第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法

ut t=0 = ψ (x),
设
u(x,t) = X (x)T (t)
带入上述泛定方程，得
T '' = X '' = −λ ， λ 为任意常数 a2T X
整理得
X ''+λX = 0
T ''+λa2T = 0
X 的泛定方程（2）和其边界条件 X (0) = 0, X (l ) = 0 构成其本征值问题，即
= 0,
= u1
0,
x=
l
=
0,
⎪ ⎪⎩u1
t=0
=
ϕ (x ),
u1t t=0 = ψ (x),
（16）
( ) ⎪⎪⎨⎧uu
2 tt
2 x
−
=0
a 2u 2 = 0,
xx = u2
f x,t , x=l = 0,
⎪
⎪⎩u2 t =0 = 0,
u
2 t
t=0 =
0,
（17）
齐次方程（16）可用上一小节分离变量法直接求得，方程（17）泛定方程为非齐次，但初始 条件已经转化为齐次。
0 u
x=l
=
β
(t
),
⎪ ⎪⎩u
t
=0
=
ϕ
(x),
ut t=0 =ψ (x),
边界条件是非齐次的。 为了使用分离变量法，必须先将非齐次边界条件齐次化。令
u(x,t) = v(x,t) + ω(x,t)
（21） （22）
适当选择 v(x,t )使其满足 v x=0 = α (t ), v x=l = β (t ) 。
⎪⎪⎨⎧uuttx
−
=0
a 2u xx = 0,
= u
f (x,t),
x=l = 0,
0 < x < l,t > 0
⎪ ⎪⎩u
t
=0
=
ϕ
(x
),
ut t=0 =ψ (x),
（11）
我们分别利用本征函数法和冲量定理法求解上述定解问题，这里，我们仅考虑边界条件 是齐次的，非齐次边界条件的处理将在下一小节中讲述。 一、本征函数法
nπa l
sin
nπx l
=ψ
(x),
(0 < x < l)
（9）式左边是傅里叶正弦级数展开，因此其系数
⎧ ⎪⎪
An
⎨
⎪ ⎪⎩
Bn
= =
2 l
∫lϕ 0
(ξ
)sin
nπξ l
dξ
2 nπa
∫lψ 0
(ξ
)sin
nπξ l
dξ
习题：求利用分离变量法求解如下定解问题 （1）求如下定解问题
⎪⎪⎨⎧uutxt
=
∞ ⎜⎛ n=1 ⎝
An
cos
nπa l
t
+
Bn
sin
nπa l
t ⎟⎞sin ⎠
nπx l
（8）
An , Bn 为待定系数，由初始条件确定。
9
第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法
∑ ⎧
⎪u ⎪
t=0 =
∞ n =1
An
sin
nπx l
= ϕ(x),
∑ ⎨
⎪ ⎪⎩
ut
t=0 =
∞ n =1
Bn
=0 ux x=l =
0,
⎪
⎪⎪⎩u
t =0
=
u0 x l
（3）边长为 a,b 的矩形薄板，两板面不透热，它的一边 y = b 为绝热，其余三边保持温度为
零，设板的初始温度分布为 f (x, y) ，求板内温度变化。
( ) ⎪⎧ut − a2 uxx + uyy = 0
⎪⎪u x=0 = 0, u x=a = 0,
的振动。其定解问题为
⎪⎪⎨⎧uuttx
−
=0
a 2u xx = 0,
= u
0 x=l =
A sin ωt,
⎪
⎪⎩u t =0 = 0, ut t =0 = 0,
（26）
设 u(x,t) = v(x,t) + ω(x,t)，
（27）
其中 v(x,t) = A x sinωt ，满足定解问题
l
⎧ ⎪⎪vtt
偏微分方程
分离变量
几个常微分方程
本征值问题
边界条件
初始条件 确定本征值、本征函数
确定待定系数
§2.1 分离变量法介绍
2.1.1 齐次偏微分方程的分离变量法
两端固定的均匀弦的自由振动问题，其满足如下定解问题：
⎪⎪⎨⎧uuttx
−
=0
a 2u xx = 0,
= u
0 x=l =
0,
⎪ ⎪⎩u
t
=0
=
ϕ
(x),
⎪
⎪⎪ω t =0 = 0, ⎩
ωt
t =0 =
−vt
t=0 =
−
Aω l
x,
,
（29）
定解问题（29）可以由本征函数法或者冲量定理法求得，将求得的 ω(x,t )带入（27）式，
可得最终解 u(x,t)。
注意：
（1）、v(x,t )可以自由选择，只要保证满足 u(x,t )的边界条件，从而使ω(x,t )的边界条件是
−
a 2vxx
=
−
Aω 2 l
x sin ωt
⎪⎨v x=0 = 0, v x=l = Asin ωt,
⎪
⎪⎪⎩v t =0 = 0,
vt
t=0 =
Aω l
x,
（28）
所以，ω(x,t )满足定解问题
( ) ⎧
⎪⎪ωtt − a2ωxx = − vtt − a2vxx
= Aω2 xsinωt l
⎪⎨ω x=0 = 0, ω x=l = 0,
8
（1） （2）
（3） （4）
第二章 线性偏微分方程的解法-分离变量法
⎧X ''+λX = 0
⎩⎨X (0) = 0, X (l) = 0
1、当 λ < 0 时，方程（3）的通解为
( ) X x = c1e −λ x + c2e− −λx
（5）
由边界条件得， c1 = c2 = 0 ，弦不发生振动，没有意义，所以， λ < 0 的情况排除。 2、当 λ = 0 时，方程（3）的通解为
'
'
(t
)
+
n=1 ⎣
n2π 2 l2
a
2
Tn
(t
)⎥⎤
⎦
sin
nπx l
=
f (x,t)
（13）式是 f (x,t )关于 x 的正弦级数展开，
（12） （13）
∫ Tn
''(t
)
+
n2π 2a l2
2
Tn
(t
)
=
2 l
l 0
f (ξ ,t)sin nπξ dξ
l
（14）
∑ ∑ 边界条件
∞
Tn (0)sin
下面，利用冲量定理法求解（17）式的定解问题，其基本思路是将受迫振动问题转化为 无穷多个自由振动问题的叠加。
把非齐次项 f (x,t )表示成无穷多个瞬时力的叠加
f
(x, t )
=
∫t 0
f
(x,τ
)δ
(t
−τ
)dτ
相应地，位移
u(x,t
)
=
t
∫0
v(x,
t,τ
)dτ
（18）
其中，v(x,t,τ )dτ 表示瞬时力 f (x,τ )δ (t −τ )dτ 所产生的位移。v(x,t,τ )应该满足如下定解
X (x) = c1x + c2
由边界条件得， c1 = c2 = 0 ，弦也不发生振动，没有意义， λ < 0 的情况也可排除。
3、当 λ > 0 时，方程（3）的通解为
X (x) = c1 cos λ x + c2 sin λ x
由边界条件
⎧X (0) = c1 = 0
⎨ ⎩
X
பைடு நூலகம்
(l
)
=
c2
sin
n =1
nπx l
=
ϕ (x) ，
∞
Tn '(0)sin
n =1
nπx l
=ψ
(x)
所以，
Tn (0)
=
2 l
∫lϕ 0
(ξ
)sin
nπξ l
dξ
，Tn '(0)
=
2 l
∫lψ
0
(ξ
)sin
nπξ l
dξ
由（14）（15），可求得Tn (t ) 。
（15）
然后代入（12）式，可得其解。 二、冲量定理法
τ −0
2vxx
dt
=
τ +0
f
τ −0
x,τ δ
t −τ dt
( ) vt
τ +0 τ −0
=
f
x,τ
因为在时刻τ − 0 时，弦还未受到瞬时力，仍处于静止状态，所以 vt τ −0 = 0
故， vt τ +0 = f (x,τ )。
在时刻 t = τ + 0 以后，瞬时力消失，泛定方程变为齐次的，因此，如果将τ + 0 作为初始时 刻，将定解问题（19）改写为如下形式（以下，将τ + 0 简写为τ ）