数学抽象度分析法

数学抽象度分析法抽象是认识事物本质、掌握事物内在规律的方法。

众所周知，科学概念、命题都是抽象概括的结果，而且不同的概念还有着不同的抽象程度。

一、抽象与抽象度1．抽象抽象有两种含义，一个是指从许多事物中舍弃个别的非本质的属性，抽出共同的本质属性；另一个是指那种偏离具体经验较远，因而不太容易理解的对象。

（1）弱抽象弱抽象也可以叫做“扩张式抽象”，即从原型A中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构B，使原结构成为新结构的特例。

记为A B（也可以用有向线−-B）段表示，即：A−→例如：N Z，Z Q，Q R，R C；一次函数、二次函数、反比例函数等 函数；弱抽象是从特殊到一般的过程，其抽象方法是先考虑具体事物有哪些性质，将刻画事物本质的性质抽象出来，然后考虑具有这种性质的一切事物。

弱抽象的法则的基本依据是“特征分离概括化原则”，或简称为“特征概括原则”。

这是一个工作原则，它的运用包括两个步骤：首先将一个结构内容较丰富的原型进行分析，把其中某个或某类特征分离出来，用形式化的数学语言把它表述出来，然后通过概括原则把它规定为一个范畴，或者把所有具备该形式化特征的对象考虑成一个系统或族类。

弱抽象的条件：弱抽象的原型必须是结构内容较为丰富的对象。

（2）强抽象强抽象也叫做“强化结构式抽象”，即通过引入新特征强化原结构来完成抽象。

从而所获得的新结构B是原结构A的特例。

例如：函数 连续函数，连续函数 可微函数，可微函数 解析函数群 环，一般四边形 凸四边形，平行四边形 矩形强抽象是从一般到特殊的过程，其抽象方法是在原结构中增添某一特征，通过抽象获得比原结构内容更丰富的结构，使新结构成为原结构的特例。

记为A B（也可以用有向线段−+B）表示，即：A−→完成强抽象的手段是多种多样的，但最常用的基本原则可以称之为“关系定性特征化原则”，这也是一条工作原则，它的运用包括两个步骤：首先是在一个系统的对象之间引入某种新的关系（如某种映射、对应或运算等），然后在形成的新的关系结构中，把可能出现的某种性质作为特征规定下来，通过概括原则把它规定为一个普遍范畴或某种普遍属性。

一般来说，被人们最先认识的一些较具体较直观的事物对象，如果其结构非常丰富，则成为弱抽象的原型，如果内容结构形式非常贫乏或不够丰富，则成为强抽象的出发点。

（3）广义抽象除上述弱抽象与强抽象以外，还可以有各种意义下的抽象。

如若定义概念B 时用到概念A ，或者证明定理B 时用到定理A ，我们就可以说B 比A 抽象，记作A B 。

这种就可以称之为广义抽象。

如棱锥 棱台，平行公理 三角形内角和为0180，菱形 正方形，函数 函数极限等。

2． 数学抽象物（抽象物）凡数学中确立的各种基本概念、定义、公理、定理、模型、推理规则、证明方法等都可以叫做数学抽象物或者抽象物。

假设给定一个数学抽象物P ，则所有与P 在逻辑上等价的抽象物构成一个等价类，犯属于同一个等价类的元素，我们一律不加区别，视为同一元素。

一般地说，若在某一分支的数学抽象物之间定义了一种比较抽象性质程度的方法，也就是定义了一个顺序。

无论我们给出什么样的“抽象性”定义，介于抽象物之间的顺序关系必须满足下列条件：第一， 若A B ，B C ，则A C 。

即若B 比A 抽象，C 比B 抽象，那么C 比A 抽象。

第二， 对于任何两个抽象物A 和B ，或者A B ，或者B A ，或者A 和B 之间无法确定那个更抽象。

这三种情况中必有一种且只有一种情况出现。

这样，在给定的“抽象”意义下，一个数学分支或某一特定数学专题范围内全部抽象物的集合（有限集）M 便构成一个严格的偏序集（M ， ）。

3． 抽象链如果抽象物A 与B 属于M 并且有A B ，则称A B 为链，A 叫作链的始点，B 叫做链的末点。

若给定链A B 与B C ，则它们可以连接成A B C ，，它叫做前两个链的扩张链。

对于给定的链n P P P 21，若能找到另一链m Q Q Q 21，使n P Q =1或者1P Q m =，则称链n P P P 21是可扩张的。

若链n P P P 21再不能添加新的抽象物，即不存在形如n i i P P Q P P P 121+的链，则称链n P P P 21是完全的。

若一个链既完全又不可扩张，则称这个链是完全不可扩张的。

若抽象物A 与B 位于同一个链中，则称A 与B 相联，否则称不相连。

定理：对于给定的数学抽象物集合M 而言，其中所含的不相联抽象物的最大个数，即等于被分解成相联抽象物的链的最小条数。

4． 抽象度数学抽象度反映的是抽象物的抽象性层次。

因为每一抽象物都是经历一个抽象过程而形成的，所以处于一条链上的诸抽象物的个数就代表着抽象层次数。

因此，我们可以用链的长度来规定“抽象度”。

（1） 相对抽象度设P 与Q 是抽象物集合M 中的任何一对相联元素，如果在M 中有一条完全的链（即其中再也插不进另外元素的链）：（λ）Q P P P P r 121-则链（λ）的长度r 定义为Q 关于P 的相对抽象度，记为deg(Q ︱P )=r 。

这里链（λ）也可以表示为r Q P ],[，其中r 表示Q 关于P 的相对抽象度。

例如：N Z Q R C ，那么deg(C ︱N )= 4，deg(R ︱Z )= 2。

如果联结P 与Q 之间的链有S 条：)()(),(21s λλλ ，且长度分别是s r r r 21,，则定义deg(Q ︱P )= max{s r r r 21,}。

其相应的链称为该抽象度的“典型链”，典型链可以有多条，取其一就可以了。

例如：四边形（P ） 平行四边形 矩形 正方形（Q ）；四边形（P ） 正方形（Q ），那么deg(Q ︱P )=4。

在典型链上，抽象度具有可加性，即：deg(Q ︱P )= deg(Q ︱S )+ deg(S ︱P )如果S 不在典型链上，则通常有： deg(Q ︱P )≥ deg(Q ︱S )+ deg(S ︱P )5． 交汇点与分叉点偏序集（M ， ）中抽象物可以用点表示，关联的抽象物之间都可以用有向线联结，这样便得到一个有向图。

若P 是至少两个抽象链的末点，称P 是“交汇点”。

特别，我们把完全不可扩张链的始点叫做零级交汇点，于是可以定义一般交汇点的级。

假如从一个交汇点P 出发，按反序方向走到零级交汇点，在所有可能的途径中至少有一条途径上交汇点个数最多，就把这个链上交汇点的个数k （包括P 点本身但不包括始点-----零级交汇点）叫做交汇点P 的级。

若P 是至少两个抽象链的始点，称P 是“分叉点”。

从分叉点X 引出的链的条数叫做该点的“出度”，记为： )(X d +；在交汇点X 处汇聚的链的条数叫做该点的“入度”，记为：)(X d -。

6． 三元指标给定一个抽象物集合所成的偏序集（M ， ），取定M 中的一个元素S 作为始点，考虑由S 出发引出的一切链，记这个链系统为∑，设X 为∑中某链上元素，则可以计算相对抽象度 deg （X ∣S ），简记为 deg(X).在∑系统中还可计算X 的入度)(X d -和出度)(X d +，于是关于X 的三元数组{ deg(X)，)(X d +，)(X d +}便叫做概念X 的三元指标，记为：Ind （X ∣S ）=（deg(X)，)(X d -，)(X d +）三元指标能够用以表明一个抽象物的更全面的信息。

事实上，deg(X)，)(X d -和)(X d +分别刻画了抽象物X 的深刻性、基本性和重要性程度。

这些数值越大，就表明X 越深刻、越基本、越重要。

7． 抽象难度例子：把现实生活中出现的具体数量（如3个人，15本书等）记为∑0，并规定其抽象度为0，于是各个自然数的抽象度便是1，从个别自然数过度到一般自然数n 又是一次抽象，因此有：deg （n ∣∑0）=2, deg （+Z ∣∑0）=3，deg （Z ∣∑0）=4，deg （Q ∣∑0）=5，deg （R ∣∑0）=6，deg （C ∣∑0）=7。

其中前两次抽象与后几次抽象在难度上显然不同，后者要难得多。

一般情况下，我们可以将一个抽象物的抽象难度规定为：小难度、中难度、大难度和特大难度四个等级，它们可以分别被记为：4321,,,∆∆∆∆。

一个抽象物属于哪个难度，做法有两个，一个通过对大批学习者测定他们弄懂各步抽象概念所花费的平均时间来衡量难易程度；另一个是通过有经验教师、专家共同评定或投票的方式来确定难易程度。

一个抽象物的难度：设给定一个完全链n P P P S 21，则n P 对这个链的难度可以用一个n 维向量表示：},{)()(21n n n S P dif P dif δδδ ==这里每一个i δ仅取4321,,,∆∆∆∆中的一个值。

二、 抽象度分析法给定某一个数学分支的全部或部分数学抽象物集合M ，如果要对M 中的元素进行全面的抽象度分析，则需要采取下列诸步骤：第一、 给定“抽象”的意义，将M 中元素排成偏序，使其中每一条链都表现为不可扩张的完全链。

第二、 将（M ， ）画成有向图，标明每一步的抽象意义（强、弱、广义），必要时再标明各步采用的抽象法则或原则。

第三、 将偏序集中各个极小点作为始点计算各条链上的各个点的一组相对抽象度。

第四、 计算图中每一个点的入度和出度，于是每一个点X 都可以获得一个或若干个三元指标ind （X ）。

第五、 从每一个始点出发作各个关联点的抽象度向量。

如果只是要求对指定对象Q ∈M 计算deg （Q ︱P ），dif （ Q ︱P ）和 ind （ Q ︱P ），则就需要找出[P ，Q]的最长链（完全链）并且以P 为始点的一切链的系统中计算Q 点的入度与出度，从而得到ind （ Q ︱P ），最后再把难度向量和各步所使用的抽象法则标示出来，这样就可以作出Q 相对于P 的抽象分析表。

对于一个数学分支（或一个数学理论体系）而言，为方便计算也可以把它上午全部公理（或作为推理出发点的全部基本命题）考虑成一个统一的始点。

这样用有向图表示的偏序集（M ， ）就只有一个极小点（最小点）。

于是按上述五个步骤所作的分析就可以大加简化。

特别，我们可以对那些入度与出度超过2或3的点作它们的抽象度分析表，这样就可以作成M 中一批重要抽象物的分析表册。

三、 具体例子由图可以看出：（1）[常量，函数]，[常量，可微函数]，[常量，解析函数]等都是典型链。

（2）deg （变量∣常量）=1，deg （多项式∣常量）=2，deg （分段函数∣常量）=5，deg （黎曼可积函数∣常量）=8，deg （解析函数∣常量）=9等。

（3）)(函数-d =5，)(函数+d =3等。

（4）ind （函数∣常量）=（deg （函数∣常量），)(函数+d ，)(函数-d ）=（6，3，5）等。