量子物理习题

2． 考虑相对论效应，则以速度υ 运动的粒子的动能为
T = μ0c2 1−υ 2 c2 − μ0c2
其中
μ0
为粒子的静止质量。试证明当υ
<<
c
时，
T
≈
1 2
μ 0υ
2
。
3． 计算红光 λ =6000 Å 和 X 射线 λ =1 Å 的一个光子的能量、动量和质量。
4． 试求下列各粒子的 de Broglie 波长 (a) 100 eV 的自由电子。 (b) 0.1 eV，质量为 1g 的粒子。
与角度θ 和ϕ 无关。当 l = 1时，试验证这一结论的正确性。
17．一个含有 N 个电子的原子，则电荷密度为
∫ ρ (1) = Ne Ψ(1,2,", N ) 2dτ 2dτ 3 "dτ N
若以φi 表示电子的自旋-轨道，则电子密度也可以写为
N
2
ρ(1) = e∑ φi (1)
i =1
试验证：对于 N = 2 的闭壳层体系，以上这两个电荷密度的表达式等价。
A21. 证明：
⎡⎢⎣L∧x
,
∧
Ly
⎤ ⎥⎦
=
i=
∧
Lz
。
A22. 验证下列函数的正交性：Y00，Y11，Y10 。
A23. 验证： cosθY10 , cosθY1−1 满足如下递推公式：
6
cosθY lm
=
KYl +1,m
+
K Y' l −1,m
,
K = (l + 1)2 − m2 , K ' = (2l + 1)(2l + 3)
试计算：
(a)粒子动量的平方。(b)
n
取何值时粒子在区间
⎢⎣⎡0,
1 4
a⎥⎦⎤
的几率最大。
A13.一维势箱（0，a）中的粒子的状态为 ψ (x) = ASinπ x cos2 π x ，计算：
a
a
(1)
能量的可能测量值及相应的几率；
(2)
能量的平均值；
(3)
求归一化系数 A。
A14. 作为近似，苯中的 6 个π电子可看作在边长为 0.35 nm 的正方形二维势阱中运动。试计
算由基态跃迁到第一激发态所对应的光吸收的波长（nm）?
A15. 试从厄米多项式性质导出谐振子波函数递推式：
xψ
n
(x)
=
1 α
⎡ ⎢ ⎣
nψ 2
n−1
+
n
+ 2
1ψ
n+1
⎤ ⎥ ⎦
,
dψ n dx
=
α
⎡ ⎢
⎣
nψ 2
n−1
−
n
+ 2
1ψ
n+1
⎤ ⎥ ⎦
A16.已知H35Cl的振动频率υ0 = 8.667 ×1013 s −1 ，试求H37Cl的振动频率。
14．验证
ψ = c1 (1 + c2r)e−ar
是氢原子 Schrödinger 方程的解，并确定 c1 ， c2 ， a 和能量 E 。 15．求氢原子中处于ψ 1s 状态的电子矢径 r 的平均值 r 。
16．求氢原子中处于ψ 1s 状态的电子出现在 r = 2a0 的球内的几率。 17．求氢原子中处于ψ 2 pz 状态的电子出现在θ ≤ 45D 的圆锥内的几率。
18．求氢原子中处于ψ 321 状态的电子的角动量与 z 轴的夹角。 19．处于 l = 2 的电子，求其自旋角动量和轨道角动量的夹角。 20．比较 H 的 2s 电子、He+的 2s 电子和 He (1s1 2s1 ) 的 2s 电子能量的高低。
21．设氢原子的电子处在状态ψ = c1ψ 210 + c2ψ 211 + c3ψ 31−1 ，其中ψ ，ψ 210 ，ψ 211 ，ψ 31−1
9．试写出 Cl 原子和 As 原子的光谱基项。
10．如果一个电子的状态不用量子数 n ， l ， m ， ms ，来描述，而用 n ， l ， j ， m j 四个量 子数来描述，试证明一定 n 值的状态数目仍为 2n 2 个。 11．求 pd 电子组态的光谱项。 12．如果考虑自旋-轨道耦合，下列谱项各能级分裂成几个能级： 1 D ， 3 G ， 6 S 。
试计算： (a)粒子动量的平方。
(b)
n
取何值时粒子在区间
⎢⎣⎡0,
1 4
a⎥⎦⎤
的几率最大。
8．用不确定原理和virial定理判断下列论断是否正确：中子是由相距小于 10-13 cm的质子和 电子用Coulomb力结合起来的粒子。
9．证明ψ (x) = ekx 是 Px 的本征函数，并说明 k 的取值情况。
3
13．组态 p 2 和 pd 的谱项之间允许的电子跃迁有哪些？ 14．谱项 2 P 的轨道角动量与自旋角动量之间的可能夹角有哪些？ 15．pd 组态两个电子的自旋角动量之间可能的夹角有哪些？总自旋角动量与 z 轴可能的夹角
有哪些？
16．对于给定的 l 值，求和
l
2
∑ Ylm (θ ,ϕ)
m=−l
2/a为单位，横坐标以a为单位）。 A10. 试用一维势箱模型(6 个 π 电子)计算如下分子的电子光谱最大吸收波长（第一吸收峰）。
H3C N
H3C
H CC
H
CC HH
l =8A
CH3 N+
CH3
5
A11. 一维势箱（0，a）中的粒子处于ψ n 态。试计算 Δx, Δpx ；并验证不确定关系。
A12．已知在一维方势阱中运动的粒子的波函数为ψ = 2 sin⎜⎛ nπ x ⎟⎞ ，其中 a 为势阱的长度。 a ⎝a ⎠
N2 分子离解能的实验值是 9.902eV, 试计算N2分子的总能量。
10．试证明：只要带电粒子的总电荷等于零，则体系的偶极矩与坐标原点的选择无关。
11．设 LiH 分子的最高占据轨道为
2σ
=
c1 (1s)H
+ c2
(2s) Li
实验上测定 Li-H 键长为 Re=1.5853Å，偶极矩为
μ = 1.9607 ×10−29 C ⋅ m ，
10．试计算Li2+离子 2s 和 2 p 轨道上电子的电离能。
11．忽略电子的自旋轨道相互作用，但考虑电子的自旋状态，试确定主量子数是 n 的氢原子电
子能级的简并度。
12．在求解氢原子电子的 Schrödinger 方程时，曾忽略了万有引力的作用。质子和电子在万 有引力作用下的势能为
1
V ′ = GMμ r 其中万有引力常数 G =6.67×10-8 cm3.g-1.s-1。试计算V ′ 所引起的电子能量的修正值。 13．试比较能量算符 Hˆ 和 Hˆ + Cˆ 的本征值和本征函数。其中 Cˆ 为任一常数 c 所对应的算符。
若选用φ = e−bax2 作为一维谐振子的尝试变分函数，试用变分法计算其近似的基态能量。其中 b 为参数， a = νm = ， m 为谐振子的质量。
4．用变分法求锂原子的第二电离势。
5．写出锂原子基态的行列式波函数。
6．证明波函数
Φ(1,2) = 1 1s(1)α (1) 1s(2)α (2) 2 2s(1)α (1) 2s(2)α (2)
A6. 试写出下列体系的定态薛定谔方程：（a）He原子（b）H2分子。
∧
∧
∧∧
A7. 设 A ， B 为厄米算符，证明： （1） A+ B 是厄米的；
（2） i ⎡⎢⎣A∧ , B∧ ⎤⎦⎥ 是厄米的。
A8. 1，3—丁二烯分子长度 a≈7Å，试用测不准关系估计其基电子态能级的大小（量级）。
A9. 一维势箱中的粒子基态波函数为Ψ1= 2 / a sin(πx/a),试画出其几率密度分布图（纵坐标以
都是归一化的。试由
c12
，
c
2 2
，
c32
的物理意义计算
①能量的平均值。
②能量是 − R 4 的几率。
③角动量的平均值。
④角动量是 2= 的几率。
⑤角动量 z 分量的平均值。
⑥角动量 z 分量是 2= 的几率。
第二章
1．1971 年曾发表过一篇论文，该论文对氢原子应用了归一化的变分函数 Ne −br2 −cr ，并说将近 似能量对参数 b 和 c 求极小值时，得到高于真实基态能量（核质量为无穷大）0.7%的能量。不
18．利用以上两题的结果，说明闭壳层体系或半满壳层的原子体系的电荷密度是球对称的。
第三章
1．试写出H2 的Schrödinger方程。
2．按分子轨道法写出Li2 的基电子组态和电子的总波函数。 3．用分子轨道能级图解释：N2的键能比N2+ 大，而O2的键能比O2+ 小。
4．如果分子轨道 AB 的成键轨道中的一个电子由 90%的时间在 A 的原子轨道φa 上,10%的时间
做任何计算，说明为什么这个结果一定是错误的。
2．如果对一维无限势阱中的粒子用归一化的尝试变分函数
2
φ
=
⎜⎛ ⎝
3 l3
⎟⎞1 ⎠
2
x,
0≤ x≤l
则发现其近似能量为零，这比真实的基态能量低。试指出错在哪里。
3．一维谐振子的 Hamilton 算符为
Ηˆ = − = 2 d 2 + 2π 2mν 2 x 2 2m dx 2
电子电荷为 e = 1.6 ×10−19 C ，试确定 c1 ， c2 。
补充习题
A1. 求氢原子中 （1）电子在 n=1 轨道上运动时相应的电流值大小； （2）n=1 轨道中心处的磁场强度。
A2. 分别计算氢原子的赖曼系、巴耳末系和帕邢系中最短和最长的波长。
A3. 求氦离子 He+ 的电离能、第一和第二激发能、第一轨道半径。
V(r)
=
⎧0 ⎩⎨∞
<a ≥a
，
（提示： ∇ 2
=
1 r2
∂ ∂r
(r 2
∂ )+ ∂r
1 r2
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在 B 的原子轨道φb 上，忽略重迭积分，求出该分子轨道。
5．用分子轨道理论解释N2 ，O2 和F2分子键长的相对顺序。
6．B2
分子的基电子组态为
ΚΚ 2σ
2 g
2σ
u21π
2 u
，假定1π u
简并轨道上各有一个电子，且自旋相反。
试写出这个单重态的光谱项。
7．O2
分子的一组激发态电子组态为
ΚΚ
2σ
2 g
l2 − m2 (2l −1)(2l + 1)
A24. HF 的远红外光谱测得 Δυ~ = 41.9cm −1 ，计算分子的核间距。DF 的远红外光谱 Δυ~ 为
多少？
∧
∧
A25. 验证Y1,-1是 L2 和 Lz 的本征函数。
A26 证明氢原子的波函数ψ 2Px ψ 与 2Py 正交。
A27. 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 试求粒子能量本征函数的角度部分。
是氦原子忽略电子间相互作用的 Schrödinger 方程的解，并求其本征值。
7．用 Clementi 和 Raimondi 给出的计算屏蔽常数的经验公式计算 He 原子的基态能量。
8．基态钇（Y）原子的可能价电子组态为
4d 15s2 或 4d 2 5s1 由光谱实验可确定其光谱基项为 2 D3 2 ，试判断它的基态是哪种电子组态。
A17. 一维谐振子处于 n=1 态，求它的 (Δx)2 和 (Δpx )2
A18. 设体系处于态 Ψ = 1 (u1 + u 2 ) ,其中u1, u2是体系哈密顿算符H的归一化的本征函数，相应 2
的本征值为E1，E2 。测量处于Ψ态的体系的能量，测量出的可能值是什么？几率多大？测 量平均值是什么？ A19. 写出角动量算符L2及其分量Lz的球坐标表达式，试证L2与Lz对易，有共同的本征函数。 A20. 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表达式为H=L2/2I（L为角动量）。试求对应的 量子体系在下列情况下的本征能量和波函数:（1）转子绕一固定轴转动;（2）转子绕一固 定点转动。
5．质量为 m 的粒子，在弹性力 − kx 作用下运动，试写出其 Schrödinger 方程。
6．写出一个被束缚在半径为 a 的圆周上运动的粒子的 Schrödinger 方程，并求其解。
7．已知在一维方势阱中运动的粒子的波函数为ψ = 2 sin⎜⎛ nπ x ⎟⎞ ，其中 a 为势阱的长度。 a ⎝a ⎠
量子物理习题 （2014 年 9 月）
李俊清等，《物质结构导论》, 中国科学技术大学出版社,1990 年, 第 1-3 章
第一章 1． K的电子逸出功是 2.2 eV，Ni的电子逸出功是 5.0 eV，而 1 eV=1.6×10-12 erg，波长为 4000 Å 的紫光能否引起金属 K 和 Ni 的光电效应？
A4. 已知琴弦振动的驻波条件为 n λ = a （n＝1，2，…, a 为弦长）。按照“定态即驻波”的说 2
法，束缚在长度为 a 的一维势箱中的粒子(质量为 m)的定态能量取值是多少？
A5. 下列哪些函数不是品优函数，说明理由： f (x) = x2 ， e −|x| ，Sin |x|， e−x2
2σ
2 u
3σ
g21π
u31π
3 g
，试写出该电子组态的所有光谱
项。 8 按价键法的基态波函数验证：H2 分子的核间区的电荷密度大于未成键的两个氢原子的电荷密
4
度之和。
9．N 原子的各级电离能 IP 分别是
i
1
2
3
4
5
6
7
IP(eV) 14.549 29.612 47.438 77.470 97.887 552.063 667.000