数学：111《变化率与导数变化率问题》课件(新人教A版选修

）存在函数关系
h
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
计 算 运 动 员 在 0 t 6 5 这 段 时 间 里 的 平 o均 速 度 ， t 4 9
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计 算 运 动 员 在 0 t 6 5 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 ， 4 9
h(65) h(0) 10 49
v h 0 t
1.1.1《变化率与导数 －变化率和导数》
1
教学目标
• 了解函数的平均变化率 • 教学重点： • 函数的平均变化率与导数
2
1.1.1变化率问题
导数研究的问题 变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
3
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
A3
B 3Δx-(Δx)2
C 3-(Δx)2 D 3-Δx
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
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练习：
1.质点运动规律s=t2+3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为(A )
A. 6+t
B. 6+t+ 9 t
C.3+t
D.9+t
• 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直 线运动,求在4s附近的平均变化率.
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思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
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问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面 的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单 位：秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
h
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略
分析:
s s(t0 t) s(t0) 2 g t1 2g ( t)2
_ v _ s s(t0 t) s(t0 ) 2 g 1 g ( t)
t
t
2
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解:
__ s
又如何求 瞬时速度呢?
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如何求（比如， t=2时的）瞬时速当度速Δ有t趋度什近么？于变0时化,趋平势均?
通过列表看出平均速度的变化趋势 ：
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瞬时速度
• 我们用 lim h(2t)h(2)13.1
t 0
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确 定值-13.1”.
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过 取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f f(x2 ) f ( x1)
x
x2 x1
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思考?
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m )
气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)
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• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2 )r(1 )0 .1 6 (d m )
气球的平均膨胀率为 r(2)r(1)0.16(dm/L 显)然
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0.62>0.16
思 考 下 面 问 题 ； 1） 运 动 员 在 这 段 时 间 里 是 静 止 的 吗 ？
2 ） 你 认 为 用 平 均 速 度 描 述 运 动 员 的 状 态 有 什 么 问 题 吗 ？
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瞬时速度.
• 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速 度.
• 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
4
1.1.1变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的 过程,可以发现,随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度 ,如何描述这种现象呢?
• 气球的体积V(单位:L)与半径r
(单位:dm)之间的函数关系是 V (r)
4 r3
•
3 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) 3
3V 4
5
我们来分 析一下:
3V r (V ) 3
4
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球 的过程,可以发现,随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加越来越慢. 从数学角度,如何描述这种现象呢?
253t
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总结：
• 1.函数的平均变化率
f
(x) x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f f(x2 ) f ( x1)
x
x2 x1
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问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
lim h(t0 t)h(t0)
t 0
t
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导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
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问题:
• 求函数y=3x2在x=1处的导数.
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应用：
例 中1位物移体单作位自是由m落,体时运间动单,位运是动s方,g程=1为0：ms/s2.12求gt：2 其 (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
y x
f(x2) f (x1) x2 x1
y
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表示什么?
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
Y=f(x) B
直线AB 的斜率
f(x1) O
A
x2-x1=△xx
x1
x2
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做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则
Δy/Δx=( ) D
地描述其运动状态?
请计算
o
t
0 t 0 .5 和 1 t 2 时 的 平 均 速 度 v : 8
请计 0 t 0 .5 和 1 t 2 时 的 平 均 速 度 v : 算
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
o
t
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平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f ( x1 ) 表示 x2 x1