⎧X ''+λX = 0
⎩⎨X (0) = 0, X (l) = 0
1、当 λ < 0 时，方程（3）的通解为
( ) X x = c1e −λ x + c2e− −λx
（5）
由边界条件得， c1 = c2 = 0 ，弦不发生振动，没有意义，所以， λ < 0 的情况排除。 2、当 λ = 0 时，方程（3）的通解为
下面，利用冲量定理法求解（17）式的定解问题，其基本思路是将受迫振动问题转化为 无穷多个自由振动问题的叠加。
把非齐次项 f (x,t )表示成无穷多个瞬时力的叠加
f
(x, t )
=
∫t 0
f
(x,τ
)δ
(t
−τ
)dτ
相应地，位移
u(x,t
)
=
t
∫0
v(x,
t,τ
)dτ
（18）
其中，v(x,t,τ )dτ 表示瞬时力 f (x,τ )δ (t −τ )dτ 所产生的位移。v(x,t,τ )应该满足如下定解
第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法
第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法
上述偏微分方程中的物理量包含对空间和时间多个变量的偏导，直接求解比较困难。在 求解偏微分方程的所有方法中，分离变量法是一种非常重要的方法，其基本思想是把偏微分 方程分解成为几个常微分方程，常微分方程和边界条件构成本征值问题，然后对本征值问题 直接求解。
ut t=0 = ψ (x),
设
u(x,t) = X (x)T (t)
带入上述泛定方程，得
T '' = X '' = −λ ， λ 为任意常数 a2T X
整理得
X ''+λX = 0
T ''+λa2T = 0
X 的泛定方程（2）和其边界条件 X (0) = 0, X (l ) = 0 构成其本征值问题，即