北京四中初二轴对称

轴对称

撰稿：龚剑钧审稿：李岩责编：邵剑

一．知识要点：

1.轴对称图形

（1）定义：

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。

（2）常见的轴对称图形。

①线段：有 2 条对称轴，它的对称轴是线段本身所在直线和线段的垂直平分线。

②角：有 1 条对称轴，它的对称轴是角平分线的所在直线。

③等腰三角形（除等边三角形）：有 1 条对称轴，它的对称轴是顶角平分线的所在直线（或底边上的

中线所在直线，或底边上的高线所在直线，或底边的垂直平分线所在直线）。

④等边三角形：有 3 条对称轴，它的对称轴是角平分线的所在直线。

⑤长方形（除正方形）：有 2 条对称轴，它的对称轴是对边中点确定的直线。

⑥正方形：有 4 条对称轴，它的对称轴是两组对边中点确定的直线和两条对角线所在的直线。

⑦正n边形：有 n 条对称轴，它的对称轴是过其中心和顶点的直线。

⑧圆：有无数条对称轴，它的对称轴是过圆心的任一条直线。

2.轴对称：

把一个图形沿着条一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

3.轴对称与轴对称图形的区别和联系：

（1）区别：轴对称是指两个图形的对称关系，只有 1 条对称轴；

轴对称图形是指一个图形的对称特性，不一定只有一条对称轴，可能有多条。

（2）联系：成轴对称的两个图形看成一个整体，就是一个轴对称图形。

4.对称轴的做法：

对称点所连线段的垂直平分线

5.轴对称的性质：

（1）关于某直线对称的两个图形是全等形；

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线；

（3）关于某直线对称的两条线段如果相交或延长后相交，那么这个点一定交在对称轴上。

（4）在对称轴上的点的对称图形为其本身。

6.关于坐标轴对称的点的坐标的特点

点P（x，y）关于x轴的对称点是（x，－y）；关于y轴的对称点是（－x，y）

7.利用轴对称变换求解最值问题。

（1）河边供水；

（2）将军饮马。

二．例题分析

（一）识别轴对称图形及轴对称

1．下列“表情”中属于轴对称图形的是（ C ）

A．B． C． D.

2. 下列图形中有一条对称轴的是_______；有两条对称轴的是_________；有三条对称轴是_________；

有四条对称轴的是__________；有五条对称轴的是___________；有无数条对称轴的是__________.

A.正方形

B.长方形

C.等腰三角形

D.等腰梯形

E.等边三角形

F.角

G.线段

H.圆

I.正五角星

（分析）有一条对称轴的是C，D，F；有三条对称轴是E；有四条对称轴的是A；有两条对称轴的是B，G；有五条对称轴的是I；有无数条对称轴的是H.

小结（1）对称轴是一条直线；（2）轴对称图形的对称轴至少有1条.

3. 两个大小不同的圆可以组成图中的五种图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有

什么共同的特点.

（分析）因为对于一个圆来说，它有无数条对称轴，每条对称轴都是经过圆心的直线，而对于由两个圆组成的图形来说，它的对称轴就是同时经过两个圆圆心的直线，因此图

14-12中五个图形都是轴对称图形，并且每个图形都只有1条对称轴.（因为两点确定一条直线而且只确定一条直线）

解：对称轴略.它们五种图形的对称轴都是经过两圆心的直线，即直线O1O2是对称轴.

4．如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 5 个．

（二）轴对称的有关作图及性质

5. 如图所示，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称.

则∠B′＝___________，AB＝___________，A′C′＝___________.

（分析）由轴对称变换的性质可知，对称线段相等，对称角相等.

解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，

∴∠B′=∠B=135°，AB=A′B′=20cm，A′C′=AC=30cm.

6. 已知△ABC和直线MN.求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）

答案：

（分析）△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要作的图形.

作法：以图（3)为例，

（1）过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线l的对称点；

（2）类似地，可以分别作出点B、点C关于直线l的对称点B′，C′；

（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，得到△A′B′C′即为所求.

7. 如下图所示，已知半圆和△ABC及直线l，作出这个图形关于直线l的对称图形.

（不要求写作法）

分析这个图形由一个半圆和一个三角形组成，作出三角形关于直线l的对称图形方法与上题相同，而作出半圆关于直线l的对称图形，就要注意到组成这个半圆的要素是：直径DA.在画它的对称图形时，首先画出直径DA关于直线l的对称图形，再在半圆弧上找一点E，作出E关于l的对称点，即可画出原图的对称图形.

解：如图所示.

小结几何图形都可以看作由点组成，我们只需分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连接这些点的对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

8. 如图所示,EFGH是一个台球桌面,有黑白两球分别置于A、B两点位置上，试问怎样撞击白球B，经桌面HE、EF连续反弹后，准确击中黑球A？（写作法并作图）

答案：